a variacional del estado de transición a la - Páxinas persoais - USC ...

VANTONIO FEZNÁNDEZ RAMOS Y SAULO A. VÁZQUEZRODRÍGUEZ, PROFESORES TITULARES DEL DEPARTA-MENTO DE QUÍMICA FÍSICA DE LA UNIVERSIDAD DE SAN-TIAGO DE COMPOSTELA, CERTIFICAN QUERubén Meana Pañeda, licenciado en Química por la Universidad de Oviedo, harealizado bajo nuestra dirección, en el Departamento de Química Física de laUniversidade de Santiago de Compostela, el trabajo de investigación titulado“Aplicación de la teoría variacional del estado de transición a la reacción dedesplazamiento sigmatrópico [1,7] de hidrógeno en un modelo simplificado dela vitamina D 3 ”que se presenta en esta memoria. Y para que conste a todoslos efectos, firmamos el presente certificado en Santiago de Compostela, a 14de Marzo de 2008,Dr. Antonio Fernández RamosDr. Saulo A. Vázquez Rodríguez

a la memoria de mi tío Pepíny a la memoria de mis abuelos

Índice general1. Introducción y objetivos 11.1. Las vitaminas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. La vitamina D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. La vitamina D 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Desplazamiento sigmatrópico [1,7] de hidrógeno . . . . . . . . 141.5. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232. Métodos teóricos 252.1. Aproximación de Born-Oppenheimer . . . . . . . . . . . . . . . 252.2. Superficie de energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3. Métodos de la estructura electrónica . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.1. Método de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.2. Métodos semiempíricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.3. Métodos que introducen la correlación electrónica . . . . 492.3.4. Teoría del funcional de la densidad (DFT) . . . . . . . . 502.4. Dinámica química . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4.1. Teoría del estado de transición convencional . . . . . . . 602.4.2. Formulación termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . 612.4.3. Teoría variacional del estado de transición . . . . . . . . 612.4.4. Efectos cuánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673. Resultados y discusión 753.1. Superficie de energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.1.1. Superficie de energía potencial a nivel MPWB1K . . . . 763.1.2. Superficie de energía potencial a nivel AM1-SRP . . . . 863.2. Cálculos de dinámica directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.2.1. Detalles computacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.2.2. Resultados y discusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954. Conclusiones 101A. Método simplex descendente multidimensional 103B. Método del temple simulado 107ix

C. Programas 109C.1. MORATE2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109C.2. CONFORATE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113C.2.1. Ejemplo del fichero de entrada . . . . . . . . . . . . . . 146Agradecimientos 149Bibliografía 151

XIIÍNDICE DE FIGURAS3.4. Confórmeros del 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno a nivelMPWB1K/6-31+G(d,p). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.5. Perfiles de energía potencial debidos a la rotación interna . . . 833.6. Estados de transición enantioméricos para la transposición dehidrógeno [1,7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.7. Estados de transición para la transposición de hidrógeno [1,7 . 873.8. Estados de transición enantiómeros para la transposición dehidrógeno [1,7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.9. Estructuras conformacionales de la 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.10. Estructuras conformacionales de la 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.11. Diagrama de flujo para los cálculos de dinámica directa . . . . 943.12. Constantes de velocidad térmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 96A.1. Cuatro operaciones básicas en el método simplex descendente. . 104

Índice de tablas1.1. Vitaminas B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Vitaminas que no son coenzimas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Cantidades diarias de vitamina D 3 recomendadas . . . . . . . . 111.4. Reglas de simetría para las reacciones sigmatrópicas de orden i,j. 172.1. Parámetros AM1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.1. Clasificación conformacional del 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno . 803.2. Energías en kcal/mol y principales parámetros geométricos . . 843.3. Energías y principales parámetros geométricos . . . . . . . . . . 923.4. Constantes de velocidad térmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.5. Parámetros de Arrhenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.6. Coeficiente de transmisión κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.7. Factores en los KIEs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100xiii

Capítulo 1Introducción y objetivosn este primer capítulo de la memoria se hace una breve descripción deE las vitaminas como compuestos químicos, de su papel bioquímico, y sepresenta una descripción de la ruta metabólica que siguen los organismos vivospara sintetizar la vitamina D 3 . Se describe la transposición sigmatrópica [1,7]de hidrógeno como etapa determinante de la formación de la vitamina D 3 yse verán los antecedentes bibliográficos de este proceso, así como el papel quepueden jugar los efectos cuánticos en el mismo.1.1. Las vitaminasA lo largo de la historia existen numerosas observaciones acerca de lasenfermedades provocadas por la ausencia de vitaminas en la dieta o el déficitde exposición de la piel a la radiación solar.Una de las primeras observaciones de la que tenemos constancia fue la realizadapor el historiador griego Heródoto, quien analizó de forma anecdótica,pero con gran espíritu investigador las guerras médicas. Heródoto visitaba loscampos de batalla e inspeccionaba los cráneos de los muertos persas y egipcios,y acotaba que los cráneos de los persas eran más frágiles y abollonados,comparados con los de los egipcios que eran más fuertes. Heródoto atribuíaesta diferencia a que los cráneos de los egipcios siempre estaban al descubiertoy se exponían a las radiaciones solares, a diferencia de los cráneos persas queestaban cubiertos con turbantes.Muy posterior fue la observación del explorador francés Jacques Cartierque exploró y cartografió con éxito las costas del golfo y el río San Lorenzoen el este de Canadá. En 1536, en unas de sus incursiones cerca del río SantaCruz (hoy en día es el río San Carlos en Quebec), la llegada del inviernosorprende al grupo de franceses e indios iroqueses que comanda helándose elrío por el que navegaban y bloqueando el paso de sus barcos. Durante estetiempo los hombres comienzan a enfermar de escorbuto, tanto los francesescomo los iroqueses, pero mientras los franceses mueren, los amerindios salenbien parados. Cartier descubre que los iroqueses se curan con un preparado1

2 1.1. Las vitaminasa base de hojas de cedro blanco hervidas que posteriormente aplica a sushombres, para que éstos se recuperen.Importantes también fueron las investigaciones de James Lind (1716–1794),médico inglés que acabó con el escorbuto en la marina inglesa gracias a la incorporaciónde frutas cítricas, tales como limones y limas, a la dieta de los marinos,así como la del General Kanehiro Takaki (1849–1920), que erradicó laenfermedad del beriberi en la armada japonesa incrementando las cantidadesde carne, cebada y frutas en la dieta de los marinos. Este último atribuyócorrectamente la enfermedad a un déficit alimenticio, pero erróneamentecreía que cantidades suficientes de proteínas la prevenían.Las observaciones de este tipo fueron muy numerosas a lo largo de la historiapero en ellas se desconocía cuál era el principal causante de todas estasenfermedades. Sólo a partir de finales del siglo XIX se comenzaron a realizarlos primeros estudios de carácter científico, que fueron los llevados a cabo porNicholai Lunin y Cornelius Adrianus Pekelharing, en 1881 y en 1905 respectivamente,quienes pusieron de manifiesto que los ratones jóvenes no crecíancuando se les proporcionaba una mezcla artificial de componentes purificadosde la leche (proteínas, carbohidratos, grasas y sales) o bien cuando ésta erasustituida por el agua en la dieta. Concluyeron que una sustancia desconocidapresente en la leche en pequeñas cantidades era de vital importancia en laalimentación y que sin ella los animales perdían la capacidad de utilizar otrosnutrientes de su dieta.Paralelamente, en 1897 el fisiólogo y médico holandés Christiaan Eijkmandescubrió que la enfermedad conocida como polineuritis en animales y beriberien humanos, que produce distrofia muscular y parálisis, podía venir provocadaen pollos y palomas por una dieta basada única y exclusivamente en arrozmolido. Su asistente en Java, Gerrit Grijns fue probablemente el primero entener una concepción clara de que el beriberi era una enfermedad debida a lacarencia de determinadas sustancias presentes en los alimentos. Considerandoel factor apuntado por Eijkman, en el que una sustancia química orgánica definida,cuya incorporación en cantidades de trazas en una dieta adecuada, eraresponsable de la cura y prevención de enfermedades deficitarias tales como elberiberi, el escorbuto, el raquitismo y la pelagra, el bioquímico polaco KazimierzFunk aisló en 1911 un concentrado relacionado con la pirimidina a partirdel arroz integral que resultó curar la polineuritis en las palomas [1,2] . Sus concentradosconsistían principalmente en ácido nicotínico (actualmente conocidocomo vitamina B 3 ) –no efectivo contra el beriberi, pero más tarde mostraría[1] C. Funk, “On the chemical nature of the substance wich cures polyneuritis in birdsinduced by a diet of polished rice,” J Physiol, vol. 43, no. 23, pp. 395–400, 1911.[2] C. Funk, “The chemical investigation of the phosphotungstate precipitate from ricepolishings,”Biochem J, vol. 8, pp. 598–615, 1914.

1. Introducción y objetivos 3su efectividad al curar la pelagra– contaminado con el factor antiberiberi [3,4] .Este compuesto fue aislado y cristalizado quince años después y es conocido enla actualidad con el nombre de vitamina B 1 o tiamina. Sus análisis indicaronque el concentrado contenía nitrógeno en una forma básica, probablementeuna amina. Dado que parecía ser vital para la vida, Funk la nombró “vitamine”1[5] . Aunque no eran aminas, el nombre ha sido aplicado a una amplia seriede sustancias encontradas en los alimentos, independientemente de su estructuraquímica. Más tarde en 1920, Jack Cecil Drummond sugirió, que dado queno había evidencias experimentales que apoyaran la idea original de Funk deque estos constituyentes indispensables en la dieta fueran aminas, la “e” finaldebería ser eliminada de modo que la palabra resultante “vitamin”, que hasobrevivido hasta nuestros días, se adecuara al esquema estándar de nomenclatura,que permite a “una substancia neutral de una composición indefinida”tener una terminación en “in”.Años antes, en 1912 el inglés F. G. Hopkins [6] demostró experimentalmenteque los animales necesitan algo más que proteínas, grasas y glúcidos en la dietapara su crecimiento normal. Postuló que uno o más “factores complementarios”,presentes en los alimentos naturales, eran también necesarios para lanutrición animal. Poco tiempo después se puso claramente de manifiesto quedebían existir varias vitaminas, cuando el norteamericano Elmer Verner Mc-Collum descubrió que las ratas jóvenes precisan tanto de factores liposolublescomo hidrosolubles para su crecimiento.A mediados de la década de los años 30 se produjo un gran avance, alser aisladas por primer vez algunas vitaminas estableciéndose sus estructurasmoleculares, a pesar de que sólo podían obtenerse cantidades miligrámicas delas sustancias puras, a menudo partiendo de toneladas del material de partida.Dos grupos independientes, por un lado el grupo de Lafayette BenedictMendel y Thomas Burr Osborne pertenecientes al Sheffield Scientific Schooly al Connecticut Agricultural Experiment Station en New Haven, respectivamente,y por otro lado el grupo de Elmer Verner McCollum y MargueriteDavis de la Universidad de Wisconsin, publicaron casi al mismo tiempoel descubrimiento de un nuevo compuesto reconocido como vitamina al que1 Del inglés vitalamine (amina vital).[3] C. C. I. A. J. F. C. Gillispie, Dictionary of scientific biography, vol. 5. Charles Scribner’sand Sons, 1972.[4] P. Griminger, “Casimir Funk: A Biographical Sketch (1884-1967),” Journal of Nutrition,vol. 102, no. 9, pp. 1107–1113, 1972.[5] C. Funk, “The etiology of the deficiency diseases. Beri-beri, polyneuritis in birds, epidemicdropsy, scurvy, experimental scurvy in animals, infantile scurvy, ship ber-beri,pellagra,” J. State Med, vol. 20, pp. 341–368, 1912.[6] F. G. Hopkins, “Feeding experiments illustrating the importance of accessory factors innormal dietaries,” J. Physiol, vol. 44, pp. 425–460, 1912.

4 1.1. Las vitaminasdenominaron“vitamina A liposoluble” [7,8] , que finalmente resultaría ser unacombinación de las vitaminas A y D. En los años subsiguientes se identificaronla tiamina (vitamina B 1 ), la riboflavina (vitamina B 2 ) y el ácido nicotínico.Poco después se descubrió que estas vitaminas actúan como componentes fundamentalesde algunos coenzimas. Por ejemplo, el enzima que ahora recibe elnombre de piruvatodescarboxilasa, que cataliza la descarboxilación del ácidopirúvico o acetaldehido y CO 2 en la fermentación alcohólica del azúcar por lalevadura, precisa de un cofactor orgánico termoestable llamado cocarboxilasa,cuyo aislamiento consiguieron Kyger C. Lohmann y P. Schuster en 1936. Posteriormente,estos investigadores descubrieron que la carboxilasa contiene unamolécula de tiamina, o vitamina B 1 . Muy pronto identificaron a la riboflavinay al ácido nicotínico como componentes importantes de otros coenzimas ynecesarios para la oxidación enzimática de los glúcidos. Estos descubrimientosdemostraron, no solamente el papel biológico de muchas vitaminas y el porqué actúan en cantidades mínimas, sino que iluminaron el camino que conducea una mejor compresión molecular del mecanismo mediante el cual loscoenzimas y los enzimas aceleran la velocidad de las reacciones químicas.Actualmente se sabe que las vitaminas son moléculas orgánicas, de naturalezay composición variada, imprescindibles en los procesos metabólicosque tienen lugar en los seres vivos. No aportan energía, ya que no se utilizancomo combustible, pero sin ellas el organismo no es capaz de aprovechar loselementos constructivos y energéticos suministrados por la alimentación, puesayudan a convertir los alimentos en energía. Normalmente se utilizan en elinterior de las células como antecesoras de los coenzimas, a partir de los cualesse elaboran los miles de enzimas que regulan las reacciones químicas de las queviven las células. De hecho casi todos los transportadores activados que actúancomo coenzimas son derivados de vitaminas, y por tanto estás últimas son necesariasen pequeñas cantidades en la dieta de algunos animales superiores.La Tabla 1.1 presenta las vitaminas que actúan como coenzimas. Esta serie devitaminas se conoce como grupo de las vitaminas B, o complejo B. Se ha deseñalar que, en todos los casos, la vitamina debe modificarse antes de realizarsu función.Las vitaminas ejercen las mismas funciones en casi todos los seres vivos,pero los animales superiores, a lo largo de la evolución, han perdido la capacidadde sintetizarlas. Así, por ejemplo, mientras la Escherichia coli puede crecercon glucosa y sales orgánicas, el ser humano requiere al menos 12 vitaminasen su dieta.[7] E. V. McCollum and M. Davis, “The necessity of certain lipins in the diet duringgrowth,” Journal of Biological Chemistry, vol. 15, no. 1, pp. 167–175, 1913.[8] T. B. Osborne and L. B. Mendel, “The relation of growth to the chemical constituentsof the diet,” Journal of Biological Chemistry, vol. 15, no. 2, pp. 311–326, 1913.

1. Introducción y objetivos 5Tabla 1.1: Vitaminas BVitamina Coenzima Tipo dereacción típicaTiamina Tiamina Transferencia de(B 1 )aldehídoRiboflavina(B 2 )Piridoxina(B 6 )ÁcidonicotínicoÁcidopantotenicoBiotinaFlavinaadeninadinucleótido(FAD)Piridoxal fosfato Transferencia degrupo hacia o desdeaminoácidosNicotínamidaadeninadinucleótido(NAD + )Coenzima A Transferencia deacilosAductos Carboxilación ybiotina-lisina transferencia de(biocitina) grupos carboxilodependienteOxidaciónreducciónOxidaciónreducciónÁcido Fólico Tetrahidrofolato Transferencia defragmentos monocarbonados;síntesis de tiaminaB 12 5’dexosiadenosilcobalaminaTransferencia demetilos,reordenamientosintramolecularesConsecuencia de sudeficienciaBeriberi (pérdida depeso, problemascardíacos y anomalíasneurológicas)Queliosis y estomatitisangular (lesiones en laboca), dermatitisDepresión,convolucionesPelagra (dermatitis,depresión, diarrea)Hipertensiónconfusión,Erupciones alrededor delas cejas, dolor muscular,fatiga (rara)Anemia, defectos en eltubo neural durante eldesarrolloAnemia, anemiaperniciosa, acidosismetilmalónicaLas vías biosintéticas de las vitaminas pueden ser complejas, por consiguiente,es biológicamente más efectivo ingerir las vitaminas que sintetizar losenzimas requeridos para construirlas a partir de moléculas más simples. Estaeficiencia arrastra la dependencia de otros organismos para obtener las sustanciasquímicas esenciales para la vida. De hecho, la deficiencia de vitaminaspuede originar enfermedades en todos los organismos que las requieren.No todas la vitaminas actúan como coenzimas como puede verse en laTabla 1.2. Las vitaminas designadas por las letras A, C, D, E y K tienenun amplio abanico de funciones. La vitamina A (retinol) es el precursor delretinal, el grupo sensible a la luz de la rodopsina y de otros pigmentos visualesy el ácido retinoico es una molécula importante en la señalización celular.

6 1.2. La vitamina DTabla 1.2: Vitaminas que no son coenzimas.Vitamina Función DeficienciaA Papeles en la visión, crecimiento,reproducciónCeguera nocturna, lesionesen la córnea, aparatodigestivo y tubo digestivo.C (ácido ascórbico) Antioxidante Escorbuto (encías hinchadasy sangrantes, hemorragiassubcutáneas.DRegulación del metabolismodel calcio y del fosfatoRaquitismo (en niños)deformidades esqueléticas,crecimiento alterado,osteomalacia (en adultos).Huesos curvados yflexibles.E Antioxidante Inhibición de la producciónde esperma, lesionesmusculares y nerviosas(raras).Una deficiencia de esta vitamina conduce a la ceguera nocturna. Además losanimales jóvenes necesitan vitamina A para crecer. La vitamina C, o ascorbato,actúa como antioxidante. Una deficiencia de vitamina C puede acarrear elescorbuto, una enfermedad debida al colágeno malformado y caracterizadapor lesiones dermatológicas y fragilidad de los vasos sanguíneos. Un metabolitode la vitamina D es una hormona que regula el metabolismo del calcio y elfósforo. Una deficiencia de vitamina D desequilibra la formación de huesoen los animales jóvenes. La deficiencia en vitamina E (α-tocoferol) produceinfertilidad en ratas. Esta vitamina reacciona con las especies reactivas deloxígeno, tales como radicales hidroxilo, y las inactiva antes de que puedanoxidar los lípidos insaturados de las membranas, dañando las estructuras dela células. La vitamina K es necesaria para la coagulación de la sangre. Todasestas vitaminas pueden clasificarse en dos grandes grupos, las hidrosolubles ylas liposolubles. Al primer grupo pertenece la vitaminas B y el complejo C,mientras que las vitaminas A, D, E y K pertenecen al segundo.1.2. La vitamina DDesde hace mucho tiempo se sabe que el raquitismo, enfermedad del crecimientode los huesos que produce arqueamiento de las piernas, es corrienteen zonas de inviernos prolongados, donde los niños se hallan poco expuestosa la luz solar. Se estima que al final del siglo XIX, más del 90 % de los niñosque vivían en las ciudades industrializadas de Europa y Norteamérica tenían

1. Introducción y objetivos 7alguna manifestación de raquitismo. También era conocido que ésta y otrasenfermedades, como, la osteomalacia, la desnutrición, y cierto tipo de enfermedadesoculares se curaban con la ingesta de aceites de hígado de pescado.En 1922 McCollum y colaboradores [9] identificaron, en el aceite de hígado debacalao la vitamina D como la sustancia eficaz contra estas enfermedades, demostrandoque se trataba de un esterol. Estos hechos condujeron al aislamientoe identificación de varios compuestos que poseían actividad de vitamina D opotencial actividad de vitamina D. Las estructuras químicas de la vitamina D 2(ergocalciferol, 1b, Figura 1.1) y de la vitamina D 3 (colecalciferol, 1a, Figura1.1) se determinaron por primera vez en la década de los años 30 en los laboratoriosdel profesor Adolf Windaus en la Universidad de Göttingen, Alemania.La vitamina D 2 obtenida al irradiar con luz ultravioleta el esteroide ergosterol(2b) se definió químicamente en 1932 [10] mientras que la vitamina D 3 no fueidentificada químicamente hasta 1936, cuando se demostró que provenía de lairradiación ultravioleta del 7-dehidrocolesterol (2a) [11] .HO3A18 R1217C D9815H76519101a, R=b, R=21202228252726HO191A3 5H61812CH7BD15R171a, Vitamina D 3 o colecalciferol1b, Vitamina D 2 o ergocalciferol2a, 7-Dehidrocolesterol o provitamina D 32b, Ergosterol o provitamina D 2Figura 1.1: Estructura de las vitaminas D 2 y D 3 y de sus precursores esteroideos.El término vitamina D engloba una serie de metabolitos y otros análogosde estas sustancias. Se han descubierto varias formas de la vitamina D:• Vitamina D 1 : combinación de ergocalciferol con lumisterol en una proporciónde 1:1.[9] E. V. McCollum, N. Simmonds, J. E. Becker, and P. G. Shipley, “Studies on experimentalrickets XXI. An experimental demonstration of the existence of a vitaminwhich promotes calcium deposition,” Journal of Biological Chemistry, vol. 53, no. 2,pp. 293–312, 1922.[10] A. Windaus, O. Linsert, A. Luttringhaus, and G. Weidlinch, “Über das krystallistierteVitamin D 2,” Justis Liebigs Ann Chem, vol. 492, p. 226, 1932.[11] A. Windaus, F. Schenck, and F. V. Werder, “Über das antirachitisch wirksame Bestrahlungsproduktaus 7-Dehydrocholesterol,” Z. Physiol. Chem, vol. 241, pp. 100–103,1936.

8 1.2. La vitamina D• Vitamina D 2 : ergocalciferol o calciferol.• Vitamina D 3 : colecalciferol (sintetizado a partir del 7-dehidrocolesterolen la piel).• Vitamina D 4 : 22-dihidroergocalciferol.• Vitamina D 5 : sitocalciferol (se obtiene a partir del 7-dehidrositosterol).Todos estos compuestos pueden ser considerados desde un punto de vistaquímico como secoesteroides, es decir esteroides 2 en los que el anillo B seha roto. Por este motivo su estructura mantiene la numeración del colesteroldel que proceden, así los nombres establecidos por la IUPAC para la vitaminaD 3 y D 2 respectivamente son 9,10-seco (5Z,7E) 5,7,10(19)colestatrieno-3β-oly 9,10-seco (5Z,7E) 5,7,10(19)ergostatetraeno-3β-ol. Además la cara superiordel biciclo CD se denomina β mientras que la inferior es la α justo al contrarioque en el caso del anillo A en el que la cara superior es la α y la inferior es laβ.231A41119109B561812C87131417D1516Figura 1.2: Núcleo del perhidrociclopentanofenantrenoLas formas más importantes de la vitamina D son la vitamina D 3 (colecalciferol)y la vitamina D 2 (ergocalciferol o esterol de la levadura) mostradas enla Figura 1.1. Ambas estructuras químicas se diferencian en su cadena lateral(la vitamina D 2 contiene un doble enlace entre los carbonos 22 y 23, y ungrupo metilo en el carbono 24).Mientras que las fuentes de la vitamina D 2 se encuentran en los hongosy en la plantas, la vitamina D 3 es de origen animal. En la mayoría de losmamíferos, incluidos los humanos, la vitamina D 3 es mucho más efectiva quela D 2 [12] . Sin embargo en algunas especies tales como las ratas, el orden seinvierte siendo la vitamina D 2 más efectiva que la D 3 .2 Derivados del hidrocarburo tetracíclico saturado perhidrociclopentanofenantreno cuyonúcleo se muestra en la Figura 1.2.[12] L. A. G. Armas, B. W. Hollis, and R. P. Heaney, “Vitamin D 2 Is Much Less Effectivethan Vitamin D 3 in Humans,” Journal of Clinical Endocrinology & Metabolism, vol. 89,no. 11, pp. 5387–5391, 2004.

1. Introducción y objetivos 91.3. La vitamina D 3El origen de la vitamina D se remonta aproximadamente a 500 o 750millones de años atrás. Posiblemente se generó del plancton de las plantasy fue transferida a lo largo de la cadena de los alimentos de origenanimal a los peces marinos, donde se almacenó y concentró [13] . Sin embargo,la era moderna de la vitamina D se inició entre los años 1965 y 1970con el descubrimiento [14] y la caracterización de la 1α,25-dihidroxivitamina-D 3 (1α,25-(OH) 2 -D 3 o 1α,25-colecalciferol) y de su receptor nuclear el VDR(del inglés “vitamin D 3 receptor”) [15] . El 1α,25-(OH) 2 -D 3 es el metabolito activode la vitamina D 3 y es el responsable directo de la homeostasis, o controldel metabolismo, del calcio y el fósforo en los huesos y la sangre que actúacon la ayuda de la hormona paratiroides y la calcitonina. Él es el encargadode promover la absorción intestinal del calcio y de facilitar la mineralizaciónde los huesos [16,17] . Sin embargo la vitamina D 3 como tal no tiene ningunafunción biológica intrínseca conocida en el organismo.Los seres vivos dependientes de la vitamina D 3 pueden obtener dicho metabolitoactivo bien vía exógena a través de la dieta, o bien vía endógenaa partir del 7-dehidrocolesterol y con ayuda de radiación ultravioleta. El 7-dehidrocolesterol (o provitamina D 3 ) que actúa como esteroide básico, se fotolizaen la piel por acción de la luz ultravioleta de la radiación solar en previtaminaD 3 , que espontáneamente se isomeriza a vitamina D 3 . La vitamina D 3 seconvierte en calcitriol (1α,25-(OH) 2 -D 3 ) mediante reacciones de hidroxilaciónque tienen lugar en el hígado y los riñones.En virtud de su producción endógena, la regulación de su síntesis, su distribuciónpor vía sanguínea a los tejidos diana lejos del lugar de producción,así como por su mecanismo de acción, la vitamina D 3 , en cuanto a su metabolito,el 1α,25-(OH) 2 -D 3 , se refiere, puede considerarse una hormona esteroidea.De hecho H. F. DeLuca ha postulado que dicho metabolito, el 1α,25-(OH) 2 -D 3es en realidad una hormona , que es transportado por la sangre al objetivoespecífico de los tejidos en donde se une a un receptor, similar estructuralmentea los receptores de los esteroides (el VDR), para formar un complejo queejerce su función reguladora actuando como un factor de transcripción que[13] M. F. Holick, “Vitamin D: A millenium perspective,” Journal of Cellular Biochemistry,vol. 88, no. 2, pp. 296–307, 2003.[14] M. R. Haussler, J. F. Myrtle, and A. Norman, “The Association of a Metabolite of VitaminD 3 with Intestinal Mucosa Chromatin in Vivo,” Journal of Biological Chemistry,vol. 243, no. 15, pp. 4055–4064, 1968.[15] M. R. Haussler and A. W. Norman, “Chromosomal Receptor for A Vitamin D Metabolite,”Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America,vol. 62, no. 1, pp. 155–162, 1969.[16] A. W. Norman, Vitamin D: The Calcium Homeostatic Steroid Hormone. AcademicPress, 1979.[17] T. C. Chen, L. Castillo, M. Korycka-Dahl, and H. DeLuca, “Role of Vitamin D Metabolitesin Phosphate Transport of Rat Intestine,” Journal of Nutrition, vol. 104, no. 8,p. 1056, 1974.

