ESPACIOS CON MEDIDA

entonces∫(f 1 + f 2 )µ(dω) =k∑1+k 2i=1i=1b i µ (B i )∑k 1= b 1 i µ ( Bi1 ) ∑k 2+ b 2 i µ ( Bi2 )i=1∫ ∫= f 1 µ(dω) + f 2 µ(dω).2) Tenemos f 2 − f 1 ≥ 0, f 2 = (f 2 − f 1 ) + f 1Entonces∫ ∫∫0 ≤ f 2 µ(dω) = (f 2 − f 1 )µ(dω) +f 1 µ(dω),pero ∫ (f 2 − f 1 )µ(dω) ≥ 0 por lo tanto ∫ f 2 µ(dω) ≥ ∫ f 1 µ(dω). Después de esta proposición ya estamos en posición de definir la integral deLebesgue. Esta se realiza utilizando funciones simples, esto es:Definición 41 (Integral de Lebesgue) Sea f : (Ω, F) ⇀ (R, E) función y(Ω, F) espacio medible y E el álgebra-σ de Borel. Sea (f k ) k=1,··· ,nuna serie defunciones simples, tal que f k ≤ f k+1 para toda k, y f = lim f k. Entonces:k→∞∫∫f (ω)µ(dω) := lim f n (ω)µ(dω).n→∞Debido a la proposición anterior, aqui también se sigue que la integral eslineal y monótona. El teorema más importante correspondiente a la integral deLebesgue, el cual daremos sin demostración, es el siguiente.Teorema 42 ∫(de Lebesgue) Sean g, f n : (Ω, F) ⇀ (R, E) tal que | f n |≤ gpara toda n, gµ(dω) es finita y f = lim f n. Se sigue quen→∞∫∫fµ(dω) = lim f n µ(dω)n→∞es decir, f es integrable y ∫ fµ(dω) es finita.Para comprender el teorema y aprender a manipular la integral de Lebesgue, esconveninte ver algunos ejemplos simples.Ejemplo 43 Sea (R, E) el espacio medible con E el álgebra-σ de Borel y l 1 :E ⇀ [0, +∞) tal que l 1 ((a, b)) = b − a (con a < b por facilidad) es la medida deLebesgue. Entonces, si f : R ⇀ R, se tiene∫∫ bf(x)l 1 (dx) = f (x)dx(a,b)8a