VARIEDADES DIFERENCIALES

12 1. VARIEDADES DIFERENCIALESProposición 4. La estructura (R, T x M n , +, ·) es un espacio vectorial de dimensiónn, con1.- (v x + w x ) (f) = v x (f) + w x (f)2.- (λv x )(f) = λ(v x (f)).El conjunto { ∣∂ ∣x∂xes una base del espacio vectorial llamado base}i=1,··· i ,ncoordenada.Ejercicio 6. Demuestren la proposición anterior.Comentario 4. Observen que si (U, ϕ, V ) y (U ′ , ψ ′ , V ′ ) son cartas de M n enx, entonces { ∣ }∂ ∣x∂x y { ∣∂ ∣x i i=1,··· ,n ∂xson bases del espacio tangente de la}i=1,··· ′i ,nvariedad en x. Se tiene que∣∂ ∣∣∣x (xk ) n∑∣∂x ′i = α j ∂ ∣∣∣x (i xk ) n∑∂x j = α j i δk j = α k i ,es decirj=1∂∂x ′i ∣ ∣∣∣x=n∑j=1j=1∂∂x ′i ∣ ∣∣∣x (xj ) ∂∂x j ∣ ∣∣∣x.El resultado anterior nos da una fórmula, como la regla de la cádena, paracambiar de homeomorfismo en la variedad, o sea, para cambiar de sistema de coordenadas.En el lenguaje de variedades, hacer un cambio de coordenadas significacambiar de homeomorfismo de la variedad a los reales. Hay otro tipo de cambio decoordenadas que tiene un significado dinámico, pero de eso no platicaremos aqui.Algunos ejemplos simples de variedades son los siguientes.Exemplo 4. La variedad (R n , A = {(R n , id| R n , R n )}). Como ψ = id| R n sesigue que x i = r i ◦ id| R n = r i entoncesn∑∣v x = a i ∂ ∣∣∣x n∑∂r i = a i ∂∂r i .i=1En tal caso T x R n iso∼= R n , donde el isomorfismo esta dado por la función iso definidan∑como iso : T x R n → R n , a i ∂∂r→ ( a 1 , · · · , a n)ii=1i=1Exemplo 5. El espacio tangente de S n es{}n+1∑T x S n = v x ∈ R n+1 | x · v x = x i vx i = 0La demostración detallada de esto la veremos más adelante.i=14. Uno formasx ∈ S n ⊂ R n−1 .En todo espacio vectorial se pueden definir transformaciones lineales que formana la vez un espacio vectorial de la misma dimensión, llamado el espacio dual (vercapítulo 3). Entoces podemos formar el conjunto de transformaciones lineales enel espacio tangente a una variedad y formar el espacio dual. A este espacio se lellama espacio contangente y a sus elementos, las transformaciones lineales, se lesllama formas. Vamos a ver todo esto formalmente.Sean M m y N n variedades y F ∈ C ∞ (M m , N n ) con x ∈ M m .