aspectos metodológicos en el aprendizaje de la lógica matemática ...

ASPECTOS METODOLÓGICOS EN EL APRENDIZAJE DE LA LÓGICAMATEMÁTICA EN SECUNDARIAcomprendeNocionesMetodología a través de JuegosdeLógicaSopa deproposicionescomoCartas lógicastratandoProposicionesConectoreslógicosFórmulas lógicasdeterminando susClasesquepuedenserVariablesdesarrollandosusTablas de verdadpara determinarSimplesCompuestasTautologías Contradicciones Contingenciaspara docentess2 fasc6 docen.indd 35/31/07 8:02:22 PM

Serie 2 / DIDÁCTICADE LA MATEMÁTICAASPECTOS METODOLÓGICOSEN EL APRENDIZAJEDE LA LÓGICA MATEMÁTICAEN SECUNDARIAMotivaciónEn el desarrollo de la Inteligencia Artificial, las aplicaciones de laLógica Difusa (rama moderna de la Lógica, aunque hay quienesplantean que ya Aristóteles manejaba este concepto debido a susreflexiones en relación a los grados de verdad) cada vez toma másimportancia y sus aplicaciones día a día se hacen cada vez másextensivas en los diferentes campos relacionados a los procesosde control de robots móviles.La Lógica Difusa se ha transformado en una de las herramientasmás valiosas para el desarrollo de procesos de control relacionadoscon la Inteligencia Artificial, debido en gran parte a la capacidadque posee de tratar la incertidumbre existente en un determinadocontexto.www.smallartworks.caLOGROS DE APRENDIZAJEInterioriza los fundamentos y fines del procesode aprendizaje de la Lógica Proposicional,mediante el análisis y discusión del porquéde su aprendizaje mostrando tolerancia yapertura.Identifica los procesos del aprendizaje y losmétodos de enseñanza de las Tablas de Verdada través de la lectura, análisis e interpretaciónde la información proporcionada, mostrandoconfianza en sus capacidades.Investiga y propone actividades que permitana sus estudiantes comprender, interpretary aplicar los conceptos, definiciones ypropiedades de la Lógica Proposicionala través del análisis de las actividadesy materiales presentados, manifestandocreatividad y confianza en sus habilidades.RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOSLee atentamente las preguntas y responde en una hoja aparte.¿Por qué es importante que nuestro lenguaje cotidiano estédesarrollado bajo una estructura lógica adecuada?¿Cuáles de las siguientes frases pueden ser verdaderas ofalsas?- ¡Hola!- Mi nombre es María.- ¿Cuánto cuesta?- 2x + 6 = 14- ¡Rápido!¿Cuáles son las operaciones con dos conjuntos? Explica cadauna de ellas.¿Conoces algún juego que desarrolle el pensamiento lógicoen las personas? ¿Cuál?4s2 fasc6 docen.indd 45/31/07 8:02:23 PM

Fascículo 6 / ASPECTOSMETODOLÓGICOS ENEL APRENDIZAJE DE LALÓGICA MATEMÁTICAEN SECUNDARIA1. NOCIONES deLÓGICA yMETODOLOGÍALa comunicación es la base del desarrollo del ser humano, que es un sersocial por excelencia. Al comunicarse con sus semejantes lo hace a través deun lenguaje determinado (oral, escrito, corporal, etc.). Lo importante es quea partir de un enunciado y de acuerdo con su significado se puede determinaruna proposición y a partir de un conjunto de proposiciones podemos construiruna inferencia. La Lógica es la ciencia que nos brinda las herramientas pararealizar esta labor.Dado que esta unidad de aprendizaje no guarda relación con ninguno de lostemas desarrollados previamente en el curso de Matemática, los conceptosprevios que se deban rescatar no son muy amplios.La comunicación es la base deldesarrollo humano.Sería recomendable introducir el tema mediante la pregunta: “¿Qué entiendespor enunciado?” y anotar las respuestas en la pizarra. Lo importante en estemomento es que no se debe juzgar las respuestas dadas por los estudiantes.Todas sin excepción deben ser escritas en la pizarra, pues esto hará que losestudiantes se sientan reconocidos y valorados, lo cual generará una buenadisposición para el aprendizaje en ellos y les quitará el miedo de hablar. Esprobable que con un buen direccionamiento de las intervenciones se puedacomenzar a construir una noción previa a la definición.Es muy favorable para el interés y la motivación de los estudiantes quelos ejemplos que se planteen en clase estén contextualizados en relacióna contenidos básicos de diferentes materias (obviamente hablamos decontenidos que los estudiantes deberían manejar en relación al año lectivo queestén cursando), así se genera una discusión favorable entre los estudiantes ya la vez se refuerzan contenidos de otras áreas. Por otro lado, el trabajo convalores en clase es fundamental; es importante, por eso, plantear ejemplos enlos que los estudiantes puedan discutir sus puntos de vista acerca de algunasituación que involucre valores sociales y éticos. Estas discusiones siempredeben estar dirigidas por el docente y encaminadas a desarrollar valores enlos estudiantes.Es importante presentar a losestudiantes temas que despierteninterés.5s2 fasc6 docen.indd 55/31/07 8:02:26 PM

Serie 2 / DIDÁCTICADE LA MATEMÁTICA1.1 ProposicionesPara definir las proposiciones se puede empezar presentando a los estudiantesuna serie de enunciados, como por ejemplo:• Júpiter es el quinto planeta del Sistema Solar.• Montevideo es la capital de Paraguay.• Lima se fundó el 18 de enero de 1514.• La raíz cúbica de 4 913 es 17.• José es sobrino de Enrique.• Manuel es el más alto de su salón.• (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3Luego se les dice que todos esos enunciados son proposiciones y que debenanalizar qué características comunes tienen todos ellos. A partir de las ideasque den los estudiantes se les pedirá que intenten definir una proposición yla escriban en sus cuadernos. Luego se pide a algunos estudiantes que leanlo que han escrito y se analiza si se puede completar y mejorar. Finalmente,se uniformiza la información de la siguiente manera:Los estudiantes deben ser losprotagonistas del aprendizaje.“Se denomina así a todos los enunciados declarativos que se caracterizanpor tener un único valor de verdad (sea este verdadero o falso) de carácteruniversal, es decir, o son verdaderos o son falsos, lo cual implica que en laevaluación de su valor de verdad no genera ningún tipo de ambigüedad”.Es importante tener en cuenta que en la comprensión del concepto deproposición los estudiantes suelen cometer básicamente dos tipos de erroresde interpretación:I. Pensar que sólo son proposiciones aquellos enunciados que sonverdaderos.II. Pensar que sólo son proposiciones aquellos enunciados a los cualesles pueden determinar el valor de verdad; es decir, que si no puedendeterminar el valor de verdad de un determinado enunciado, entonceséste no es una proposición.Para el primer caso hay que dejar muy en claro que el valor de verdad deun determinado enunciado no es relevante para categorizarlo como unaproposición, ya que existen proposiciones verdaderas y proposiciones falsas(el primer ejemplo es una proposición verdadera mientras que el segundoejemplo es una proposición falsa).6Para el segundo caso hay que aclarar que no importa si no se tiene elconocimiento necesario para poder determinar el valor de verdad de unenunciado, lo importante es que este valor de verdad (no conocido) sea únicoy de carácter universal, para así poder determinar si el enunciado es o no esuna proposición.s2 fasc6 docen.indd 65/31/07 8:02:29 PM

Serie 2 / DIDÁCTICADE LA MATEMÁTICA• Primero debe aclararse la diferencia entre Identidad, Ecuación yDesigualdad.• Luego debe aclararse la diferencia entre Constante y Variable.• Finalmente, se debe explicar que las letras que forman parte de unaidentidad se denominan constantes, mientras que las letras que formanparte de una ecuación se denominan variables.Conectores lógicosLos conectores lógicospermiten dotar decoherencia, ilación ycorrespondencia a losenunciados. Mas nosolamente en la Lógica.Tanto en la vida diariacomo en nuestra labordocente, nos encontramos enconstante comunicación oraly escrita. Es necesario, paraexpresarnos con propiedad,y lograr que nuestras ideassean captadas a cabalidadpor nuestros estudiantes,emplear de maneracorrecta y constante dichosconectores lógicos.Ahora, analicemos las expresiones algebraicas presentadas anteriormentecomo ejemplos de proposiciones y no proposiciones:• (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 . Esta expresión es una identidad, debidoa que se cumple para cualquier valor de las constantes a, b (su valor deverdad siempre es verdadero), por lo tanto, es una proposición.• x 3 + 5xy - 3y 2 + 4y 3 = 7. Esta expresión es una ecuación, debido a quesólo se cumple para ciertos valores de sus variables x, y (su valor de verdaddependerá de los valores de verdad admisibles que tomen las variables x ey); es decir, para ciertos valores de x e y será verdadera mientras que paraotros valores de x e y será falsa, por lo tanto, no tiene un valor de verdadúnico, entonces, no es una proposición.1.2 Conectores LógicosDe la misma forma en que se inició el estudio de las proposiciones, se puedepresentar los conectores lógicos. Se presenta a los estudiantes las siguientesproposiciones:• O soy sincero o soy mentiroso.• Iré a la fiesta, si y sólo si, termino con mis deberes escolares.• Es bueno respetar y querer a nuestros semejantes.• Si me esfuerzo en mis estudios, entonces tendré más oportunidad detriunfar en la vida.• Algunas personas son extrovertidas o introvertidas.• Fumar no es bueno para la salud.Se les pide que lean atentamente cada una de ellas y se les dice que lasletras resaltadas son conectores lógicos. Luego se les pide que escriban ensus cuadernos lo que podría ser un conector lógico. Voluntariamente losestudiantes irán leyendo sus definiciones, siempre reforzando positivamentesu participación, y pidiendo a sus compañeros respeto y tolerancia ante lasdiversas ideas presentadas.Finalizada la intervención de los estudiantes, y luego de una pequeñadiscusión sobre las ideas aportadas, se formaliza el concepto de conectoreslógicos de la siguiente manera:8“Se denomina así a todas aquellas palabras o frases (tales como: no, no esverdad que, además, pero, si, sin embargo, por lo tanto, si y sólo si, entres2 fasc6 docen.indd 85/31/07 8:02:36 PM

