ESPACIOS CON MEDIDA

Ejercicio 69 Escriba los primeros 4 términos y de una ecuación diferencialcaracteristica de los polinomios de Gegenbauer C λ n dados por h = (1 −x 2 ) λ−1/2 , λ > − 1 2 , s = 1 − x2 , en el intervalo [−1, 1].Ejercicio 70 Escriba los primeros 4 términos y de una ecuación diferencialcaracteristica de los polinomios de Tchebichef de segunda clase U n dadospor h = (1 − x 2 ) 1/2 , s = 1 − x 2 , en el intervalo [−1, 1].Todos estos polinomios especiales tienen la caracteristica de formar sistemascompletos en el espacio de funciones suaves. En física y química, las ecuacionesdiferenciales anteriores son muy comunes y como sus soluciones forman sistemascompletos, podemos escribir las funciones suaves como combinación lineal deestas funciones especiales. Esta proceso es muy conveniente cuando se trabajacon estas ecuaciones diferenciales. Para ver que estas forma sistemas completos,mostraremos primero una serie de proposiciones.Proposición 71 Denotemos por p k a un polinomio arbitrario de grado k, entoncesd mdx m (hsn p k ) = hs n−m p k+m (2)Dem. 72 Primero observemos que para n = 1 en (1), se cumple quede donde queAhora tomemos la derivadaddx (hsn p k ) =1 dP 1 (x) = c 1h dx (hs) = c 1s 1 dhh dx + c ds1dx ,s dh ( 1dx = h P 1 − ds ).c 1 dxs n dhp kdx + dshnsn−1 p kdx + dp hsn k[ (dx1p k P 1 + (n − 1) dsc 1 dx= s n−1 h)+ s dp kdxComo p k es cualquier polinomio de grado k y por definición P 1 es un polinomiode grado 1 y s es un polinomio de grado 2, se tiene queddx (hsn p k ) = hs n−1 p k+1 .Si se sigue derivando la expresión entre parentesis y siguiendo los mismos pasos,se llega al resultado. Observemos que del resultado anterior se tiene qued n1P n = c nh dx n (hsn ) = c n p n .De aqui es entonces fácil demostrar que].15