VARIEDADES DIFERENCIALES

4 1. VARIEDADES DIFERENCIALESFigure 1. Una variedad real de dimensión n es un espaciotopológico de Hausdorff localmente homeomorfo a R n .(ψ−1· α , V α)se le llama parametrización de Uα· V α = ψ α (U α ) se le llama imagen de la carta c α· r i : R n → R, ( λ 1 , · · · , λ n) → r ( i λ 1 , · · · , λ n) = λ i se llama la i-esimafunción coordenada sobre R n· x i α := r i ◦ ψ α es la i-esima función coordenada del sistema de coordenadas· Sean c α y c β dos cartas c α = (U α , ψ α , V α ) y c β = (U ρ , ψ β , V β ). A las funcionesψ αβ := ψ β ◦ ψα−1 : ψ α (U α ∩ U β ) → ψ β (U α ∩ U β ) y se les llama funciones detransición, donde ψ αβ es un homeomorfismo, ver figura 2.Comentario 1. Las funciones ( x 1 α, · · · , x n α): Uα → R np → ( x 1 α, · · · , x n α)(p)se pueden representar como ψ α = ( x 1 α , · · · , )xn αComentario 2. Todos los conceptos de la definición 2 dependen de los abiertosdel espacio topológico. Se dice entonces que son conceptos locales.Es decir, cuando hablemos de algún concepto local, significa que este conceptovale en los abiertos del espacio. Veamos algunos ejemplos de variedades.