otras) mediante las cuales se pueden crear nuevas proposiciones a partir deproposiciones ya existentes”.Fascículo 6 / ASPECTOSMETODOLÓGICOS ENEL APRENDIZAJE DE LALÓGICA MATEMÁTICAEN SECUNDARIALos conectores lógicos son seis: Negación, Conjunción, DisyunciónInclusiva, Disyunción Exclusiva, Condicional y Bicondicional.Luego se debe hacer ver a los estudiantes que si bien desde el punto de vistaconceptual cada conector tiene un nombre, es muy importante reconocer aqué palabra o frase están asociados, cuál es la estructura formal en la quese presentan y cuál es el símbolo que los representa. Esta relación entre elconector, frase, estructura y símbolo se presenta en la siguiente tabla.CONECTIVO PALABRA / FRASE ESTRUCTURA SÍMBOLONegación No, No es cierto No Proposición ~Conjunción y , además, peroProposición 1 yProposición 2^Disyunción Inclusiva oProposición 1 oProposición 2vDisyunción Exclusiva o oo Proposición 1 oProposición 2∆Condicional Si entonces, luegoSi Proposición 1entonces Proposición 2Bicondicional Si y sólo siProposición 1 si y sólosi Proposición 2Por otro lado, es recomendable explicar cada uno de los ejemplos presentadoshaciendo que los estudiantes identifiquen qué conector se ha utilizado y cuálesfueron las proposiciones que se tomaron como base para crear cada una deestas proposiciones compuestas, para luego pasar a definir más claramentecada uno de estos conectores lógicos. Veamos:I. En el primer ejemplo, el conector lógico que se utilizó fue la DisyunciónExclusiva y las proposiciones que se tomaron como base fueron: Soysincero y Soy mentiroso.II. En el segundo ejemplo, el conector lógico que se utilizó fue elBicondicional y las proposiciones que se tomaron como base fueron:Iré a la fiesta y Termino mis deberes escolares.III. En el tercer ejemplo, el conector lógico que se utilizó fue la Conjuncióny las proposiciones que se tomaron como base fueron: Es bueno respetara nuestros semejantes y Es bueno querer a nuestros semejantes. Eneste momento se debe mencionar que el análisis de una proposición conconectores requiere de una correcta comprensión e interpretación.IV. En el cuarto ejemplo, el conector lógico que se utilizó fue el Condicionaly las proposiciones que se tomaron como base fueron: Me esfuerzo enmis estudios y Tendré más oportunidad de triunfar.V. En el quinto ejemplo, el conector lógico que se utilizó fue la DisyunciónInclusiva y las proposiciones que se tomaron como base fueron: Algunaspersonas son extrovertidas y Algunas personas son introvertidas.Proposición Simple:enunciado declarativo delcual se puede afirmar que esverdadero o que es falso, perono ambos a la vez.Proposición Compuesta: lasproposiciones compuestasson aquellas que se formanpor unión de proposicionessimples mediante losconectores lógicos.9Zs2 fasc6 docen.indd 96/1/07 12:50:56 PM

Serie 2 / DIDÁCTICADE LA MATEMÁTICAVI. En el último ejemplo, el conector lógico que se utilizó fue la Negacióny la proposición que se tomó como base fue Fumar es bueno para lasalud. Este es el momento indicado para enfatizar que la negación esel único conector con el que se pueden generar nuevas proposicionesa partir de una sola proposición, los demás conectores requierennecesariamente de dos proposiciones.Luego de estas explicaciones, se les pide a los alumnos que formulenejemplos de proposiciones y utilicen algunos de los conectores lógicos yque expliquen sus ejemplos mencionando cuáles son los conectores queutilizaron y cuáles fueron las proposiciones que tomaron como base.A continuación, detallaremos cada uno de los conectores lógicos:La NegaciónEl símbolo “∼” también selee:“no es cierto que”“es falso que”“no es posible que”La conjunciónEs una proposición compuestabásica que resulta derelacionar dos proposicionessimples mediante el conectorlógico “y”, que se simbolizapor “ ∧”.Una conjunción es verdaderaúnicamente si las dos proposicionesque la componen sonverdaderas; en los otros casoses falsa.• La Negación. (~ p )Recordando que la fórmula lógica más sencilla es aquella que niega a unaproposición simple, la fórmula lógica más simple que representa la estructurade una negación es “~ p”.• La Conjunción. (p q)Antes de presentar la Tabla de Verdad de la Conjunción sería de muchautilidad analizar una situación real en la que se utilice este conector lógicocomo parte del proceso de comunicación entre las personas.“Santiago le cuenta a sus amigos que por su cumpleaños sus padres leregalaron una bicicleta amarilla y negra”.¿Qué quiso decir Santiago cuando mencionó que la bicicleta era amarillay negra? Creo que estaríamos de acuerdo con que quiso enfatizar que labicicleta era de dos colores.Los amigos de Santiago no saben si Santiago dijo la verdad o si mintió, sólolo podrán determinar cuando puedan ver la bicicleta.Cuando vean la bicicleta pueden darse cuatro posibilidades:I. La bicicleta sí es de color amarillo y también es de color negro, por lotanto, la afirmación de Santiago fue verdadera.II. La bicicleta sí es de color amarillo, pero no es de color negro, por lotanto, la afirmación de Santiago fue falsa.III. La bicicleta no es de color amarillo, pero sí es de color negro, por lotanto, la afirmación de Santiago fue falsa.IV. La bicicleta no es de color amarillo y tampoco es de color negro, por lotanto, la afirmación de Santiago fue falsa.¿Qué conclusiones se puede sacar de esta situación?Es de suma utilidad realizar este tipo de reflexiones con nuestros alumnos,dado que el análisis de situaciones como ésta fomenta el interés y refuerzala motivación en torno al tema que se está desarrollando. Esto porque nose le aborda directamente de una manera básicamente conceptual en la quese bombardea a los alumnos con una serie de conceptos, definiciones ypropiedades o procesos, sino, más bien, permite que vayan construyendo10s2 fasc6 docen.indd 105/31/07 8:02:37 PM

su propio conocimiento de una forma muy significativa. Obviamente, esteconocimiento será formalizado posteriormente por nosotros.Además, el desarrollo de este tipo de estrategias colabora de manera muysignificativa en el proceso de desarrollo de habilidades relacionadas a lascapacidades de resolución de problemas; y a la capacidad de pensamientocrítico.Fascículo 6 / ASPECTOSMETODOLÓGICOS ENEL APRENDIZAJE DE LALÓGICA MATEMÁTICAEN SECUNDARIA• La Disyunción Inclusiva ( p v q )Al igual que en la Conjunción, antes de presentar la Tabla de Verdad de laDisyunción Inclusiva sería de mucha utilidad analizar una situación real en laque se utilice este conector lógico como parte del proceso de comunicaciónentre las personas. Esto permitirá desarrollar un mayor nivel de comprensióndel porqué de la estructura y comportamiento lógico de este conector.Marco Antonio le pregunta a su esposa Andrea:- ¿A dónde quieres ir a almorzar, amor?- Al restaurante “Sabor peruano”.- ¿Qué vas a pedir?- Arroz con pollo o ají de gallina.¿Qué quiso decir Andrea cuando contestó que iba a pedir “Arroz con polloo ají de gallina”?Dado que su respuesta la estructuró a partir de una disyunción inclusiva,esto significa que pedirá alguno de los dos platos. Como la Disyunciónque utilizó fue Inclusiva (se denomina disyunción inclusiva debido a queincluye la posibilidad que se cumplan las dos afirmaciones a la vez), existela posibilidad de que pida los dos platos.Cuando llegan al mencionado restaurante y le toman el pedido a Andreapueden darse cuatro posibilidades:I. Que pida arroz con pollo y también pida ají de gallina, con lo que larespuesta a la pregunta de su esposo fue verdadera.II. Que sí pida arroz con pollo pero no pida ají de gallina, con lo que larespuesta a la pregunta de su esposo fue verdadera.III. Que no pida arroz con pollo pero sí pida ají de gallina, con lo que larespuesta a la pregunta de su esposo fue verdadera.IV. Que no pida arroz con pollo y tampoco pida ají de gallina, con lo que larespuesta a la pregunta de su esposo fue falsa.¿Qué conclusiones se puede sacar de esta situación?• La Disyunción Exclusiva ( p ∆ q )Al igual que en la Conjunción y la Disyunción Inclusiva, antes de presentar laTabla de Verdad de la Disyunción Exclusiva sería de mucha utilidad analizaruna situación real en la que se utilice este conector lógico como parte delproceso de comunicación entre las personas. Esto permitirá ampliar el nivel dediferenciación de este conector y la disyunción inclusiva, así como desarrollarun mayor nivel de comprensión del porqué de la estructura y comportamientológico de este conector.Disyunción exclusivap q p ⁄ qV V VV F VF V VF F FLa disyunción exclusivaTambién es importantedestacar la existencia de otrotipo de disyunción llamadala disyunción exclusiva, laque podemos relacionar conla diferencia simétrica deconjuntos.p ∆ q11s2 fasc6 docen.indd 115/31/07 8:02:37 PM

