ESPACIOS CON MEDIDA

Dem. 87 Observemos que1 dh dx(sh dP )ndx= 1 dh dx (shp n−1)donde p n−1 es un polinomio de grado n − 1. Por (2) se tiene que(1 dsh dP )n= p n .h dx dxEntonces podemos escribir esta relación como una combinación lineal de polinomiosP j , es decir(dsh dP ) n∑n= −h λ j ndx dxP j. (4)Multiplicamos esta ecuación en ambos lados por P m , con m < n e integramos∫A(dP m sh dP )ndx = −dx dxn∑j=1λ j n∫Aj=0hP j P m dx = −n∑λ j n δ jm = −λ m nmientras que si integramos dos veces por partes el lado izquierdo, obtenemos∫ (dP m sh dP ) ∫ ( )nddx =A dx dxA dx P m sh dP ndx dx∫ [ ( 1 d= sh d )]A h dx dx P m P n hdx = 0,ya que de nuevo llegamos a un polinomio de grado m < n dentro del parentesiscuadrado. Entonces (4) se puede escribir como(dsh dP )n= −hλ n ndx dxP n := −hλ n P n .De nuevo calculamos la integral∫AAP mddxpero ahora para m = n, se tiene:∫ (dP n sh dP )ndx =dx dxya que=∫∫(sh dP )ndx,dxAAj=1[ dP ndx (sh) dP ]ndx + P nshd2 dx 2 dx[ 1P n P 1 (x) dP ]nc 1 dx + P nsd2 dx 2 hdx1 dP 1 (x) = c 1h dx (hs).18