10 1.3. La vitamina D 3241225OHH8H19HOHO31OHVitamina D 3o colecalciferol1α,25-Dihidroxivitamina-D 3 ,1α,25-(OH) 2 -D 3 o calcitriolFigura 1.3: Estructura de la vitamina D 3 y de su metabolito activo.regula la expresión génica. Las funciones que realiza la vitamina D 3 tienenlugar, o bien a través de la interacción con su receptor nuclear, responsable delas respuestas genómicas, o bien con un receptor de membrana, responsablede las respuestas no genómicas o rápidas del metabolito activo. Los estudiosrealizados hasta la fecha no han aclarado el mecanismo por el que transcurrenlas funciones no genómicas.Se denomina vitamina a aquella sustancia que se necesita en pequeñascantidades y que el organismo no es capaz de sintetizar. La vitamina D 3 nose corresponde con esta definición pero se convierte en una “vitamina real”cuando por razones ambientales, el organismo no es capaz de sintetizarla principalmentedebido a una exposición solar deficiente y es necesario adquirirlaa través de la dieta. Son pocos los alimentos que contienen cantidades significativasde vitamina D 3 y entre ellos se encuentran los aceites de pescado,los champiñones y la yema de huevo. Otro método para obtener alimentoscon vitamina D 3 es a partir de aquellos que una vez irradiados contienen elmetabolito activo, este procedimiento fue muy utilizado durante los años 30en que el déficit de esta vitamina causaba graves enfermedades [18] .Las cantidades diarias de vitamina D 3 recomendadas se ilustran en la Tabla1.3. La malnutrición de la vitamina D 3 también puede estar ligada a enfermedadescrónicas como el cáncer (de pecho, ovarios, colón y próstata), dolorcrónico, debilidad, fatiga crónica, enfermedades autoinmunes como la esclerosismúltiple y la diabetes tipo 1, elevada presión arterial, enfermedadesmentales –tales como la depresión, desordenes afectivos estacionales y posiblementecon la esquizofrenia– enfermedades del corazón, artritis reumatoide,[18] A. F. Hess, “The antirachitic activation of foods and of cholesterol by ultraviolet irradiation,”J. Am. Med. Assoc, vol. 84, pp. 1910–1913, 1925.

1. Introducción y objetivos 11Tabla 1.3: Cantidades diarias de vitamina D 3 recomendadas.Edad Hombre Mujer19-50 5 µg o 200 IU 5 µg o 200 IU51-69 10 µg o 400 IU 10 µg o 400 IU70- 15 µg o 600 IU 15 µg o 600 IU1µg vitamina D 3 = 40 Unidades internacionales (IU)psoriasis, tuberculosis y enfermedad inflamatoria del intestino. Además se hadescubierto [19] que esta vitamina parece cumplir funciones antienvejecimiento.Las personas con altas dosis de esta vitamina poseen telómeros más largos quelas personas con dosis bajas. La longitud de los telómeros se asocia al estadode envejecimiento real, cuanto más largos se mantiene los telómeros más jovenbiológicamente se mantiene el organismo. Sin embargo también se ha observadoque dosis elevadas de la 1α,25-(OH) 2 -D 3 presentan efectos tóxicos talescomo la hipercalcemia.Además de en la dieta, la vitamina D 3 , se sintetiza a partir del 7-dehidrocolesterol almacenado en la epidermis. En la piel la vitamina D (provitaminaD, previtamina D y vitamina D) posee un papel protector ya queimpide que se produzcan mutaciones en el material genético o ADN debidas aun exceso de exposición solar. Ésto se debe a que el espectro de absorción deluz ultravioleta (UV) de la vitamina D 3 coincide totalmente con el espectro deabsorción del ADN, el ARN y las proteínas. La vitamina D 3 se genera en lapiel a partir de la 7-dehidrocolesterol que reacciona con radiación UV de unalongitud de onda comprendida entre 290-315 nm. Estas longitudes de ondaestán presentes a nivel del mar cuando el sol se encuentra en un ángulo mayorde 45 o sobre el horizonte o cuando el índice UV es mayor que tres. Estas condicionesse dan diariamente en los trópicos, en las estaciones de primavera yverano en regiones de temperaturas medias y nunca en los círculos árticos. Elhombre pueden sintetizar cantidades adecuadas de vitamina D 3 sólo despuésde 10 a 15 minutos de exposición al sol, al menos dos veces por semana en lacara, los brazos, manos o la espalda sin crema de protección solar. Con unaexposición muy prolongada a los rayos UV, se alcanza un equilibrio en la piel yla vitamina simplemente se degrada tan rápido como se genera, además si persistela irradiación UV la previtamina se isomeriza a taquisterol o lumisterolen un mecanismo protector del exceso de formación de vitamina D 3 .La ruta metabólica de la vitamina D 3 comienza con la ruptura foto-[19] J. B. Richards, A. M. Valdes, J. P. Gardner, D. Paximadas, M. Kimura, A. Nessa,X. Lu, G. L. Surdulescu, R. Swaminathan, T. D. Spector, et al., “Higher serum vitaminD concentrations are associated with longer leukocyte telomere length in women,”American Journal of Clinical Nutrition, vol. 86, no. 5, p. 1420, 2007.

12 1.3. La vitamina D 3OHHs-trans,s-cis-Pre-vitamina D 3Síntesis orgánicaHOLUZH HexanoHHOPro-vitamina D 3 s-cis,s-cis-Pre-vitamina D 325ºC91 HrsHBiosíntesisHOHLUZPielHOH8 HrsHOVitamina D 3Figura 1.4: Fotólisis de la provitamina D 3 en previtamina D 3 y su isomerizacióntérmica a vitamina D 3 en hexano y en la piel.química [20] del anillo B (ver Figura 1.2) del 7-dehidrocolesterol por acciónde la luz solar. La previtamina D 3 producida posee dos confórmeros establess-cis,s-cis (cZc) y s-trans,s-cis (tZc). El confórmero trans,cis es el termodinámicamentemás estable, pero el confórmero cis,cis es el único capaz deconvertirse en la vitamina D 3 mediante un desplazamiento sigmatrópico [1,7]de hidrógeno. La vitamina D 3 , una vez formada, se expulsa de la membranaal espacio extracelular debido a motivos estéricos. El confórmero cis,cis de laprevitamina está estabilizado en la bicapa fosfolipídica tanto por interaccioneshidrofílicas entre el hidroxilo del carbono 3 y la cabeza polar de los lípidos,como por la interacción de tipo Van der Waals entre el anillo esteroideo y lacadena alifática de los lípidos. Estas interacciones reducen la conversión delconfórmero cis,cis en el trans,cis, facilitando la isomerización hacia la vitaminaD 3 (Figura 1.4).Se ha demostrado que todos estos procesos tienen lugar también en hexano,pero en este caso el equilibrio entre las formas cis,cis y trans,cis de[20] M. F. Holick, X. Q. Tian, and M. Allen, “Evolutionary Importance for the MembraneEnhancement of the Production of Vitamin D 3 in the Skin of Poikilothermic Animals,”Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, vol.92, no. 8, pp. 3124–3126, 1995.

1. Introducción y objetivos 13la previtamina D 3 está muy desplazado hacia la forma trans y tienen lugaruna serie de reacciones fotoquímicas secundarias que dan lugar a la formaciónde compuestos tales como el lumisterol, el taquisterol y una amplia gama detoxisteroles tal como se muestra en la Figura 1.5 [21] .HOHHLUZToxisterolesLumisterolLUZLUZLUZHHOHHHOPro-vitamina D 3 s-cis,s-cis-Pre-vitamina D 3OHTaquisterolFigura 1.5: Reacciones secundarias in vitro en la fotólisis de la previtaminaD 3 .Una de las características de la vitamina D 3 y sus metabolitos, entre losque se incluye la hormona 1α,25-(OH) 2 -D 3 , es su flexibilidad conformacionalcomparada con otras hormonas esteroideas (Figura 1.1). Esta flexibilidad sedebe a:1. Una cadena lateral que posee cinco enlaces sencillos C-C con libre giro.2. Un sistema triénico que puede rotar 360 o alrededor del enlace C 6 -C 7 ,teniendo dos conformaciones planas posibles, la conformación 6-s-cis y6-s-trans.3. El anillo A que posee varios confórmeros de equilibrio en los que elhidroxilo del carbono 3 puede estar en posición axial o ecuatorial.[21] H. J. C. Jacobs, “Photochemistry of conjugated trienes: vitamin D revisited,” Pure andapplied chemistry, vol. 67, no. 1, pp. 63–70, 1995.

14 1.4. Desplazamiento sigmatrópico [1,7] de hidrógeno1.4. Desplazamiento sigmatrópico [1,7] dehidrógenoLa segunda etapa en la ruta metabólica que conduce a la formación dela vitamina D 3 es un desplazamiento sigmatrópico [1,7] de hidrógeno. Entendiendopor desplazamiento o transposición sigmatrópica de orden [i,j] tododesplazamiento intramolecular de un átomo o grupo de átomos consistente enla migración de un enlace σ, a lo largo de un sistema π electrónico variable, auna nueva posición cuyos extremos son los fragmentos de átomos i—1 y j—1que se han eliminado del enlace original señalado (donde i y j identifican lasposiciones relativas de los átomos involucrados en la migración, del grupo quemigra y de la cadena base respectivamente, teniendo en cuenta que se numeranempezando por la posición original de unión entre ambos) en un proceso intramolecularno catalizado, y a través de un estado de transición cíclico (Figura1.6) [22] .ni1enlace σni11 jn1 jn1 jni1nFigura 1.6: Reacción sigmatrópica de orden [i,j]En esta reacción se produce una migración de un átomo de hidrógeno entrelas posiciones 9 y 19, por ello es un desplazamiento sigmatrópico de orden [1,7]como puede verse en la Figura 1.7. Se trata, por tanto de una interconversióntérmica entre la forma s-cis,s-cis de la previtamina D 3 y la vitamina D 3 , yconstituye la etapa crucial en la producción de la vitamina D 3 .Desde un punto de vista cinético el desplazamiento sigmatrópico, es la etapadeterminante de la velocidad de reacción pues la reacciones fotoquímicastienen contantes de velocidad que son varios órdenes de magnitud más gran-[22] C. W. Spangler, “Thermal [1, j] sigmatropic rearrangements,” Chemical Reviews, vol.76, no. 2, pp. 187–217, 1976.

1. Introducción y objetivos 15C 8 H 17C 8 H 17H 1 19 * 11 9 *191 H∆*79 *72626HO345HO345Previtamina D 3 Vitamina D 3Figura 1.7: Reacción sigmatrópica [1,7] de hidrógeno en la previtamina D 3∗ Numeración según la IUPACdes que los procesos térmicos. Su naturaleza como proceso intramolecular yconcertado se puso de manifiesto en una serie de experimentos llevados a caboen la vitamina D 3 y en calciferoles análogos:• Velluz [23] , Verloop [24] y Schlatmann [25] establecieron que, catalizadores,inhibidores o procesos de cadena radicalarios así como la presencia dedistintos tipos de disolventes, alcoholes en presencia de ácidos, bases ydiferentes tipos de inhibidores no influyen en la velocidad de reacción.También demostraron que esta última no se modifica en un amplio rangode condiciones de reacción diferentes y que la reacción no está promovidapor protones pues tras 4 horas de calentamiento a 70 o C en un mezcla deCH 3 OD y benceno (1:1) no observaron consumo alguno de deuterio.• Medidas de radiactividad demostraron que durante el proceso de fotólisisy transferencia de hidrógeno en el derivado trideuterado del 1,7-dehidrocolesterol para dar lugar a la formación de la vitamina D 3 noexisten pérdidas apreciables del isótopo durante la conversión. [26]Respecto al curso estereoquímico de esta reacción existen numerosos estudiosal respecto. En 1965 R. B. Woodward y Roald Hoffmann [27] fueron losprimeros en señalar que las relaciones de simetría orbital juegan un papel muy[23] L. Velluz, G. Amiard, and B. Goffinet, “Etio analogs of precalciferol,” Bull. Soc. Chim.France, vol. 6, p. 882, 1957.[24] A. Verloop, A. L. Koevoet, and E. Havinga, “Studies on vitamin D and related compoundsVII. Stereochemistry of the trienic systems of vitamin D and related compounds,”Trav. Chim. Psys-Bas, vol. 76, pp. 689–702, 1957.[25] J. L. M. A. Schlatmann, J. Pot, and E. Havinga, “Studies on vitamin D and relatedcompounds. XVIII,” Recl. Trav. Chim. Pays-Bas, vol. 83, no. 9/10, pp. 1173–1184,1964.[26] M. Akhtar and C. J. Gibbons, “A convenient synthesis of vitamin D 3-9, 19- 3 H and themechanism of the previtamin D 3 ⇋ vitamin D 3 reaction,” Tetrahedron Lett, vol. 48, pp.509–12, 1965.[27] R. B. Woodward and R. Hoffmann, “Selection Rules for Sigmatropic Reactions,” Journalof the American Chemical Society, vol. 87, no. 11, pp. 2511–2513, 1965.

16 1.4. Desplazamiento sigmatrópico [1,7] de hidrógenoimportante en el transcurso de las reacciones sigmatrópicas, similar al que operaen las reacciones electrocíclicas [28] y las cicloadiciones concertadas [29] , quepreviamente habían estudiado. Estos investigadores establecieron que existendos vías posibles para la migración del enlace σ, una denominada suprafacial,en la que el grupo que migra se mantiene durante todo el proceso en una delas caras del plano nodal que define el sistema π, y otra denominada antarafacial,en la que el grupo que migra pasa de la cara superior del plano a lacara inferior. El camino a través del cual tiene lugar el proceso viene regidoFigura 1.8: Posibles caminos para una reacción sigmatrópicapor la simetría del orbital molecular ocupado de mayor energía (en inglés,HOMO acrónimo de “Highest Occupied Molecular Orbital”) a razón de unsolapamiento orbital positivo.Si se considera la reacción sigmatrópica más sencilla, esto es, la transposición[1,3] de hidrógeno en el radical alilo, la teoría de orbitales molecularesgenera, a partir de sus correspondientes orbitales atómicos, tres orbitales molecularesdiferentes. La simetría del sistema π electrónico se muestra en la Figura1.9 en donde el número de nodos o puntos de inversión en la simetría de cadaorbital molecular aumenta en un factor de uno al pasar de un orbital moleculara otro en orden creciente de energía. Si se observa la simetría del HOMO, dadoque debe producirse un solapamiento orbital positivo, la reacción transcurrea través de un proceso antarafacial. En el caso de que la reacción tenga lugarpor vía fotoquímica se ocupará el orbital molecular desocupado o virtual deenergía más baja y el mecanismo de la reacción pasará a ser suprafacial comopuede apreciarse en la Figura 1.9. Haciendo extensivas estas reglas, las transposicionessigmatrópicas [i,j] permitidas por simetría se pueden generalizar, ypara j≤7 aparecen resumidas en la Tabla 1.4.Además, existen otros factores adicionales que condicionan el curso este-[28] R. B. Woodward and R. Hoffmann, “Stereochemistry of Electrocyclic Reactions,” Journalof the American Chemical Society, vol. 87, no. 2, pp. 395–397, 1965.[29] R. Hoffmann and R. B. Woodward, “Selection Rules for Concerted Cycloaddition Reactions,”Journal of the American Chemical Society, vol. 87, no. 9, pp. 2046–2048, 1965.

1. Introducción y objetivos 17Tabla 1.4: Reglas de simetría para las reacciones sigmatrópicas de orden [i,j].[i,j] Térmica (∆) Fotoquímica (hν)[1,3] Antarafacial Suprafacial[1,5] Suprafacial Antarafacial[1,7] Antarafacial SuprafacialFigura 1.9: Diagrama de orbitales del radical alilo y posibilidades de movimientodel átomo de hidrógeno a lo largo del sistema π durante la migración,dependiendo de la fuente externa de radiación.reoquímico de la reacción:• Los procesos antarafaciales obviamente son imposibles en el caso deanillos de tamaño pequeño o medio.• En todos los casos la estructura del sistema π no debe distorsionarsedemasiado pues causaría graves impedimentos en el acoplamiento delsistema π electrónico; por ejemplo este factor hace que procesos antarafacialessean difíciles o incluso imposibles para reacciones sigmatrópicasdonde j=3. Sin embargo para reagrupamientos con j=7 este factor noserá un impedimento para que tenga lugar la reacción.• Las reacciones sigmatrópicas que violen las reglas de selección podríantener lugar a través de procesos por pasos que involucran intermediosdirradicalarios, a pesar de que tales procesos requieren elevadas energías.Así pues en el caso de la transposición sigmatrópica [1,3] del radical alilola reacción se dice que está permitida por simetría orbital pero prohibida porgeometría. En la reacción de isomerización térmica de la previtamina D 3 altratarse de un desplazamiento sigmatrópico de orden [1,7], la migración del

18 1.4. Desplazamiento sigmatrópico [1,7] de hidrógenohidrógeno será antarafacial. Dado que las caras opuestas del plano nodal quedefine el sistema π no son químicamente equivalentes se espera que la reaccióntenga lugar a través de un estado de transición que no sea esteroespecíficopero sí estereoselectivo, es decir que el ataque por una de las caras este másfavorecido que el otro.Los intentos por encontrar un experimento que pusiera de manifiesto estecarácter estereoquímico de la reacción han sido numerosos. El primero fuetal vez el debido a Akhtar y Gibbons [26] , quienes en 1965 tras sustituir loshidrógenos del metilo del carbono 19 de la previtamina D 3 por tritio, observaron,mediante el seguimiento de la reacción, que la relación de los átomos detritio entre las posiciones 9 y 19 en la vitamina respectivamente en la vitaminaera de 1:1, resultado que está en claro acuerdo con la idea de que la migraciónde hidrógeno tiene lugar por ambas caras del plano definido por los anillos Cy D, en contraposición con un cociente de 2:1 en el que tan solo sería posiblela migración por una de las caras.Posteriormente Sheves y colaboradores [30] complementaron las conclusionesanteriores afirmando que parece razonable asumir que el estado de transiciónpara la isomerización vitamina D 3 ⇋ previtamina D 3 posee una conformaciónpreferida en la cual el sistema 1,3,5-trienico de los dos compuestosestá girado en el sentido de la mano derecha, es decir que el anillo A se encuentrabajo los anillos C y D. Utilizaron para ello el seguimiento mediante resonanciamagnética nuclear de la previtamina marcada doblemente con deuterioen el carbono 19. Este experimento les permitió, no sólo calcular el cocientede integración de D–αC9 y el D–βC9, que resulta ser de 2:1, sino también haceruna primera estimación de la constante de velocidad para la transferenciaprotónica y de deuterio, incluyendo así una primera aproximación al valor realdel efecto isotópico cinético.Sin embargo, otro artículo publicado en 1980, Moriarty y Paaren [31] , enbase a la misma reacción para derivados 19-sustituidos del 7-dehidrocolesterolintentaron justificar que se trata de una reacción esteroespecífica, aunque tambiénindicaron que el sistema utilizado podría no ser comparable con de lavitamina D 3 .La demostración experimental que confirmó la naturaleza antarafacial delproceso de desplazamiento sigmatrópico [1,7] fue realizada en 1985 por Hoe-[26] M. Akhtar and C. J. Gibbons, “A convenient synthesis of vitamin D 3-9, 19- 3 H and themechanism of the previtamin D 3 ⇋ vitamin D 3 reaction,” Tetrahedron Lett, vol. 48, pp.509–12, 1965.[30] M. Sheves, E. Berman, Y. Mazur, and Z. V. I. Zaretskii, “Use of deuteron nmr andmass spectrometry for the investigation of the vitamin d3-previtamin d3 equilibrium.,”J.Am.Chem.Soc., vol. 101, no. 7, pp. 1882–1883, 1979.[31] R. M. Moriarty and H. E. Paaren, “The stereochemical course of the previtamin-vitaminconversion with c-19-substituted 7-dehydrocholesteryl derivatives.,” Tetrahedron Lett.,vol. 21, no. 25, pp. 2389–2392, 1980.

1. Introducción y objetivos 19C 8 H 17R 1R 2DMeH1a2aSuprafacialHSuprafacialHAntarafacialD1bC 8 H 17R 1R 2HMe D2bAntarafacialDC 8 H 17DMeHOHHSuprafacialDAntarafacialH1cC 8 H 17C 8 H 17HD MeHSuprafacialDOHH 2cD MeR 1R 2AntarafacialHC 8 H 17R 1R 21 21d2dH D Me1 a-dR 1 : OH ; R 2 : H2 a-dR 1 : H ; R 2 : OHFigura 1.10: ]Esquema con los reactivos y posibles productos de la reacción de migración dehidrógeno [1,7] en un cis,cis isotaquisterol usado por Okamura para demostrarla antarafacialidad del proceso.

20 1.4. Desplazamiento sigmatrópico [1,7] de hidrógenoHCDHMeHHCDMeProhibido por geometríaPermitido por simetríaMeCHDHPermitido por geometríaPermitido por simetríaFigura 1.11: de hidrógeno]Posibilidades para la migración de hidrógeno en la reacción sigmatrópica[1,7] de hidrógeno en el caso del cis,cis isotaquisterol.ger y Okamura [32] , quienes tras sintetizar dos cis-isotaquisteroles (1 y 2 en laFigura 1.10) y en diferentes condiciones de reacción obtuvieron que sólo doscompuestos (2b y 2d en la Figura 1.10) de todos los posibles aparecían tras lareacción de isomerización. La Figura 1.11 indica que, si estudiamos independientemente,pero de manera análoga la migración de hidrógeno y de deuterio,respectivamente, concluiremos que la migración de hidrógeno, si el mecanismoes antarafacial, se producirá a través de una sola de las caras, pues la prohibiciónpor geometría restringe la reacción a uno sólo de tales movimientos. Esobvio que a diferencia del compuesto utilizado por Okamura, la libre rotacióndel metilo en la previtamina D 3 permite la transferencia protónica por ambascaras, como puede apreciarse en la Figura 1.12, convirtiendo al proceso enregioselectivo.El estudio de este tipo de reacciones sigmatrópicas, a pesar de ser bienconocidas desde hace más de 40 años, no estuvo en auge hasta hace aproximadamenteunos 20 años, cuando los primeros resultados cinéticos vieronla luz. Estos primeros trabajos hicieron énfasis en las medidas de los efectosisotópicos cinéticos (en inglés “kinetic isotope effect KIE”) que representan elcociente entre las constantes de velocidad del compuesto con hidrógeno y elcompuesto deuterado y en este sentido, dado que se trata de una reacción de[32] C. A. Hoeger and W. H. Okamura, “On the antarafacial stereochemistry of the thermal[1, 7]-sigmatropic hydrogen shift,” Journal of the American Chemical Society, vol. 107,no. 1, pp. 268–270, 1985.

1. Introducción y objetivos 21Figura 1.12: ]Posibles estados de transición para la reacción de desplazamiento sigmatrópico[1,7] de hidrógeno en la previtamina D 3 considerando un mecanismo antarafacial.La Figura muestra un modelo simplificado de la vitamina D 3 en el quese ha sustituido la cadena lateral R (ver Figura 1.1) por un metilo.transferencia de hidrógeno, que por lo tanto involucra la transferencia de unapartícula ligera entre dos átomos pesados, el efecto túnel puede desempeñarun papel muy importante en el proceso, y la medida de los KIEs es una herramientaútil para poder entenderlo [33] . Normalmente los KIEs elevados indicanla presencia de efecto túnel, dado que el hidrógeno al ser más ligero que eldeuterio puede atravesar la barrera de energía clásica. De cualquier modo,debido a su naturaleza multidimensional, hay casos para los cuales el efectotúnel podría ser importante incluso cuando los KIEs son pequeños. [34]El estudio de los KIEs del desplazamiento sigmatrópico [1,7] de hidrógenocomenzó con el estudio de esta reacción en hidrocarburos modelo más simplesque la previtamina D 3 .Baldwin y Reddy [35] fueron los primeros en medir los efectos isotópicos[33] A. Kohen and H. H. Limbach, Isotope Effects in Chemistry and Biology. CRC Press,Taylor & Francis, 2006.[34] Z. Smedarchina, W. Siebrand, A. Fernandez-Ramos, and Q. Cui, “Kinetic isotope effectsfor concerted multiple proton transfer: A direct dynamics study of an active-site modelof carbonic anhydrase II,” J. Am. Chem. Soc, vol. 125, no. 1, pp. 243–251, 2003.[35] J. E. Baldwin and V. P. Reddy, “Primary deuterium kinetic isotope effects for thethermal [1, 7] sigmatropic rearrangement of 7-methylocta-1, 3 (Z), 5 (Z)-triene,” Journalof the American Chemical Society, vol. 110, no. 24, pp. 8223–8228, 1988.

22 1.4. Desplazamiento sigmatrópico [1,7] de hidrógenoFigura 1.13: Estructura del 1,3(Z),5(Z)-octatrieno y el 2-metilocta-2,4(Z),6(Z)-trieno.cinéticos para el 1,3(Z),5(Z)-octatrieno en el intervalo de temperaturas 333.2–388.2 K, aunque no pudieron llegar a ninguna conclusión acerca de la dependenciatérmica de los KIEs debido a la complejidad de la cinética y la dificultadde distinguir entre efectos isotópicos primarios y secundarios.Por eso, posteriormente abordaron un sistema más fácil de estudiar desdeel punto de vista cinético, aunque un poco más grande, el 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)trieno, pues en este caso la reacción de migración de hidrógenotiene lugar a través de un único confórmero llamado el 2-metilocta-2,4(Z),6(Z)-trieno. [36] Para este compuesto Baldwin y Reddy fueron capaces de deuterarsolamente el hidrógeno que se transfiere, eliminando así las contribucionesde efectos isotópicos secundarios en las medidas. Estas medidas de los efectosisotópicos primarios en el 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno fueron llevadas a caboen el intervalo de temperaturas 333.2K–388.2 K. Los KIEs obtenidos fueron de7.0 a una temperatura de 333.2 K y de 4.6 a 388 K, respectivamente. Tambiénseñalaron que el efecto túnel para esta reacción es importante debido a la grandiferencia entre las energías de activación para el compuesto con hidrógeno yel compuesto deuterado.Jensen [37] y Hess [38] independientemente corroboraron esta conclusión llevandoa cabo cálculos de estructura electrónica. El primero aplicó la teoríaconvencional del estado de transición a la reacción, obteniendo los puntos estacionarioscon cálculos a nivel B3LYP/6-31+G*. Hess calculó un KIE de 3.89a 333.2K, que es aproximadamente la mitad del valor observado por Baldwiny Reddy, y concluyó que la diferencia surge de no haber tenido en cuenta elefecto túnel en este cálculo.Los KIEs observados por Baldwin y Reddy son muy similares a aquellos[36] J. E. Baldwin and V. P. Reddy, “Kinetics and deuterium kinetic isotope effects for thethermal [1, 7] sigmatropic rearrangements of cis, cis-1, 3, 5-octatriene,” Journal of theAmerican Chemical Society, vol. 109, no. 26, pp. 8051–8056, 1987.[37] F. Jensen, “A Theoretical Study of the Allene Effect in [1, n] Sigmatropic HydrogenShifts,” Journal of the American Chemical Society, vol. 117, no. 28, pp. 7487–7492,1995.[38] B. A. Hess Jr, “Computational support for tunneling in thermal [1, 7]-hydrogen shiftreactions.,” J. Org. Chem, vol. 66, no. 17, pp. 5897–5900, 2001.

