VARIEDADES DIFERENCIALES

18 1. VARIEDADES DIFERENCIALESu 2 + v 2∣ ∣σ+(x) = x2 + y 2Análogamente∂∂x 2 +(1 − z) 2 y 1 − u 2 + v 2∣ ∣ = (1 − z)2 − x 2 + y 2σ+(x)(1 − z) 2= −xy ∂∂x + ( 1 − z − y 2) ∂∂y + y(1 − z) ∂ ∂zComo era de esperarse, los vectores base del espacio tangente de S 2 son perpendicularesal radio vector, es decir:(x, y, z) · (1− z − x 2 , −xy, x(1 − z) ) = 0 = r⇀·(x, y, z) · (−xy,1 − z − y 2 , y (1 − z) ) = 0 = r⇀·Es decir, los vectores tangente, son realmente tangentes a la esfera en cada punto,pues son perpendiculares al radio vector r . Entonces el espacio tangente en el{ ⇀→y}punto x a una pelota es T x⇀ S 2 = ∈ R 3 | → y · x = 0⇀{∂ ∂Ejercicio 8. Calcular , . Demostrar que∂x 1 − ∂x 2 −∂∂x 1 ±∂∂x 1 +∂∂x 2 +}∂, son li.∂x 2 ±Exemplo 8. Los〈duales al〉espacio tangente, el espacio contangente, se encuentranusando la regla dx i ∂,∂xj= δj i , se obtienedx 1 + = dx1 − z + xdz(1 − z) 2 , dx2 + = dy1 − z + ydz(1 − z) 2Estos dos vectores (transformaciones lineales) del espacio contangente son dos unoformasdefinidas en la carta sin polo norte.Ejercicio 9. Calcular dx 1 − , dx2 − . Demostrar que { dx 1 ± , dx2 ±}son li.Exemplo 9. Vamos a encontrar los vectores base de T x S 2 cambiando las coordenadasa coorenadas esfericas, definidas por(4.1)xyx= r sin(θ)cos(ϕ)= r sin(θ)sin(ϕ)= r cos(θ)Cláramente, para r constante, las coordenadas cumplen que x 2 + y 2 + z 2 = r 2 , osea, ya estan restringidas a la esfera. Con esta coordenadas se puede ver que losvectores tangente∂∂x = − y ∂x 2 + y 2 ∂ϕ∂ x ∂=∂y x 2 + y 2 ∂ϕ∂ 1 ∂= −√ ∂z x2 + y 2 ∂θ