ESPACIOS CON MEDIDA

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Ejemplo 90 Los polinomios de Laguerre L n dados por h = e −x , s = x, c n = 1,por lo que los primeros terminos son: L 0 = 1, L 1 = −x + 1, etc. EntoncesdL 1dx = −1,d 2 sdx 2 = 0.Se tiene que λ n = −n (−1) y la ecuación diferencial de Laguerre será(dxe −x dL )n+ ne −x L n = 0dx dxo seax d2dx 2 L n + (1 − x) ddx L n + nL n = 0para toda n = 0, 1, · · ·. A esta ecuación diferencial se le conoce como laecuación diferencial de Laguerre. Suelen definirse también los polinomiosasociados de Laguerre L m n por la ecuaciónL m n (x) = dmdx m L nlas cuales son solución de la ecuación diferencialx d2dx 2 Lm n − (m + 1 − x) ddx Lm n + (n − m)L m n = 0Ejercicio 91 Escriba la ecuación diferencial de los polinomios de Tchebichefde primera clase T n .Ejercicio 92 Escriba la ecuación diferencial de los polinomios de Jacobi P.Ejercicio 93 Escriba la ecuación diferencial de los polinomios de GegenbauerC λ n .Ejercicio 94 Escriba la ecuación diferencial de los polinomios de Tchebichefde segunda clase U n .20
4.54ff 13.532.5f21.510.50-1 0 1 2 3 4 5 64.543.532.5xff 2f21.510.50-1 0 1 2 3 4 5 6xFigure 1: La función f = 1 8 x3 −x 2 +2x+ 3 2(linea continua) y sus correspondientesfunciones simples (cruces) f 1 , en al figura de arriba y f 2 , en al figura de abajo.Las f n se aproximan a la función original f para n grande. En estas dos figurasesto es muy notorio.21
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