1. Introducción y objetivos 23medidos por Okamura y colaboradores [39] para la transferencia sigmatrópica[1,7] de hidrógeno de la previtamina D 3 a la vitamina D 3 . Estos fueron de 7.4 a333.2 K y 6.1 a 358.8 K y fueron obtenidos usando un derivado pentadeuteradode la previtamina D 3 . La similitud de resultados entre los KIEs para el trieno yla vitamina, puesto que, se espera un KIE secundario despreciable, indican queel efecto túnel podría también jugar un papel importante en este caso. Todoello parece indicar que el 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno es un buen sistemapara modelizar el proceso de migración de hidrógeno en la previtamina D 3 .1.5. ObjetivosEn la presente memoria se recoge el estudio dinámico de la reacción dedesplazamiento sigmatrópico [1,7] de hidrógeno en el 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno. A este respecto una de las ventajas de llevar a cabo simulaciones teóricasde reacciones químicas es la posibilidad de calcular de manera separadalos efectos de las diferentes contribuciones al KIE, es decir, la contribuciónclásica (rotacional, vibracional y electrónica) y la cuántica (el efecto túnel).En particular, la teoría variacional del estado de transición con correccionesmultidimensionales para el efecto túnel constituye una herramienta útil y poderosaa tal fin. [40]La vitamina D 3 es una molécula muy grande para ser tratada con métodosab initio, e incluso si utilizáramos métodos de la teoría del funcional de la densidadpara los cálculos de la estructura electrónica serían muy costosos en tiempode ordenador. Una posible vía alternativa es usar métodos semiempíricos conparámetros específicos de reacción [41] que tienen un coste computacional muyinferior. El problema que se plantea al utilizar esta metodología estriba en laelección de las restricciones que hay que tener en cuenta para obtener dichosparámetros. Nosotros hemos decidido hacer la elección en base a parámetroscríticos en la reacción de desplazamiento sigmatrópico [1,7] de hidrógeno enel 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno a nivel DFT, y aplicar dichos parámetros alcálculo de la dinámica del modelo sencillo 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno parapoder hacer una comparativa con los datos experimentales y validar la aplicaciónde estos parámetros específicos de reacción al caso de la vitamina D 3 .Es pues, la finalidad del trabajo que se presenta en esta memoria, utilizarla VTST/MT para comprender el papel jugado por el efecto túnel en el desplazamientosigmatrópico [1,7] de hidrógeno en el 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trienomediante el análisis de los KIEs calculados. Para ello se hace uso de los cálculos[39] W. H. Okamura, H. Y. Elnagar, M. Ruther, and S. Dobreff, “Thermal [1,7]-sigmatropicshift of previtamin D 3 to vitamin D 3: synthesis and study of pentadeuterio derivatives,”Journal of organic chemistry, vol. 58, no. 3, pp. 600–610, 1993.[40] A. Fernandez-Ramos, B. A. Ellingson, B. C. Garrett, and D. G. Truhlar, “VariationalTransition State Theory with Multidimensional Tunneling,” 2007.[41] A. Gonzalez-Lafont, T. N. Truong and D. G. Truhlar, “Direct Dynamics Calculationswith Neglect of Diatomic Differential Overlap Molecular Orbital Theory with SpecificReaction Parameters,” J. Phys. Chem., vol. 12, no. 95, pp. 4618 – 4627, 1991.

24 1.5. Objetivosde la estructura electrónica a nivel semiempírico con los parámetros específicosde reacción. Las similitudes entre la molécula de 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trienoy la previtamina D 3 , nos permiten a priori que las conclusiones obtenidas seancomunes a ambos sistemas.

Capítulo 2Métodos teóricosPara aquellos que no conocen las matemáticas, es difícil sentir labelleza, la profunda belleza de la naturaleza... Si quieres aprender sobrela naturaleza, apreciar la naturaleza, es necesario aprender el lenguaje enel que habla.(Richard P. Feynman)a química teórica consiste en la aplicación de las leyes físicas para explicar oL predecir fenómenos químicos. El desarrollo de nuevas teorías y por ende denuevas metodologías supone la implementación de nuevos algoritmos computacionalesen programas informáticos que nos ayuden a abordar diferentesproblemáticas de naturaleza química; ésta es tarea de la química computacional.Solamente la aplicación de estas teorías a problemas reales concretos y lacomparación posterior de los resultados a través de la Química Computacionalse traduce en un avance en la mejora de los métodos existentes hasta la fecha.Y no sólo eso, sino que además de incentivar el desarrollo de nuevos métodos,establece los límites de aplicabilidad de la teoría y justifica las razones de suuso.Por este motivo este capítulo esta dedicado a los métodos que se han utilizadoa lo largo del trabajo que aparece reflejado en esta memoria, presentandolas aproximaciones más importantes en las que se basan.2.1. Aproximación de Born-OppenheimerLos sistemas que estudia la química teórica son los átomos y las moléculasy como tales su comportamiento se rige por las leyes de la mecánica cuántica.Una de las grandes hipótesis sobre las que descansa la mayoría de los cálculosquímico-cuánticos así como nuestra visión de los sistemas microscópicos, esla de considerar a la molécula como un sistema coulombiano, formado por dostipos distintos de partículas cargadas que interaccionan entre sí, electrones ynúcleos.25

26 2.1. Aproximación de Born-OppenheimerDesde un punto de vista mecano-cuántico, las moléculas y los átomos estándefinidas por una función matemática, Ψ, denominada función de onda quedepende del tiempo y de las coordenadas espaciales y de espín de los núcleos⃗R y de los electrones ⃗r. ( )Ψ = Ψ ⃗R,⃗r, t) (2.1)Realmente no es la función de onda la que tiene un significado físico sino sucuadrado |Ψ| 2 , que proporciona la densidad de probabilidad de encontrar laspartículas que componen el sistema en un determinado lugar del espacio, enun instante de tiempo.Si conocemos la función de onda de nuestro sistema seremos capaces decalcular los valores esperados para un operador asociado a un observable físico.El valor medio o esperado para un operador  vendrá dado por la ecuación1 :< A >= < Ψ|Â|Ψ >< Ψ|Ψ >(2.2)La energía es uno el observables físicos más importantes para cualquier sistema.En mecánica cuántica el operador asociado a la energía de un sistema es elhamiltoniano (análogo al hamiltoniano en mecánica clásica) que se define comoĤ = ˆT + ˆV (2.3)donde ˆT y ˆV son los operadores energía cinética y potencial del sistema, respectivamente.Como cualquier operador cuántico posee un análogo clásico, yse puede construir en términos de las variables mecano-clásicas que definen lascoordenadas cartesianas (x) y los momentos (p), sustituyéndolos posteriormentepor sus operadores cuánticos: Por ejemplo para un sistema monodimensionalMecánica clásica Mecánica cuánticax −→ ˆxp x −→ −i ∂∂xde una sola partícula de masa m el hamiltoniano clásico tiene la forma:H = T + V = 1 2 mv2 + V (x) = p2 x2m + V (x)mientras que el cuántico:Ĥ = ˆT + ˆV = − 2 ∂+ V (ˆx)2m ∂ xEn mecánica cuántica la evolución temporal de todo sistema viene definidapor la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.( ) ∂ψi = Ĥψ (2.4)∂t1 A lo largo de la memoria se hará uso de la notación de Dirac para las integrales, por sermás compacta.

2. Métodos teóricos 27Sin embargo en casi todos los cálculos químico-cuánticos y en particular losque hemos llevado a cabo en esta memoria, se considera que el hamiltonianoes invariante con el tiempo y por tanto el sistema se encuentra en un estadoestacionario caracterizado porque en él las propiedades físicas del sistema permaneceninalteradas con el tiempo, en especial la densidad de probabilidad.En los estados estacionarios la función de onda, solución de la ecuación deSchrödinger dependiente del tiempo, será de la forma(ψ ⃗r, R, ⃗ ) (t = Ψ ⃗r, R ⃗ ) (f(t) = Ψ ⃗r, R ⃗ )e −iEt/ (2.5)La nueva función de onda independiente del tiempo Ψ se obtiene al resolverla ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.ĤΨ = EΨ (2.6)El hamiltoniano total no relativista del sistema, referido al centro de masasy sin considerar el movimiento de traslación del sistema, puede expresarse enunidades atómicas como la suma 2 :dondeĤ = ˆT + ˆV = ˆT n + ˆT e + ˆV nn + ˆV ee + ˆV ne (2.7)ˆT n =ˆT e =N∑α=1n∑i=1−12M α∇ 2 α (2.8)−12M i∇ 2 i (2.9)son, respectivamente los términos de energía cinética de los núcleos y los electrones,y en dondeN∑ N∑ Z α Z βˆV nn =(2.10)R α,βα=1 β>αˆV ee =n∑n∑i=1 j>i1r i,j(2.11)ˆV ne =n∑N∑i=1 α=1−1r i,α(2.12)son los términos de energía potencial correspondientes a las interacciones entrediferentes núcleos entre sí, diferentes electrones entre sí y entre núcleos yelectrones entre sí, respectivamente.2 En donde se han despreciado las interacciones magnéticas y los acoplamientos espínórbita.

28 2.1. Aproximación de Born-OppenheimerEste último operador, que define la atracción entre los electrones y losnúcleos hace que la ecuación de Schrödinger (Ec. 2.6) para sistemas poliatómicos3 no se pueda resolver de manera exacta, debido a los términos de acoplamientoentre las variables que definen los movimientos de los distintos núcleosy los electrones.La aproximación de Born-Oppenheimer [42] permite resolver este problemay expresar la función de onda como producto de la función electrónica Ψ e y lanuclear Ψ n en donde ⃗ R son las coordenadas nucleares y ⃗r las electrónicas.Ψ(⃗r, ⃗ R) = Ψ n ( ⃗ R)Ψ e (⃗r; ⃗ R) (2.13)Considera que los núcleos permanecen estacionarios respecto a los electrones.Se basa en la gran diferencia de masa que hay entre los electrones y los núcleos,por ejemplo el núcleo de hidrógeno es 1836 veces más pesado que un electrón.Los núcleos al tener una masa mucho más elevada, se moverán más lentamenteque los electrones. La aproximación de Born-Oppenheimer asume que estos dosmovimientos están desacoplados. Cuando los núcleos cambian su posición loselectrones se reajustan rápidamente a la nueva configuración nuclear.Matemáticamente la aproximación de Born-Oppenheimer se puede demostrarreescribiendo el hamiltoniano de la Ecuación 2.7 en términos de la constante( me) ( ) 1/4 1 1/4k = ≈ (2.14)M Mdonde m e es la masa del electrón y M es la masa media nuclear de la molécula∑ Nα=1M =m αN(2.15)La Ecuación 2.14 asegura que se pueda hacer una expansión de la ecuación deSchrödingerĤΨ(⃗r, R) ⃗ (= ˆTn + ˆT e + ˆV nn + ˆV ee + ˆV)ne Ψ(⃗r, R) ⃗ = EΨ(⃗r, R) ⃗ (2.16)en términos de potencias de k. Esto simplifica tremendamente el problemapues los operadores de energía cinética de los electrones ˆT e , el potencial deinteracción núcleo-electrón ˆV ne y el potencial de interacción interelectrónicoˆV ee son independientes de k.Las contribuciones a la energía total del sistema de los términos de primery tercer orden del desarrollo son nulos. La cancelación del término deprimer orden está relacionada con la existencia de una “configuración de equilibrio”dondela energía electrónica para una configuración nuclear fija es un3 A excepción de la molécula de H + 2 .[42] M. Born and R. Oppenheimer, “Quantum theory of the molecules.,” Ann.Phys.(Berlin,Ger.), vol. 84, pp. 457–484, 1927.

2. Métodos teóricos 29mínimo. Mientras que el término de cuarto orden, correspondiente a la rotaciónde la molécula, y los de orden superior, que representan el acoplamientoentre los tres tipos básicos de movimiento, se desprecian. El término de segundoorden representa la energía vibracional nuclear para vibraciones alrededorde la posición de equilibrio. De este modo se consigue separar los movimientosnuclear y electrónico de la molécula.Por un lado tendremos la ecuación de Schrödinger electrónicaĤ e Ψ e (⃗r; R) ⃗ (= ˆTe + ˆV ee + ˆV)ne Ψ e (⃗r; R) ⃗ = E e ( R)Ψ ⃗ e (⃗r; R) ⃗ (2.17)que describe el movimiento electrónico para una configuración nuclear dada⃗R de la que depende paramétricamente. E e ( ⃗ R) es el valor propio del hamiltonianoelectrónico para esa configuración nuclear. Normalmente en la ecuaciónde Schrödinger electrónica también se incluye el término de repulsión internuclear(Ec. 2.10) pues su valor propio V nn es un término constante para cadaconfiguración nuclear.Así, es posible definir la energía potencial como la suma de la energíapotencial de repulsión nuclear y la energía electrónica.U( ⃗ R) = E e ( ⃗ R) + V nn ( ⃗ R) (2.18)Es una función que proporciona un valor de energía potencial para cada una delas posibles configuraciones nucleares y da lugar a la definición de superficie deenergía potencial, en inglés “Potential Energy Surface (PES)”. 4 . El conceptode Superficie de Energía Potencial es básico en Química Teórica y se hará usode él a lo largo de esta memoria.Por otro lado tenemos la ecuación de Schrödinger nuclear, donde U( R) ⃗juega el papel de energía potencial en esta ecuación.Ĥ n Ψ n ( R) ⃗ ( )= ˆTn + Û(⃗ R) Ψ n ( R) ⃗ = E n ( R)Ψ ⃗ n ( R) ⃗ (2.19)Cabe decir que la expansión de la ecuación de Schrödinger en potenciasde k sólo es posible cuando el movimiento nuclear respecto una configuraciónnuclear es de pequeña amplitud. Born desarrollo una aproximación más generalaplicable a cualquier geometría Esta aproximación que consiste en queel conjunto de las funciones propias del operador hermítico Ĥe proporcionanuna base completa en el espacio de HilbertĤ e Ψ i e(⃗r, ⃗ R) = E e Ψ i e(⃗r, ⃗ R) (2.20)son funciones de los distintos estado electrónicos i para un conjunto concretode coordenadas nucleares. La solución exacta de la ecuación de Schrödinger se4 En realidad se trata de una hipersuperficie pues el número de parámetros –coordenadasnucleares– de los que depende la función generalmente es mayor que 2. Para sistemas poliatómicosformados por N núcleos la configuración nuclear quedará definida por 3N − 6variables si la molécula es angular y 3N − 5 si la molécula es lineal.

30 2.1. Aproximación de Born-Oppenheimerpuede expresar como una combinación lineal de este conjunto de funcionesΨ(⃗r, ⃗ R) = ∑ iΨ i n( ⃗ R)Ψ i e(⃗r; ⃗ R) (2.21)donde los coeficientes son funciones de onda nucleares, constantes para cada⃗R que describen el movimiento nuclear.Multiplicando la Ecuación 2.16 por el conjugado complejo de Ψ i e(⃗r, R) ⃗ eintegrando en ⃗r para cada estado electrónico i tendremos〈Ψ i e(⃗r, R) ⃗ ∣ ˆT n + ˆT e + ˆV nn + ˆV ee + ˆV∣ ∣∣∑〉ne n( R)Ψ ⃗ i′e (⃗r; R) ⃗ =〈∣Ψ i e(⃗r, R) ⃗ ∣∣∣ ∣ E ∑i ′ Ψ i′i ′ Ψ i′〉 (2.22)n( R)Ψ ⃗ i′e (⃗r; R) ⃗despejando(ˆTn + Ee( i R) ⃗ + ˆV nn + A ii ′( R))⃗ Ψ i e( R) ⃗ + ∑ A ii ′( R)Ψ ⃗ i′e =i ′ =iEΨ i e( ⃗ R) i = 0, 1, 2, 3, . . .(2.23)que constituye un sistema de ecuaciones acoplado por las funciones Ψ i ( ⃗ R) conunos operadores de acoplamiento A ii‘ de la forma:Â ii ′( ⃗ R) = − 1 2∑i[〈Ψ i e |∇ k |Ψ i′e〉 〈+ 2Ψ i e |∇ k | Ψ i′e〉∇ k](2.24)El primer término engloba los denominados elementos de acoplamiento noadiabáticode primer orden y, el segundo, los acoplamientos no-adiabáticos desegundo orden. Esta solución es exacta en un tratamiento no relativista, perosu solución es complicada, incluso para sistemas pequeños. La aproximaciónde Born-Oppenheimer ignora los términos de acoplamiento entre estados diferentes,es decir que considera sólo los elementos diagonales de Â. La Ecuación2.23 se transforma en:(ˆTn + Ee( i R) ⃗ + ˆV n + R))Âii( ⃗ = EΨ i ( R) ⃗ i = 0, 1, 2, 3, . . . (2.25)que representa el movimiento de los núcleos en el estado electrónico i. A lassoluciones así obtenidas se les denomina adiabáticas. Normalmente, la funciónde onda electrónica evoluciona muy lentamente al variar las coordenadasnucleares. En consecuencia, los términos en el sumatorio que incluyen las derivadasprimeras (acoplamiento de primer orden) y segundas (acoplamientos desegundo orden) de la función de onda respecto a la coordenadas nucleares sondespreciables y la aproximación de Born-Oppenheimer es válida. En el casoparticular en el que dos estados electrónicos i y i ′ tengan una energía muypróxima entre sí entonces los términos de acoplamiento serán grandes y no se

2. Métodos teóricos 31podrán omitir. En ese caso la función de onda electrónica varía rápidamenteal variar las coordenadas nucleares y la aproximación no será válida en estaregión [43] .Con la aproximación de Born-Oppenheimer se consigue separar la resoluciónde la ecuación de Schrödinger en dos problemas de diferente naturaleza.Por un lado, se resuelve la ecuación de Schrödinger electrónica a fin de caracterizarla superficie de energía potencial de nuestro sistema ,y por otrose resuelve la ecuación de Schrödinger nuclear que proporciona informaciónacerca del movimiento de los núcleos en el potencial creado por los electrones.Los métodos para resolver la ecuación de Schrödinger electrónica se conocencomo métodos de la estructura electrónica. El desarrollo de ordenadoresdurante la segunda mitad del siglo pasado ha incentivado el desarrollo de estosmétodos. El apartado 2.3 describe los métodos de la estructura electrónica quese han usado en este trabajo.Por otro lado, para poder estudiar el movimiento de los núcleos y evitar laresolución de la ecuación de Schrödinger nuclear usaremos una teoría estadística.Este teoría se conoce con el nombre de teoría del estado de transición queaparece recogida en el apartado 2.4 de este trabajo.2.2. Superficie de energía potencialEl concepto de superficie de energía potencial surge de manera natural alconsiderar la aproximación de Born-Oppenheimer. Su relación con los sistemasy procesos químicos que representa viene definida en función de la característicasde función matemática que tiene por sí misma. Pues nuestra representaciónde los procesos químicos se basa en cómo se mueven los átomos a través de lamisma. Cada una de sus variables representa el movimiento de todos y cadauno de los movimientos de los átomos. Esto implica que para un sistema compuestopor N átomos el número de variables de los que depende la funciónmatemática es de 3N. Por eso la función de energía potencial se define en realidadcomo una hipersuperficie. El número de cálculos de estructura electrónicaen cada uno de los puntos de la superficie sería enorme si no dispusiésemosde herramientas que nos ayudaran a localizar las regiones donde se localizanlos procesos químicos en los que estamos interesados. Aún en el caso de quedefinieramos la geometría molecular en función de las coordenadas internasdel sistema molecular eliminando los grados de libertad de rotación y de traslación,se seguiría teniendo una topología muy amplia y difícil de estudiar.Conocer los parámetros que definen tal función matemáticamente ayuda, nosólo a saber que puntos tienen un significado físico sino, que marca las pautasa seguir para moverse por esta superficie.Los principales conceptos de una hipersuperficie de energía potencial N-dimensional son:[43] H. Nakamura, Nonadiabatic Transition: Concepts, Basic Theories and Applications.World Scientific, 2002.

32 2.2. Superficie de energía potencial• El gradiente de energía potencial, ⃗g, definido como el vector cuyos elementosson las derivadas primeras de la energía potencial respecto a cadauna de las coordenadasg i = ∂V∂q ii = 1, . . .,3N (2.26)Este concepto es muy importante en química teórica pues recurriendoa la expresión de la física que define las fuerzas que experimentan loscuerpos sometidos a una función de energía potencialF = − ∂V∂q(2.27)los puntos en los que el gradiente es cero se caracterizan por ser puntoscríticos o estacionarios en la superficie de energía potencial y definengeometrías moleculares están sometidas a una fuerza nula. Tales puntosposeen significado físico y se pueden caracterizar mediante el análisis delas derivadas segundas de la superficie• La hessiana, H, es la matriz formada por las derivadas segundas de laenergía respecto a las coordenadas cuyos elementos viene definidos porla ecuación:H ij = ∂2 V∂q i ∂q ji = 1, . . .,3N j = 1, . . .,3N (2.28)Esta matriz define la curvatura de la superficie en cada punto y su diagonalizaciónpermite clasificar los puntos críticos de la superficie de energíapotencial. Además las frecuencias del sistema molecular están relacionadascon los elementos de esta matriz mediante la ecuación:f = 12π√km ij(2.29)dónde m ij es la masa de los átomos involucrados en la vibración. Aquellospuntos en los que todos los valores propios de la matriz son positivosserán mínimos sobre la superficie de energía y se corresponden con especiesquímicas estables (todas sus frecuencias serán positivas). Mientrasque aquellos puntos en los que tan sólo uno de los valores propios es negativose corresponden a un punto sobre la superficie que será un mínimoen todas las direcciones excepto en una en la que será un máximo, estadirección tendrá una frecuencia imaginaría asociada que señala el caminopara llegar a reactivos y productos. A estos puntos se les denomina puntosde silla de primer orden, corresponden a estados de transición a travésde lo cuales tiene lugar la reacción química, y permiten transformar unasespecies químicas estables en otras. Los puntos de silla de orden superior(con dos o más valores propios negativos) carecen de significado físico.

2. Métodos teóricos 33Para poder moverse a través de la superficie de energía potencial existenalgoritmos matemáticos adecuados al punto crítico que se busque. Así labúsqueda de los mínimos se basa en el método del paso de mayor descenso enel que se sigue la dirección en la que el gradiente decrece más rápidamente Encambio los estados de transición requieren la evaluación o estimación de lasmatriz de derivadas segundas, siendo un método de mayor coste computacional.Por último, es importante destacar que el significado físico de los procesosquímicos reales y su interpretación a través de la teoría ha generado muchísimasteorías que buscan un símil teórico de los procesos químicos. Uno de lasmodelos más exitosos es el propuesto por K. Fukui [44] que definió el camino porel que tienen lugar las reacciones químicas como aquella trayectoria que une dosmínimos sobre la superficie de energía potencial a través de un estado de transicióny que se puede seguir a través de la coordenada intrínseca de reacción(Intrinsic Reaction Coordinate). De esta aproximación surge el concepto de caminode mínima energía Minimum Energy Path, MEP. Matemáticamente estaaproximación supone resolver una serie de ecuaciones diferenciales acopladasy al respecto existen muchos métodos numéricos diseñados a tal fin. Los máshabituales son los métodos de Euler [45] , Runge-Kutta [45] y el Page-McIver [46] .Este último tiene un elevado coste computacional debido a la necesidad deevaluar las derivadas segundas en cada punto y que utilizaremos en nuestroscálculos de dinámica.2.3. Métodos de la estructura electrónicaLa química computacional es una de las ramas de la ciencia que durante elsiglo pasado ha experimentado un mayor crecimiento, en parte debido al espectaculardesarrollo de los ordenadores. Los cálculos de la estructura electrónicahan ido a la par con este desarrollo y en la actualidad disponemos de unaamplia gama de métodos teóricos. Desde los métodos ab initio (“desde losprincipios”), denominados así porque dan resultados en términos de las constantesfísicas fundamentales, hasta los métodos que usan ciertos parámetrosajustables y que reciben el nombre de métodos semiempíricos. Estos últimoshan permitido el estudio de sistemas relativamente grandes cuando la potenciade cálculo de los ordenadores no permitía estudiarlos usando métodos ab initio.A pesar de que la fiabilidad de los métodos semiempíricos no está siempregarantizada y de que la informática ha experimentado un desarrollo espectacularen las últimas dos décadas del siglo XX, estos métodos siguen siendo[44] K. Fukui, “The Path of Chemical Reactions: The IRC Approach,” Frontier Orbitals andReaction Paths: Selected Papers of Kenichi Fukui, 1997.[45] V. S. Melissas, D. G. Truhlar, and B. C. Garrett, “Optimized calculations of reactionpaths and reaction-path functions for chemical reactions,” The Journal of ChemicalPhysics, vol. 96, p. 5758, 1992.[46] M. Page and J. W. McIver Jr, “On evaluating the reaction path Hamiltonian,” TheJournal of Chemical Physics, vol. 88, p. 922, 1988.

34 2.3. Métodos de la estructura electrónicaobjeto de mejoras y constituyen una alternativa actual viable para los cálculosde dinámica directa sobre sistemas relativamente grandes en los que el tiempocomputacional sería prohibitivo si se utilizaran métodos ab initio.2.3.1. Método de Hartree-FockEl primer paso para calcular la superficie de energía potencial de un sistemaes resolver la ecuación de Schrödinger electrónica:Ĥ e Ψ e (⃗r; R) ⃗ (= ˆTe + ˆV ne + ˆV)ee Ψ e (⃗r; R) ⃗ = E e ( R)Ψ ⃗ e (⃗r; R) ⃗ (2.30)El hamiltoniano electrónico de un sistema formado por N núcleos y n electronesse puede escribir como:Ĥ e =n∑ĥ(i) +i=1n∑n∑i=1 j>i1r ij(2.31)siendo ĥ(i) el hamiltoniano monoelectrónico correspondiente al electrón i:ĥ(i) = −(1/2)∇ 2 (i) −N∑α=1Z αr αi(2.32)Salvo en el caso de que nuestro sistema tenga un solo electrón, comola molécula de H + 2 o los átomos hidrogenoides la ecuación de Schrödingerelectrónica no se puede resolver de manera exacta debido al término de repulsióninterelectrónico que acopla las variables que definen los movimientos delos electrones entre sí. En 1928 Hartree [47] resolvió el problema al sustituir estostérminos bielectrónicos (1/r ij ) por un potencial efectivo monoelectrónico,uniforme y de simetría esférica que trata la repulsión interelectrónica de unamanera promediada. Esto permite tratar el problema inicial n-electrónico enn problemas monoelectrónicos. A esta aproximación se le denominó aproximaciónde campo central pues el potencial tan sólo es función de la distancia. Elhamiltoniano efectivo monoelectrónico será:Ĥ ef = −(1/2)∇ 2 + ˆV ef (⃗r) (2.33)El hamiltoniano electrónico total:Ĥ e =n∑Ĥef i (2.34)i=1no mezcla las coordenadas correspondientes al movimiento de los electronesy la función de onda se puede factorizar como producto de orbitales monoelectrónicos,conocido como producto de Hartree. Esto sumado a la simetría[47] D. Hartree, “The wave mechanics of an atom with a non-coulomb central field, Proc,”Cambridge Phil. Soc, vol. 24, p. 89, 1928.