Serie 2 / DIDÁCTICADE LA MATEMÁTICAObservemos un ejemplo:Rosa María entra feliz a su oficina y le dice a sus amigos: “¡Chicos, adivinenqué noticias les traigo!”. Carolina, su mejor amiga, le contesta: “Por lo felizque estás, o te aceptaron el proyecto o te ascendieron”.¿Qué quiso decir Carolina cuando le contestó a Rosa María: “O te aceptaronel proyecto o te ascendieron”?Dado que Carolina estructuró su respuesta a partir de una disyunciónexclusiva, esto significa que cree que a Rosa María le sucedió una de lasdos cosas. Como la Disyunción que utilizó fue Exclusiva (se denominadisyunción exclusiva debido a que excluye la posibilidad de que se cumplanlas dos afirmaciones a la vez), no considera la posibilidad de que a RosaMaría le haya sucedido las dos cosas al mismo tiempo.12El CondicionalEn nuestra labor docente, el usodel Condicional es constante.Citemos algunos ejemplos:– Si estudian, entonces podránaprobar el examen confacilidad.– Si hacen travesuras,entonces no saldrán alrecreo.– Si realizan la tarea, entoncesobtendrán dos puntos extras.Como podemos apreciar, elempleo del Condicional esfrecuente en nuestro quehacerdiario, por ello, debemosprocurar emplearlo conpropiedad.Cuando llega la hora del almuerzo y Rosa María puede terminar de contarlesa sus amigas lo que hizo, pueden darse cuatro posibilidades en relación a larespuesta que dio Carolina:I. Que a Rosa María le hayan aceptado el proyecto y que también la hayanascendido, con lo cual la respuesta que dio Carolina sería falsa.II. Que a Rosa María sí le hayan aceptado el proyecto, pero no la hayanascendido, con lo cual la respuesta que dio Carolina sería verdadera.III. Que a Rosa María no le hayan aceptado el proyecto, pero sí la hayanascendido, con lo cual la respuesta que dio Carolina sería verdadera.IV. Que a Rosa María no le hayan aceptado el proyecto y que tampoco lahayan ascendido, con lo cual la respuesta que dio Carolina sería falsa.¿Qué conclusiones se puede sacar de esta situación?¿Qué diferencias encuentras en relación con la Disyunción Inclusiva?• El Condicional. ( p q )A diferencia de los Conectores Lógicos tratados previamente, en este casoconsideramos que es necesario hacer una serie de aclaraciones previas alanálisis y posterior desarrollo de este conector.Comencemos por aclarar la siguiente pregunta: ¿Qué se entiende por unCondicional y cuál es su estructura?El Condicional, al igual que los otros conectores lógicos, es una ProposiciónCompuesta; pero, a diferencia de los demás, las proposiciones que locomponen cumplen funciones totalmente distintas, es decir, que en laestructura de este conectivo lógico es necesario identificar cada una de suspartes y comprender cuál es la función que éstas cumplen.Un Condicional está compuesto de dos partes, el Antecedente (la condición)y el Consecuente (la consecuencia). En la estructura básica del Condicionalrepresentado por la fórmula lógica “p q” se cumple que:p : Es el Antecedente (la condición)q : Es el Consecuente (la consecuencia)Esto significa que la fórmula lógica “p q” representa a una ProposiciónCompuesta que está Condicionada de “p” a “q”.s2 fasc6 docen.indd 125/31/07 8:02:39 PM

La estructura lógica de una Proposición Condicionada parte del principiode que si se cumple la condición (proposición representada por elAntecedente), se debe cumplir la consecuencia (proposición representadapor el Consecuente); es por esta razón que es de suma importancia que enun condicional se identifique en qué sentido está dada la condición, para asípoder determinar sin lugar a dudas cuál proposición representa al Antecedentey cuál al Consecuente.En el desarrollo de esta unidad es muy recomendable realizar estasaclaraciones con los estudiantes, pues los errores más comunes que sepresentan son:I. Obviar la identificación del Antecedente y el Consecuente, con lo cualse corre el riesgo de alterar el orden del Condicional.II. Considerar que las fórmulas lógicas “p q” y “q p” representan ala misma Proposición Compuesta.Fascículo 6 / ASPECTOSMETODOLÓGICOS ENEL APRENDIZAJE DE LALÓGICA MATEMÁTICAEN SECUNDARIALuego de haber realizado estas aclaraciones previas, analicemos unasituación real en la que se utilice este conector lógico como parte del procesode comunicación entre las personas. Esto permitirá desarrollar un mayornivel de comprensión del porqué de la estructura y comportamiento lógicode este conector.Con la intención de motivar a sus estudiantes para una prueba, el docente deMatemática decide hacerles el siguiente ofrecimiento:“Si alguno de ustedes obtiene más de 16 en la prueba, entonces le invitaréun sándwich”.El docente motivó asus estudiantes con unaproposición compuesta en laque se emplea el conectivocondicional.A la semana siguiente, los estudiantes rinden el examen y ahora están a laespera de sus notas y de ver si el docente Alonso cumple con lo ofrecido.Como podemos observar, el docente Alonso Ponce estructuró su ofrecimientoa partir de un Condicional en donde el Antecedente (Condición) es obtenermás de 16 en la prueba, y el Consecuente (Consecuencia) es invitar unsándwich.Es conveniente dividir el ofrecimiento en dos partes:I. Los estudiantes que obtuvieron 16 ó más en la prueba: En este casopueden presentarse dos situaciones:• Que un estudiante haya obtenido 16 ó más en la prueba y queel docente Alonso le haya invitado el sándwich, por lo tanto, elofrecimiento que hizo el docente Ponce fue verdadero.• Que un estudiante haya obtenido 16 ó más en la prueba y que eldocente Alonso no le haya invitado el sándwich, por lo tanto, elofrecimiento que hizo el docente Ponce fue falso.II. Los estudiantes que no obtuvieron 16 ó más en la prueba: En este casono se cumplió el antecedente, es decir, no se cumplió con la condiciónpor lo tanto, el docente no está en la obligación de cumplir con laconsecuencia (el consecuente); de ahí que, el ofrecimiento que hizo eldocente Ponce debe considerarse como verdadero, les invite o no el13s2 fasc6 docen.indd 135/31/07 8:02:40 PM

