ESPACIOS CON MEDIDA

Ejemplo 60 El sistema{f k = 1 √2xe ikx }k∈Zes un sistema ortonormal completo en el espacio L 2 complejo ([−π, π]).Ejemplo 61 El sistema{d n (P n = c n · x 2dx n − 1 ) n, con cn = 1√ }2n + 1n! 2 n 2es un sistema ortonormal completo en L 2 ([a, b]) con la medida de Lebesgue. Aestos polonomios se les llama Polinomios de Legendre.Ejemplo 62 Tomemos L 2 (R, µ) con la medida∫µ (A) = h (x)dx,AA ∈ E con h (x) = e −x2 . Entonces el sistema { 1, x, x 2 , · · ·} es un sistemaortonormal completo en este espacio. Sin∈Ndn x2H n = c k edx n n ≥ 0, L ({H e−x2 0 , · · · , H n }) = L ({ 1, x, · · · , x 2n}) .A H n se les llama los Polinomios de Hermite.5 Funciones EspecialesExisten una serie de funciones que tienen caracteristicas muy particulares. Loimportante de estas funciones es que son solución de diferentes ecuaciones diferencialesmuy comunes en física, química, ingeniería, etc., por eso su estudiorequiere de una sección aparte. Hay una forma de estudiar todas estas funcionesespeciales de una forma unificada, es la versión que adoptaremos aqui.Todas estas funciones tienen caracteristicas comunes y adoptando esta versiónunificada es posible estudiar sus caracteristicas comunes de una sola vez.Definición 63 (Fórmula de Rodriques) Sead n1P n (x) = c nh dx n (hsn ), (1)tal que1) P n es un polinomio de grado n y c n una constante.2) s(x) es un polinomio de raices reales de grado menor o igual a 23) h : R → R es una función real, positiva e integrable en el intervalo[a, b] ⊂ R, (llamada peso) tal que h(a)s(a) = h(b)s(b) = 0.13