VARIEDADES DIFERENCIALES

8 1. VARIEDADES DIFERENCIALESSi tomamos todo el conjunto de atlas sobre M n , la relación A ∼ A ′ con Aes equivalente a A ′ , es una relación de equivalencia, la cual separa el conjunto decartas equivalentes en clases de equivalencia. Si solo usamos los representantes delas clases, lo que se tiene es una estructura direrenciable.Definición 8. [A], el conjunto de clases de atlas sobre M n se llama unaestructura diferenciable sobre M nIntiutivamente, una variedad suave es aquella que tiene una forma suave, esdecir, sin aristas o puntas como las del cuadrado o el cubo, sino es suave como elcírculo o la esfera.Ejercicio 1. Sean (M n , A) y (N n , B) variedades diferenciables. Demuestreque (M n × N n , A × B) es variedad diferenciable.Ejercicio 2. Sea (S n , A), A = {c 1 , c 2 } del ejercicio 3 de esferas. Demuestreque (S n , A) es variedad diferenciable.2. Funciones suavesEl siguiente paso es definir la diferencial en una variedad diferenciable. Parahacer esto, lo que se acostumbra es transladar a R n por medio de los homeomorfismos,la diferenciabilidad de una función. Vamos a iniciar con la definición dediferencial de una función.Definición 9. Sea f : M n → R una función en una variedad (M n , A). f essuave o diferenciable si f ◦ ψα −1 : ψ α (U α ) → R es suave para toda carta de A,ver figura 4.Es decir, una función f que va de la variedad a los reales es suave, si su funcióncorrespondiente, la que va de R n a los reales, es suave. Para analizar la función fentonces, es necesario estudiar su función f ◦ ψα−1 correspondiente.Notación 1. Se denota al conjunto de funciones suaves por C ∞ (M n , R)ó al conjunto de funciones suaves en la vecindad de x por C ∞ (M n , x, R)Comentario 3. Observe quea) (C ∞ (M n , R),+, ·, R, ·) es un álgebra conmutativa con unidad.b) (C ∞ (M n , R),+, ·) es anilloc) (R, C ∞ (M n , R),+, ·) es espacio vectorial.Definición 10. Si f es suave en todo punto x ∈ W ⊂ M n , se dice que f esuna función suave en W.Proposición 1. f suave implica f continua.Dem. 1. Sin dem. En base a la definición de una función podemos definir la diferencial de unafunción vectorial. Primero introduciremos la definición formal y luego explicaremoscon cuidado el significado de esta.Definición 11. Sean M m y N n variedades y F : M m → N n función. F essuave si para toda f ∈ C ∞ (N n , R) F ∗ : C ∞ (N n , R) → C ∞ (M m , R) F ∗ (f) =f ◦ F es suave.Para simplificar la notación es conveniente definir el full-back de una función.