ESPACIOS CON MEDIDA

Es decir, basta con definir el producto interno para cada base de polinomios,para poder escribir la serie de Fourier correspondiente. Demos algunos ejemplos.Ejemplo 79 Los polinomios de Hermite H n estan dados por h = e −x2 , s = −1,c n = 1, en el intervalo (−∞, ∞), su producto interno esta definido pora j = (f, H j ) =∫ ∞−∞f(x)H j (x)e −x2 dxentonces, cualquier función se puede escribir como f = ∑ ∞i=1 a iH i .Ejemplo 80 Los polinomios de Legendre P n estan dados por h = 1, s = 1−x 2 ,c n = (−1) n / (2 n n!), en el intervalo [−1, 1], su producto interno esta definidopora j = (f, P j ) =∫ 1−1f(x)P j (x)dxentonces, cualquier función se puede escribir como f = ∑ ∞i=1 a iP jEjemplo 81 Los polinomios de Laguerre L n dados por h = e −x , s = x, c n = 1,en el intervalo (−∞, ∞), su producto interno esta definido porL n (x) = a j = (f, L j ) =∫ ∞−∞f(x)L j (x)e −x dxentonces, cualquier función se puede escribir como f = ∑ ∞i=1 a iL iEjercicio 82 Defina un producto interno de los polinomios de Tchebichef deprimera clase T n .Ejercicio 83 Defina un producto interno de los polinomios de Jacobi P.Ejercicio 84 Defina un producto interno de los polinomios de Gegenbauer C λ n .Ejercicio 85 Defina un producto interno de los polinomios de Tchebichef desegunda clase U n .Todos esto polinomios son solución de alguna ecuación diferencial. La ecuacióndiferencial correspondiente se da en el siguiente teorema.Teorema 86 Seaentoncesd n1P n (x) = c nh dx n (hsn ),(dsh dP )n+ λ n hP n = 0dx dxdonde λ es un coeficiente dado por[ 1 dP 1λ = −nc 1 dx + 1 ]2 (n − 1) d2 sdx 217