2. Métodos teóricos 35esférica del problema, nos permite expresar los orbitales monoelectrónicoscomo el producto de una función radial dependiente de ⃗r por un armónicoesférico.n∑ n∑Ψ = ψ i (⃗r i ) = R i (r)Y i (θ, φ) (2.35)i=1La ecuación de valores propios será:(Ĥef i ψ i = −(1/2)∇ 2 i + ˆV)ef (⃗r i ) ψ i = ǫ i ψ i (2.36)donde ǫ i es la energía orbital o la energía asociada a un electrón, cuandoéste está descrito por el orbital ǫ i bajo el potencial creado por los núcleos ylos n − 1 electrones restantes. Con estas ecuaciones y mediante un procesoiterativo y autoconsistente, Hartree obtuvo las funciones radiales. Partiendode un producto de funciones de onda monoelectrónicas o producto de Hartreeque se considera como la aproximación cero al problema:i=1Ψ 0 = ψ 0 (1)ψ 0 (2) · · ·ψ 0 (N) (2.37)se resuelve la ecuación de Schrödinger monoelectrónica en la que se consideraque la repulsión interelectrónica proviene de la interacción entre el electrón 1y el campo electrostático promedio calculado a partir de ψ 0 (1)ψ 0 (2) · · ·ψ 0 (N),debido a los n − 1 electrones restantes. En esta ecuación tan sólo se mueveun electrón. Resolviéndola se obtiene ψ 1 (1) que es la versión mejorada delorbital ψ 0 (1). El siguiente paso es resolver para el electrón 2 la ecuación deSchrödinger monodimensional para el electrón 2 moviendose en un campopromediado debido a los ψ 1 (1)ψ 0 (3) · · ·ψ 0 (N), continuando hasta el electrónn que se mueve en el campo debido ψ 1 (1)ψ 1 (2) · · ·ψ 1 (N). Esto completa elprimer ciclo de los cálculos y proporciona:Repitiendo el ciclo se obtiene:Ψ 0 = ψ 1 (1)ψ 1 (2) · · ·ψ 1 (N) (2.38)Ψ 0 = ψ 2 (1)ψ 2 (2) · · ·ψ 2 (N) (2.39)La energía en cada ciclo será la suma total de las energías orbitales de losn-electrones menos las repulsiones interelectrónicas promediadas:E =n∑i=1n−1∑ǫ i −n∑i=1 j=i+1ψ i ψ jr ijdv i dv j (2.40)El ciclo continúa hasta que la función de onda ψ i y/o la energía calculada paraψ son esencialmente las mismas (de acuerdo a algún criterio razonable) que lafunción de onda o la energía del ciclo previo. Esto ocurre cuando las funcionesψ(1)ψ(2) · · · ψ(N) cambian poco de un ciclo al siguiente de modo que elcampo electrostático promediado usado para la interacción electrón-electrón

36 2.3. Métodos de la estructura electrónicaya no cambia. Este procedimiento se conoce como método de campo autoconsistente(en inglés “Self Consistent Field, SCF”). En concreto el método recibeel nombre de método de campo autoconsistente de Hartree. Resumiendo, setoma un conjunto inicial de orbitales, o lo que es lo mismo un conjunto inicialde funciones radiales, típicamente las soluciones del átomo hidrogenoidey genera el mejor potencial que se introduce en el siguiente ciclo para obtenernuevos orbitales. Cuando la energía y/o la función de onda de un cicloy el siguiente son prácticamente iguales el proceso finaliza, obteniéndose losorbitales moleculares que minimizan la energía.Sin embargo el hecho de que el producto de Hartree no tenga en cuenta laantisimetría de las funciones de onda de los electrones 5 lo invalida.En 1930 Fock [48] y Slater [49] incorporaron el espín electrónico y el postuladode antisimetría de Pauli. Construyeron la función de onda Hartree-Fock comoun determinante de Slater a partir de una serie de espín-orbitales que formanun conjunto ortonormal. Un determinante de Slater es una combinación linealantisimétrica del producto de espín-orbitales:Ψ HF = Ψ(1, 2, . . .,n) = 1 √N!|χ 1 (1)χ 2 (2) · · ·χ n (n)| (2.41)y donde cada espín-orbital es de la forma:χ i = χ i (⃗r i ) = R(⃗r)Y (θ, φ)γ(ξ) (2.42)siendo γ(ξ) la parte de espín.Aplicando el operador hamiltoniano electrónico sobre esta función de onday teniendo en cuenta la ortogonalidad de los diferentes espín-orbitales seobtiene que la energía asociada al determinante de Slater es:E =n∑ n∑ n∑h ii + (J ij − K ij ) (2.43)i=1 i=1 j>idonde el primer término de la ecuación:〈∣ 〉∣∣∣ĥ ii = χ i (1) ∣∣ĥ(1) χ i (1)(2.44)representa las energías de los electrones descritos cada uno por un espín orbitalχ, mientras que la integral:〈∣ 〉J ij = χ i (1)χ j (2)1 ∣∣∣∣ χ i (1)χ j (2)(2.45)r 12 5 Al tratarse de fermiones su espín es semientero.[48] V. Fock, “Näherungsmethode zur Lösung des quantenmechanischen Mehrkörperproblems,”Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei, vol. 61, no. 1, pp. 126–148, 1930.[49] J. C. Slater, “Note on hartree’s method [5],” Physical Review, vol. 35, no. 2, pp. 210–211,1930.

2. Métodos teóricos 37recibe el nombre de integral de Coulomb que representa la repulsión coulombianaentre dos distribuciones de carga asociadas a los espín-orbitales χ i y χ j .Además puede verse que ha surgido un nuevo término de naturaleza estrictamentecuántica como consecuencia de la antisimetría, la integral de intercambioJ ij .〈∣ 〉K ij = χ i (1)χ j (2)1 ∣∣∣∣ χ j (1)χ i (2)(2.46)r 12El propio Slater resolvió este problema multielectrónico desarrollando un métodoanálogo al de Hartree al que denominó método Hartree-Fock. Para ello utilizóel teorema variacional 6 (Ecuación 2.47 imponiendo a los orbitales soluciónla condición de ortonormalidad 〈χ i |χ j 〉 = δ ij ):〈Ψ|Ĥ|Ψ〉E HF =〈Ψ|Ψ〉≥ E 0 (2.47)De modo que los mejores espín-orbitales son aquellos que minimizan la energíaelectrónica E [χ i ].〈Ψ|Ĥ|Ψ 〉E = = ∑ i〈χ i∣ ∣∣ ĥ ii∣ ∣∣ χi〉+ (1/2) ∑ i∑(J ij − K ij ) (2.48)El método de Lagrange permite resolver el problema variacional. Partiendo dela función de Lagrange definida en función de los espín-orbitales como:L[χ i ] = E [χ i ] −n∑i=1 j=1j>in∑ǫ ij [〈χ i |χ j 〉 − δ ij ] (2.49)donde ǫ ij son los multiplicadores de Lagrange y cuya minimización respecto alos espín-orbitales conduce al conjunto de ecuaciones de la forma:ˆf|χ i (1) 〉 =n∑ǫ ij |χ j (1) 〉 i = 1, 2, . . .,N (2.50)j=1conocidas como ecuaciones Hartree-Fock y donde ˆf i es el operador de Fockpara el electrón i, cuya forma es:n∑ˆf(1) =(Ĵj ĥ(1) + − ˆK)jj=1= ĥ1 + ν HFj (2.51)ˆf(1) = −(1/2)∇ 2 1 − ∑ αZ αr 1α(2.52)6 El método variacional se basa en el teorema de Eckart que establece el valor esperadode la energía obtenida a partir de una función aproximada es superior a la energía exactadel estado fundamental.

38 2.3. Métodos de la estructura electrónicaDonde la ecuación anterior engloba el término de energía cinética del electrón1, así como su potencial Hartree-Fock, νjHF y donde Ĵj es el operador deCoulomb y K j es el operador de intercambio:〈∣ 〉J j = χ j (2)1 ∣∣∣∣ χ j (2)(2.53)r 12〈∣ 〉K j = χ j (2)1 ∣∣∣∣ χ j (1)(2.54)r 12La invariancia del operador de Fock respecto a las transformaciones unitarias,al igual que los espín-orbitales, permite escoger una transformaciónunitaria que diagonalice la matriz de Fock, llegándose a las ecuaciones deHartree-Fock canónicas:ˆf(1)|χ ′ i(1) 〉 = ǫ ′ i|χ ′ i(1) 〉 i = 1, 2, . . .,N (2.55)donde los espín-orbitales forman un conjunto canónico de espín-orbitales.Los espín-orbitales, que son las soluciones de estas ecuaciones, están incluidasahora en el operador de Fock, de manera que el conjunto de ecuacionesse ha de resolver igualmente de manera autoconsistente, comenzando conunos espín-orbitales iniciales. Se alcanza la autoconsistencia cuando el procesoiterativo converge y se han obtenido unos espín-orbitales consistentes conel potencial creado por ellos mismos. Al igual que en el método ideado porHartree, la técnica numérica se denomina método del campo autoconsistenteSCF.El conjunto de ecuaciones de Hartree-Fock es, en realidad, un sistema acopladode ecuaciones íntegro-diferenciales, que se resuelven de manera iterativa.En la práctica este proceso entraña gran dificultad de manera que sólo es factiblepara sistemas tan pequeños como átomos o moléculas diatómicas. Sinembargo, en sistemas moleculares el proceso es excesivamente complejo.En 1951 Roothan y Hall [50,51] , de manera independiente, propusieron expresarlos orbitales monoelectrónicos en términos de un conjunto conocido defunciones de base, es decir que el orbital molecular χ i se puede expresar comocombinación lineal de un conjunto de K funciones φ s :χ i =K∑c si φ s i = 1, 2, . . .,K (2.56)s=1Sustituyendo en las ecuaciones de Hartree-Fock e integrando ambos miembrosde la ecuación por el complejo conjugado de las funciones propias φ µ en todoel espacio electrónico se obtiene:K∑c vi〈φ µ (1) ∣ ˆf(1)〉∣ φ ν (1) =v=1K∑〈φ µ (1)|φ ν (1)〉 µ = 1, 2, 3, . . .,K (2.57)µ=1[50] C. C. J. Roothaan, “New developments in molecular orbital theory,” Reviews of ModernPhysics, vol. 23, no. 2, pp. 69–89, 1951.[51] G. G. Hall Proc R Soc Lond ser A Math Phys Sci, vol. 205, p. 541, 1951.

2. Métodos teóricos 39Las integrales que aparecen en el primer miembro corresponden a los elementosde la matriz en representación matricial del operador ˆf en la base {φ v }〈F µν = φ µ (1) ∣ ˆf(1)〉∣ φ ν (1)(2.58)Por su parte, las integrales que aparecen en el segundo miembro son lasintegrales de solapamiento entre funciones de base {φ v }S µν = 〈φ µ (1)|φ ν (1)〉 (2.59)Con ello se logra transformar el problema de ecuaciones integrodiferenciales(ecuaciones HF) en un problema equivalente de ecuaciones algebraicas que sepuede resolver mediante métodos matriciales llamados ecuaciones de Hartree-Fock-Roothaan (HFR)K∑[F µν − ǫ i S µν ]c νi = 0 µ = 1, 2, 3, . . .,K (2.60)ν=1FC = SCE (2.61)siendo S la matriz de solapamiento entre las funciones de base, E la matriz deenergía, C la matriz de coeficientes y F la matriz de Fock en la base empleada.A partir de la definición del operador ˆf y de las de los operadores deCoulomb y de intercambio, puede verse que:F µν = Hµν+cK∑ K∑[ 〈 P λσ φ µ (1)φ λ (2) ∣ ˆf(1)〉∣ φ ν (1)φ σ (2) − 1 〈φ µ (1)φ λ (2) ∣2ˆf(1)〉 ]∣ φ σ (1)φ ν (2)λ=1 σ=1(2.62)donde〈∣ 〉Hµν c ∣ ∣∣= φ µ (1) ∣ĥ(1) φν (1)(2.63)P λσ = 2N∑c λi c σi (2.64)i=1P λσ son los denominados elementos de la matriz densidad y representan ladensidad electrónica en la región de recubrimiento φ λ y φ σ Las integrales queaparecen en el término entre corchetes son las integrales bielectrónicas.La resolución de la Ecuación 2.61 implica una doble diagonalización de lasmatrices F y S que se llevan a cabo mediante diferentes métodos de ortogonalización.Sin embargo la matriz de Fock está definida ahora por los propioscoeficientes, por eso se ha de resolver mediante un proceso iterativo a travésde método SCF. El procedimiento ha de partir de un conjunto de coeficientes,obtener así la matriz de Fock F y diagonalizarla. El nuevo conjunto de

40 2.3. Métodos de la estructura electrónicacoeficientes obtenido se utilizará para construir una nueva matriz de Fock, yasí sucesivamente. No obstante, cabe destacar que esta aproximación debidaa Roothan no genera espín-orbitales moleculares HF de modo exacto pues labase de funciones elegida es un conjunto finito, no completo. No sería unaaproximación si la base fuese completa. Sin embargo, una base completa equivalea emplear un número infinito de funciones, es decir que siempre existe unerror asociado a la necesidad de truncar la base.El desarrollo que se presenta hasta aquí es válido para capas cerradas. Enel caso de capas abiertas, el uso de las ecuaciones de Pople-Nesbet:F α C α = S α C α E α (2.65)F β C β = S β C β E β (2.66)donde α y β se refieren al valor que toma el número cuántico m s = +1/2 y−1/2 respectivamente y donde han de solucionarse simultáneamente ambossistemas de ecuaciones.El método de Hartree-Fock tiene diversas variantes:• Hartree-Fock restringido (en inglés “Restricted Hartree-Fock, RHF”):variante del método aplicado a capas cerradas en el que cada pareja deespín-orbitales de distinto espín tiene la misma función espacial.• Hartree-Fock no restringido (en inglés “Unrestricted Hartree-Fock,UHF”): método de Hartree-Fock en el que cada pareja de espín-orbitalesde distinto espín tiene funciones espaciales diferentes. Se caracteriza porquelas soluciones halladas mediante este método no son funciones propiasdel operador de espín, poseen lo que se denomina contaminación deespín.• Hartree-Fock restringido de capa abierta (en inglés “Restricted OpenShell Hartree-Fock”). En esta versión del método de Hartree-Fock losespín-orbitales poseen la misma parte espacial. La solución hallada coneste método es propia del operador Ŝ2 pero las energías obtenidas sonpeores que en el caso no restringido.De la aproximación de la base, introducida por Roothaan, nace la necesidadde la elección de las funciones de base. Para cada cálculo de la estructuraelectrónica, se debe determinar su número y su calidad, que es independientedel método de cálculo de la estructura electrónica usado.2.3.2. Métodos semiempíricosDentro de esta definición se engloban todos aquellos métodos que, debidoa las aproximaciones adicionales que introducen, hacen uso de parámetrosajustables para compensar la calidad de los resultados.Por un lado están los métodos que solamente se aplican a moléculas conjugadasplanas y que tan sólo tratan los electrones π. Ejemplos son: el método del

2. Métodos teóricos 41electrón libre, el método de orbitales moleculares de Hückel (en inglés “HückelMolecular Orbital, HMO”) y el método de Pariser-Parr-Pople (PPP).Por otro lado, están aquellos que se pueden aplicar a cualquier sistema yque tratan todos los electrones de valencia. Entre ellos cabe citar el métodode Hückel extendido, los métodos CNDO, INDO, NDDO, MINDO, MNDO,AM1, PM3, SAM1 y MINDO/d.Sin embargo si los clasificamos en base a las características de las aproximacionesen las que se basan, existirán dos grandes grupos:• Métodos que hacen uso de un hamiltoniano que es suma de términosmonoelectrónicos al que pertenecen HMO y HEMO (Hückel ExtendedMolecular Orbital, HEMO).• Métodos en los que el hamiltoniano incluye tanto los términos de repulsiónde dos electrones, como términos de un electrón.A pesar de que ambos grupos tienen una concepción diferente del problema,todos ellos introducen una serie de aproximaciones comunes, que son lassiguientes:• Únicamente consideran explícitamente los electrones de valencia, que sonlos responsables de las propiedades químicas de los elementos. A esterespecto los métodos HMO, EMO y PPP sólo consideran los electronesπ.• Los electrones internos de cada átomo se integran en un core juntamentecon el núcleo.• Los orbitales atómicos de valencia de cada átomo se representan medianteuna base mínima de orbitales de Slater.Los métodos del segundo grupo que incluyen las repulsiones interelectrónicasde manera explicita serán los tratados en este apartado, pues son losmétodos que se han utilizado en este trabajo. En concreto se ha utilizadoel método AM1-SRP para los cálculos de dinámica directa. Todos ellos tomancomo punto de partida las ecuaciones de Hartree-Fock-Roothaan del métodode Hartree-Fock descrito en el apartado anterior.Método de Pariser-Parr-PopleDesarrollado en 1953, nació en el seno de las teorías π electrónicas comoalternativa de mejora del método de Hückel, que tiene en cuenta la repulsiónbielectrónica. Este método utiliza el hamiltoniano π-electrónico incluyendo lasrepulsiones electrónicas y donde las sumas se extienden a los electrones π:∑n πĤ π =i=1Ĥ coreπ∑n π ∑(i)i=1 j>i1r ij(2.67)

42 2.3. Métodos de la estructura electrónicaĤ coreπ (i) = − 1 2 ∇2 i + V (i) (2.68)La función de onda π-electrónica se escribe como producto antisimetrizado deespín-orbitales π-electrónicos. Usa una base mínima de un STO 2pπ para cadaátomo conjugado, y el orbital molecular espacial π se toma como combinaciónlineal de esos orbitales atómicos: ψ = ∑ br 1c ri f r . Para obtener los orbitalesmoleculares SCF π con la aproximación π-electrónica 7 usa las ecuaciones deRoothaan. Los orbitales moleculares SCF satisfacen la ecuación ˆF π Φ i = ǫ i φ i .Las ecuaciones de Roothaan se convierten en∑c si (F π,rs − ǫ i S rs ) = 0, r = 1, . . .,b (2.69)sF π.rs = H coreπ,rst +b∑b∑t=1 u=1P tu[(rs|tu) − 1 2 (ru|ts) ](2.70)Además de suponer la separabilidad σ–π, el método PPP hace otras aproximaciones.Se desprecia el solapamiento,S rs ≡ 〈f r (1)|f s (1)〉 , (2.71)lo que es coherente con el desprecio de las integrales de solapamiento, cuandose evalúan las integrales de repulsión electrónica, el método PPP hace laaproximación de solapamiento orbital cero (zero differential overlap, ZDO):f ∗ r (1)f s (1)dv i = 0, para r ≠ s (2.72)A partir de la ecuación anterior y (rs|tu) ≡ 〈f r (1)f t (2)|1/r 12 |f s (1)f u (2)〉, sededuce que las integrales de repulsión electrónica vienen dadas por(rs|tu) = δ rs δ tu (rr|tt) = δ rs δ tu γ rt (2.73)donde γ rt ≡ (rr|tt). Así el método ignora muchas (pero no todas) las integralesde repulsión electrónicas, simplificando por tanto enormemente los cálculos.En particular, se ignoran todas las integrales de repulsión electrónica de cuatrocentros. Se usa la aproximación ZDO en las integrales Hπ,rscoreCon esta aproximación para (rs|tu), los elementos de la matriz F π,rs seconvierten enF π,rr = H coreπ,rr + ∑ tP tt γ rt − (1/2)P rr γrr (2.74)F π,rs = H coreπ,rs − (1/2)P rs , r ≠ s (2.75)El método PPP no intenta especificar explícitamente Ĥcore π o calcular teóricamentelas integrales Hπ,rs. core Más bien, las integrales Hπ,rs core y γ rs se calculana partir de fórmulas semiempíricas aproximadas, alguna de las cuales contieneparámetros empíricos. Por ejemplo, cuando los orbitales atómicos f r y f s7 Sólo considera los electrones π.

2. Métodos teóricos 43son de átomos R y S que están ligados entre sí, Hπ,rs core se puede tomar comok 〈f r |f s 〉, donde el valor del parámetro empírico k se elige de forma que laspredicciones de la teoría proporcionen concuerden bien con el experimento, yla integral de solapamiento 〈f r |f s 〉 se calcula a partir de los STO f r y f s y nose toma como cero como tuvimos en cuenta antes. Las integrales de repulsiónelectrónica de dos centros γ rs se evalúan a partir de fórmulas semiempíricas quecontiene las integrales monocéntricas γ rr y γ ss y la distancia entre los átomos Ry S. La integral monocéntrica γ rr se evalúa como la diferencia entre la energíade ionización del estado de valencia atómico y la afinidad electrónica del átomo,donde estas dos cantidades se evalúan usando datos de niveles de energíaatómicos determinados espectroscópicamente. La integral monocéntrica Hπ,rrcorese calcula a partir de la fórmula semiempírica que incluye las integrales derepulsión electrónica γ rs para todos los átomos conjugados S ≠ R e implica laenergía orbital para un orbital atómico 2pπ del átomo R, siendo evaluada estaenergía orbital empleando datos espectrales atómicos.Para efectuar un cálculo PPP los pasos que hay que seguir son:1. Se comienza con los coeficientes HMO como elección inicial para los c si .2. Se calculan los elementos de la matriz densidad inicial P rs .3. Se calculan los elementos de matriz F π,rs .4. Se resuelven las Ecuaciones 2.69 para las energías orbitales π-electrónicasǫ i .5. Posteriormente se calcula una serie mejorada de coeficientes c si .6. Se calculan valores mejorados P rs , y así sucesivamente hasta que se alcanzala convergencia.Métodos CNDO, INDO y NDDOSe desarrollaron varios métodos de orbitales moleculares semiempíricosde dos electrones (generalizaciones del método PPP) que eran aplicables amoléculas planas y angulares. El método de desprecio completo del solapamientodiferencial (Complete Neglect of Differential Overlap, CNDO) fue propuestopor Pople, Santry y Segal en 1965. El método de desprecio intermediodel solapamiento diferencial (Intermediate Neglect of Differential Overlap, IN-DO) fue propuesto por Pople, Beveridge y Dobosh en 1967. Ambos métodos,tratan sólo explícitamente los electrones de valencia. El hamiltoniano de loselectrones de valencia tiene una forma:∑Ĥ val =n val n∑val ∑Ĥval core (i)i=1 i=1 j>i1r ij(2.76)Ĥ coreval (i) = − 1 2 ∇2 i + V (i) (2.77)

44 2.3. Métodos de la estructura electrónicasiendo n val el número de electrones de valencia de la molécula, V (i) la energíapotencial del electrón de valencia i en el campo de los núcleos y los electronesde la capa interna (core), y Ĥcore valla parte monoelectrónica de Ĥval. Losmétodos CNDO e INDO son métodos OM SCF que resuelven iterativamentelas ecuaciones de Roothaan usando aproximaciones para las integrales en loselementos de matriz de Fock.El método CINDO usa la aproximación ZDO para todas las parejas deorbitales atómicos en las integrales de solapamiento y repulsión electrónica.Así S rx = δ rs y (rs|tu) = δ rs δ tu (rr|tt) ≡ δ rs δ tu γ rtEn el método CNDO, hay varios orbitales atómicos de valencia de base sobrecada átomo (excepto sobre los hidrógenos), y la aproximación ZDO desprecialas integrales de repulsión electrónica que contienen el producto f r (1)f s (1),donde f r y f s son los diferentes orbitales atómicos en el mismo átomo. CNDOefectúa la aproximación adicional de que la integral electrónica γ rt ≡ (rr|tt)depende solamente de en que átomos están centrados los orbitales atómicos f ry f s y no depende de la naturaleza de dichos orbitales. 8El método INDO es una mejora del CNDO. En el método INDO, el solapamientodiferencial entre orbitales atómicos del mismo átomo no se despreciaen las integrales de repulsión electrónica de un centro (rs|tu) donde f r , f s , f ty f u están centradas en el mismo átomo, pero sí se desprecia en las integralesde repulsión electrónica de dos centros. De esta forma, se desprecian menosintegrales bielectrónicas que en CNDO. Por lo demás, los dos métodos sonesencialmente el mismo. El método INDO proporciona mejores resultados queel CNDO, especialmente donde es importante la distribución electrónica.El método del desprecio de solapamiento diferencial diatómico (NDDO),sugerido por Pople, Santry y Segal en 1965 es una mejora del INDO, en laque el solapamiento diferencial se desprecia solamente entre orbitales atómicoscentrados en diferentes atómicos. El grado de desprecio del solapamientodiferencial en NDDO es más justificable que en CNDO o INDO. Unos cuantosintentos iniciales de parametrizar el método NDDO dio resultados que fueronmás bien descorazonadores y que dieron lugar al nuevo método MNDO.Métodos MINDO, MNDO, AM1El objetivo de Pople en los métodos CNDO e INDO fue reproducir lo mejorposible los resultados de los cálculos OM SCF ab initio de base mínima conteorías que requerían mucho menos tiempo de ordenador que los cálculos abinitio.Ya que CNDO e INDO usan aproximaciones, se espera que sus resultadossean similares, aunque menos precisos, que los resultado SCF ab initio de basemínima. Así, esos métodos calculan bastante bien la geometría molecular, perofallan en las energías de enlace. Dewar y colaboradores propusieron variasteorías OM SCF semiempíricas que se parecen mucho a los métodos NDDO8 La notación f rA y f sB indica que los orbitales atómicos de valencia f r y f s están centradosen los átomos A y B, respectivamente, donde A y B podrían ser átomos iguales o diferentes.

2. Métodos teóricos 45e INDO. Sin embargo, el objetivo de Dewar no fue reproducir las funcionesde onda SCF ab initio y las propiedades, sino tener una teoría que pudieradar energías de enlace molecular con precisión química (de alrededor de 1kcal/mol) y que pudiera usarse para moléculas grandes sin un volumen decálculo prohibitivo. Parecía improbable que se pudiera idear una teoría de OMSCF que incluyera aproximaciones al método de Hartree-Fock ab initio peroque diera buenos resultados en las energías de enlace, donde fallaba la teoríade Hartree-Fock. Sin embargo, eligiendo apropiadamente los parámetros en lateoría SCF semiempírica, realmente se pueden obtener mejores resultados queen los cálculos ab initio, debido a que la elección de los parámetros adecuadospuede compensar el desprecio parcial de la correlación electrónica en la teoríaSCF ab initio.A las teorías semiempíricas de este apartado, que derivan de las aproximaciónde Dewar para la parametrización, se las llama teorías tipo Dewar. Estasteorías tratan solamente los electrones de valencia, y la mayor parte de ellasusan bases mínimas de orbitales atómicos s y p tipo Slater (con valores de losexponentes orbitales determinados por parametrización) para desarrollar losOM de los electrones de valencia. Las ecuaciones de Fock-Roothaan con lasintegrales de solapamiento S rs , tomadas como δrs, se resuelven para obtenerOM SCF semiempíricos. Se usa algún grado de desprecio del solapamientodiferencial para eliminar muchas de las integrales de repulsión electrónica. Enlos métodos ab initio, las integrales que intervienen en los elementos matriz deFock, F rs , se evalúan con precisión pero ésta no es la aproximación que se usaen las teorías tipo Dewar. La teorías tipo Dewar toman las integrales de repulsiónelectrónica de un centro como parámetros cuyos valores se escogen deforma que se ajusten a los datos de niveles de energía atómicos experimentales,y calculan las integrales de repulsión electrónica de dos centros a partir de losvalores de las integrales de repulsión electrónica de un centro y las distanciasinternucleares usando una fórmula aproximada que puede incluir parámetros.Las integrales restantes se evalúan a partir de fórmulas aproximadas, conteniendoparámetros que se designan no para obtener valores que reproduzcancon precisión los valores ab initio, sino valores que sean coherentes con lasaproximaciones usadas en la teoría.Las teorías tipo Dewar se parametrizan de forma que den lugar a buenosvalores de las entalpías de formación estándar en fase gas ∆H o f,298 .Tratan la molécula como un conjunto de electrones de valencia y coresatómicos, donde cada core constan de un núcleo atómico y los electrones decapa interna (core) y las integrales de interacción electrón-core toman la formaV CC = ∑ B>A∑[C A C B (s A s A |s B s B ) + f AB ] (2.78)Adonde la integral de repulsión electrónica (s A s A |s B s B ) incluye los orbitales devalencia s de los átomos A y B y f AB es un término pequeño cuya forma difiereen las diferentes teorías.

