VARIEDADES DIFERENCIALES

1. VARIEDADES 5Figure 2. En esta figura se muestran dos cartas, con sus dominios,sus sistemas coordenados, sus imágenes y sus funciones de transición.Exemplo 1. (R, τ R n) es una variedad real de dimensión n con una sola cartac = (R n , id| R n, R n ) .Exemplo 2 (Pelota). Vamos a estudiar un ejemplo que vamos a utilizar alo largo de estos capítulos. Se trata de las pelotas o ( S 2 , τ S 2), con su topologíaheredada de R 3 . La pelota es una 3-esfera y es una variedad 2-dimesional real queal menos tiene dos cartas. Estas son:c 1 = ( U 1 , σ + , R 2) con U 1 = S 2 \ {(0, 0, 1)}.donde el homeomorfismo σ + esta definido como:σ + (x, y, z) = 1 (x, y)1 − zcuya inversa esta dada por:σ −1+ (x, y) = 11 + x 2 + y 2 (2x, 2y, x 2 + y 2 − 1 )Análogamente, la segunda carta, ahora sin el polo sur, esta dada por:c 2 = ( U 2 , σ − , R 2) con U 2 = S 2 \ {(0, 0, −1)}.