Propiedades básicas de la integral de Riemann - Páxinas persoais ...

Propiedadesde la integralIntroducciónIntegrabilidady continuidadPropiedades básicas de la integral de RiemannTeoremas delvalor medioDepartamento de Análise MatemáticaFacultade de MatemáticasUniversidade de Santiago de CompostelaSantiago, 2011

EsquemaPropiedadesde la integralIntroducciónIntegrabilidady continuidadTeoremas delvalor medioObjetivos del tema:

EsquemaPropiedadesde la integralIntroducciónIntegrabilidady continuidadTeoremas delvalor medioObjetivos del tema:1) Profundizar en la relación integrabilidad/continuidad.

EsquemaPropiedadesde la integralIntroducciónIntegrabilidady continuidadTeoremas delvalor medioObjetivos del tema:1) Profundizar en la relación integrabilidad/continuidad.2) Teoremas del valor medio del cálculo integral.

Integrabilidad y continuidadPropiedadesde la integralIntroducciónIntegrabilidady continuidadSea f : I = [a, b] −→ R integrable en I .Problema. Si cambiamos los valores de f en un conjunto finitode puntos de I ¿la nueva función es integrable en I ? Si lo es¿qué relación hay entre las integrales de ambas funciones?Teoremas delvalor medio

Integrabilidad y continuidadPropiedadesde la integralIntroducciónIntegrabilidady continuidadTeoremas delvalor medioSea f : I = [a, b] −→ R integrable en I .Problema. Si cambiamos los valores de f en un conjunto finitode puntos de I ¿la nueva función es integrable en I ? Si lo es¿qué relación hay entre las integrales de ambas funciones?Para responder con claridad llamemos g a la funciónmodificada y notemos queg − f es una función enjambre.

Integrabilidad y continuidadPropiedadesde la integralIntroducciónIntegrabilidady continuidadTeoremas delvalor medioSea f : I = [a, b] −→ R integrable en I .Problema. Si cambiamos los valores de f en un conjunto finitode puntos de I ¿la nueva función es integrable en I ? Si lo es¿qué relación hay entre las integrales de ambas funciones?Para responder con claridad llamemos g a la funciónmodificada y notemos queg − f es una función enjambre.Por lo tanto, g = f + (g − f ) es integrable en I , por ser sumade integrables,

Integrabilidad y continuidadPropiedadesde la integralIntroducciónIntegrabilidady continuidadTeoremas delvalor medioSea f : I = [a, b] −→ R integrable en I .Problema. Si cambiamos los valores de f en un conjunto finitode puntos de I ¿la nueva función es integrable en I ? Si lo es¿qué relación hay entre las integrales de ambas funciones?Para responder con claridad llamemos g a la funciónmodificada y notemos queg − f es una función enjambre.Por lo tanto, g = f + (g − f ) es integrable en I , por ser sumade integrables, y∫ bag(x) dx =∫ ba∫ bf (x) dx+ (g(x) − f (x)) dxa} {{ }=0=∫ baf (x) dx.

Integrabilidad y continuidadPropiedadesde la integralIntroducciónIntegrabilidady continuidadTeoremas delvalor medioConclusión. Si una función integrable se modifica en unconjunto finito de puntos entonces la nueva función esintegrable y su integral coincide con la de la función de partida.

Integrabilidad y continuidadPropiedadesde la integralIntroducciónIntegrabilidady continuidadTeoremas delvalor medioConclusión. Si una función integrable se modifica en unconjunto finito de puntos entonces la nueva función esintegrable y su integral coincide con la de la función de partida.Aplicación. Las funciones continuas a trozos condiscontinuidades de salto finito o evitables son integrables enintervalos compactos.

Integrabilidad y continuidadPropiedadesde la integralIntroducciónIntegrabilidady continuidadTeoremas delvalor medioConclusión. Si una función integrable se modifica en unconjunto finito de puntos entonces la nueva función esintegrable y su integral coincide con la de la función de partida.Aplicación. Las funciones continuas a trozos condiscontinuidades de salto finito o evitables son integrables enintervalos compactos.¿Qué sucede si las discontinuidades no son del tipo anterior?¿Qué sucede si tenemos infinitos puntos de discontinuidad?

Integrabilidad y continuidadConjuntos de medida cero y el Teorema de LebesguePropiedadesde la integralIntroducciónIntegrabilidady continuidadTeoremas delvalor medioDefinición. Un conjunto N ⊂ R es de medida cero cuandopara cada ε > 0 existe una familia de intervalos {(a n , b n )} n∈Ntal queN ⊂ ⋃ n∈N(a n , b n ) y∞∑(b n − a n ) < ε.n=1

Integrabilidad y continuidadConjuntos de medida cero y el Teorema de LebesguePropiedadesde la integralIntroducciónIntegrabilidady continuidadTeoremas delvalor medioDefinición. Un conjunto N ⊂ R es de medida cero cuandopara cada ε > 0 existe una familia de intervalos {(a n , b n )} n∈Ntal queN ⊂ ⋃ n∈N(a n , b n ) y∞∑(b n − a n ) < ε.n=1Por ejemplo, todo conjunto numerable es de medida cero

Integrabilidad y continuidadConjuntos de medida cero y el Teorema de LebesguePropiedadesde la integralIntroducciónIntegrabilidady continuidadTeoremas delvalor medioDefinición. Un conjunto N ⊂ R es de medida cero cuandopara cada ε > 0 existe una familia de intervalos {(a n , b n )} n∈Ntal queN ⊂ ⋃ n∈N(a n , b n ) y∞∑(b n − a n ) < ε.n=1Por ejemplo, todo conjunto numerable es de medida cero(aunque no todo conjunto de medida cero es numerable).

Integrabilidad y continuidadConjuntos de medida cero y el Teorema de LebesguePropiedadesde la integralIntroducciónIntegrabilidady continuidadTeoremas delvalor medioDefinición. Un conjunto N ⊂ R es de medida cero cuandopara cada ε > 0 existe una familia de intervalos {(a n , b n )} n∈Ntal queN ⊂ ⋃ n∈N(a n , b n ) y∞∑(b n − a n ) < ε.n=1Por ejemplo, todo conjunto numerable es de medida cero(aunque no todo conjunto de medida cero es numerable).Teorema de Lebesgue. Para que una función acotadaf : I = [a, b] −→ R sea integrable en I es necesario y suficienteque el conjunto de puntos de discontinuidad de f sea demedida cero.

Teoremas del valor medio del cálculo integralPropiedadesde la integralIntroducciónIntegrabilidady continuidadTeoremas delvalor medioTeorema del valor medio para funciones integrables.Si f : I = [a, b] −→ R es integrable en I entonces∫ baf (x) dx = y (b − a)para un único y ∈ [inf{f (x) : x ∈ I }, sup{f (x) : x ∈ I }].Teorema del valor medio para funciones continuas.Si f : I = [a, b] −→ R es continua en I entonces∫ bpara al menos un c ∈ [a, b].af (x) dx = f (c) (b − a)