46 2.3. Métodos de la estructura electrónicaPara elegir los valores de los parámetros en la teoría tipo Dewar, se decideuna serie de elementos para los que la teoría está parametrizada, y se elige unaserie de unas pocas docenas de moléculas que contiene esos elementos para laque la entalpía de formación a 298K, la geometría molecular y momento dipolarson conocidos por medio de experimentos. Sistemáticamente se modifican losparámetros de la teoría de forma que se minimicen los errores en los caloresde formación, geometrías y momentos dipolares.En base a esta técnica de parametrización surgió el método MINDO/3que no cumplió las expectativas de Dewar y dio lugar al método del despreciodel solapamiento diatómico modificado (Modified Neglect of DifferentialOverlap,MNDO) como alternativa de mejora.El hamiltoniano de electrones de valencia MNDO, Ĥ val viene dado por laEcuación 2.70 y los elementos de la matriz de Fock:F val,µν = H coreval,µν + ∑ λ∑σP λσ[(µν|λσ − 1 2 (µσ λν) ](2.79)Las integrales que aparecen en los elementos de la matriz de Fock MNDO,F ( µν) se evalúan como sigue: El elemento de matriz de core Hµ A ν B core = que a menudo se llama integral de resonancia de coreque implica orbitales atómicos centrados en diferentes átomos A y B se tomacomo en CNDO proporcional a la integral de solapamientoH coreµ A µ B= 1 2 (β µA + β µB )S µAνB A ≠ B (2.80)donde los β son parámetros para cada tipo de orbital atómico de valencia.El elemento de la matriz de core Hµ A µ core A =< µ A (1)|Ĥcore (1)|µ A (1) >que implica diferentes orbitales atómicos centrados sobre el mismo átomo seevalúa mediante la expresiónH coreµ A ν A=〈µ A | − 1 〉2 ∇2 + V A |ν A + ∑ 〈µ A |V B |ν A 〉 (2.81)A≠BMientras que los elementos de matriz Hµ A µ core A =< µ A (1)|Ĥcore (1)|µ A (1) >que contiene dos veces el mismo orbital atómicoHµ coreA ν A=〈µ A | − 1 〉2 ∇2 + V A |µ A + ∑ 〈µ A |V B |µ A 〉 (2.82)A≠BLa integral U µAµA ≡< µ A | − 1 2 + V A|µ A > podría evaluarse a partir de datosespectrales atómicos como ocurre en CNDO pero en lugar de eso MNDO tomaesta integral como un parámetro. Para un átomo con orbitales atómicos devalencia s y p, MNDO tiene parámetros que denotaremos por U ss y U ppLas integrales de repulsión electrónica se evalúan en MNDO como sigue: Enla aproximación ZDO todos las integrales de repulsión interelectrónica de tres

2. Métodos teóricos 47centros y cuatro centros se anulan. Las integrales de repulsión interelectrónicade un centro no se evalúan por integración, sino que se les asignan valoresque dan un buen ajuste a las energías de ionización del estado de valencia.Los integrales de repulsión de un centro son o bien integrales de Coulombde la forma g µν ≡ (µ A µ A |ν A ), o bien integrales de intercambio de la formag µν ≡ (µ A µ A |ν A ). Los valores de esas integrales de repulsión interelectrónicade un centro obtenidos ajustando los datos atómicos son menores que losvalores dados por integración directa, debido a los efectos de correlación quemantienen apartados los electrones. Los integrales de repulsión interelectrónicade dos centros no se evalúan directamente por integración, sino que se obtienena partir de los valores de las mismas de un centro y las distancias internuclearesusando un procedimiento aproximado complicado.En MNDO, el término de repulsión core-core viene dado porfAB MNDO = C A C B (s A s A |s B s B ) ( e −α AR AB+ e −α )BR AB(2.83)dónde α y β son parámetros para los átomos A y B.Así en MNDO, hay 6 parámetros a optimizar para cada clase de átomo:las integrales monoelectrónicas U ss Y U pp , el exponente orbital STO ζ, β s yβ p y α.En 1985, Dewar y colaboradores [52] publicaron una versión mejorada deMNDO llamada AM1 (Austin model 1, llamado así por la Universidad deTejas en Austin a donde fue a trabajar Dewar). AM1 se ha parametrizadopara H, B, Al, C, Si, Ge, S, F, Cl, Br, I, Zn y Hg. Las únicas diferenciasentre MNDO y AM1 son que los exponentes orbitales de valencia ζ s y ζ pcorrespondientes al mismo átomo, se permite que difieran, y la función derepulsión de core en AM1 viene dada porf AM1AB[ ∑k= f AM1AB+ C AC BR AB[a kA exp −b kA (R AB − c kA ) 2] + ∑ k[a kB exp −b kB (R AB − c kB ) 2]](2.84)siendo a kA , b kA y c kA parámetros.La Tabla 2.1 presenta a modo de ejemplos todos los parámetros del métodoAM1 para el C y el H.AM1-SRP Del mismo modo que los parámetros de los métodos tipo Dewarse eligen a partir de las entalpías de formación, geometrías molecular y momentosdipolares, D. G. Truhlar y colaboradores [41] mostraron que es posible[52] M. J. S. Dewar, E. G. Zoebisch, E. F. Healy, and J. J. P. Stewart, “AM1: a new generalpurpose quantum mechanical molecular model,” Journal of the American ChemicalSociety, vol. 107, no. 13, pp. 3902–3909, 1985.[41] A. Gonzalez-Lafont, T. N. Truong and D. G. Truhlar, “Direct Dynamics Calculationswith Neglect of Diatomic Differential Overlap Molecular Orbital Theory with SpecificReaction Parameters,” J. Phys. Chem., vol. 12, no. 95, pp. 4618 – 4627, 1991.

48 2.3. Métodos de la estructura electrónicaTabla 2.1: Parámetros AM1Átomo Parámetro Valor AM1C U ss -52.069U pp -39.614β s -15.716Z s 1.809Z p 1.685α 2.648g sp 11.470g pp 11.080g p2 9.840H sp 2.430H U ss -11.396β s -6.174z s 1.118α 2.882g ss 12.848reparametrizar métodos como el NDDO para mejorar la calidad de la superficiede energía potencial, utilizando para ello otras variables Y i . Este procedimientoaplicado al método AM1 recibe el nombre de método AM1 con parámetrosespecíficos de reacción (AM1 Specific Reaction Parameters, AM1-SRP). Paraobtener los valores de los parámetros AM1, se lleva a cabo de proceso de optimizaciónen el que dicho parámetros se varían de manera que se minimicenlas sumas ponderadas de los cuadrados de los errores en las variables que seeligen:∑(Y i,final − Y i,inicial ) 2 W i (2.85)idonde Y i,final son los valores óptimos de nuestras variables, Y i,inicial son losvalores se que calculan en cada ciclo del proceso de optimización y W i sonlos factores de peso que determinan la importancia relativa de las variablesY i . Como en cualquier proceso de optimización es difícil asegurar que se haencontrado un mínimo global de tal función.En nuestro caso particular hemos hecho tal parametrización con la ayudade un programa desarrollado en el grupo del Profesor Maurizio Persico dela Universidad de Pisa. Este programa busca los parámetros óptimos AM1minimizando la función descrita en la Ecuación 2.85. Los algoritmos implementadosen tal programa son, el método simplex descrito en el Apéndice Ade esta memoria que localiza mínimos locales combinado con el método deltemple simulado, descrito en el Apéndice B que asegura la obtención de unmínimo global en el proceso.

2. Métodos teóricos 492.3.3. Métodos que introducen la correlación electrónicaEl método de Hartree-Fock presenta dos limitaciones importantes. La primerasurge de la restricción de que cada orbital molecular describa a doselectrones (método RHF). Esta restricción es responsable de la inapropiadadescripción de la molécula de hidrógeno a largas longitudes de enlace, pues elmodelo RHF disocia a especies de capa abierta. Este error se corrige haciendouso de unos pocos determinantes, conocidos como configuraciones, adicionales.Por ello se dice que este error es debido a efectos de cuasi-degeneración.La segunda y más importante tiene un origen físico completamente diferente.Y es, que el método de Hartree-Fock no tiene en cuenta la correlaciónelectrónica, al menos no toda, ya que tiene en cuenta los huecos de Fermi. Enel modeló de partículas independientes, los electrones se mueven en el campopromediado del resto de los electrones y núcleos, cuando en realidad el movimientode un electrón depende de las posiciones instantáneas de los demás,es decir, el movimiento de los electrones está correlacionado. El error debidoa esta limitación se halla siempre presente en el método HF, incluso paramoléculas estables en sus geometrías de equilibrio, y es responsable de la faltade precisión cuantitativa que se obtiene en estos casos a este nivel. Esta limitacióncondujo al desarrollo de nuevos métodos teóricos que sí tiene en cuentala energía de correlación. Esta energía fue definida en el año 1959 por Löwdiny se define como:E corr = E 0 − E HF (2.86)donde E 0 es la energía exacta no relativista y E HF es la energía de Hartree-Fock en el límite en el que la base es completa. En el caso particular delmétodo de Hartree-Fock esta energía sera siempre positiva según el principiovariacional que garantiza que funciones de onda aproximadas siempre daránenergías superiores a la real.El error explícitamente causado por la aproximación de partículas independientesse conoce con el nombre de energía de correlación dinámica encontraste con el motivado por la aproximación RHF que se denomina energíade correlación no dinámica. Esta división ha resultado ser extremadamente útila la hora de construir métodos más sofisticados para corregir el error provocadopor la aproximación RHF, pero existen grandes dificultades para realizaresa misma división desde un punto de vista matemático.Método de Møller-PlessetUno de los métodos más populares para estimar la energía de correlaciónson los métodos perturbativos. En los años 30 C. Møller y M. S. Plesset desarrollaronla teoría que lleva su mismo nombre. Partiendo de la función deonda de Hartree-Fock introdujeron la correlación electrónica como una perturbación.El operador de Fock en este caso actúa como hamiltoniano de ordencero y el parámetro λ controla la magnitud de la perturbación estando acotadoa un valor entre 0 y 1. El operador ˆV se define como la suma del sumatorio de

50 2.3. Métodos de la estructura electrónicalas repulsiones electrónicas y la aproximación promediada a dichas repulsionesque aparece en el método de Hartree-Fock:ˆV = ∑ i

2. Métodos teóricos 51cierto tamaño, proporcionando resultados de calidad comparable o superiora los que ofrece el método MP2. Hemos de recordar que este tipo de cálculosademás tienen la ventaja de consumir aproximadamente el mismo tiempocomputacional que un cálculo Hartree-Fock y a diferencia de estos tienen encuenta los efectos de la correlación electrónica. Este método si bien en sus iniciosfue fundamentalmente utilizado en cálculos en sólidos ha experimentadoun notable desarrollo en todos los aspectos y hoy en día constituye una delas herramientas fundamentales de cualquier químico teórico [53] . La teoría delfuncional de la densidad tal y como hoy la conocemos, nace en 1964 con laaparición de un artículo histórico escrito por Hohenberg y Kohn en la revistaPhysical Reviews [54] .Primer teorema de Hohenberg-KohnPierre Hohenberg y Walter Kohn comprobaron en 1964 que para moléculascon un estado fundamental no degenerado, la energía molecular del estadofundamental, la función de onda y todas las demás propiedades electrónicas,están determinadas unívocamente por la densidad de probabilidad electrónicadel estado fundamental ρ(x, y, z), y que es una función de solamente tresvariables, es decir estas propiedades son funcionales de la densidad 9 . Esto esasí ya que la densidad de probabilidad del estado fundamental determina elpotencial externo, excepto en una constante aditiva arbitraria y determina elnúmero de electrones (mediante simple integración de la misma sobre todas lascoordenadas espaciales y de espín –Ecuación 2.92–) de nuestro sistema físico.∫N = ρ(⃗r)d⃗r (2.92)El potencial externo es, el término del hamiltoniano para una molécula multielectrónicaque recoge el potencial de interacción entre el electrón i y losnúcleos α,v(⃗r) = − ∑ Z α(2.93)rα i,αsiendo el hamiltoniano puramente electrónico:Ĥ = − 1 2n∑∇ 2 i +i=1 i=1n∑v(⃗r) + ∑ i∑j>i1r ij(2.94)Puede demostrarse que existe una relación biunívoca entre la densidad deprobabilidad electrónica del estado fundamental no degenerado y el potencial9 Un funcional es una función de funciones.[53] W. Koch and M. C. Holthausen, A Chemist’s Guide to Density Functional Theory.Wiley-VCH New York, 2001.[54] P. Hohenberg and W. Kohn, “Inhomogeneous electron gas,” Physical Review, vol. 136,no. 3B, pp. B864–B871, 1964.

52 2.3. Métodos de la estructura electrónicaexterno, es decir que una densidad electrónica no podría generar dos potencialesexternos distintos en más de una constante aditiva arbitraria.ρ 0 (⃗r) −→ v(⃗r) −→ Ĥ −→ ΨEs importante señalar que la demostración es únicamente válida para estadosfundamentales no degenerados y siempre y cuando ρ 0 (⃗r) sea N-representabley V-representable. Que sea N-representable se refiere básicamente a que ρ 0 (⃗r)debe ser una función definida positiva en todo el espacio y que su integral debeser igual al número total de electrones del sistema:∫ρ 0 (⃗r) ≥ 0 y ρ 0 (⃗r)d⃗r = N (2.95)Que sea V-representable significa que existe un potencial externo a partir delcual puede derivarse la densidad ρ 0 (⃗r).Es lógico pensar que la densidad de probabilidad electrónica puede ser lallave para obtener todas las propiedades físicas del sistema, puesto que la funciónde onda (para un sistema de n electrones) depende de las 3n coordenadasespaciales, y de n coordenadas de espín, mientras que cuando se resuelve laecuación de Schrödinger tan sólo tenemos términos mono y bielectrónicos quedependen como mucho de 6 coordenadas espaciales y dos de espín. De ahí podemosdeducir que la función de onda contiene más información física de laestrictamente necesaria para caracterizar un sistema.Tomando el promedio de la energía para el estado fundamental, tenemosE = ¯T + ¯V ne + ¯V ee (2.96)Cada uno de los valores medios de esta ecuación es una propiedad electrónicadeterminada por la función de onda electrónica del estado fundamental quea su vez esta determinada por la densidad de probabilidad electrónica ρ 0 (⃗r).Por lo tanto cada uno de estos promedios es un funcional de ρ 0 (⃗r):E 0 = E v [ρ 0 ] = ¯T [ρ 0 ] + ¯V ne [ρ 0 ] + ¯V ee [ρ 0 ] (2.97)teniendo en cuenta la definición de valor medio de un observable y utilizandolas propiedades de indistinguibilidad de los electrones así como haciendo usode la definición de densidad de probabilidad electrónica, tenemos〈 ∣ 〉 ∣∣∣∣ n∑∫¯V ne = ψ 0 ν(⃗r)∣ ψ 0 = ρ 0 (⃗r)⃗v(r)d⃗r (2.98)i=1Los potenciales ¯T [ρ 0 ] y ¯V [ρ 0 ] son funcionales universales, dado que no dependendel potencial externo y se engloban dentro del potencial F [ρ 0 ]. Así,∫∫E 0 = E v [ρ 0 ] = ¯T [ρ 0 ] + ¯V ee [ρ 0 ] + ρ 0 (⃗r)v(⃗r)d⃗r = F [ρ 0 ] + ρ 0 (⃗r)v(⃗r)d⃗r(2.99)Esta ecuación nos proporciona una vía para obtener la energía a partir dela función de probabilidad electrónica, pero no nos da información de cómocalcular F [ρ 0 ].

2. Métodos teóricos 53Teorema variacional de Hohenberg-KohnHohenberg y Kohn demostraron que para cualquier función de densidadprueba que satisfaga∫ρ pr (⃗r) = n, ρ pr ≥ 0 ∀⃗r (2.100)es válida la siguiente desigualdad:E pr [ρ 0 ] ≥ E 0 [ρ 0 ] (2.101)Según todo lo dicho hasta el momento es claro que para obtener las variablesfísicas de nuestro sistema objeto de estudio basta obtener la densidad deprobabilidad electrónica y a partir de la misma obtener el potencial externo(que generaría de manera única) para llegar a la expresión del hamiltonianopertinente y a sus funciones propias. Esto sólo es cierto cuando el potencialexterno de prueba da lugar a una función de onda antisimétrica, en cuyo casose dice que la densidad electrónica es V-representable. Levy [55] superó esta dificultadpráctica reformulando los teoremas de Hohenberg-Kohn prescindiendode la necesidad de v-representabilidad. El teorema variacional lo que indica esque aquella densidad electrónica que haga la mínima la energía será la densidadelectrónica del verdadero estado fundamental de nuestro sistema.El método de Kohn-ShamNinguno de los teoremas anteriores nos dicen nada acerca de cómo obtenerla densidad electrónica de nuestro sistema, ni de como a partir de ella obtenerla energía y las demás propiedades electrónicas del estado fundamental.Este problema fue resuelto en 1965 por Kohn y Sham [56] , quienes idearonun método práctico para obtener ρ 0 (⃗r) como base para obtener E 0 [ρ 0 ]. Utilizaroncomo sistema de referencia un sistema de n electrones que no interaccionanentre ellos moviendose bajo un potencial externo v s (⃗r). Esta función de energíapotencial es tal que hace que la densidad de probabilidad electrónica del estadofundamental del sistema de referencia ρ s (⃗r) sea igual a la densidad electrónicadel estado fundamental exacta ρ 0 (⃗r) de la molécula objeto de nuestro estudio.ρ s (⃗r) = ρ 0 (⃗r) (2.102)En este sistema los electrones no interactúan entre ellos aunque sí presentaninteracciones coulombianas con los núcleos. Para este sistema ideal, el métodoHartree-Fock es exacto dado que al no haber interacciones electrón-electrón,[55] M. Levy, “Electron densities in search of hamiltonians,” Physical Review A, vol. 26, no.3, pp. 1200–1208, 1982.[56] W. Kohn and L. J. Sham, “Self-consistent equations including exchange and correlationeffects,” Physical Review, vol. 140, no. 4A, pp. A1133–A1138, 1965. Cited By (since1996): 9947.

54 2.3. Métodos de la estructura electrónicala aproximación orbital que conduce a las ecuaciones Hartree-Fock proporcionael resultado correcto. El hamiltoniano de este sistema sólo contendría lostérminos monoelectrónicos:Ĥ s =n∑ĥ(i) =i=1n∑− 1 2 ∇2 (i) +i=1n∑v s (i) (2.103)Para este sistema la función de onda del estado fundamental, Ψ s,0 ), se puedeescribir como un determinante de Slater de los espín-orbitales de Kohn-Shamψ i = φ KSi σ cuya parte espacial φ i KS resulta ser función propia del hamiltonianopropio de un sistema de partículas no interactuantes, esto es:(− 1 )2 ∇2 i + v s φ KSi = ǫ i φ KSi (2.104)A partir de dichos orbitales Khon-Sham se puede definir la densidad electrónicacomo,ρ = ∑ ∣∣φ KS∣ 2 i(2.105)ii=1obteniéndose una expresión para la energíaE v [ρ 0 ] =n∑i=1∫ǫ i = T s [ρ 0 ] +ρ(⃗r)v s (⃗r)d⃗r (2.106)Para un sistema real en el que los n electrones interaccionan, la ecuación dela energía tiene la forma:∫E v [ρ 0 ] = T [ρ 0 ] + ρ(⃗r)v n (⃗r)d⃗r + V ee [ρ 0 ] (2.107)Haciendo uso de este sistema de referencia y de las siguientes igualdades,δ ¯T [ρ 0 ] − ¯T s [ρ 0 ] (2.108)δ ¯V ee [ρ 0 ] = V ee [ρ] − 1 ∫ ∫ ρ(⃗r1 )ρ(⃗r 2 )d⃗r 1 d⃗r 22 r 12(2.109)así como de la función de la energía de correlación-intercambio (en inglésexchange-correlation):E xc = δ ¯T [ρ 0 ] + δ ¯V [ρ 0 ] (2.110)Kohn y Sham fueron capaces de reescribir la ecuación que define el funcionalde la energía como sigue:∫E 0 = E v [ρ] = ρ(⃗r)v(⃗r)d(⃗r) + T s [ρ] + 1 ∫ ∫ ρ(⃗r1 )ρ(⃗r 2 )d⃗r 1 d⃗r 2 + E xc [ρ]2 r 12(2.111)Los tres primeros términos de esta ecuación son conocidos si podemos obtenerρ a partir de los orbitales de Khom-Sham. Por lo tanto si conocemos cuál es

2. Métodos teóricos 55el funcional de intercambio E xc [ρ] seremos capaces de obtener el valor de laenergía.Los orbitales de Kohn-Sham se obtienen haciendo uso del teorema variacionalde Hohenberg-Kohn (que al fin y al cabo es un problema variacionalcondicionado en donde la ecuación,δ[ (∫E [ρ] − µ)]ρ(⃗r)d⃗r − n = 0 (2.112)viene caracterizada por µ como multiplicador indeterminado de Lagrange ydonde lo que se minimiza es la energía al variar con la densidad ρ). En estecaso optaremos por minimizar los orbitales ortonomales de Kohn-Sham φ KSi ,pudiendo demostrarse que aquellos orbitales que hacen mínima la energía satisfacen[− 1 2 ∇2 i − ∑ α∫ ]Z α ρ(⃗r2 )+ d(⃗r 2 ) + v xcr iα r 12φ KSi (1) = ǫ KSien donde el potencial de correlación-intercambio se define como= ǫ KSi φ KSi (2.113)v xc = δE xc [ρ(⃗r)]δρ(⃗r)(2.114)El problema es que no se sabe cuál es el potencial correcto v xc (⃗r) y en consecuenciatambién se desconoce el funcional de correlación-intercambio E xc [ρ].Es por ello que hasta la fecha se han desarrollado diferentes tipos de potencialesde correlación-intercambio que nos permitan completar el cálculo de laspropiedades moleculares con éxito. Estos se pueden clasificar en tres grandesgrupos:• Potenciales de correlación-intercambio en los que se utiliza la aproximaciónde la densidad local (Local Density Approximation, LDA) útilescuando la densidad electrónica varía muy lentamente con la posición. Sepuede demostrar que ǫ xc se puede escribir como la suma de las partes deintercambio y correlaciónluego podemos descomponer el funcional enǫ xc (ρ) = ǫ x (ρ) + ǫ c (ρ) (2.115)E xc (ρ) = E x (ρ) + E c (ρ) (2.116)Esta aproximación asume que el funcional sólo depende de la densidad,tratada como la de un gas uniforme de electrones. La energía de un gasuniforme de electrones viene dada por la fórmula de Dirac:Exc LDA (ρ) = − 3 ( ) 3 1/3 ∫2 4πρ 4/3 (⃗r)d⃗r (2.117)

56 2.3. Métodos de la estructura electrónicaUn caso particular de la aproximación de densidad local es aquella en laque se considera despreciable la contribución de la correlación al funcional.Esta aproximación da lugar al método Xα propuesto por Slater en1951, que se puede considerar como el precedente de los métodos DFT.Su energía viene dada por la expresión:E xc ≈ Ei Xα = − 9 ( ) 3 3 ∫α [ρ(⃗r)] 4/3 d⃗r (2.118)8 πOtro caso específico de la aproximación LDA es aquel que sirve paratratar moléculas de capa abierta y geometrías moleculares próximas a ladisociación. Se denomina la aproximación de densidad local de espín local(Local Density Spin Approximation, LSDA) y en ella los electrones deespín opuesto son descritos por orbitales de Khom-Sham que difieren ensu parte espacial. En donde la separabilidad del potencial de intercambiodel de correlación nos proporciona dos términos:E x = − 3 ( ) 2 1/3 ∑2 4πσ∫E c =∫ρ 4/3σ (⃗r)d⃗r (2.119)ρǫ xc (ρ)(⃗r)ǫ c (ρ α , ρ β )d⃗r (2.120)siendo ǫ c la energía de correlación por electrón en un gas electrónico condensidades ρ α y ρ β calculable mediante métodos numéricos (MonteCarlo)o ajustada a formas analíticas como la propuesta por Vosko-Wilk-Nusair, E V WNc• Otros funcionales que van más allá de los que utilizan la aproximacionesLDA y LSDA, son aquellos que se erigen sobre la aproximación delgradiente generalizado, Generalized Gradient Approximation, GGA endonde los funcionales dejan de ser locales y pasan a depender del gradientede la densidad electrónica ∇ρ dando cuenta de la deformación.A este tipo de funcionales pertenece el funcional de intercambio B88propuesto por A. Becke que tiene la forma∫E B88i= E LSDAidonde χ σ toma la forma− β ∑ σρ 4/3σχ σ = |∇ρ σ(⃗r)|χ 2 σ(⃗r)1 + 6β sinh −1 d⃗r (2.121)χ σρ (4/3)σ(⃗r)(2.122)y β es un parámetro obtenido mediante ajuste de datos experimentalesde energías de intercambio exactos para toda una serie de átomos. Enel caso del funcional de correlación, el funcional LYP de Lee-Yang-Parrha sido ampliamente usado e incorpora también parámetros de ajuste adatos experimentales.

2. Métodos teóricos 57• Por último están los funcionales híbridos, en los que la introducciónparcial del intercambio exacto procedente de un cálculo Hartree-Fock sepuede justificar a través de la denominada fórmula de conexión adiabáticapara la correlación-intercambio:E xc [ρ] =∫ 10W λ xc [ρ] dλ (2.123)A esta aproximación se llega considerando un sistema que representa unainteracción bielectrónica λ/r 12 . Para este sistema se ajusta un potencialexterno v λ s (⃗r) para que cualquier valor de λ, se obtenga la densidad ρ(⃗r)correspondiente a λ = 1. λ recibe el nombre de constante de acoplamientointegral y puede variar entre 0 y 1. λ = 0 corresponde a un sistema sininteracciones electrón-electrón, mientras que para un sistema con electronesque interacciona a través de un potencial coulómbico, λ = 1. Elparámetro λ conecta de forma continua el sistema modelo sin interaccioneselectrón-electrón con el sistema real. En la Ecuación 2.123 W λ xc (ρ)es la energía de correlación-intercambio de la parte electrónica para elsistema antes descrito.La expresión 2.123 puede emplearse para obtener aproximaciones a laenergía de correlación-intercambio. Una primer aproximación propuestapor Becke, consiste en considerar que Wxc λ (ρ) depende linealmente de λ.En este caso:E xc [ρ] = 1 2 W xc λ=1 [ρ] + 1 2 W xc λ=0 [ρ] (2.124)Para λ = 0, HF es exacto, por lo que Wxcλ=0 (ρ) se toma igual a la energíade intercambio HF. Mientras que Wxcλ=1 (ρ) se aproxima mediante unaexpresión de la energía de correlación-intercambio ya conocida, como porejemplo BLYP. El método que utiliza la Ecuación 2.124 se denominaHalf&Half, pero hay otros métodos basados en la conexión adiabática.Quizás el más usado es el método de los tres parámetros de Becke [57] enel cual:E xc = E LSDAxc+ a o(Eexactx− ExLSDA )+ ax δExB88 + a c δEC PW91 (2.125)con a o = 0.20, a x = 0.72, y a c = 0.80, es decir que se utiliza un 20 % delintercambio HF exacto.La expresión de la conexión adiabática deja la puerta abierta para eldesarrollo de nuevos métodos DFT. Tanto es así que hoy día es unade las líneas de investigación que se siguen en Química Teórica en eldesarrollo de nuevos funcionales.En concreto el grupo del Profesor D. G. Truhlar ha desarrollado numerososfuncionales divididos en cuatro grandes grupos según la aproximación[57] A. D. Becke, “Density-functional thermochemistry. III. The role of exact exchange,”The Journal of Chemical Physics, vol. 98, pp. 5648–5652, 1993.

