VARIEDADES DIFERENCIALES

6 1. VARIEDADES DIFERENCIALESdonde el homeomorfismo σ − esta definido como:σ − (x, y, z) = 1 (x, y)1 + zcuya inversa esta dada por:σ −1− (x, y) = 11 + x 2 + y 2 (2x, 2y, −x 2 − y 2 + 1 )Entonces U 1 ∪ U 2 = S 2 y σ + y σ − son homeomorfismos. A σ + se le llama laproyección estereográfica desde el norte y a σ − desde el sur.Exemplo 3 (Esferas). Vamos ahora a generalizar el ejemplo anterior a cualquierdimensión, y formemos la variedad de las esferas. La esfera con su topologíaheredada de R n , es el espacio topológico (S n , τ S n). La n-esfera es una variedadn-dimesional, real que al menos tiene dos cartas. Estas son:c 1 = (U 1 , σ + , V 1 ) con U 1 = S n \ {(0, · · · , 0, 1)},donde el homeomorfismo σ + esta definido como:V 1 = R nσ +(x 1 , · · · , x n+1) =cuya inversa esta dada por:11 − x n+1 (x 1 , · · · , x n)σ+−1 (x 1 , · · · , x n) 1()=2x 1 , · · · , 2x n , x 12 + · · · + x n2 − 11 + x 12 + · · · + x n2Hay que comparar estos homeomorfismos con los de la compactificación de R nen el ejemplo ??. Analogamente, la segunda carta, ahora sin el polo sur, esta dadapor:c 2 = (U 2 , σ − , V 2 ) con U 2 = S n \ {(0, · · · , 0, −1)},donde el homeomorfismo σ − esta definido como:V 2 = R nσ −(x 1 , · · · , x n+1) =cuya inversa esta dada por:11 + x n+1 (x 1 , · · · , x n)σ−−1 (x 1 , · · · , x n) 1()=2x 1 , · · · , 2x n , −x 12 − · · · − x n2 + 11 + x 12 + · · · + x n2Entonces U 1 ∪ U 2 = S n y σ + y σ − son homeomorfismos. Igual que en el casode las pelotas, a σ + se le llama la proyección estereográfica desde el norte y aσ − desde el sur.En lo que sigue, vamos a trasladar el concepto de diferencial a la variedadutilizando los homeomofismos de ésta en R n . Como sabemos como diferenciar enR n , podemos definir diferenciales en la variedad. Cuando esto se puede, se dice quela variedad es suave. Recordemos la definición de suave en R n .Definición 3. Sean U y V abiertos de R n y R m respectivamente y f : U → V .Se dice que f es suave si r i ◦ f : U → R tiene derivadas de todos los órdenes.