VARIEDADES DIFERENCIALES

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14 1. <strong>VARIEDADES</strong> <strong>DIFERENCIALES</strong>Figure 7. La diferencial dF de una función F. La diferencial deF es un mapeo entre los espacios tangente de la variedad en x yde la variedad imagen en F(x).Figure 8. Figura que representa la construcción de la diferencialde F. Aquí se representan las variedades y mapeos que tomanparte en la explicación de la definición.Sólo falta demostrar que efectivamente la diferencial dF x es una transformaciónlineal. Esta demostración la dejaremos como ejercicio.Ejercicio 7. Demostrar que dF x es lineal.Para poder decir que la diferencial dF x es realmente una diferencial, sería deesperarse que se cumpliera la regla de la cadena. Este es el caso, vamos a demostrarla siguiente proposición.Proposición 5 (La regla de la cadena). d (G ◦ F) x= dG F(x) ◦ dF x
4. UNO FORMAS 15Dem. 3. Sea M m , N n y S s variedades y F ∈ C ∞ (M m , N n ) y G ∈ C ∞ (N n , S s ).Sea x ∈ M m y v x ∈ T x M m , entoncesd (G ◦ F) x(v x ) = v x ◦ (G ◦ F) ∗ = v x (F ∗ ◦ G ∗ )= (v x ◦ F ∗ ) ◦ G ∗ = dG F(x) (v x ◦ F ∗ )= dG F(x) (dF x (v x )) = dG F(x) ◦ dF x (v x )Un ejemplo simple es la diferencial de la indentidad.Exemplo 6. d id| M n = id| TxM nya qued id| M n : T x M m → T x M mv x → d id| M n (v x ) : C ∞ (M m , R) → Rg(∗= v x id|M (g)) = v n x (g ◦ id| M n) = v x (g) es decir→ d id| M n (v x )(g)d id| M n (v x ) = v xUn caso especial de diferencial muy importante es cuando la diferencial es unafunción inyectiva, entonces se dice que la diferencial es una inmersión: esto es:Definición 16. Una inmersión de M m en N n , es una función suave F :M m → N n con diferencial dF x inyectiva.Ahora vamos a definir las formas formalmente. Las formas son diferencialesde una función que va de la variedad a los reales. Como los reales también sonuna variedad, podemos usar la definición de la diferencial en estas funciones. Ladiferencia es que vamos a identificar al espacio tangente de los reales con los realesmismos. De hecho son el mismo espacio. Veamos esto formalmente.conDefinición 17. Sea M n variedad, f ∈ C ∞ (M n , R) y x ∈ M n . Entoncesdf x : T x M n → T f(x) R,v x → df x (v x ) = λ d dr ∈ T f(x)R, λ ∈ Rdf x (v x )(r) = λ d dr (r) = λ = v x (f ∗ (r)) = v x (r ◦ f) = v x (f)(recuerden que r : R → R tal que r (x) = x). Esto esdf x (v x ) = v x (f) d dr ∈ T f(x)R.Consideremos el isomorfismo J : T f(x) R → R, λ d dr → J ( λ d dr)= λ, entoncesla composición J ◦ df x : T x M n → R, v x → J (df (v x )) = J ( v x (f) d dr)= vx (f) esun homomorfismo de espacios lineales y J ◦ df x es un elemento del espacio dual deT ∗ x Mn que llamaremos el espacio cotangente de la variedad en x. A los elementosde este espacio, que denotamos como T ∗ x Mn , se llaman 1-formas en x y se denotancomo w x ∈ T ∗ xM n . Identificamos entonces T f(x) R con R (a través del isomorfismoJ), por lo que podemos escribirdf x : T x M n → R,v x → df x (v x ) = v x (f).
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