II. La proposición compuesta más sencilla que existe es aquella quetrabaja a partir de la Negación de una proposición simple (“Un átomode carbono no tiene 9 electrones”).III. Una proposición compuesta puede construirse a partir de proposicionessimples o a partir de otras proposiciones compuestas.IV. En una proposición compuesta que contenga dos o más conectoreslógicos, la jerarquía de estos se determina en función a la interpretaciónde la redacción y los signos de puntuación.1.4 Variables proposicionalesSon las letras mediante las cuales se representan a las proposiciones simples;por lo general, se utilizan las letras: p , q , r , s.Por ejemplo:Proposiciones SimplesLucas es primo hermano de PaulaRenato es hermano de SandraÓscar es cuñado de CarolinaVariables ProposicionalespqrEs importante mencionar a los estudiantes que el objetivo de todos los temasdesarrollados en este capítulo (proposición, conectores lógicos, clases deproposiciones y variables proposicionales) tiene como objetivo darles lasherramientas necesarias para poder expresar las proposiciones del lenguajeformal bajo una estructura de lenguaje matemático.1.5 Fórmulas lógicasSe denomina así a la adecuada combinación de variables proposicionales,conectores lógicos y signos de agrupación.• ~ p ^ ( q ~ r )• ( r v ~ s ) ~ ( q ∆ ~ p )• [ ~ ( p ~ q ) ∨ q ] ∧ ~ ( q ~ p )Las fórmulas lógicas representan la estructura lógica de las proposicionescompuestas, es decir, que mediante la adecuada combinación de variablesproposicionales, conectores lógicos y signos de agrupación se puederepresentar el lenguaje natural en un lenguaje de estructura matemática.Por ejemplo:Dadas las siguientes variables proposicionales, determinar la estructuralógica de las siguientes proposiciones compuestas.• p: Lucas es primo hermano de Paula.• q: Renato es hermano de Sandra.• r: Óscar es cuñado de Carolina.a. No es el caso que, Renato no es hermano de Sandra y Óscar es cuñadode Carolina.• La Proposición es una proposición compuesta. ¿Por qué?• Los conectores lógicos de su estructura son :Dos negaciones y una conjunción. ¿Por qué?Fascículo 6 / ASPECTOSMETODOLÓGICOS ENEL APRENDIZAJE DE LALÓGICA MATEMÁTICAEN SECUNDARIAcuriosidadesmatemáticasLo que sucede es que laspiezas no han sido colocadasencajando perfectamenteuna con otra. En el caso dela primera superficie de 65cuadraditos los lados de laspiezas no coinciden y existeentre ellas unas pequeñasseparaciones que sonimperceptibles y sumadas danel cuadradito extra.En el caso de la siguientesuperficie de 63 cuadraditosalgunos lados de las piezasestán superpuestos, restandode esta manera un total desuperficie del tamaño de uncuadradito.Puedes construir con papelcuadriculado un cuadrado de10x10 cuadraditos, cortar laspiezas como muestra la figuray armar las dos superficiesque se muestran para verificarlo expresado anteriormente.http://www.geocities.com/inunc/Logica/Logica01.htm15s2 fasc6 docen.indd 155/31/07 8:02:44 PM

Serie 2 / DIDÁCTICADE LA MATEMÁTICAUn mate...- Doctor, doctor, estoymuerto.- Pero oiga, eso es imposible.- Que sí, que es cierto,examíneme.- Pero qué tontería, vamosa ver, ¿usted estará deacuerdo en que los muertosno sangran?- Sí, claro.- Bueno, pues le voy apinchar un dedo con estealfiler y si usted sangra,¿eso significará que ustedestá vivo, no?- Claro, pinche y verá cómono sangro.- Entonces el médicole pincha el dedo, yobviamente saca unagotita de sangre; entonces,sonriendo, le dice alpaciente:¿Qué me dice ahora?- De acuerdo, yo estabaequivocado. Los muertospueden sangrar.http://chistes.developers4web.com/chistesde-logica/humor-1• Las Proposiciones Simples que la componen son :Renato es hermano de Sandra (representada por la variableproposicional “q”).Óscar es cuñado de Carolina (representada por la variableproposicional “r”).• Por lo tanto, la estructura lógica de la proposición compuesta queestamos analizando está representada por la siguiente fórmulalógica:~ ( ~ q ^ r )b. Lucas no es primo hermano de Paula si y sólo si; no es cierto que, oRenato es hermano de Sandra o Luis no es cuñado de Carolina.• La Proposición es una proposición compuesta.• Los conectores lógicos de su estructura son :Tres negaciones, un bicondicional y una disyunción exclusiva.• La Proposiciones Simples que la componen son :Lucas es primo de Paula (representada por la variable proposicional“p”).Renato es hermano de Sandra (representada por la variableproposicional “q”).Luis es cuñado de Carolina (representada por la variableproposicional “r”).• Por lo tanto, la estructura lógica de la proposición compuesta queestamos analizando está representada por la siguiente fórmulalógica:~ p ⇔ ~ ( q ∆ ~ r )Como se habrá podido observar en los dos últimos ejemplos, el procesomediante el cual se desarrolla la fórmula lógica que representa la estructurade una determinada Proposición Compuesta puede (hasta cierto punto)esquematizarse mediante las siguientes recomendaciones:16I. Es bastante obvio que la primera recomendación es garantizar que elenunciado sea una Proposición Compuesta.II. Es de suma utilidad identificar cuáles son los conectores lógicos queforman la estructura de la Proposición Compuesta (revise la tabla deltema 1.2, pág. 9).III. Luego del paso anterior mediante una simple inspección se podráreconocer sin mayor dificultad cuáles son las Proposiciones Simplesque conforman a la Proposición Compuesta que estamos analizando.IV. Se debe asignar una Variable Proposicional a cada una de lasProposiciones Simples que se ha identificado.V. En caso de que la Proposición Compuesta contenga a dos o más conectoreslógicos, se debe determinar cuál es la jerarquía de estos. Ésta sin lugara dudas es la etapa de mayor grado de dificultad de todo el proceso,dado que requiere de un nivel de comprensión, interpretación y análisiss2 fasc6 docen.indd 165/31/07 8:02:44 PM

astante complejo; para ello es necesario comprender la redacción yhacer una adecuada interpretación de los signos de puntuación.Es muy importante tener en cuenta que en esta etapa es donde losestudiantes muestran mayores dificultades, ello debido básicamente ados razones:• El bajo nivel de comprensión lectora que han desarrollado.• El desconocimiento de la jerarquía de los signos de puntuación,debido a que no han desarrollado una adecuada capacidad deredacción.Es recomendable que los estudiantes tomen conciencia de esta situacióny es responsabilidad de nosotros los docentes motivarlos y ayudarlosa superar estas deficiencias; ya que si no se pone énfasis en los dosaspectos mencionados, es poco probable que se pueda desarrollarcon éxito la estructura lógica de una Proposición Compuesta, lo querepercute directamente en la capacidad de resolución de problemas.VI. Si se logró determinar la jerarquía de los conectores lógicos y a quéProposiciones (pueden ser simples o compuestas) relacionan, se podráplantear la fórmula lógica utilizando las variables proposicionales quese definieron en la etapa IV, los signos de los conectores lógicos quese identificaron en la etapa II, y los signos de agrupación que seannecesarios para respetar la jerarquía determinados en la etapa V.Fascículo 6 / ASPECTOSMETODOLÓGICOS ENEL APRENDIZAJE DE LALÓGICA MATEMÁTICAEN SECUNDARIAActividad 1Interioriza los fundamentos y fines del proceso de aprendizaje de la Lógica Proposicional, medianteel análisis y discusión del porqué de su aprendizaje, mostrando tolerancia y apertura.I. Investiga acerca de la historia de la Lógica Proposicional en las siguientes direcciones, y elaboraun resumen didáctico y un mapa conceptual para tus alumnos:- http://enfenix.webcindario.com/logica/historia.phtml- http://www.mor.itesm.mx/~al332002/tarea1.html- http://www.mor.itesm.mx/~logica/log9808/evolucion.htmlReúnanse con sus compañeros de área del colegio y, si es posible, con sus colegas de otrascomunidades para realizar un pequeño taller sobre el tratamiento de la Lógica Proposicional en laeducación secundaria. Tengan presente lo siguiente:• Elijan a un moderador y secretario(a) que anote los comentarios y/o conclusiones a que selleguen.• Todas las opiniones son valiosas, deben ser escuchadas con respeto.• Si se encuentran con dos ideas opuestas, discútanlas para llegar a un consenso al respecto.• Todas las personas tienen algo valioso que compartir, aceptemos con agrado lo que tengan quedecir y compartamos con los demás nuestras experiencias.• Elaboren un resumen de los puntos tratados y entreguen una copia a cada participante.17s2 fasc6 docen.indd 175/31/07 8:02:44 PM

Serie 2 / DIDÁCTICADE LA MATEMÁTICAII. Determina cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones y cuáles no lo son. Explicapor qué.a. Napoleón nació en la isla de Marsella.b. Próxima Centauro es la galaxia más cercana a la Tierra.c. ¿Hernando Cortés conquisto México?d. La velocidad de la luz es de aproximadamente 300 000 km/s.e. El Diodo está compuesto por el ánodo y el cátodo.f. ¡José! ¡Atiende la clase!g. Aurelio es primo hermano de Patricia.h. El número atómico del Cromo es 24.i. ¿En qué batalla murió Francisco Bolognesi?j. U2 es la mejor banda de rock del mundo.k. Canadá es el país más poblado del planeta.l. (a + b) 2 + (a – b) 2 = 2(a 2 + b 2 )m. 7x 2 + 5x – 18 = 6x 2 + 9x + 3n. (3x + 2y –49) 2 + (7x –5y + 13) 2 < 0o. [12 ÷ 4 × 3 – 8 3 ÷ (24 – 5 × 4) + 16] – = 6p. (4m – 3) 2 + 13m ≥ 2m 2 – 3(5 – 2m)III. Determina cuáles de las siguientes proposiciones son simples y cuáles son compuestas:a. El pico más alto del Perú es el Alpamayo.b. El número 240 tiene 20 divisores.c. El número atómico del nitrógeno es 7 y tiene dos capas de electrones.d. La velocidad de un móvil es cero, si y sólo si, se desplaza a velocidad constante.e. El Máximo Común Divisor de 280 y 360 es 40.IV. Identifica cuáles son las proposiciones simples y los conectores lógicos de cada una de lassiguientes proposiciones compuestas.a. Saturno no es el planeta más grande del Sistema Solar.b. Si Ricardo es padre de Manuel, entonces María es hermana de Arturo o de Jorge.c. No es cierto que la Tierra es redonda y no gire alrededor del Sol.d. O el símbolo químico de la plata es Au o es Ag.V. Dadas las variables proposicionales: p, q , r , s:p : Juan es hermano de Laura.q : Laura es cuñada de Verónica.r : Sebastián es primo de Luis.s : Santiago es hijo de Andrea.Determina la fórmula lógica de cada una de las siguientes proposiciones compuestas.a. Si Juan no es hermano de Laura, entonces Sebastián es primo de Luis.b. No es cierto que Santiago es hijo de Andrea y Laura no es cuñada de Verónica.c. Sebastián es primo de Luis, si y sólo si, Juan no es hermano de Laura o Santiago es hijode Andrea.d. Si Laura no es cuñada de Verónica o Sebastián no es primo de Luis, entonces Santiago eshijo de Andrea.18s2 fasc6 docen.indd 185/31/07 8:02:44 PM