58 2.4. Dinámica químicaque utilicen sea GGA, meta-GGA, híbridos GGA y meta-híbridos GGA.A este último grupo pertenece el funcional usado para los cálculos deestructura electrónica de nuestro sistema objeto de estudio. Este métodoes el MPWB1K [58] . Es un método DFT basado en un funcional deintercambio de Perdew y Wang 1991 (MPW) y un meta funcional decorrelación de Becke 1995 (B95) que ha sido optimizado para cálculoscinéticos.2.4. Dinámica químicaUna de las tareas más importantes de la química ha sido y es la de intentarcomprender el problema de la reactividad química. Entender por qué, cómoy en qué condiciones dos o más sustancias químicas sufren transformacionesinducidas por procesos físicos, dando origen a una o más sustancias diferentesde las anteriores.La reactividad química puede dividirse históricamente en tres niveles decompresión diferentes. En primer lugar está la descripción cualitativa: qué productosse obtienen, a partir de qué reactivos y bajo qué condiciones. A estenivel se obtiene gran cantidad de información pero de escaso poder predictivo,debido a que la transformación global es únicamente el producto de unconjunto más o menos complejo de pasos elementales. El segundo nivel es laidentificación de estos pasos elementales y la determinación cuantitativa de losfactores de velocidad en la ecuación de Arrhenius:k(T) = A exp(E a /RT) (2.126)donde A es el factor preexponencial y E a es la energía de activación. Porejemplo, para una reacción bimolecular del tipo,la ecuación de velocidad viene dada por la expresiónA + B −→ C (2.127)v = − d [A]dt= k [A][B] = A exp(−E a /RT)[A] [B] (2.128)donde k es la constante de velocidad y [A] y [B] son las concentraciones delas especies A y B respectivamente. La ecuación de Arrhenius constituye laprimera descripción de cómo varía la velocidad de una reacción química conla temperatura. Esta ecuación se debe a Svante August Arrhenius, quien,basándose en numerosas medidas experimentales y siguiendo el trabajo previode van‘t Hoff la enunció en 1889. Sin embargo, las variables empleadas a[58] Y. Zhao and D. G. Truhlar, “Hybrid Meta Density Functional Theory Methods for Thermochemistry,Thermochemical Kinetics, and Noncovalent Interactions: The MPW1B95and MPWB1K Models and Comparative Assessments for Hydrogen Bonding and vander Waals Interactions,” J. Phys. Chem. A, vol. 108, no. 33, pp. 6908–6918, 2004.

2. Métodos teóricos 59este nivel (fundamentalmente concentración y temperatura) son todavía pocoinformativas como para permitir la comprensión profunda de la reacciónquímica. Esto nos lleva al tercer nivel, que es el de la dinámica molecular decolisiones reactivas individuales entre átomos y moléculas. Es decir que todoslos procesos químicos macroscópicos consisten en un conjunto de reaccioneselementales que son en sí mismas simplemente una serie de colisiones entreespecies atómicas y moleculares. Si la ecuación de Arrhenius marca de algunaforma la diferencia entre el paso del nivel macroscópico cualitativo al cuantitativo,el trabajo de Henry Eyring [59] , M. G. Evans y Michael Polanyi [60] marcala entrada en el mundo de la química a nivel molecular.Una reacción química es, fundamentalmente, un suceso mecánico que involucrael reordenamiento de átomos y moléculas durante una colisión. Laconstante de velocidad k(T) es el resultado macroscópico del conjunto de contribucionesde un número enorme de colisiones, del orden de 10 23 , de característicasmuy diferentes. Para entender cuáles son los factores que determinanel valor de k(T), y por tanto, de la velocidad de una reacción química, hay queentrar en el campo de la dinámica de las reacciones químicas que aporta unadescripción a nivel molecular de una reacción química y permite seguir el cursode cada colisión individual. Evidentemente, en teoría, de la información que seobtiene de la dinámica, se podría calcular cualquier propiedad cinética, comola propia constante de velocidad k(T) a través de la función de opacidad y delas secciones eficaces. Sin embargo, el enorme número de colisiones que habríaque considerar para obtener un valor preciso de la constante de velocidad haceinviable en la práctica esta posibilidad para reacciones con más de 4 o 5núcleos, especialmente si existe una barrera energética aunque sea pequeña. Laúnica alternativa posible es la teoría del estado de transición (“Transition StateTheory, TST”), una aproximación estadística a la dinámica. Desde el puntode vista de la TST, la reacción 2.127 tiene lugar a través de la formación deun complejo activado [A···B] ‡ .A + B −−⇀ ↽−− [A···B] ‡ −→ C (2.129)La velocidad de reacción es igual a la frecuencia con la que el complejo activadoatraviesa la barrera de la reacción, multiplicada por la concentración de laespecie activada que evoluciona hacia productos.v = − d [A]dt= ν[[A···B] ‡] (2.130)[59] H. Eyring, “The Activated Complex in Chemical Reactions,” The Journal of ChemicalPhysics, vol. 3, p. 107, 1935.[60] M. G. Evans and M. Polanyi, “Some applications of the transition state method to thecalculation of reaction velocities, especially in solution,” Transactions of the FaradaySociety, vol. 31, pp. 875–894, 1935.

60 2.4. Dinámica química2.4.1. Teoría del estado de transición convencionalEn 1935 Eyring, y Evans y Polanyi formularon de manera independientela TST. Esta teoría presupone que la aproximación de Born-Oppenheimer esválida, es decir, que los movimientos nuclear y electrónico están desacopladosy pueden separarse por tener lugar en dos escalas de tiempo muy diferentesentre sí. Se basa en el concepto de estado de transición introducido por Eyringen 1935 [59] . Este estado de transición es realmente una hipersuperficie en elespacio de las configuraciones nucleares, y corresponde a la llamada superficiedivisoria que en TST se localiza en el punto de silla y separa la zona dereactivos de la zona de productos en la superficie de energía potencial.Así, los postulados sobre los que descansa la TST son:1. La aproximación de Born-Oppenheimer es válida y la reacción eselectrónicamente adiabática.2. Las moléculas de reactivos están en equilibrio térmico a una determinadatemperatura, T, es decir se distribuyen entre todos los posibles estadossegún una distribución de Maxwell-Boltzmann (colectivo canónico). Obien están en equilibrio a una determinada energía total (colectivo microcanónico).3. Todas las trayectorias de las supermoléculas que cruzan la superficiedivisoria en el sentido de reactivos hacia productos no pueden volver, esdecir, se considera que no hay recruzamiento.4. Los efectos cuánticos pueden ser incluidos, mediante la cuantización delas vibraciones y el coeficiente de transmisión que tiene en cuenta elefecto túnel (o transmisión no clásica) y la reflexión cuántica (reflexiónno clásica).La expresión de la constante de velocidad TST estrictamente clásica parauna reacción bimolecular del tipoviene dada por la ecuaciónA + B −→ C (2.131)k ‡ C = 1 Q ‡ C (T) [βh Φ R C (T)exp −βV ‡] (2.132)donde β = (k B T) −1 (k B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura),h es la constante de Planck, V ‡ es la diferencia de energía potencial entrereactivos y el estado de transición (la altura de la barrera, también llamadaaltura de la barrera clásica), Q ‡ Ces la función de partición clásica del estado de[59] H. Eyring, “The Activated Complex in Chemical Reactions,” The Journal of ChemicalPhysics, vol. 3, p. 107, 1935.

2. Métodos teóricos 61transición, y Φ R Ces la función de partición clásica de reactivos por unidad devolumen, para reacciones unimoleculares, se debería reemplazar Φ R Cpor unafunción de partición sin unidades). El estado de transición tiene un grado delibertad menos que el sistema total (3N −1 en coordenadas cartesianas, 3N −7en coordenadas internas, siendo N el número de átomos). El cero de energíapotencial se toma como la energía de la configuración en la región de reactivosque tiene la energía mínima. Las funciones de partición son proporcionales alos factores de Boltzmann del potencial. Para los reactivos, el cero de energíaes el mismo que para el potencial mientras que la función de partición delestado de transición el cero de energía se toma como el mínimo local en losmodos vibracionales de enlace en el punto de silla que es V ‡ .2.4.2. Formulación termodinámicaLa expresión de la constante de velocidad canónica puede reformularse demodo que contenga magnitudes aparentemente más familiares para el químicoexperimental: magnitudes que dentro del campo de la cinética son las análogasa las variables termodinámicas macroscópicas. Se trata de la formulacióntermodinámica de la teoría del estado de transición clásica.Recordando la relación entre la energía libre a la temperatura T, ∆G 0 T yla constante de equilibrio K tenemos que:K = K o exp[−∆G o T/RT] (2.133)donde K o es el cociente de las concentraciones de los estados estándar delas especies en equilibrio. Se puede reescribir la ecuación 2.132 en términoscuasitermodinámicos:k ‡ C = 1βh K‡ C(T) (2.134)donde K ‡ Ces la constante de cuasiequilibrio entre las supermoléculas del estadode transición y los reactivos, dado que el estado de transición no es unaverdadera especie termodinámica porque se ha eliminado un grado de libertadperteneciente a la coordenada de reacción, no puede hablarse de una auténticaconstante de equilibrio, el análogo termodinámico de la ecuación 2.132 vienedado por:k ‡ C = 1 [ ]βh K‡,o exp −∆G ‡,oC,T /RT (2.135)2.4.3. Teoría variacional del estado de transiciónLa teoría canónica convencional del estado de transición desarrollada en elapartado anterior coloca la superficie divisoria en el punto de silla y consideraque es un hiperplano perpendicular al modo normal asociado a la frecuenciaimaginaria (el modo normal reactivo) del estado de transición. De esta formala constante de velocidad puede calcularse únicamente con información de lasuperficie de energía potencial de la reacción en el punto de silla y los reactivos,

62 2.4. Dinámica químicaFigura 2.1: Esquema del recruzamiento en la teorías convencional y variacionaldel estado de transición. La flechas representan trayectorias de las supermoléculassobre la superficie de energía potencial atravesando la superficiedivisoria localizada en el estado de transición (línea continua) y una superficiedivisoria alternativa (línea discontinua).sin necesidad de conocer las características de la hipersuperficie en las regionesintermedias. Se consigue así un importante ahorro en el volumen del cálculo.La TST convencional proporciona una aproximación a la constante de velocidadverdadera, pues se calcula el flujo en una dirección a través de lasuperficie divisoria cuando debería tenerse en cuenta el flujo total. Muchastrayectorias que atraviesan la hipersuperficie, o bien no llegan a productos, obien cruzan la superficie en sucesivas ocasiones antes de llegar a los mismos.En consecuencia se exagera el valor de la constante de velocidad, y por eso sedeben considerar otras superficies divisorias alternativas. La teoría variacionaldel estado de transición [61] , (“en inglés Variational Transition State Theory”,VTST) es una generalización de la teoría del estado de transición convencionalque elimina el requerimiento de que la superficie divisoria, que estableceel cuello de botella dinámico de la reacción, tenga forzosamente que pasar porel punto de silla. Esta teoría representa una clara mejora respecto a la teoríaconvencional, aunque supone un esfuerzo computacional mucho mayor.Cualquier otra superficie divisoria es por definición un estado de transición[61] D. G. Truhlar and B. C. Garrett, “Variational transition-state theory,” Accounts ofChemical Research, vol. 13, no. 12, pp. 440–448, 1980.

2. Métodos teóricos 63generalizado (“en inglés generalized transition state, GTS”). En concreto sebusca aquella superficie divisoria del estado de transición generalizado en laque el flujo hacia productos sea mínimo, reduciendo así el recruzamiento. Elproblema principal radica en localizar esta superficie divisoria en particular,S, que en principio es una función de todas las coordenadas, q, y momentosdel sistema, p, es decir, S = S(q,p). Un modo de hacerlo es considerar lasuperficie como una función solamente de las coordenadas y simplificar el restode sus dependencias considerando un conjunto de parámetros que restrinjanla forma y orientación de la superficie divisoria (ambas específicadas como Ω)a una distancia, s, a lo largo del camino de reacción, en lugar de permitirdefiniciones arbitrarias. De este modo S = S(q,p) se reduce a S = S(s,Ω),aunque se puede ir más allá y ajustar la forma de la superficie divisoria yusar el vector ˆn perpendicular a la superficie, en lugar de Ω, para definir lasuperficie divisoria S(s, ˆn). Estos dos parámetros (uno escalar y otro vectorial)se optimizan variacionalmente hasta que el flujo directo a través de la superficiesea mínimo.Un camino que tiene especial relevancia dinámica, es aquel que correspondea un movimiento clásico de una supermolécula que se mueve hacia abajo a unavelocidad infinitesimal próxima a cero, sobre la superficie de energía potencial,es decir, a medida que en cada paso infinitesimal disminuye la energía potencialy se crea energía cinética nuclear, se elimina la velocidad de los núcleos quese va generando. En el límite correspondería a un movimiento (movimientointrínseco) cuya energía sería siempre sólo energía potencial (la energía totalen cada punto correspondería con el potencial, V ). Partiendo de las ecuacionesclásicas de movimiento de Hamilton en coordenadas cartesianas se llega a unsistema de ecuaciones diferenciales simultáneas en coordenadas cartesianasponderadas en la masa con la forma:dqds = g|g|(2.136)donde los desplazamientos infinitesimales de las coordenadas (dq) son proporcionalesa las componentes del gradiente normalizado, ( g|g|). Por tanto, elcamino descendente con velocidad infinitesimalmente igual a cero puede construirsesimplemente expresando la energía potencial en coordenadas cartesianasponderadas en la masa y siguiendo la dirección del gradiente en dichascoordenadas. Es lo que se conoce como coordenada de reacción intrínseca, cuyoacrónimo es IRC (“intrinsic reaction coordinate”), o camino de reacción demínima energía, cuyo acrónimo es MEP (“minimum energy path”) en coordenadasisoinerciales, que se origina en el punto de silla y llega hasta los reactivosy los productos.Existen diversos métodos para resolver estas ecuaciones diferenciales [45] ylos más destacados son: el método de Euler, el método de Runge-Kutta y[45] V. S. Melissas, D. G. Truhlar, and B. C. Garrett, “Optimized calculations of reactionpaths and reaction-path functions for chemical reactions,” The Journal of ChemicalPhysics, vol. 96, p. 5758, 1992.

64 2.4. Dinámica químicael método de Page-McIver. Todos ellos parten de la geometría del estado detransición, y a excepción del método de Page-McIver, que calcula derivadasde orden superior en el estado de transición, el resto utilizan el modo normalde vibración correspondiente a la coordenada de reacción para dar el primerpaso sobre el MEP.Si se elige una superficie divisoria que sea un hiperplano en coordenadasrectilíneas ortogonales al MEP, la dirección del gradiente a lo largo del MEPcoincide con la dirección a lo largo el vector normal ˆn. Por lo tanto en estecaso, la superficie divisoria depende solamente de s, y la constante de velocidadmínima se obtiene optimizando variacionalmente la localización de la superficiea lo largo del MEP. La coordenada perpendicular a la superficie divisoria esla coordenada de reacción, y el postulado de que no existe recruzamientopodría ser cierto si esta coordenada es separable de los otros 3N − 1 gradosde libertad. Existe de todos modos, un algoritmo que optimiza ˆn, eliminandola restricción de que la superficie divisoria sea perpendicular al MEP; estealgoritmo, se denomina RODS [62] (“reorientation of the dividing surface”) ybusca maximizar la energía libre de activación en cada punto.Para clasificar los distintos estados de transición generalizados se utilizala longitud del arco,s, a lo largo el camino de referencia, que normalmente esel MEP. El valor s = 0 se asigna al punto de silla, y los valores negativos opositivos corresponden al lado de los reactivos o al de los productos, respectivamente.Cada superficie divisoria generalizada en coordenadas rectilíneasortogonales al MEP se designa mediante el valor de s del punto del MEP quese interseca con dicha superficie.La expresión de la constante de velocidad VTST para una superficie divisoriaque interseca al MEP en s es:kC GT = 1βhQ GTCΦ R C (T)exp[−βV MEP(s)] (2.137)donde V MEP (s) es el potencial evaluado sobre el MEP en s, y Q GTCes la funciónde partición del estado de transición generalizado clásica. El cero de energíapara el estado de transición generalizado se toma como el mínimo de los modosvibracionales locales ortogonales al camino de reacción en s, que es igual aV MEP (s). El valor de la constante de velocidad cuando se minimiza esta ecuación,con respeto a s, corresponde a la teoría del estado de transición canónicavariacional, también denominada simplemente teoría canónica variacional (“eninglés Canonical Variational Theory, CVT”)k CVTC= mínk GTsC (T, s) = kCGT[T, sCVTC,∗ (T) ] (2.138)donde s CVTC ,∗indica la posición óptima clásica de la superficie divisoria. La[62] J. Villa and D. G. Truhlar, “Variational transition state theory without the minimumenergypath,” Theoretical Chemistry Accounts: Theory, Computation, and Modeling(Theoretica Chimica Acta), vol. 97, no. 1, pp. 317–323, 1997.

2. Métodos teóricos 65expresión de la constante de velocidad CVT clásica es:([ ])Q GTCT, s CVTC,∗ (T)k CVTC = 1βhΦ R C (T)exp [ −βV MEP (s CVTC,∗ , T) ] (2.139)La constante de velocidad CVT puede tener en cuenta la mayoría del recruzamiento(dependiendo de la reacción) que tiene lugar en el estado de transición.Minimizar el recruzamiento en general no significa eliminarlo, por esopara reacciones concretas, la mejor superficie divisoria CVT podría proporcionaruna constante de velocidad superior a la constante de velocidad exacta. Sinembargo en un mundo clásico, se podría eliminar totalmente el recruzamientosi optimizaramos la superficie divisoria en el espacio de fases con respecto atodas las coordenadas y momentos. Por otro lado asumiendo el equilibrio localen la parte de reactivos, las constantes CVT siempre mejoran los resultadosobtenidos mediante la TST, y por lo tanto se cumple la desigualdad:kC CVT ≤ k ‡ C(T) (2.140)Para incorporar los efectos cuánticos en la constante de velocidad térmicapara los modos perpendiculares a la coordenada de reacción, se deben considerarlas funciones de partición cuánticas. Realmente este proceso no es adhoc sino que fue derivado en parte por Wigner [63] en 1932. Debido a que lacoordenada de reacción se ha eliminado de la función de partición del estadode transición, la constante de velocidad no es totalmente cuántica. Despuésde la sustitución de las funciones de partición, la constante de velocidad CVTviene dada por la expresión:k CVT = 1 Q GT ([ T, s CVT∗ (T) ])βh Φ R C (T) exp[−βV MEP (s)] (2.141)donde Φ R es la función de partición cuantizada para reactivos por unidadde volumen y Q GT (T, s) es la función de partición del estado de transicióngeneralizado en s.Otra forma de escribir la ecuación anterior es relacionarla con el perfil deenergía libre de activación G GT,o de manera análoga a como se había hecho enel apartado 2.4.2:k GT = 1 { [βh K‡,o exp −TG GT,o (T, s) − G R,oT] }/RT= 1βh K‡,o exp [ −∆G GT,o (T, s)/RT ] (2.142)donde K ‡,o es el recíproco de la concentración en el estado estándar parareacciones bimoleculares o la unidad para reacciones unimoleculares, G GT,o[63] E. Wigner, “On the penetration of potential energy barriers in chemical reactions,” Z.Physik Chem. B, vol. B19, p. 203, 1932.

66 2.4. Dinámica químicaes la energía libre del estado estándar del sistema en la superficie divisoriaperpendicular al MEP, y G R,oTes la energía clásica del estado estándar de losreactivos a la temperatura T. La energía libre del perfil de activación vienedada como[ Q∆G GT,0 GT ](T, s)= V MEP (s) − RTlnK ‡,0 Φ R (2.143)(T)Por tanto, la constante de velocidad CVT se puede reescribir comok CVT = 1 {βh K‡,0 exp−∆G GT,0T(sCVT∗ (T) ) }/RT(2.144)Al comparar las ecuaciones 2.144 y 2.142, se puede ver que el valor mínimo dek GT como una función de s se alcanza cuando la energía libre de activaciónes máxima. En general la superficie divisoria se toma como perpendicular alMEP, pero en el algoritmo RODS, la superficie divisoria se orienta de modo queproporcione la mayor energía de activación, que es la superficie que maximiza(S(s i , ˆn)) a una T y s i dadas. En este caso la superficie divisoria, sedefine mediante la localización s i donde interseca al MEP y con un vectorunitario ˆn que es ortogonal a la superficie divisoria en el MEP. El valor de laenergía libre con la optimización de la orientación en el punto s i viene dadapor:∆G GT,0T∆G OGT,0T= máxˆn ∆GGT,0 T(S(s i , ˆn)) (2.145)y la energía libre es el máximo de la orientación optimizada de las energíaslibres:∆G OGT,0T= máx ∆G OGT,0s T(s) (2.146)Las magnitudes necesarias para la evaluación de la constante de velocidadpara diferentes superficies divisorias k GT (T, s) y por tanto de la constantede velocidad canónica variacional k CVT se obtiene a partir de la siguienteinformación de la reacción química de interés.En primer lugar se deben localizar los puntos estacionarios de la superficiede energía potencial: reactivos, productos y punto de silla, si lo hubiere. A continuaciónhay que construir un camino de reacción, normalmente el MEP, quese inicia en el punto de silla en la dirección del vector de transición, es decir,el vector propio asociado al único valor propio negativo de la matriz de constantesde fuerza en coordenadas cartesianas ponderadas en la masa. Para ellohay que hacer un análisis de los modos normales mediante la diagonalizaciónde la matriz Hessiana H. Tras las diagonalización, los elementos diagonales dela matriz o valores propios son las constantes de fuerza que están relacionadascon las frecuencias de vibración de los modos normales mediante la expresión:ω l (s = 0) = 12π [λ l(s = 0] 1/2 l = 1, 3N (2.147)siendo λ l los valores propios y ω l las frecuencias. Seis de los valores propios soncero (5 si la supermolécula es lineal, ya que corresponden a las 3 traslaciones y 3

2. Métodos teóricos 67(o 2) rotaciones de la supermolécula), 1 es negativo y los restantes son positivosy corresponden a los modos enlazantes. El valor propio negativo correspondeal modo no enlazante asociado al vector de transición que dará lugar a unafrecuencia imaginaria. Para obtener las funciones de partición de los estadosde transición generalizados, Q GT , hay que hacer un análisis generalizado demodos normales para los modos ligados en un conjunto de puntos tomadosa intervalos regulares a lo largo del MEP, por lo que es necesario calcularla matriz Hessiana H(s) en dichos puntos. Para s ≠ 0 el gradiente ya no esnulo ya no se puede hacer el tratamiento convencional de modos normales,sin embargo, las derivadas primeras sí son cero en las direcciones al MEP. Enconsecuencia, se buscan los modos normales generalizados correspondientesa las vibraciones ortogonales al MEP (son por tanto vibraciones que tienenlugar en el estado de transición generalizado). Para ello hay que proyectarfuera de la matriz H(s) las contribuciones correspondientes al gradiente ya las direcciones asociadas a las traslaciones y rotaciones infinitesimales dela supermolécula. Los modos normales generalizados ortogonales al MEP seencuentran diagonalizando la matriz de constantes de fuerza proyectada H P (s)H P (s)(S) = [1 − P]H(s)[1 − P] (2.148)donde P es el proyector sobre el gradiente. Las frecuencias asociadas a losmodos normales, procedente de la diagonalización de la Hessiana proyectadaH P (s), se les denomina frecuencias generalizadas o proyectadas.Ahora bien, la evaluación de la hessiana no es única y depende del sistemade coordenadas que empleemos para definir nuestro sistema. Así para evaluarla hessiana se necesitan puntos fuera del MEP, y la proyección de dichos puntossobre el MEP no es única. Dependiendo si se utilizan coordenadas cartesianaso coordenadas internas las frecuencias de los estados de transición generalizadoscambiarán. Como puede apreciarse en la Figura 2.2, es un movimiento deflexión para una supermolécula triatómica lineal se describe mejor si se considerancoordenadas internas. Este es un factor fundamental a tener en cuentaen la evaluación de la constante de velocidad CVT.2.4.4. Efectos cuánticosLa teoría del estado de transición es originalmente clásica. Sin embargo laintroducción de efectos mecanocuánticos, que dan lugar a la cuantización delos niveles de energía (y, especialmente, la existencia de las energías de puntocero) y de efectos mecanocuánticos sobre el movimiento a lo largo del caminode reacción es indispensable para obtener valores aceptables de las constantesde velocidad.Funciones de partición cuánticasEl primer paso en la cuantización de la TST es la sustitución de las funcionesde partición clásicas por las correspondientes funciones de partición

68 2.4. Dinámica química(a)(b)Figura 2.2: Movimiento de flexión para longitudes de enlace AB y BC constantesy también a lo largo de los modos normales generalizados. En (a) semuestra el movimiento de flexión para una geometría colineal en la cual semantienen las distancias de enlace constantes. En (b) se muestra el movimientode flexión colineal al MEP a lo largo de desplazamientos en coordenadascartesianas en línea recta.cuánticas. La función de partición de reactivos por unidad de volumen parareacciones bimoleculares se expresa como el producto de las funciones particiónpara las dos reactivos y su correspondiente movimiento traslacional:Φ R = Φ A,Brel(T)Q A (T)Q B (T) (2.149)dondeΦ ABrel (T) = ( 2πµβh 2 ) 1/2(2.150)y Q A y Q B incluyen contribuciones de los grados internos de libertad (vibracional,rotacional, y electrónico) para cada especie, y donde µ es la masareducida del sistema.. Para reacciones unimoleculares, la función de particiónde reactivos involucra contribuciones de una especie reactiva solamente. Parareactivos atómicos, Q A y Q B poseen solamente contribuciones de los gradosde libertad electrónicos. Mientras que para las especies poliatómicas las funcionesde partición se pueden aproximar como el producto de las diferentescontribuciones:Q A = Q A el (T)QA vib (T)QA rot(T) (2.151)En esta expresión se han despreciado los acoplamientos entre los grados delibertad electrónicos, vibracionales y rotacionales. La función de particiónelectrónica viene dada por la ecuación:Q A el = ∑ α=1d A αexp [ −βE A el (α)] (2.152)donde α es el índice sobre los estados electrónicos y d A α y E A elson la degeneracióny la energía del estado electrónico α, respectivamente. La función departición rotacional cuántica se aproxima a la clásica pues los niveles rotacionalesestán muy próximos entre sí. Para una molécula lineal la función de

