VARIEDADES DIFERENCIALES

16 1. VARIEDADES DIFERENCIALESComentario 5. Tomemos f = x i ∈ C ∞ (U, R), dx i∣ ∣x: T x M n → R tal que⎛ ⎞v x → dx i∣ (∣x(v x ) = v x xi ) ∣ n∑= ⎝ a j ∂ ∣∣∣x⎠ (∂x j x i) = a i .En particular tomemos v x = ∂∂x j ∣∣x , entoncesj=1dx i∣ ∣x( ∂∂x j ∣ ∣∣∣x)= ∂∂x j ∣ ∣∣∣x (xi ) = δ i j,se sigue que { dx i∣ ∣x}i=1,··· ,n es una base del espacio T ∗ xM n llamada la base coordenadadual o base de las 1-formas.De una forma natural podemos definir campos vectoriales o campos de formas,simplemente definiendo los espacios vectoriales para cada punto de la variedad.Vamos a definir entoces los campos vectoriales y de formas.Definición 18. Sea M n variedad y { ∂∂x i ∣∣x}base de Tx M n . Un campo vectorial,es una asignación suave de vectores para cada punto x ∈ M n .Notación 8. Se denota v (f) : M n → R, suave, tal que v (f)(x) := v x (f). Se∑tiene que v = n a i ∂∂x, tal queir−1v (f)(x) =n∑a i (x)i=1∂∂x i ∣ ∣∣∣x(f),donde a i : M n → R son funciones suaves para toda i = 1, · · · , n.Notación 9. Al conjunto de campos vectoriales en M n se denota por TM n .Comentario 6. Observen que v : C ∞ (M n , R) → C ∞ (M n , R).Definición 19. Sea M n variedad y { dx i∣ ∣x}i=1,··· ,n base de T ∗ x Mn . Una 1-forma en M n es una transformación lineal para cada T x M n con x ∈ M n . Sedenotadf(v) :suave, tal que df(v)(x) = df x (v x ).M n → Rdf(v) = v(f)Notación 10. Al conjunto de las 1-formas en M n se denota por ∧n . Tenemosquen∑df = b j dx jj=1tal quedf(v)(x) = df x (v x ) =con b j : M n → R funciones suaves.n∑b j (x) dx j∣ ∣x(v x ),j=1