Fascículo 6 / ASPECTOSMETODOLÓGICOS ENEL APRENDIZAJE DE LALÓGICA MATEMÁTICAEN SECUNDARIA2. TABLASde VERDAD2.1 Tablas de Verdad de los Conectores lógicosUna Tabla de Verdad nos permite visualizar bajo qué condiciones de lasvariables proposicionales una fórmula lógica toma un valor verdadero y bajoqué condiciones toma un valor falso. Es decir, que en una tabla se analiza elcomportamiento de los valores de verdad de una fórmula lógica en relacióna los valores de verdad de sus variables proposicionales.Por otro lado, sabemos que la estructura de cualquiera de los Conectoreslógicos es una Proposición Compuesta y que toda ProposiciónCompuesta puede ser representada mediante una combinación de variablesproposicionales y símbolos lógicos organizados jerárquicamente en unafórmula lógica.En relación a la estructura de una Tabla de Verdad es importante tener encuenta que ésta se desarrollará en función a la información necesaria para suanálisis e interpretación, por lo tanto, toda Tabla de Verdad se construirá enbase a cuatro partes, cada una de ellas correspondientes a:• Las variables proposicionales de la fórmula lógica: en esta parte secolocarán todas las variables proposicionales que conformen la fórmulalógica, ordenadas alfabéticamente.• Las diferentes combinaciones que se pueden establecer entre los posiblesvalores de verdad de las variables proposicionales: no debemos dejar detener presente que cuando se evalúa una fórmula lógica no se conocecuáles son las proposiciones que están representado cada una de lavariables proposicionales, por lo tanto, no se podrá determinar cuál es elvalor de vedad de éstas. Esto implica que para cada variable proposicionalse deberá considerar dos posibilidades, una en la que su valor de verdadsea “Verdadero” y otra en la que su valor de verdad sea “Falso”.Para determinar cuántas diferentes combinaciones se puede establecerentre los posibles valores de verdad de cada una de las variablesproposicionales se debe tener en cuenta el principio de multiplicidad enrelación a la cantidad de variables proposicionales.• La estructura de la fórmula lógica en sí.• El análisis de la fórmula lógica: en esta parte se desarrollará el procesode análisis e interpretación de la fórmula lógica en la que se determinarábajo qué condiciones de las variables proposicionales la fórmula lógica esVerdadera y bajo qué condiciones es Falsa.Combinaciones de los valoresde verdad de las variablesproposicionales.Para 1 proposiciónPVFtenemos: 2 = 2 1 combinaciones.Para 2 proposicionesPVFVFVFtenemos: 4 = 2 2 combinaciones.Para 3 proposicionesPVFVFVFVFVFVFVtenemos: 8 = 2 3 combinaciones.Luego, para “n” proposicionestendremos:2 n combinacionesF19s2 fasc6 docen.indd 195/31/07 8:02:45 PM

Serie 2 / DIDÁCTICADE LA MATEMÁTICAEstas cuatro partes se organizarán de la siguiente manera:VariablesproposicionalesCombinaciones delos valores de verdadde las variablesproposicionalesEstructura de lafórmula lógicaAnálisis de la fórmulalógicapVFpFV• Tabla de Verdad de la Negación.Dado que esta fórmula lógica depende únicamente de una variableproposicional, ésta tendrá solamente dos diferentes combinaciones de losposibles valores de verdad de sus variables proposicionales.Del análisis de la Tabla se deduce fácilmente que si una proposición esverdadera el valor de verdad de su negación será falso, por el contrario, siuna proposición es falsa, el valor de verdad de su negación será verdadero.Por ejemplo: ¿Cuál es el valor de verdad de la negación de la siguienteproposición simple?:“La capital de Francia es París”.• La negación de esta Proposición Simple sería la siguiente ProposiciónCompuesta : “La capital de Francia no es París”.• Dado que el valor de verdad de la Proposición Simple es verdadero, elvalor de verdad de su Negación (Proposición Compuesta) será Falso.http://www.greggayden.com/europe/Eiffel%20Tower%207.jpgp q p ∧ qV VV FF VF FVFFF• Tabla de Verdad de la Conjunción.Recordando que la estructura más sencilla de una Conjunción es aquellaque relaciona dos Proposiciones Simples, la fórmula lógica más sencilla querepresenta a una conjunción es “ p ∧ q”.Dado que esta fórmula lógica depende de dos variables proposicionales, éstatendrá cuatro diferentes combinaciones de los posibles valores de verdad desus variables proposicionales.Del análisis de la Tabla se deduce que una conjunción solamente seráverdadera si es que las dos Proposiciones que la constituyen son verdaderas(primera fila de la tabla).20Si analizamos las otras tres posibilidades de combinación de las variablesproposicionales, se puede inferir que “en una Conjunción basta que alguna de lasProposiciones que la componen sea falsa para que la Conjunción sea falsa”.Por ejemplo: ¿Cuál es el valor de verdad de la siguiente ProposiciónCompuesta?:“Asia es el continente más extenso y América es el continente más pobladodel planeta”.• Como se habrá podido deducir, la Proposición Compuesta es unaConjunción formada por dos Proposiciones Simples.“Asia es el continente más extenso”.“América es el continente más poblado”.• Dado que el valor de verdad de la primera Proposición es verdaderoy el valor de verdad de la segunda Proposición es falso, el valor de laConjunción (Proposición Compuesta) es Falso.s2 fasc6 docen.indd 205/31/07 8:02:45 PM

• Tabla de Verdad de la Disyunción Inclusiva. ( p v q )Recordando que la estructura más sencilla de una Disyunción Inclusiva esaquella que relaciona dos Proposiciones Simples, la fórmula lógica mássencilla que la representa es “p v q”.Dado que esta fórmula lógica depende de dos variables proposicionales, éstatendrá cuatro diferentes combinaciones de los posibles valores de verdad desus variables proposicionales.Del análisis de la Tabla se deduce que una Disyunción Inclusiva solamenteserá falsa si es que las dos Proposiciones que la constituyen son falsas (últimafila de la tabla).p q p ∨ qV V VV F VF V VF F FFascículo 6 / ASPECTOSMETODOLÓGICOS ENEL APRENDIZAJE DE LALÓGICA MATEMÁTICAEN SECUNDARIASi analizamos las otras tres posibilidades de combinación de las variablesproposicionales, se puede inferir que “en una Disyunción Inclusiva bastaque alguna de las Proposiciones que la componen sea verdadera para que laDisyunción Inclusiva sea verdadera”.Por ejemplo: ¿Cuál es el valor de verdad de la siguiente Proposición Compuesta?:“El nitrógeno es un metal o tiene siete electrones”.• Como se habrá podido deducir, la Proposición Compuesta es unaDisyunción Inclusiva formada por dos Proposiciones Simples.“El nitrógeno es un metal”.“El nitrógeno tiene siete electrones”.• Dado que el valor de verdad de la primera Proposición es falso y el valor deverdad de la segunda Proposición es verdadero, el valor de la DisyunciónInclusiva (Proposición Compuesta) es Verdadero.• Tabla de Verdad de la Disyunción Exclusiva. (p ∆ q)Recordando que la estructura más sencilla de una Disyunción Exclusivaes aquella que relaciona dos Proposiciones Simples, la fórmula lógica mássencilla que la representa es “p ∆ q”.Dado que esta fórmula lógica depende de dos variables proposicionales, éstatendrá cuatro diferentes combinaciones de los posibles valores de verdad desus variables proposicionales.p q pV V FV F VF V VF F FqDel análisis de la Tabla se deduce que una Disyunción Exclusiva seráverdadera si es que solo una de las dos Proposiciones que la constituyen esverdadera (segunda y tercera fila de la tabla).Si analizamos las otras dos posibilidades de combinación de las variablesproposicionales, se puede inferir que “en una Disyunción Exclusiva bastaque las proposiciones que la componen tomen el mismo valor de verdad paraque la Disyunción Exclusiva sea verdadera”.Por ejemplo: ¿Cuál es el valor de verdad de la siguiente Proposición Compuesta?:“O Napoleón fue emperador de Francia o murió en la isla de Santa Elena”.• Como se habrá podido deducir, la Proposición Compuesta es unaDisyunción Exclusiva formada por dos Proposiciones Simples:“Napoleón fue emperador de Francia”.“Napoleón murió en Santa Elena”.• Dado que el valor de verdad de la primera Proposición es verdadero y elvalor de verdad de la segunda Proposición es verdadero, el valor de laDisyunción Exclusiva (Proposición Compuesta) es Falso.Napoleón Bonaparte.http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Napoleon_Bonaparte.jpg/250px-Napoleon_Bonaparte.jpg21s2 fasc6 docen.indd 215/31/07 8:02:48 PM