2. Métodos teóricos 69partición de un rotor rígido clásico será:Q A rot =2IA 2 βσ A rot(2.153)siendo I A el momento de inercia, σrot A el número de simetría rotacional. Si lamolécula es no lineal, la función de partición rotacional se puede aproximarpor:[ (Q A rot = 1 ) ]231/2σrotA 2 πI1 A I2 A I3A (2.154)βdonde I1 A, IA 2 y IA 3 son los momentos de inercia para el reactivo A.La función de partición vibracional se trata mecano-cuánticamente, y enprimera aproximación se evalúa dentro de la aproximación armónica comoF A −1Q A vib (T) = ∏m=1∑n mexp [ −βE A vib,m (n m) ] (2.155)donde F A = N A − 5 para moléculas lineales o F A = N A − 6 para moléculas nolineales, N A es el número de átomos en el reactivo A, y Evib A (n m) es la energíadel nivel vibracional armónico n en el modo m y viene dada porE A vib,m (n m) =(n m + 1 2)ω A m (2.156)donde ω A m es la frecuencia del modo normal en el reactivo A.De igual manera las expresiones para las funciones de partición para losestados de transición generalizados se pueden factorizar como:Q GT,s = Q GTel (T, s)Q GTvib (T, s)QGT rot (T, s) (2.157)La función de partición electrónica viene dada por:La función de partición rotacional:Q GTel = ∑ d GTα (s)exp [ −βEel GT (α, s) ] (2.158)α=1y la función de partición vibracionalQ GTrot = 2IGT (s) 2 βσ GTrot(2.159)F −1vib (T, s) = ∏Q GTm=1Q GTvib,m (T, s) (2.160)Cada una de las m funciones de partición vibración vibracional esQ GTvib,m = ∑ m mexp [ −β GTvib,m (n m, s) ] (2.161)

70 2.4. Dinámica químicadonde Evib,m GT (n m, s) es la energía del nivel vibracional armónico n m en el modom, medido respecto a V MEP (s), y que viene dado por la ecuación:E GTvib,m (n m, s) =(n m + 1 2)ω m (s) (2.162)donde ω(s) es la frecuencia del modo normal m para la superficie divisoriadefinida por las posiciones del sistema en el punto s y el vector normal a lasuperficie divisoria a ese valor de s, ˆn. La suma de la Ecuación 2.161 deberíaterminar cuando se alcanza la energía de disociación más baja del sistema, poreso en general, las contribuciones de los niveles de más alta energía se desprecian,la suma puede incluir todos los niveles armónicos y se puede conseguiruna expresión analítica del tipo:Q GTvib,m (T, s) = exp[ − 1 2 βω m(s) ](2.163){1 − exp[−βω m (s)}Los cálculos vibracionales permiten definir la llamada curva de energía potencialadiabática (correspondiente al estado vibracional fundamental):V Ga (s) = V MEP (s) + ǫ G (s) (2.164)dondeǫ G (s) =F∑−1m=1vib,m (n m = 0, s) = 1 F −12 ∑µ m (s) (2.165)ǫ GTm=1Efectos cuánticos sobre la coordenada de reacciónEn el apartado anterior se ha visto como introducir los efectos cuánticospara los grados de libertad ortogonales al camino de reacción. En esta secciónveremos las distintas aproximaciones que existen para tener en cuenta losefectos cuánticos sobre el movimiento a lo largo del camino de reacción.Debido a las propiedades ondulatorias de la materia una reacción químicapuede tener lugar mediante efecto túnel, aunque los reactivos no tengan unaenergía superior a la del máximo de la curva de energía potencial adiabática(que corresponde al estado de transición canónico variacional a T = 0K). Paratener en cuenta esta posibilidad se introduce en la teoría variacional un factorllamado coeficiente de transmisión κ Y (T) de modo que:k CVT/Y (T) = κ CVT/Y (T)k CVT (T) (2.166)La introducción del efecto túnel es absolutamente indispensable en reaccionesque fundamentalmente consisten en la transferencia de núcleos ligeros como,por ejemplo, en las reacciones de transferencia protónica o de hidrógeno.La magnitud de la frecuencia imaginaria en el estado de transición determinala anchura en la parte superior de la barrera y se supone que grandesfrecuencias imaginarias indican un perfil de la barrera afilado que se traduce

2. Métodos teóricos 71en un incremente del efecto túnel. De todos modos, el V MEP (s) no es la barreraefectiva para el efecto túnel sino la barrera del potencial adiabático, de ahí suimportancia.El problema adiabático podría parecer una aproximación monodimensionalal problema porque el potencial es una función tan sólo de la coordenada dereacción, s. Sin embargo, el camino de reacción es una coordenada curvilíneay la curvatura del camino acopla el movimiento a lo largo de la coordenada dereacción con los modos de vibración locales perpendiculares a éste. El acoplamientointroducido en el hamiltoniano del sistema a través de los términos deenergía cinética se traduce en un efecto centrífugo interno negativo que desplazael camino por el que tiene lugar el efecto túnel a la cara cóncava del caminode reacción. En otras palabras el acoplamiento causa que el efecto túnel tengalugar a través de caminos más cortos que el camino de la coordenada dereacción.Al despreciar este acoplamiento en la evaluación del efecto túnel tenemos laaproximación de curvatura cero, mientras que las aproximaciones de pequeñay gran curvatura sí que lo tienen en cuenta.Si se supone que el camino tiene poca curvatura, se puede aceptar quela corrección mecanocuántica al movimiento a lo largo del camino de reacciónse debe fundamentalmente al efecto túnel a través de la región del puntosilla. Así el movimiento cuántico de la supermolécula se describe aproximadamentemediante una ecuación de Schrödinger nuclear monodimensional (loque supone despreciar la curvatura del camino de reacción) correspondiente almovimiento de una partícula de masa µ sobre un potencial dado por la curvade energía potencial adiabática en función de s. El operador hamiltoniano esĤ = − −22µd 2ds 2 + V Ga (s) (2.167)En coordenadas cartesianas las masas quedan incorporadas en las propias coordenadaspor lo que la masa reducida µ de la ecuación anterior vale la unidad yno tiene dimensiones. El coeficiente de transmisión semiclásico que se obtienese representa por κ CVT/ZCT , donde ZCT es el acrónimo de “zero-curvature tunneling”,y se calcula mediante el cociente entre la probabilidad de transmisiónsemiclásica P(E) promediada según una distribución de Maxwell-Boltzmanna la temperatura T, y la probabilidad de transmisión clásica promediada dela misma forma:∫ ∞κ CVT/ZCT 0P(E)e −E/kBT dE(T) = ∫ ∞Ve −E/kBT (2.168)dEAGdonde V AG es el valor máximo de la energía potencial adiabática, es decir,V AG = Va G [s CV ∗T (T = 0)] y en la integral del denominador se ha utilizado elhecho de que la probabilidad de transmisión clásica sea 0 para E < V AG , y1 para E ≥ V AG . Los límites superiores de las integrales sólo deberían extendersehasta la energía de disociación más baja de la molécula, sin embargo,

72 2.4. Dinámica químicala presencia de la exponencial de la energía hace que los términos adicionalesque se añaden hasta el límite superior ∞ sean despreciables a las temperaturasque se consideran normalmente.Figura 2.3: Gráfico de contorno para la reacción colineal de H+H 2 −→ H 2 +H,donde se muestra el camino de mínima energía (MEP), el camino de pequeñacurvatura (SCP), el camino de gran curvatura (LCP) y el camino de mínimaacción (LAP)La aproximación semiclásica a la probabilidad de transmisión cuántica permitellegar a las siguientes expresiones según el intervalo de energías en el cualesta comprendida la energía de la supermolécula. Dentro de esta aproximacióntenemos:donde⎧⎪⎨P(E) =⎪⎩es la energía umbral cuántica y0, E < E 011+e 2θ(E) , E 0 ≤ E ≤ V AG1 − P(2V AG − E) E 0 ≤ E ≤ V AG1, 2V AG − E 0 < E(2.169)E 0 = máx [ V Ga (s = −∞), V Ga (s = ∞) ] (2.170)θ(E) = (2µ)2∫ s2s 1[VGa (s) − E ] (1/2)ds (2.171)es la integral del acción, siendo s 1 y s 2 los puntos de retorno clásicos, es decir,los puntos en los cuales V Ga (E) = E.

2. Métodos teóricos 73La segunda línea de la Ecuación 2.169 corresponde al túnel, mientrasque la tercera línea de esa ecuación es el resultado de la reflexión cuántica.Como resultado de estas ecuaciones, se cumple que, κ CV T/ZCT ≥ 1, conκ CV T/ZCT (T → 0) → ∞ y κ CV T/ZCT (T → ∞) → 1Si se quiere tener en cuenta la curvatura del camino de reacción en casosde curvatura moderada hay que introducir una masa reducida efectiva µ ef ensustitución de µ y, por tanto en la integral de acción (Ecuación 2.171). De estemodo µ ef ≤ 1 lo que hace disminuir la integral de acción y por tanto aumentala probabilidad de transmisión cuántica y el factor de transmisión semiclásico.Se obtiene entonces el método SCT, acrónimo de “small-curvature tunneling”.Sin embargo si la curvatura es muy grande hay que considerar el efectotúnel través del camino de reacción en línea recta (”linear reaction path”) queconstituye el método de túnel de gran curvatura (” large curvature tunneling”,LCT).En la Figura 2.3 se muestran las trayectorias que consideran los tres métodosasí como el camino de mínima acción, que es el camino con la probabilidadde efecto túnel más grande. Esta probabilidad se busca como el máximo de lasprobabilidades SCT y LCT. Esta nueva probabilidad se denomina, probabilidadde túnel microcanónica multidimensional optimizada, P µOMT (“en inglésmicrocanonically optimized multidimensional tunneling”) y viene dada por laexpresión:P µOMT = máxE= { P SCT (E)P LCT (E)(2.172)

Capítulo 3Resultados y discusiónLa constante de velocidad de las reacciones químicas es un tema muycomplicado.(Harold S. Johnston)a reacción de transposición sigmatrópica descrita en la introducción implicaL la transferencia de una partícula ligera, como es el átomo de hidrógeno,entre dos átomos pesados, los carbonos. La sección 2 de la memoria recogecomo los átomos presentan un comportamiento que se comprende siguiendolas leyes de la mecánica cuántica. En este contexto, de Broglie estableció ladualidad onda-partícula asociada a cualquier partícula microscópica, por esoen el caso del átomo del hidrógeno su longitud de onda definirá en gran medidasu comportamiento. En concreto, presentará efectos cuánticos que no poseenningún análogo clásico pero que debemos tener en cuenta en las teorías queutilicemos a fin de que los resultados cuantitativos se adecuen a los valoresexperimentales.El efecto cuántico de vital importancia en los procesos de transferenciaprotónica es el efecto túnel, que hace que una partícula, aún sin tener unaenergía suficiente para superar una barrera de energía potencial, presente unaprobabilidad no nula de atravesarla a través de la región clásicamente prohibida.Históricamente, el efecto túnel en las reacciones químicas se puso de manifiestopor la desviación de la linealidad de la ecuación de Arrhenius quepresentaban ciertos procesos de transferencia protónica a bajas temperaturas.Este trabajo pretende abordar el estudio de la velocidad de reacción deldesplazamiento sigmatrópico [1,7] de hidrógeno del 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno. En este proceso el efecto túnel podría tener una gran influencia sobrelas constantes de velocidad del proceso.La teoría variacional del estado de transición con correcciones multidimensionalespara el efecto túnel define el marco teórico que hemos utilizado paraevaluar las constantes de velocidad del proceso. En primer lugar se definen75

76 3.1. Superficie de energía potenciallas pautas para una posible aplicación de este sistema modelo de la vitaminaD 3 , haciendo una comparación con los valores experimentales disponibles. Ensegundo lugar, se caracteriza la superficie de energía potencial del 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno, no sólo para localizar los posibles estados de transición delsistema, sino también para saber qué confórmeros tienen importancia desdeel punto de vista dinámico. Para ello se utilizan dos metodologías de cálculodiferentes, DFT y AM1-SRP, donde para el último método se han elegido losparámetros en base a la reacción de trasposición sigmatrópica [1,7] en el 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno. Los cálculos de dinámica a este nivel semiempíricopondrán de manifiesto las ventajas y los inconvenientes de esta metodologíaen el caso de la vitamina D 3 que, a priori, por tratarse de un sistema tan grande,parece el método más adecuado teniendo en cuenta el tiempo de cálculorequerido por los cálculos de dinámica.Todo ello constituye el cuerpo principal de esta reacción.3.1. Superficie de energía potencialEl primer paso para comprender la reactividad de un sistema químico eslocalizar, sobre la superficie de energía potencial, los puntos que tienen significadofísico, en concreto, los mínimos, que corresponden a especies estables, ylos puntos de silla de primer orden, que constituyen los estados de transición.Estos últimos son claves a la hora de explicar la reactividad química de nuestrosistema.3.1.1. Superficie de energía potencial a nivel MPWB1KA fin de caracterizar la superficie de energía potencial, se ha llevado acabo un análisis conformacional exhaustivo de la molécula de 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno, así como de los posibles mecanismos de reacción para eldesplazamiento sigmatrópico [1,7] de hidrógeno. El nivel de cálculo elegido hasido MPWB1K con la base 6-31+G(d,p), que denotaremos por MPWB1K/6-31+G(d,p). Su elección ha respondido a los buenos resultados que proporcionaeste funcional para el cálculo de constantes de velocidad [58] .Figura 3.1: Numeración del 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno.[58] Y. Zhao and D. G. Truhlar, “Hybrid Meta Density Functional Theory Methods for Thermochemistry,Thermochemical Kinetics, and Noncovalent Interactions: The MPW1B95and MPWB1K Models and Comparative Assessments for Hydrogen Bonding and vander Waals Interactions,” J. Phys. Chem. A, vol. 108, no. 33, pp. 6908–6918, 2004.

Figura 3.2: Confórmeros del 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno a nivel MPWB1K/6-31+G(d,p). Vista que resalta la disposición delos ángulos diedros φ 1 = φ(C 1 -C 2 -C 3 -C 4 ) y φ 2 = φ(C 3 -C 4 -C 5 -C 6 )3. Resultados y discusión 77

78 3.1. Superficie de energía potencialTodos los confórmeros localizados sobre la superficie de energía potencialaparecen reflejados en la Figura 3.2. En total son 22 confórmeros diferentes.De todas las posibles conformaciones sólo dos poseen plano de simetría, (R1y R3), el resto pertenecen al grupo puntual de simetría C 1 . Estos últimospresentan enantiomería conformacional, es decir, existe un enantiómero paracada una de estas conformaciones. Son los nombrados en la Figura 3.2, con unasterisco que simboliza la relación enantiomeríca que se establece entre ellos.De acuerdo con los cálculos MPWB1K y los cálculos de Hess [38] a nivelB3LYP/6-31G*, el confórmero más estable es el R1 con una configuracións-trans,s-trans en la que la cadena hidrocarbonada se encuentra en el mismoplano. Partiendo de esta geometría todas las demás posibles conformacionespueden clasificarse en cuatro grandes grupos, según se modifique uno u otroo los dos ángulos diedros que definen la cadena principal. El primer ángulodiedro viene definido por los átomos C 1 -C 2 -C 3 -C 4 y el segundo por C 3 -C 4 -C 5 -C 6 , que denotaremos como φ 1 y φ 2 , respectivamente (véase Figura 3.1).El segundo grupo, está constituido por los confórmeros R4/R4*, R5/R5*,R6/R6* y R7/R7* surge al modificar solamente el diedro φ 1 .Hemos realizado cálculos a nivel MPWB1K/6-31+G(d,p) para distintosvalores del diedro φ 1 , que van de 0 o a 360 o con incrementos de 10 o . En cadauno de estos cálculos se ha fijado el ángulo diedro φ 1 optimizando el resto devariables. Este procedimiento permite representar la energía para cada puntofrente al valor del ángulo diedro obteniéndose las Figuras 3.3, y 3.5. Representandola energía para cada punto frente al valor del diedro, hemos obtenidolas gráficas de la Figura 3.3.La gráfica (a) de la Figura 3.3 presenta tres mínimos en los que dos de ellosson energéticamente equivalentes. A 180 o tenemos el grupo de los confórmerosen el que la cadena hidrocarbonada es plana, es decir los confórmeros R1,R2/R2* y R3, mientras que los otros dos mínimos corresponden a conformacionesen las que el diedro φ 1 toma un valor de 40 o y -40 o , aproximadamente.Estos dos mínimos corresponden respectivamente al grupo formado por R4,R5, R6 y R7 en los que el carbono C 1 se encuentra por debajo del plano quedefine la cadena hidrocarbonada, y sus correspondientes enantiómeros R4*,R5*, R6* y R7* en los que el carbono C 1 está por encima.Repitiendo el mismo procedimiento para el diedro φ 2 surge el segundogrupo formado por los isómeros R8/R8*, R9/R9* y R10/R10*. La rotacióninterna que se representa en la gráfica (b) de la Figura 3.3 del diedro φ 2 indicala existencia de dos grupos enantiómeros entre sí. Están formados por R8*,R9* y R10*, y R8, R9 y R10, que son valores del diedro φ 2 cercanos a 90 oy -90 o , y en los que la parte de la cadena hidrocarbonada C 1 –C 3 queda porencima y por debajo del plano, respectivamente.Cuando se modifican los diedros φ 1 y φ 2 aparece un nuevo grupo deconfórmeros, etiquetados como R11/R11* y R12/R12* y que se representan[38] B. A. Hess Jr, “Computational support for tunneling in thermal [1, 7]-hydrogen shiftreactions.,” J. Org. Chem, vol. 66, no. 17, pp. 5897–5900, 2001.

3. Resultados y discusión 792010158Energía (kcal/mol)10Energía (kcal/mol)64R8 R9 R10R8* R9* R10*5R4 R5R6 R7R1 R3R2/R2*R4* R5*R6* R7*00 50 100 150 200 250 300 350Diedro φ 1 (C 1 −C 2 −C 3 −C 4 ) (°)(a)2R1 R3R2/R2*00 50 100 150 200 250 300 350Diedro φ 2 (C 3 −C 4 −C 5 −C 6 ) (°)(b)11103530Energía (kcal/mol)98765R11/R11* R12/R12*R4/R4* R5/R5*R6/R6* R7/R7*0 50 100 150 200 250 300 350Diedro φ 2 (C 3 −C 4 −C 5 −C 6 ) (°)Energía (kcal/mol)25201510R11/R11*5 R12/R12*R10/R10*R8/R8* R9/R9*00 50 100 150 200 250 300 350Diedro φ 1 (C 1 −C 2 −C 3 −C 4 ) (°)(c)(d)Figura 3.3: Perfiles de energía potencial debidos a la rotación interna en tornoa los ángulos diedros φ 1 y φ 2 llevados a cabo mediante cálculos al nivelMPWB1K/6-31+G(d,p). El cero de energía corresponde al confórmero másestable R1.

80 3.1. Superficie de energía potencialTabla 3.1: Clasificación conformacional del 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno siendoφ 1 =φ(C 1 -C 2 -C 3 -C 4 ) y φ 2 =φ(C 3 -C 4 -C 5 -C 6 )Grupo Confórmeros φ 1 φ 2I R1 R2/R2* R3 180 o 180 oII R4/R4* R5/R5* R6/R6* R7/R7* 40 o /-40 o 180 oIII R8/R8* R9/R9* R10/R10* 180 o 90 o /-90 oIV R11/R11* R12/R12* 30 o /-30 o 60 o /-60 oen la gráfica (c) de la Figura 3.3. En este caso y dada la complejidad los cálculosde energía para las rotaciones internas respecto de las dos variables φ 1 y φ 2 , sinrelajar el resto de variables, optamos por calcular puntualmente las geometríaspara diferentes valores del diedro φ 2 partiendo de una geometría conocida delsegundo grupo anteriormente descrito (R4–R7). Este procedimiento tan sólotiene como objeto asegurar la no existencia de más confórmeros y no invalidalos resultados obtenidos. La rotación del ángulo diedro indica la existenciade dos mínimos, uno a unos 60 o , correspondiente a los confórmeros R11 yR12, y otro a 180 o , correspondiente al grupo formado por los confórmerosR4, R5, R6 y R7. Estos resultados también son válidos estos resultados parasus enantiómeros correspondientes.La cuarta y última rotación sobre el diedro φ 1 , que se representa en lagráfica (d) de la Figura 3.3, muestra la interconversión entre los grupos R11–R12 (mínimo para φ 1 = 30 o ) y R8–R9–R10 (mínimo para φ 1 =180 o ).

Figura 3.4: Confórmeros del 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno a nivel MPWB1K/6-31+G(d,p). Vista que resalta la disposición delángulo diedro φ 3 = φ(C 5 -C 6 -C 7 -H 17 ).3. Resultados y discusión 81

82 3.1. Superficie de energía potencialLa clasificación de los cuatro grupos de rotaciones internas se resume enla Tabla 3.1. Dentro de cada uno de estos grupos, un tercer ángulo diedro,φ 3 =C 5 -C 6 -C 7 -C 17 (véase Figura 3.1) define la rotación del grupo –CH-(CH 3 ) 2respecto al resto de la cadena. La Figura 3.4 muestra todos los confórmeroscon una vista en proyección respecto al enlace C 6 -C 7 . En el grupo I, que serepresenta en la gráfica (a) de la Figura 3.5, existen cuatro posibles confórmeros,R1, R2/R2* y R3, dos de los cuales son enantiómeros, R2 y R2*. R1es el confórmero más estable, en él los dos grupos metilo se encuentran lo másalejados posible de la cadena principal. Para R2 y R2* el diedro φ 3 es de 120 oy 340 o , mientras que R3 toma un valor de 0 o . De igual manera en el grupoII, como se representa en la gráfica (b) de la Figura 3.5, R4/R4* R5/R5*R6/R6* R7/R7* y sus correspondientes enantiómeros R4* R5* R6* R7*tienen valores del diedro φ 3 iguales a 160 o , 240 o , 120 o y 0 o , respectivamente.En el tercer grupo aparecen tres mínimos para φ 3 =125 o , φ 3 =160 o yφ 3 =0 o , correspondientes a los confórmeros R8/R8*, R9/R9* y R10/R10*respectivamente, como puede verse en la gráfica (c) de la Figura 3.5.Y finalmente para el grupo IV, que se representa en la gráfica (d) de laFigura 3.5, únicamente existen dos mínimos sobre la superficie de energíapotencial, φ 3 =140 o y φ 3 =0 o , que corresponden a R11/R11* y R12/R12*,respectivamente.Las energías así como algunos de los principales parámetros geométricospara cada uno de los confórmeros obtenidos a nivel MPWB1K/6-31+G(d,p)se muestran en la Tabla 3.2.

3. Resultados y discusión 835847Energía (kcal/mol)32R2 R2*R3Energía (kcal/mol)65R6/R6*R4/R4*R5/R5*140R10 50 100 150 200 250 300 350Diedro φ 3 (C 5 −C 6 −C 7 −H 17 ) (°)(a)R7/R7*30 50 100 150 200 250 300 350Diedro φ 3 (C 5 −C 6 −C 7 −H 17 ) (°)(b)2423222220Energía (kcal/mol)212019R9/R9*R8/R8*Energía (kcal/mol)1816R11/R11*181417R10/R10*160 50 100 150 200 250 300 350Diedro φ 3 (C 5 −C 6 −C 7 −H 17 ) (°)(c)12R12/R12*0 50 100 150 200 250 300 350Diedro φ 3 (C 5 −C 6 −C 7 −H 17 ) (°)(d)Figura 3.5: Perfiles de energía potencial debidos a la rotación interna en tornoal ángulo diedro φ 3 llevados a cabo mediante cálculos al nivel MPWB1K/6-31+G(d,p). El cero de energía corresponde al confórmero más estable R1.

Tabla 3.2: Energías en kcal/mol y principales parámetros geométricos (distancias en Å y ángulos en grados) para los puntosestacionarios involucrados en las transposición sigmatrópica [1,7] de hidrógeno en el 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno calculado anivel MPWB1K/6-31+G(d,p)Estructura Energía φ a 1 φ a 2 φ a 3 α1 a α2 a α3 a d(C 7 − H 17 ) d(C 1 − C 7 ) d(C 1 − H 17 )R1 0.00 180.0 180. 0. 109.7 117.1 110.5 1.089 6.745 6.400R2/R2* 3.80 -179.9 -179.3 126.5 105.1 117.1 110.3 1.094 6.888 7.533R3 3.30 180. 180. 180. 105.9 117.1 111.6 1.090 6.793 7.727R4/R4* 6.41 -39.8 170.2 -173.3 106.0 117.3 111.6 1.090 5.616 6.374R5/R5* 6.79 -37.6 166.4 -124.5 105.0 117.3 110.5 1.094 5.586 5.912R6/R6* 6.85 -37.8 166.5 127.4 105.7 117.3 110.2 1.094 5.588 6.393R7/R7* 3.18 -39.9 171.3 0.0 109.6 117.3 110.5 1.089 5.612 5.530R8/R8* 7.44 179.3 97.7 164.1 106.3 117.1 110.8 1.091 5.431 6.424R9/R9* 6.79 -176.5 67.7 126.6 104.2 117.0 110.9 1.094 4.805 5.891R10/R10* 2.78 -175.3 55.6 -8.0 109.1 117.0 110.1 1.088 4.302 3.519R11/R11* 11.58 29.9 74.0 128.0 105.1 117.3 110.8 1.094 4.017 5.089R12/R12* 7.70 36.9 58.8 -8.5 108.6 117.4 110.4 1.085 3.685 3.265TS12/TS12* 26.68 10.3 22.0 -64.5 100.0 114.8 114.0 1.330 2.641 1.368P12/P12* 0.60 -0.1 4.1 -87.2 76.7 109.1 115.1 3.016 3.514 1.091TS13/TS13* 45.38 -127.1 25.5 -80.8 103.0 114.8 114.3 1.434 2.756 1.383P13/P13* 0.67 176.8 23.4 -75.6 71.5 108.2 115.5 4.525 4.598 1.090a φ1 = φ(C 1 − C 2 − C 3 − C 4 ), φ 2 = φ(C 3 − C 4 − C 5 − C 6 ), φ 3 = φ(C 5 − C 6 − C 7 − C 10 ), α 1 = α(C 6 − C 7 − H 17 ), α 2 = α(H 10 − C 1 − H 11 ), α 3 = α(C 8 − C 7 − C 9 )84 3.1. Superficie de energía potencial

3. Resultados y discusión 85La reacción de transposición sigmatrópica [1,7] en el 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno se produce cuando el hidrógeno H 17 migra desde el carbonoC 7 hasta el carbono C 1 . Siguiendo el principio de mínimo movimiento del métodode Bader-Pearson [64] , el confórmero con la configuración más adecuada esel R12 en el que la distancia C 1 -H 17 es de 3.265Å.Como se vio en la sección 1 de esta memoria, la migración de hidrógeno seproduce a través de un mecanismo antarafacial en el que el hidrógeno que migrapasa de una cara a la otra del plano de simetría que define la nube π electrónica.Cómo puede verse en la Figura 3.7, en el estado de transición TS12 interaccionala parte superior del átomo C 1 con la parte inferior del átomo C 7 , como cabeesperar para un mecanismo de estas características. El estado de transiciónTS12 une el confórmero R12 con P12 (Figura 3.6) que es un confórmero delproducto 2-metilocta-2,4(Z),6(Z)-trieno. Además hemos encontrado un estadode transición alternativo para la transposición sigmatrópica [1,7] de hidrógenoen el 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno que conecta R10 con P13. Como puedeapreciarse en la Tabla 3.2 las diferencias energéticas entres los dos estadosde transición es sustancial, en torno a unas 20 kcal/mol. El confórmero R12,presenta una barrera de reacción clásica de 18.89 kcal/mol, mientras que enel caso de R10 ésta barrera se incrementa hasta 42.59 kcal/mol. Todo ello apesar de que R10 es aproximadamente unas 5 kcal más inestable que R12.De modo que el camino energéticamente más probable para la migración dehidrógeno es el que discurre a través del confórmero R12.Esta diferencia energética tan grande, puede entenderse a través de las reglasde Woodward-Hoffman descritas en la primera sección de esta memoria.Woodward y Hoffman establecieron que las reacciones químicas vienen regidaspor la simetría de los orbitales moleculares, en concreto, por la simetría delHOMO en el caso de la migración de hidrógeno. Al igual que mostramos enla sección 1, el HOMO del 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno presenta tres nodosque rigen la estereoquímica del proceso. Construyendo los orbitales molecularespara los dos estados de transición podemos ver en la Figura 3.7 como elTS12 está favorecido por un solapamiento orbital positivo, mientras que elTS13 presenta un solapamiento orbital nulo. A diferencia del TS12, el enlaceC 2 -C 3 en el estado de transición TS13 ha sufrido un giro de casi unos 180 oy es el responsable de la interacción nula de los orbitales durante la reacción.Todo ello explica las grandes diferencias energéticas entre las dos estructurasa pesar de que ambos caminos de reacción siguen un mecanismo antarafacial.Al igual que en el caso de los confórmeros, estos estados de transición presentanisomería óptica, es decir, existen dos estados de transición equivalentesenergéticamente que a su vez conectan confórmeros en reactivos y productosque son enantiómeros entre sí.[64] R. G. Pearson, “Symmetry rules for chemical reactions,” Accounts of Chemical Research,vol. 4, no. 4, pp. 152–160, 1971.

