ESPACIOS CON MEDIDA

Ahora supongamos que P 1 (x) = l 0 + l 1 x, s(x) = s 0 + s 1 x + s 2 x 2 y P n (x) =a n x n + · · ·, entonces la integral será∫A(dP n sh dP )ndx =dx dxA=∫ [ ]1P n (l 1 a n nx n + · · · ) + (s 2 a n n (n − 1)x n + · · · ) hdxA c 1[ ∫1l 1 n + s 2 n (n − 1)]∫a n x n P n hdx + Kx n−1 P n hdx + · · ·c 1 AAdonde K es alguna constante. Sin embargo, como podemos ver en (3 ), sólo lostérminos de grado n del polinomio p n son diferentes de cero. Entonces∫ (dP n sh dP ) [ ∫n 1dx = l 1 n + s 2 n (n − 1)]P n P n hdxdx dx c 1 Apor lo que[ ]1λ n = − l 1 n + s 2 n (n − 1)c 1[ 1 dP 1= −nc 1 dx + 1 ]2 (n − 1) d2 sdx 2Ejemplo 88 Los polinomios de Hermite H n estan dados por h = e −x2 , s = −1,c n = 1, por lo que los primeros terminos son: H 0 = 1, H 1 = 2x, etc. EntoncesdH 1dx = 2, d 2 sdx 2 = 0.Se tiene que λ n = −2n, la ecuación diferencial será(d−e dH )−x2 n− 2ne −x2 H n = 0dx dxo sead 2dx 2 H n − 2x ddx H n + 2nH n = 0para toda n = 0, 1, · · ·. A esta ecuación diferencial se le conoce como laecuación diferencial de Hermite.Ejemplo 89 Los polinomios de Legendre P n estan dados por h = 1, s = 1−x 2 ,c 1 = −1/2, por lo que los primeros terminos son: P 0 = 1, P 1 = x, etc. EntoncesdP 1dx = 1, d 2 sdx 2 = −2.Se tiene que λ n = −n [−2 − (n − 1)] la ecuación diferencial será(d (1− x2 ) )dP n+ n (n + 1)P n = 0dx dxo sea(1 − x2 ) d 2dx 2 P n − 2x ddx P n + n (n + 1)P n = 0para toda n = 0, 1, · · ·. A esta ecuación diferencial se le conoce como laecuación diferencial de Legendre.19