ESPACIOS CON MEDIDA

De hecho, toda función para la cual la imagen inversa de los conjuntos deBorel es un elemento de la álgebra-σ en el conjunto, se le llama función medible,formalmente esta se define comoDefinición 33 Sea (Ω, F) espacio medible. A toda función f : Ω ⇀ R se lellama función medible, si f −1 (X) ∈ F, para toda X ∈ E.Ejemplo 34 Vamos a ver aqui que las funciones indicadoras χ A son funcionesmedibles. Veamos primero que, para una A fija se tiene que χ A (x) = δ x (A) :Ω → R. Observemos que esta función es 1 para toda x ∈ A, y 0 de lo contrario.De hecho χ A es una función escalón. Sea X ∈ E, y veamos cuanto vale χ −1A (X).Se tiene que, X = {1} ó X = {0}. Entoncesχ −1A (1) = A ∈ Fy χ−1 A (0) = Ac ∈ Fpor lo que χ A es una función medible.Finalmente, la integración en espacios con medida se hara en base a lasfunciones simples, su definición esDefinición 35 Sea (Ω, F) espacio medible y sea f n una función medible ahí.f n se dice simple si existen a 1 , · · · , a n ∈ R con n ≥ 1, A 1 , · · · , A n ∈ F tal queen el espacio medible (Ω, F).n∑f n = a i χ Aii=1Esto quiere decir que toda función simple se puede escribir como la superposiciónde funciones indicadoras por cada intervalo. Las funciones simplesestan formadas por porsiones constantes en cada intervalo A i para i = 1, · · · , n.Lo más interesante de las funciones medibles es que ellas pueden escribirse comoel límite de funciones simples. Esto lo veremos en la siguiente proposición.Proposición 36 Sea f medible, f ≥ 0. Entonces existe (f n ) n=1,...,∞con1) f n : Ω → R para todo n2) f n simple para todo n3) f n 0 para todo n4) f n ≤ f n+1 para todo n5) f = limn→∞ f nDem. 37 Vamos a construir las funciones (f n ) n=1,··· ,∞. Sean las funcionesf n =4 n ∑i=1i − 12 n χ f −1 ([ i−12 n , i2 n )) + 2n χ f −1 ([2 n ,∞))6