Serie 2 / DIDÁCTICADE LA MATEMÁTICA • Tabla de Verdad del Condicional. ( p q )22p q p ⇒ qV V VV F FF V VF F Vp q p qV V VV F FF V FF F VEscudo de Arequipa.Recordando que la estructura más sencilla de un Condicional es aquella querelaciona dos Proposiciones Simples, la fórmula lógica más sencilla que larepresenta es “p q”.Dado que esta fórmula lógica depende de dos variables proposicionales, éstatendrá cuatro diferentes combinaciones de los posibles valores de verdad desus variables proposicionales.Del análisis de la Tabla se deduce que un Condicional sólo será falso si esque el Antecedente es verdadero y el Consecuente es falso (segunda fila dela tabla).Si analizamos las otras tres posibilidades de combinación de las VariablesProposicionales, se puede inferir que “en un Condicional basta que laproposición que es representada por el Antecedente sea falsa para que elCondicional sea verdadero”.Por ejemplo: ¿Cuál es el valor de verdad de la siguiente Proposición Compuesta?“Si Arequipa se encuentra a 3 200 msnm, entonces pertenece a la regiónQuechua”.• Como se habrá podido deducir, la Proposición Compuesta es unaCondicional formada por dos Proposiciones Simples:“Arequipa se encuentra a 3 200 msnm”. (Antecedente)“Arequipa pertenece a la región Quechua”. (Consecuente)• Dado que el valor de verdad del Antecedente es falso (puesto que Arequipase encuentra a 2 335 msnm.), el valor del Condicional (ProposiciónCompuesta) es Verdadero.• Tabla de Verdad del Bicondicional. ( p q )Recordando que la estructura más sencilla de un Bicondicional es aquellaque relaciona dos Proposiciones Simples, la fórmula lógica más sencilla quela representa es “p q”.Dado que esta fórmula lógica depende de dos variables proposicionales, éstatendrá cuatro diferentes combinaciones de los posibles valores de verdad desus variables proposicionales.Del análisis de la Tabla se deduce que un Bicondicional sólo será falso sies que una de las proposiciones que la constituyen es verdadera y la otra esfalsa (segunda y tercera fila de la tabla).Si analizamos las otras dos posibilidades de combinación de las variablesproposicionales se puede inferir que “en un Bicondicional basta que lasproposiciones que la componen tengan el mismo valor de verdad para que elBicondicional sea verdadero”.Por ejemplo: ¿cuál es el valor de verdad de la siguiente Proposición Compuesta?:“12 es un número compuesto, si y sólo si, tiene cuatro divisores”.• Como se habrá podido deducir, la Proposición Compuesta es unBicondicional formado por dos Proposiciones Simples:“12 es un número compuesto”.“12 tiene cuatro divisores”.• Dado que el valor de verdad de una de las proposiciones es verdadero yel valor de verdad de la otra proposición es falso, el valor de verdad delBicondicional es falso.s2 fasc6 docen.indd 225/31/07 8:02:49 PM

2.2. Desarrollo de Tablas de Verdad de Fórmulas LógicasHay que recordar que en la introducción a las Tablas de Verdad de losconectores lógicos se realizaron una serie de reflexiones, aclaraciones yanálisis entorno a lo que se entiende por Tablas de Verdad. Sería recomendablerevisarlo antes de iniciar este tema.En todos los textos en los que se incluye el desarrollo de las Tablas de Verdadse encontrará una serie de pasos y recomendaciones que se debe tomar enel proceso de evaluación de una fórmula lógica por medio del análisis de suTabla de Verdad.Todos estos pueden sintetizarse en tres aspectos que hay que tener encuenta:I. La cantidad de filas de la tabla de verdad dependerá de la cantidad devariables proposicionales que ésta posea. Hay que tener en cuenta elprincipio de multiplicidad :Así tendremos que:• 2 Variables Proposicionales : 2 2 = 4 filas• 3 Variables Proposicionales : 2 3 = 8 filas• 4 Variables Proposicionales : 2 4 = 16 filasDe manera general, podemos determinar el número de filas de lasiguiente manera:Donde n representa el número de variables proposicionales de la fórmulalógica.Como se mencionó anteriormente, hay que tener en cuenta que cada filade la Tabla de Verdad representa una de las combinaciones de los posiblesvalores de verdad de las variables proposicionales de la fórmula lógica.II. En la estructura de la Tabla de Verdad, las variables proposicionales dela fórmula lógica se ordenan alfabéticamente, de tal manera que para laprimera variable proposicional la primera mitad de filas tenga valoresverdaderos y la segunda mitad de filas tenga valores falsos; para lasegunda Variable Proposicional la primera cuarta parte de filas tengavalores verdaderos, la segunda cuarta parte de filas tenga valores falsos,la tercera cuarta parte de filas tenga nuevamente valores verdaderosy la última cuarta parte de filas vuelva a tener valores falsos; esteordenamiento continuará hasta que para la última variable proposicionalse alterne un valor verdadero y uno falso.III. La jerarquía de los conectores lógicos, ya que el resultado de laevaluación de la fórmula lógica por medio del análisis de la Tabla deVerdad dependerá de cuál sea el conector de mayor jerarquía.Ejemplo: Desarrollar la Tabla de Verdad de la siguiente fórmula lógica:~ ( p v ~ q ) rp q rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F FNO ESCRIBIRp q rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F FFascículo 6 / ASPECTOSMETODOLÓGICOS ENEL APRENDIZAJE DE LALÓGICA MATEMÁTICAEN SECUNDARIARecuerdaLos signos de agrupación(paréntesis, corchetes, llaves)son usados para indicar lajerarquía y evitar ambigüedadesen esquemas lógicos máscomplejos.RecuerdaTambién podemos utilizar elsiguiente esquema:(∼ p ⇒ r) ⇒ (r ∨ q)FVFFcomo ∼ p es falsa, p esverdadera.FFF23s2 fasc6 docen.indd 235/31/07 8:02:49 PM

Serie 2 / DIDÁCTICADE LA MATEMÁTICA• Dado que la fórmula lógica tiene 3 variables proposicionales, la Tabla deVerdad tiene 8 filas: 2 3 = 8• El conector de mayor jerarquía es el Condicional, el cual divide a lafórmula lógica en dos partes, cada una de ellas con un conector lógico desegunda importancia.• Por lo tanto, el resultado y la interpretación de éste dependerá del resultadodel Condicional.2.3 Tautologías, Contradicciones y ContingenciasSegún el resultado obtenido al evaluar una fórmula lógica por medio delanálisis de Tablas de Verdad, esta fórmula lógica podrá clasificarse comouna Tautología, una Contradicción o una Contingencia.24p pes una Tautologíap pes una Contradicciónp qes una ContingenciaI. TautologíaSon aquellas fórmulas lógicas que se caracterizan porque al desarrollar suTabla de Verdad todos los valores obtenidos para el conector lógico de mayorjerarquía son verdaderos; es decir, en una Tautología el valor de verdad quetome la fórmula lógica no depende de los valores de verdad que tomen susvariables proposicionales.Esto significa que no importa cuáles sean los valores de verdad que tomenlas variables proposicionales, el valor de verdad de la fórmula lógica siempreserá verdadero. Es por esta razón que las Tautologías son consideradas comoverdades absolutas.Ejemplo: (p q) (~ p v q) es una TautologíaII. ContradicciónSon aquellas fórmulas lógicas que se caracterizan porque al desarrollar suTabla de Verdad todos los valores obtenidos para el conector lógico de mayorjerarquía son falsos; es decir, en una Contradicción el valor de verdad quetome la fórmula lógica no depende de los valores de verdad que tomen susvariables proposicionales.Esto significa que no importa cuáles sean los valores de verdad que tomen lasvariables proposicionales, el valor de verdad de la fórmula lógica siempreserá falso. Es por esta razón que las Contradicciones son consideradas comoverdades absolutas.Ejemplo: (q ∧ ~ p) (q p) es una ContradicciónIII. ContingenciaSon aquellas fórmulas lógicas que se caracterizan porque al desarrollar suTabla de Verdad los valores que se obtienen para el conector lógico de mayorjerarquía son algunos verdaderos y otros falsos. Es decir, en una Contingenciael valor de verdad que tome la fórmula lógica sí dependerá de los valores deverdad que tomen sus variables proposicionales.Esto significa que sí importa cuáles son los valores de verdad que tomenlas variables proposicionales, ya que para ciertas combinaciones de éstos lafórmula lógica será verdadera y para otras combinaciones será falsa.Ejemplo: (p ∆ ~ q) v ~ (~ p q) es una Contingencia.Zs2 fasc6 docen.indd 246/1/07 12:49:52 PM

