VARIEDADES DIFERENCIALES

22 1. VARIEDADES DIFERENCIALEStal que dϕ(X)(g)(y) = dϕ(X) y (g) con ϕ(x) = y ∈ N n , x ∈ M m . Si ϕ es undifeomorfismo entre M m dif∼= N n , entoncesdϕ x (X x )(g) = X x (g ◦ ϕ) = dϕ ϕ −1 (y)(Xϕ −1 (y))(g)entonces se tiene la identidad= X ϕ −1 (y) (g ◦ ϕ)= X (ϕ ∗ (g)) ( ϕ −1 (y) )= X (ϕ ∗ (g)) ◦ ϕ −1 (y),dϕ(X)(g) = X (ϕ ∗ (g)) ◦ ϕ −1Para terminar este capítulo vamos a introducir una transformación lineal equivalentea la diferencial, pero ahora en los espacios contangente a una variedad. Lamanipulación y sus propiedades son muy parecidas a las de la diferencial.Definición 24. Sean M m y N n variedades y F : M m → N n suave. Seax ∈ M m y y = F(x) ∈ N n . Con F podemos inducir la funciónF ∗ y : T ∗ y N n → T ∗ xM m ,w y → F ∗ y (w y) : T x M m → R,X x → F ∗ y (w y)(X x ) := w y (dF | x (X x ))y notemos que w y (dF | x (X x )) = w y ◦ dF | x (X x ) = w y ◦ F x∗ (X x ), es decir, se tienela identidad F ∗ y (w y) = w y ◦ F x∗ .es:A esta función también se le conoce con el nombre de pull-back, su definiciónDefinición 25. A F ∗ y (w y ) se le denomina la imagen reciproca o “pullback”de la 1 forma w y por F.El Pull-back es una tranformación lineal entre los espacios contangentes.Proposición 10. F x y es una transformación lineal.Ejercicio 12. Demostrar la proposición.A esta transformación lineal a veces también se le llama la diferencial del espaciocotangente, ya que tiene propiedades de una diferencial, por ejemplo cumple la reglade la cadena, veamos.Proposición 11. (G ◦ F) ∗ G◦F(x) = F ∗ F(x) ◦ G∗ G◦F(x)Dem. 7. Sea M m , N n y S s variedades, F ∈ C ∞ (M m , N n ), G ∈ C ∞ (N n , S s ),x ∈ M m , w F(x) ∈ T ∗ F(x) Nn , v G◦F(x) ∈ T ∗ G◦F(x) Ss . Entonces se tiene si w F(x) =