ESPACIOS CON MEDIDA

Dem. 23 Primero demostremos b)b) A ⊆ B implica que B = A ∪ (B\A). Se tiene que µ (B) = µ (A ∪ (B\A))Entoncesµ (B) = µ (A) + µ (B\A).Pero µ ≥ 0 implica µ (B) ≥ µ (A)a) A, B ∈ F A ∪ B = A ∪ (B\A)Entoncesµ (A ∪ B) = µ (A) + µ (B\A)por lema ??. Pero B\A ⊆ B. Por b) µ (B\A) ≤ µ (B) lo que implica queµ (A ∪ B) ≤ µ (A) + µ (B) .c) µ (B) = µ (A ∪ (B\A)) = µ (A) + µ (B\A),entoncesµ (B\A) = µ (B) − µ (A)Veamos algunas medidas especiales que usaremos en el resto del texto. Unasmedidas muy importantes son la medida de probabilidad y la medida de Dirac.Su definición formal es como sigue.Definición 24 Una medida tal que µ (Ω) = 1 se llama medida de probabilidad.Veamos el ejemplo de la medida de Dirac.Ejemplo 25 Medida de Dirac. Sea (Ω, F) espacio medible y δ x tal que δ x :F ⇀ [0, ∞), con{ 1 si x ∈ Aδ x (A) :=0 si x ∈ A cpara toda A ∈ F. Veamos que δ x es una medida. Primero es fácil ver queδ x (Ω) = 1, por lo que δ x es una medida de probabilidad, además, es claro queδ x (A) ≥ 0 para toda A ∈ F. Sean A 1 , A 2 , · · · , A i , · · · ∈ F con A i ∩A j = φ i ≠j, entonces( )δ x ∪ A i = 1i∈Isí y sólo sí x ∈ ∪ i∈I A i , esto es sí y sólo sí existe algún A i tal que x ∈ A i , perono en los restantes A j , j ≠ i, esto implica que( ) ∞∑δ x ∪ A i = δ x (A i ) = 1i∈Ii=1Por otro lado, δ x (∪ i∈I A i ) = 0, sí y sólo sí x ∈ (∪ i∈I A i ) c , esto es sí y sólosí x ∈ ∩ i∈I A c i , sí y sólo sí x ∈ Ac i para toda i, lo que implica que δ x (A i ) = 0para toda i. Por lo tanto∞∑( ) ∞∑δ x (A i ) = 0, i.e. δ x ∪ A i = δ x (A i )i∈Ii=1i=14