Actividad 2Fascículo 6 / ASPECTOSMETODOLÓGICOS ENEL APRENDIZAJE DE LALÓGICA MATEMÁTICAEN SECUNDARIAIdentifica los procesos del aprendizaje y los métodos de enseñanza de las Tablas de Verdad a travésde la lectura, análisis e interpretación de la información proporcionada, mostrando confianza en suscapacidades.1. Investiga acerca de la relación que existe entre la Lógica Proposicional y la Teoría de Conjuntos.Elabora una tabla que muestre esta relación y preséntasela a tus alumnos.- http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conjuntos/conjuntos.htm- http://www.ldc.usb.ve/~meza/ci-2615/cap2.pdf2. Determina la fórmula lógica de cada una de las siguientes proposiciones compuestas y encuentrasu valor de verdad.a. Si 2 no es un número primo, entonces 9 tiene tres divisores.b. No es cierto que el leopardo es un felino o el lobo es un equino.c. No es cierto que Europa es el continente más extenso y Oceanía no es el continente máspoblado.d. O la Tierra no es el segundo planeta más cercano al Sol, o Marte tiene dos satélites.3. Desarrolla la Tabla de Verdad de cada una de las siguientes fórmulas lógicas y determina si éstasson tautologías, contradicciones o contingencias.a. ~ ( ~ p q ) ( p ~ q )b. ( p ~ r ) ~ ( q ~ p )c. [ ~ ( p ~ q ) q ] ~ ( q ~ p )d. [ ~ ( p ~ q ) ( ~ r ~ p ) ] ~ ( r ~ p )4. En cada una de las siguientes fórmulas lógicas, determina el valor de verdad de las variablesproposicionales que la componen si se sabe que:a. p ( q r ) es falsab. ~ ( r ~ p ) q es falsac. ~ q ( p q ) es verdadera5. Sabiendo que ~ ( r q ) ~ p es falsa. Determina el valor de verdad de:a. ( ~ q p ) ~ ( ~ p q )b. ( r p ) ( ~ q ~ r )c. [ ( w r ) ( ~ q t ) ] ~ q6. Sabiendo que p q es falsa y que ~ r s es falsa. Determina el valor de verdad de:a. ( ~ p q ) ( r s )b. ( p q ) ( ~ r p )c. [ ( r p ) s ] w25Zs2 fasc6 docen.indd 256/1/07 12:50:00 PM

Serie 2 / DIDÁCTICADE LA MATEMÁTICA3. JUEGOS en laENSEÑANZAde la LÓGICAEl juego es una actividad natural en el ser humano, socializa y prepara a laspersonas en la competitividad, la asertividad y la tolerancia a la frustración,donde se aprende a ganar con humildad y perder con dignidad. Las dosactividades que presentaremos a continuación están basadas en el conocidopasatiempo de “Sopa de Letras” y el juego de mesa “Naipes o Cartas”. Estosjuegos clásicos pueden readaptarse y ser utilizados en clase de Matemática.Según la clasificación utilizada por el docente Fernando Corbalán, estos juegospertenecerían a los “juegos de procedimiento conocido con modificaciones”,pues sus reglas generales son conocidas por los estudiantes fuera del ámbitoescolar.3.1 Sopa de ProposicionesEste juego está diseñado para que participen desde uno hasta cuatro jugadores, y cada grupo debe tenerun tablero y dieciséis tarjetas con fórmulas proposicionales como las que vienen a continuación, ademásde hojas cuadriculadas, lápiz o lapicero, y granos secos (pueden ser botones o chapitas).Tablero:Si:p = Verdaderoq = Falsor = VerdaderoSi:p = Verdaderoq = Falsor = FalsoSi:p = Verdaderoq = Falsor = FalsoSi:p = Verdaderoq = Falsor = VerdaderoSi:p = Verdaderoq = Verdaderor = FalsoSi:p = Verdaderoq = Verdaderor = VerdaderoSi:p = Verdaderoq = Verdaderor = FalsoSi:p = Verdaderoq = Verdaderor = VerdaderoSi:p = Falsoq = Falsor = VerdaderoSi:p = Falsoq = Falsor = FalsoSi:p = Falsoq = Falsor = FalsoSi:p = Falsoq = Falsor = VerdaderoSi:p = Falsoq = Verdaderor = FalsoSi:p = Falsoq = Verdaderor = VerdaderoSi:p = Falsoq = Verdaderor = FalsoSi:p = Falsoq = Verdaderor = VerdaderoSi:p = Verdaderoq = Falsor = VerdaderoSi:p = Verdaderoq = Falsor = FalsoSi:p = Verdaderoq = Falsor = VerdaderoSi:p = Verdaderoq = Falsor = Verdadero26s2 fasc6 docen.indd 265/31/07 8:02:50 PM

Tarjetas:1 2 3 4p qes falsap res verdadera~ r ~ pes falsa~ res verdadera5 6 7 8p qes falsap res verdadera~ r pes falsar ~ qes verdadera9 10 11 12~ p (q r)es falsa~ p (q r)es verdadera(r ~ p) qes falsa~ (r p) qes verdadera13 14 15 16p (q r )es falsap (q r)es verdadera~ (r ~ p) qes falsa(r p) qes verdaderaReglas del juego:1. Se barajan las 16 tarjetas y se colocan boca abajo sobre la mesa, y cada jugador, porturno, elige una tarjeta hasta repartir el total de tarjetas. Los granos secos, botones ochapitas (que tienen que ser también 16) se distribuyen en partes iguales a cada jugador,y servirán para marcar en el tablero su respuesta correcta. La hoja cuadriculada es unapara cada uno.2. Para cada una de las fórmulas lógicas presentadas en cada tarjeta los jugadores debendeterminar el valor de verdad de las variables proposicionales que la componen,escribiendo su procedimiento en la hoja cuadriculada que se le entregó. Luego,buscan en la sopa de proposiciones que aparece en el tablero los valores de verdadque corresponde a cada proposición y los marcan.3. Gana el jugador que consigue marcar primero los valores de verdad de las variablesproposicionales, en un tiempo fijado de antemano. Si nadie lo ha conseguido, seráganador el que más valores de verdad correctos haya determinado.El objetivo que pretendemos con este juego es:Determinar los valores de verdad de las proposiciones que componen una fórmulaproposicional dado el valor de verdad de ésta última, a partir de su tabla de verdad.En esta adaptación de la “Sopa de Letras”, proponemos que los alumnos trabajen lasTablas de Verdad por lo que las palabras se sustituyen por fórmulas lógicas y las letras dela sopa por variables proposicionales con valores de verdad.La presentación de esta actividad permite modificaciones. Así, las fórmulas lógicas queaparecen en las tarjetas pueden tener uno o más conectores lógicos.La dinámica del juego también puede cambiarse, modificando las reglas de juego quepodrían ser las siguientes:27s2 fasc6 docen.indd 275/31/07 8:02:50 PM

1. Las tarjetas se barajan y se colocan boca abajo sobre la mesa.2. El jugador que tiene el turno toma una tarjeta y determina los valores de verdad delas variables proposicionales de manera correcta, señalándolos en la sopa. Si lo hacecorrectamente, se anota un punto y pasa el turno al siguiente jugador y la tarjetautilizada es eliminada del juego.3. Si el jugador no determina correctamente los valores de verdad, pierde su turno y nose anota ningún punto. El jugador siguiente tiene la oportunidad de determinar losvalores de verdad ganando un punto extra por rebote. En caso de no hacerlo pasaríaal siguiente.4. Si el jugador que le toca se equivoca y algún contrincante lo descubre, el jugadorpierde su turno y el contrario se anota un punto por haber determinado correctamentelos valores de verdad.5. La partida acaba después de haber dado cuatro rondas, pasando por todos losjugadores. Gana quien tenga más puntuación.También podría jugarse sin tarjetas, solamente utilizando el tablero. Jugarían dos estudiantesy cada uno de ellos con el tablero por delante, construiría cuatro fórmulas proposicionalesy les daría un valor de verdad a partir de los valores de verdad de las proposiciones de4 casilleros que elijan de la sopa. Después, los jugadores se intercambian las fórmulasproposicionales para determinar los valores de verdad de las variables proposicionalesque las componen y señalarlos en la sopa de proposiciones. El primero que determine losvalores de verdad de las proposiciones de manera correcta, gana la partida.3.2 Cartas LógicasEste juego está diseñado para que participen dos jugadores y cada uno debe tener 16tarjetas con fórmulas proposicionales como las que vienen a continuación, además dehojas cuadriculadas, lápiz o lapicero.Cartas1 2 3 4p qp ∨ r~ r ∧ ~ pp = Verdaderoq = Verdaderop = Verdaderor = Falsop = Falsor = Verdadero~ r ∧ qq = Verdaderor = Verdadero5 6 7 8Verdadero Falso Verdadero Falso9 10 11 12p (q ∨ r)~ p (q ∧ r)(r ∧ ~ p) ∨ qp = Verdaderoq = Verdaderor = Verdaderop =Verdaderoq = Falsor = Verdaderop = Verdaderoq = Falsor = Falso~ (q p) ⇒ rp = Falsoq = Verdaderor = Falso13 14 15 16Verdadero Falso Verdadero Falso28s2 fasc6 docen.indd 285/31/07 8:02:51 PM

Reglas del juego:1. Se baraja las 16 cartas y se colocan boca abajo sobre la mesa y cadajugador, por turno, elige una carta hasta repartirlas todas.2. El jugador que esté de turno lanza la primera carta a la mesa.3. Si la carta sobre la mesa es una fórmula lógica, el siguiente jugadorlanza una carta que tenga su valor de verdad. Si la carta tiene un valorde verdad, lanzará una carta que tenga una fórmula lógica con el mismovalor de verdad de la carta sobre la mesa.4. Si el jugador no puede bajar ninguna carta, cede el turno al siguientejugador.5. Gana el jugador que consigue bajar primero todas sus cartas a la mesa.Fascículo 6 / ASPECTOSMETODOLÓGICOS ENEL APRENDIZAJE DE LALÓGICA MATEMÁTICAEN SECUNDARIAEl objetivo que pretendemos con este juego es:Determinar el valor de verdad de una fórmula lógica, dados los valores deverdad de las proposiciones que la componen.Actividad 3Investiga y sugiere actividades que permitan a tus estudiantes comprender, interpretar y aplicarlos conceptos, definiciones y propiedades de la Lógica Proposicional, a través del análisis de lasactividades y materiales presentados, manifestando creatividad y confianza en tus habilidades.1. Elabora una “Sopa de Proposiciones” y un juego de “Cartas Lógicas” (20 cartas) siguiendo losmodelos presentados, pero realizando algunas variaciones. Puedes reunirte con otros docentes ycompartir tus trabajos, de esta manera se enriquecerán unos con otros y todos saldrán beneficiados.Es conveniente confeccionar el tablero y las tarjetas en material duradero (puede ser cartón delgado)y forrarlos para que se conserven en buen estado, así obtendrán un material que puedan usar durantevarios años.2. Reúnete con tus colegas de área y distribúyanse una dirección electrónica cada uno para investigarsobre “La píldora del día siguiente”:La “Anticoncepción de Emergencia”: Nuevo Engaño del Movimiento Antividahttp://www.aciprensa.com/vida/emergencia.htmLa “píldora del día siguiente” (AOE)http://www.terra.com.pe/religion/pildorads.shtmlLa píldora del día siguiente “nueva amenaza” contra la vidahttp://www.udep.edu.pe/publicaciones/desdelcampus/art1122.htmlLa “píldora del día siguiente”: Marxismo, píldora y “revolución sexual”http://www.reconquistaperu.org/modules/sections/articulo-26.htmlCada integrante del equipo debe redactar un resumen con las ideas más importantes tratadas en ladirección electrónica que visitó.Luego reúnanse para compartir sus opiniones al respecto de este tema.Elaboren 10 proposiciones compuestas referidas a este tema que puedan presentarse a los alumnospara que determinen su fórmula lógica así como su valor de verdad. Finalmente pueden recomendara los estudiantes que visiten estas direcciones.29s2 fasc6 docen.indd 295/31/07 8:02:52 PM

4. EVALUACIÓNLee atentamente y luego de analizar cada interrogante o actividad da solución a los aspectos queasí lo requieran.1. Fundamenta las razones de una educación en Lógica proposicional e indica a qué edadconsideras que ésta debe iniciarse y explica por qué.2. ¿Cuáles consideras que deben ser los procedimientos de una educación en Lógica matemática?¿Por qué?3. Plantea una situación problema que te lleve a ti y a los estudiantes a desarrollar los contenidosdel tema de lógica proporcional. Desarrolla la experiencia o sesión de aprendizaje.4. Elabora actividades en la que tus estudiantes se involucren al desarrollar conceptos de Lógicaproposicional.5. Crea un juego en el que tus estudiantes puedan aplicar algunos de los conceptos de Lógicaproposicional, desarrollados en clase.Proyecto de investigación:¿Qué relación existe entre el Álgebra de Boole y la Lógica Proposicional?A continuación, te brindamos algunas direcciones que puedes tomar como base para esteproyecto:- http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole- http://w3.mor.itesm.mx/~logica/log9808/cmodulo2.html- http://www.monografi as.com/trabajos/iartifi cial/pagina4_11.htmTambién te damos algunas recomendaciones que pueden servirte para estructurar estainvestigación.1. Es necesario que conozcas los conceptos, definiciones y propiedades relacionados con:• Fórmulas Lógicas Equivalentes.• Leyes del Álgebra Proposicional.• Proposiciones Lógicas Equivalentes.2. Se debe formalizar un proceso mediante el cual se puedan utilizar las leyes del ÁlgebraProposicional como un medio que permita generar proposiciones equivalentes.30s2 fasc6 docen.indd 305/31/07 8:02:52 PM

5. METACOGNICIÓNMetacognición es la habilidad de pensar sobre el discurso del propio pensamiento, es decir,sirve para darnos cuenta cómo aprendemos cuando aprendemos.Responde en una hoja aparte:1. ¿De qué manera te organizaste para leer el fascículo y desarrollar las actividadespropuestas?2. ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿Por qué?3. Si no te fue fácil, ¿qué hiciste para comprenderlo?4. ¿Qué pasos has seguido para desarrollar cada una de las actividades?5. ¿Cuáles de estos pasos te presentaron mayor dificultad?6. ¿Cómo lograste superar estas dificultades?7. Al resolver la evaluación, ¿qué ítems te presentaron mayor dificultad?8. ¿Qué pasos has seguido para superar estas dificultades?9. ¿En qué acciones de tu vida te pueden ayudar los temas desarrollados en estefascículo?10. ¿Qué nivel de logro de aprendizaje consideras que has obtenido al finalizar estefascículo?Muy bueno Bueno Regular DeficienteNO ESCRIBIR¿Por qué?11. ¿Crees que las actividades de investigación fueron realmente un trabajo de equipo?Explica.12. ¿Tuviste la oportunidad de compartir tus conocimientos con algunos de tus colegas?¿Qué sentimientos provocaron en ti este hecho?31s2 fasc6 docen.indd 315/31/07 8:02:52 PM

BIBLIOGRAFÍAcomentada1. Copi, Irving M. Introducción a la Lógica. Buenos Aires. Editorial Universitaria de BuenosAires, 1974.Es un estudio de la Lógica presentado con claridad y concisión; se expresa con gran precisiónlos principales términos y temas. Tiene gran variedad de ejercicios extraídos de la vidareal.2. Chávez Noriega, Alejandro. Introducción a la Lógica. Lima. Ediciones Amaru, 1984.El propósito principal de la obra es servir a los estudiantes y lectores no familiarizadoscon la Lógica, acercándolos al conocimiento más amplio de los elementos fundamentalesde esta disciplina. Examina con el mayor rigor el lenguaje común y el lenguaje científico.Desarrolla la formación y el manejo de las estructuras lógicas, su transformación y aplicaciónen las tareas del quehacer reflexivo.3. Trelles Montero, Óscar; Morales Papa, Diógenes. Introducción a la Lógica. Lima. FondoEditorial de la Pontificia Universidad Católica del Perú, 2000.Busca conducir al lector por los temas centrales de la Lógica. Explora nuevos campos yaplica nuevos métodos de investigación. Desarrolla la Lógica proposicional y la Lógicacuantificacional, esclareciendo conceptos corrientes hoy en día. Provee de las herramientasintelectuales para animar al estudiante al establecimiento de la verdad formal, de importanciacapital en el objeto de esta disciplina.ENLACESweb1. http://usuarios.iponet.es/ddt/logica1.htmPágina del profesor J. Biedma donde se aporta una serie de artículos sobre conceptos básicosde la Lógica, así como un curso on-line sobre el libro Introducción a la lógica de I.M. Copi.2. http://enfenix.webcindario.com/logica/Aula virtual de Lógica en la que se presentan diversos temas de Lógica o RazonamientoLógico desarrollados durante Quinto Año de Educación Secundaria en el Perú. Esperamosque los datos aquí presentados sean de mucha utilidad y que le saques el máximo provecho ala información brindada.3. http://www.wwnorton.com/college/phil/logic3/welcome.htm (página en inglés)Web administrada por M.K. Green con contenidos sobre clasificación, definición, falacias,Lógica silogística (silogismos categoriales, disyuntivos e hipotéticos), Lógica proposicional,Lógica de predicados, inducción, analogía... Además, tiene muchos ejercicios.4. http://www.liccom.edu.uy/bedelia/cursos/metodos/materiales.html32Muy buena página web en la que se encontrarán teoría, ejemplos y problemas diversosreferidos a la Lógica proposicional, presentados de una manera sencilla y comprensible, conejemplos didácticos.s2 fasc6 docen.indd 325/31/07 8:02:53 PM