86 3.1. Superficie de energía potencialFigura 3.6: ]Estados de transición enantioméricos para la transposición de hidrógeno [1,7]obtenidos con cálculos al nivel MPWB1K/6-31+G(d,p)3.1.2. Superficie de energía potencial a nivel AM1-SRPEl método AM1 presentado en la sección 2 es un método semiempíricobasado en al menos 6 parámetros ajustables para cada uno de los elementosquímicos. Estos parámetros pueden modificarse a voluntad para generar lasuperficie de energía potencial más adecuada a las características de nuestroproblema químico. En nuestro caso hemos optado por utilizar este método a finde explorar su posible aplicabilidad para estudiar la reacción de isomerizaciónanáloga en la vitamina D 3 .Hemos optimizado los parámetros de AM1 eligiendo para ello:• La frecuencia imaginaria del estado de transición para la migración [1,7]sigmatrópica de hidrógeno en la vitamina D 3 .• Las distancias de enlace entre el átomo de hidrógeno que se transfiere,el H 17 , el átomo dador, C 7 y el aceptor, C 1 .• El valor del efecto isotópico cinético experimental para el 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno a 333.2 K.Para realizar el ajuste hemos hecho uso del programa desarrollado por elProfesor Maurizio Persico de la Universidad de Pisa. El funcionamiento deeste programa se puede resumir en la siguiente secuencia de pasos:

3. Resultados y discusión 87Figura 3.7: ]Estados de transición para la transposición de hidrógeno [1,7] obtenidos concálculos al nivel MPWB1K/6-31+G(d,p)

88 3.1. Superficie de energía potencial1. Con los parámetros por defecto disponibles en el programa MOPAC [65]se obtienen los valores de la variables que hemos elegido.2. Se calcula la función de los errores cuadrados∑(Y i,final − Y i ) 2 W i (3.1)idonde Y i,final son los valores óptimos de las variables, Y i son los valoresque toman esas mismas variables después de cada bucle del ciclo y W ison los factores de peso que tiene cada variable.3. Se minimiza la función mediante el método simplex, que busca mínimoslocales de la función 3.1 y el método del temple simulado que intentalocalizar mínimos globales. En cada paso de la optimización se deben generarunos nuevos valores de los parámetros AM1 y reevaluar la funciónde los errores cuadráticos medios y recalcular las variables definidas enla ecuación anterior.4. El proceso se repite hasta que los errores están por debajo de un valorumbral elegido por el usuario.Con este procedimiento podemos elegir los parámetros más adecuados quemejoren las características de nuestro modelos teórico. Así hemos sido capacesde generar los parámetros para nuestra superficie a nivel AM1-SRP en base alas propiedades físicas y químicas que nos interesan.De manera análoga a la obtención de la superficie de energía potencialMPWB1K y partiendo de los confórmeros optimizados a este nivel hemos obtenidolos nuevos confórmeros a nivel AM1-SRP. Geométricamente y energéticamente(Tabla 3.3) son muy similares a los obtenidos mediante el métodoMPWB1K con la única salvedad de que una de las estructuras, la R5 desapareceen esta superficie. De igual modo hemos calculado el estado de transiciónpara la migración de hidrógeno. En este caso la barrera energética es de 22.62kcal/mol, que es algo mayor que a nivel DFT. También existen diferencias enla frecuencia imaginaria del estado de transición; a nivel AM1-SRP la frecuenciaes mayor (1800i cm −1 frente a los 1400i cm −1 del método DFT). Estose traduce en un perfil de la energía de reacción más afilado, lo que conllevaimportantes diferencias en la contribución de túnel a estos dos niveles.[65] J. J. P. Stewart, “MOPAC: A semiempirical molecular orbital program,” Journal ofComputer-Aided Molecular Design, vol. 4, no. 1, pp. 1–103, 1990.

3. Resultados y discusión 89Figura 3.8: ]Estados de transición enantiómeros para la transposición de hidrógeno [1,7]calculados al nivel AM1-SRP

Figura 3.9: Estructuras conformacionales de la 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno calculadas a nivel AM1-SRP. Vista que resaltalos ángulos diedros φ 1 = φ(C 1 -C 2 -C 3 -C 4 ) y φ 2 = φ(C 3 -C 4 -C 5 -C 6 )90 3.1. Superficie de energía potencial

Figura 3.10: Estructuras conformacionales de la 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno calculadas a nivel AM1-SRP. Vista que resaltael ángulo diedro φ 3 = φ(C 5 -C 6 -C 7 -C 8 )3. Resultados y discusión 91

Tabla 3.3: Energías y principales parámetros geométricos (distancias en Å y ángulos en grados) para los puntos estacionariosinvolucrados en las transposición sigmatrópica [1,7] de hidrógeno en el 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno calculados al nivel AM1-SRPEstructura Energía φ a 1 φ a 2 φ a 3 α1 a α2 a α3 a d(C 7 − H 17 ) d(C 1 − C 7 ) d(C 1 − H 17 )R1 0.00 174.07 170.0 -32.3 108.5 114.4 111.0 1.113 6.373 5.990R2/R2* 1.82 -179.8 -141.8 166.5 107.0 114.4 111.7 1.115 6.177 7.040R3 2.21 -180. 180. -180.0 106.9 114.4 112.1 1.115 6.527 7.495R4/R4* 1.99 -32.6 145.2 -166.8 107.0 114.5 111.7 1.115 4.921 5.607R6/R6* 0.13 -35.9 153.5 48.7 107.6 114.5 111.0 1.114 5.075 5.395R7/R7* 0.22 -36.2 153.4 -28.7 108.6 114.5 111.1 1.112 5.061 4.822R8/R8* 2.23 -178.6 91.9 154.6 107.1 114.4 111.1 1.113 5.028 6.097R9/R9* 2.03 -178.2 116.0 123.3 106.0 114.4 110.7 1.116 5.698 6.741R10/R10* 0.52 -179.4 63.5 -11.2 108.7 114.4 111.0 1.114 4.271 3.458R11/R11* 2.43 -25.6 125.0 122.1 106.1 114.4 110.6 1.115 4.511 5.517R12/R12* 1.78 14.8 86.3 15.9 108.5 114.4 111.3 1.113 3.836 3.899TS12/TS12* 24.40 9.1 27.5 -72.4 100.0 113.6 114.0 1.355 2.568 1.342P12/P12* -6.32 -2.3 2.5 -134.6 113.6 108.3 115.3 2.506 3.151 1.103TS13/TS13* 41.70 -126.3 31.5 -85.0 112.4 112.4 114.7 1.448 2.683 1.336P13/P13* -7.24 178.5 2.1 -69.1 104.6 107.8 115.2 4.034 4.170 1.100a φ1 = φ(C 1 − C 2 − C 3 − C 4 ), φ 2 = φ(C 3 − C 4 − C 5 − C 6 ), φ 3 = φ(C 5 − C 6 − C 7 − C 1 0), α 1 = α(C 6 − C 7 − H 17 ), α 2 = α(H 10 − C 1 − H 11 ), α 3 = α(C 8 − C 7 − C 9 )92 3.1. Superficie de energía potencial

3. Resultados y discusión 933.2. Cálculos de dinámica directaPara llevar a cabo simulaciones de las reacciones químicas se necesita informaciónacerca de la superficie de energía potencial del sistema que es objeto deestudio. La superficie de energía potencial se puede obtener como una funciónanalítica ajustada total o parcialmente a energías calculadas mediante métodosteóricos de la estructura electrónica o a propiedades empíricas ajustables.Sin embargo, con la actual potencia de cálculo es posible usar directamente lasteorías de la estructura electrónica en las simulaciones, prescindiendo de lasenergías de potencial analíticas o empíricas, es decir, que la energía potencialy sus derivadas se calculan “al vuelo”. Este tipo particular de simulaciones basadasen la aproximación de Born-Oppenheimer se denominan, simulacionesde dinámica directa Born-Oppenheimer.En la sección 2.4 de esta memoria se presenta la teoría variacional delestado de transición. Esta teoría requiere cierta información de la superficiede energía potencial, que puede ser calculada al vuelo. Este es el método quehemos utilizado para obtener las constantes de velocidad del desplazamientosigmatrópico [1,7] de hidrógeno en el 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno .3.2.1. Detalles computacionalesLa superficie de energía potencial se ha obtenido con el programaMOPAC [65] , mientras que para el cálculo de las constantes de velocidad hemosutilizado el programa desarrollado en el grupo del Profesor D. G. Truhlar,llamado POLYRATE [66] .La teoría variacional del estado de transición requiere, al menos, el cálculodel camino de mínima energía para obtener las constantes velocidad canónicasvariacionales k CVT/tun . En el caso de que, lo que se desee es evaluar elefecto túnel de gran curvatura, es necesario calcular una región más ampliade la superficie de energía potencial. En cálculos de dinámica directa el programaPOLYRATE necesita valores de la superficie de energía potencial y susderivadas en estas regiones, concretamente en determinados puntos de las mismas.El programa de la estructura electrónica, MOPAC, debe calcular parala geometría nuclear correspondiente a esos puntos, la energía potencial y endeterminados casos el gradiente y la matriz de constantes de fuerza. Un tercerprograma debe servir de enlace entre ambos programas.A pesar de que el grupo de D. G. Truhlar desarrolló una interfaz de unión[65] J. J. P. Stewart, “MOPAC: A semiempirical molecular orbital program,” Journal ofComputer-Aided Molecular Design, vol. 4, no. 1, pp. 1–103, 1990.[66] J. C. Corchado, Y.-Y. Chuang, P. L. Fast, W.-P. Hu, Y.-P. Liu, G. C. Lynch, K. A.Nguyen, C. F. Jackels, A. Fernandez Ramos, B. A. Ellingson, B. J. Lynch, V. S. Melissas,J. Villà, I. Rossi, E. L. Coitiño, J. Pu, T. V. Albu, R. Steckler, B. C. Garrett, A. D.Isaacson, and D. G. Truhlar , “POLYRATE 9.7: Computer Program for the Calculationof Chemical Reaction Rates for Polyatomics, version 9.3.1.” Department of Chemistryand Supercomputing Institute University of Minnesota, Minneapolis, MN, June 2005.

94 3.2. Cálculos de dinámica directaPOLYRATE GAUSSRATE MORATE2 MOPACFigura 3.11: Diagrama de flujo para los cálculos de dinámica directa que hemosllevado a cabo en esta memoria. Donde el programa MORATE2 es el queaparece recogido en el apéndice C.entre los dos programas, denominada MORATE [67] , el código no ha sido actualizadoen mucho tiempo, impidiendo que podamos utilizar diversas opciones delprograma POLYRATE, como por ejemplo la posibilidad de utilizar coordenadasinternas para definir el camino de mínima energía. Por eso hemos decididocrear nuestro propio código en el lenguaje FORTRAN 77 para unir ambos programasutilizando para ello el programa de D. G. Truhlar GAUSSRATE [68] .Esta modificación nos ha permitido unir los programas MOPAC y POLYRA-TE. Cada vez que en el cálculo de las constantes de velocidad demanda unvalor de la energía potencial y, en su caso alguna de sus derivadas, el programaGAUSSRATE crea un fichero de entrada que nuestro código lee y transformaen un fichero de entrada para el programa MOPAC. Este último realiza elcálculo de la estructura electrónica escribiendo toda la información en un ficherode salida del que leerá GAUSSRATE y que será el que le proporcione lainformación al programa principal de dinámica, POLYRATE. El código de esteprograma al que hemos decidido llamar MORATE2, se incluye en el apéndiceC.Todos los cálculos de dinámica directa que se han realizado en este trabajo,se han llevado a cabo utilizando la teoría variacional del estado de transiciónhaciendo uso del nivel MPWB1K/6-31+G(d,p) para los cálculos de la estructuraelectrónica. El camino de mínima energía se ha seguido en coordenadascurvilíneas (internas) redundantes utilizando el método de Page-McIver, conun tamaño de paso de 0.01 a 0 , una masa reducida µ = 1 y la evaluación de lamatriz hessiana cada nueve puntos. Como se vio en la sección 2.4 estas coordenadassuponen una mejora en la evaluación de las frecuencias de los modosnormales a lo largo del MEP.[67] T. N. Truong, D. H. Lu, G. C. Lynch, Y. P. Liu, V. S. Melissas, J. J. P. Stewart,R. Steckler, B. C. Garrett, A. D. Isaacson, A. Gonzalez-Lafont, et al., “MORATE: aprogram for direct dynamics calculations of chemical reaction rates by semiempiricalmolecular orbital theory,” Computer Physics Communications, vol. 75, no. 1-2, pp.143–159, 1993.[68] José C. Corchado, Yao-Yuan Chuang, Elena L. Coitiño, Benjamin A. Ellingson, JingjingZheng and Donald G. Truhlar , “GAUSSRATE 9.7, version 9.1/P9.1-G03/G98/G94.”Department of Chemistry and Supercomputer Institute, University of Minnesota, Minneapolis,MN, July 2003.

3. Resultados y discusión 953.2.2. Resultados y discusiónEl análisis de la superficie de energía potencial presentada en el apartadoanterior deja claro que existe un sólo camino relevante para la reacción detransposición sigmatrópica. Sin embargo todos los confórmeros son importantespara la dinámica de la reacción porque las barreras de rotación internaalrededor de enlace sencillos entre diferentes confórmeros son mucho más pequeñasque la barrera para la reacción. Como consecuencia todas las conformacionesson posibles, y deben incluirse todas las regiones en el espacio defases relacionadas con reactivos [70] .La expresión de la constante de velocidad térmica CVT es:k CVT (T) = σ 1βhQ GT (T, s CVTQ R (T)∗ )exp [ ( )]−βV MEP sCVT∗(3.2)que en el caso de la reacción de la transposición sigmatrópico [1,7] de hidrógenoen el 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno será:k CVT (T) = 1βh1Q GT (T, s CVTσ TS ∗ )) exp [ ( )]−βV MEP sCVTQ R (T)e −β∆E R i∑ ni=1(1σ R i∗(3.3)donde la suma recorre los n confórmeros (i = 1, . . .,22), con Q R (T) y ∆E Risiendo la función de partición del confórmero R i y la energía relativa delconfórmero R i respecto al confórmero más estable, respectivamente 1 . La variableσ es el número de simetría para cada especie, que se define como el cocientedel número de conformaciones rotacionalmente equivalentes y el número deenantiómeros [71] . A excepción del confórmero R1 que no posee enantiómero,y cuyo número de simetría será igual a 1, el resto de estructuras, incluido elestado de transición TS12 presentan isomería óptica y por tanto su numerode simetría será 2.Hay que destacar el factor de 2 que multiplica a la función de partición delestado de transición, debida a su número de simetría, es muy importante a lahora de evaluar la constante de velocidad, pues el confórmero más estable R1que es que el que tiene más peso en el denominador no posee ningún factor1 El Apéndice C también recoge el código del programa para calcular constante de velocidadcon la participación de muchos confórmeros, denominado CONFORATE fruto deltrabajo que se realiza en nuestro laboratorio y germen de un proyecto mucho más ambiciosoque este.[70] G. H. Peslherbe and W. L. Hase, “A comparision of classical trajectory and statisticalunimolecular rate theory calculations of Al 3 decomposition,” J. Chem. Phys., vol. 101,no. 10, pp. 8535–8553, 1994.[71] A. Fernández-Ramos, B. A. Ellingson, R. Meana-Pañeda, J. M. C. Marques, and D.G. Truhlar, “Symmetry numbers and chemical reaction rates,” Theoretical ChemistryAccounts: Theory, Computation, and Modeling (Theoretica Chimica Acta), vol. 118, no.4, pp. 813–826, 2007.

96 3.2. Cálculos de dinámica directa-1-1.5CVT/µOMT (H)CVT/µOMT (D)Baldwin y Reddy (H)Baldwin y Reddy (D)-2-2.5log (k/s -1 )-3-3.5-4-4.5-52.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.21000/T (1/K)Figura 3.12: Constantes de velocidad térmicas calculadas en este trabajo medianteel método CVT/µOMT para el hidrógeno (línea continua) y deuterio(línea discontinua) para las reacciones de intercambio de hidrógeno [1,7] en el7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno y sus correspondientes valores experimentales(cuadrados).multiplicativo. Esto equivale aproximádamente a multiplicar nuestra constantede velocidad por un factor de 2.Por otro lado el número de confórmeros no tiene ninguna influencia sobrelos aspectos relacionados con el efecto túnel ya que la migración de hidrógeno[1,7] implica la participación de solamente uno de los confórmeros. Por eso sóloharemos uso de la ecuación:k CVT/µOMT (T) = κ CVT/µOMT (T)k CVT (T) (3.4)en donde k CVT (T) se calcula mediante la Ecuación 3.2. Las constantes de velocidadaparecen recogidas en la Tabla 3.4 y en la Figura 3.12. Los valoresde las constantes CVT/µOMT son uno o incluso dos ordenes de magnitudmás grandes que las experimentales. Tal efecto sería esperable si la barreraenergética en AM1-SRP fuese más baja, pero esto no es lo que ocurre, la barreraa nivel MPWB1K/6-31+G(d,p) es menor, 18.98 kcal/mol frente a las22.62 kcal/mol del nivel AM1-SRP. Los efectos variacionales no son importantes,puesto que los valores de las constantes k TST y k CVT están muy cercanos.De manera que sólo las contribuciones del efecto túnel pueden dar cuenta deestas discrepancias.La Tabla 3.5 muestra que las energías de activación calculadasCVT/µOMT para el intercambio de hidrógeno son bastante menores que lasexperimentales. Esto es normal para el caso de reacciones de transferencia de

3. Resultados y discusión 97Tabla 3.4: Constantes de velocidad térmicas (en s −1 ) para la reacción de transposición[1,7] de hidrógeno y deuterio en el 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trienoT(K) TST CVT CVT/µOMT Exp.k H298.2 2.19 × 10 −6 2.15 × 10 −6 1.18 × 10 −4 –333.2 9.50 × 10 −5 9.31 × 10 −5 1.88 × 10 −3 5.6 × 10 −5348.2 3.78 × 10 −4 3.70 × 10 −4 5.47 × 10 −3 2.14 × 10 −4368.2 1.99 × 10 −3 1.95 × 10 −3 2.05 × 10 −2 1.16 × 10 −3388.2 8.84 × 10 −3 8.66 × 10 −3 6.81 × 10 −2 5.51 × 10 −3400.0 1.98 × 10 −2 1.94 × 10 −2 1.33 × 10 −1 –k D298.2 5.48 × 10 −7 5.37 × 10 −7 1.12 × 10 −5 –333.2 2.74 × 10 −5 2.69 × 10 −5 2.49 × 10 −4 8.0 × 10 −6348.2 1.15 × 10 −4 1.13 × 10 −4 8.14 × 10 −4 3.3 × 10 −5368.2 6.47 × 10 −4 6.34 × 10 −4 3.51 × 10 −3 2.21 × 10 −4388.2 3.04 × 10 −3 2.98 × 10 −3 1.33 × 10 −2 1.21 × 10 −3400.0 7.04 × 10 −3 6.90 × 10 −3 2.77 × 10 −2 –hidrógeno con barreras de energía relativamente grandes, porque estas reaccionespresentan estados de transición con una curvatura pronunciada.Estas diferencias en las energías de activación podrían afectar a los KIEs.Hess [38] calculó a nivel B3LYP/6-31+G* una diferencia en la energía de activaciónE D a − E H a = 0.9 kcal/mol. Este valor es bastante próximo al nuestro,de 0.81 kcal/mol. Cuando se incluyen los coeficientes µOMT la diferencia aumentaun poco. En cualquier caso la diferencia es aún muy pequeña cuandola comparamos con el valor de 2.0 obtenido por Baldwin y Reddy [35] .Aunque los coeficientes de transmisión ZCT son mucho más grandes de2.0 a 333.2 K no hay un aumento en la diferencia E D a − E H a y sólo cuandoincorporamos el acoplamiento entre la coordenada de reacción y los modosnormales, la diferencia es notable respecto al valor clásico.Otro efecto importante del acoplamiento es que los coeficientes µOMT sonmayores que los correspondientes ZCT, aunque como puede verse en la Tabla3.6, los valores µOMT son prácticamente iguales a los SCT.La aproximación SCT proporciona mejores resultados que la aproximaciónLCT cuando el acoplamiento es pequeño o intermedio, aunque en este caso laprincipal razón de la similitud entre los coeficientes SCT y µOMT es que,para el intervalo de temperaturas estudiado, las energías que contribuyen al[38] B. A. Hess Jr, “Computational support for tunneling in thermal [1, 7]-hydrogen shiftreactions.,” J. Org. Chem, vol. 66, no. 17, pp. 5897–5900, 2001.[35] J. E. Baldwin and V. P. Reddy, “Primary deuterium kinetic isotope effects for thethermal [1, 7] sigmatropic rearrangement of 7-methylocta-1, 3 (Z), 5 (Z)-triene,” Journalof the American Chemical Society, vol. 110, no. 24, pp. 8223–8228, 1988.

98 3.2. Cálculos de dinámica directaTabla 3.5: Parámetros de Arrhenius [(energía de activación E a , en kcal/mol,y logaritmo del factor preexponencial, log(A/s −1 )] para la reacción de transposición[1,7] sigmatrópica de hidrógeno y deuterio.desplazamiento [1,7] H desplazamiento [1,7] DE a logA E a logACVT 21.23 9.89 22.04 9.89CVT/ZCT 17.35 9.69 18.32 9.69CVT/µOMT 16.37 8.04 18.19 8.35Baldwin y Reddy 21.5 9.8 23.5 10.3efecto túnel están muy cercanas a la parte superior del potencial vibracionaladiabático. Realmente hay una energía para la cual la integral de acción esmáxima. Esta energía se denomina energía representativa de túnel y a T=333.2 K es de 151.40 kcal/mol y de 151.68 kcal/mol para el hidrógeno y eldeuterio respectivamente. Estas energías están muy próximas al límite superiorde la barrera dónde el acoplamiento entre la coordenada de reacción y losmodos normales es muy pequeña.Los coeficientes de transmisión ZCT, LCT y µOMT se presentan en la Tabla3.6. Son valores muy altos si los comparamos con los de trabajos precedentespara el 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno a nivel MPWB1K/6-31+G(d,p) [72] .Su explicación estriba en la menor anchura de la barrera a nivel AM1-SRPfrente a otro tipo de cálculos para los que la barrera de energía resulta ser másancha, dando lugar a mayor efecto túnel (como ya se había señalado en base ala diferencia de frecuencias imaginarias). Como puede verse en la Tabla 3.6 losvalores µOMT son ligeramente superiores a los correspondientes valores SCTy LCT, ello se debe a que habrá regiones en las que las aproximaciones SCTy LCT contribuyan simultaneamente al efecto túnel. Este hecho se explica teniendoen cuenta la fórmula de los factores de transmisión κ µOMT (Ecuación2.172).También se puede apreciar en la Tabla 3.6 que los valores µOMT son muysimilares a los SCT, lo que indica que el efecto túnel de gran curvatura es pocoimportante en esta reacción.Los KIEs también nos dan pistas acerca de las claves del éxito de nuestraparametrización AM1-SRP. Como puede verse en la Figura 3.7, el acuerdo conlos datos experimentales es muy bueno, como cabría esperar, pues fue una delas variables que se eligieron como parámetro específico de nuestra reacción.[72] S. Hosein Mousavipour, Antonio Fernández-Ramos, Rubén Meana-Pañeda, EmilioMartínez-Nuñez, Saulo A. Vázquez, and Miguel A. Ríos, “Direct-dynamics VTST studyof the [1,7] hydrogen shift in 7-methylocta-1,3(Z),5(Z)-triene. A model system for thehydrogen transfer reaction in previtamin D 3,” Journal of physical chemistry. A, molecules,spectroscopy, kinetics, environment & general theory, vol. 111, no. 4, pp. 719–725,2007.

3. Resultados y discusión 99Tabla 3.6: Coeficiente de transmisión κ, evaluados mediante diferentes aproximacionespara la transposición [1,7] de hidrógeno en el 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trienok HT(K) ZCT SCT LCT µOMT ZCT SCT LCT µOMT298.2 12.02 46.70 28.68 54.41 9.27 19.42 12.22 20.75333.2 7.03 19.06 10.38 20.08 5.53 9.02 6.09 9.07348.2 5.88 14.21 7.82 14.70 4.68 7.09 4.99 7.16368.2 4.82 10.23 5.84 10.44 3.89 5.45 4.05 5.48388.2 4.07 7.80 4.66 7.89 3.33 4.41 3.43 4.42400.0 3.73 6.79 4.18 6.85 3.08 3.97 3.15 3.97k DAdemás el cálculo teórico de los KIEs, η H/D permite separar en diferentescontribuciones su valor total. Así, su valor se puede separar en dos contribucionesprincipales, la clásica η cl y la de efecto túnel η tun :dondey η cl viene dado porη H/D = kCVT/µOMT Hk CVT/µOMTDη tun = κCVT/µOMT Hκ CVT/µOMTD= η tun η cl (3.5)= η tun η cl (3.6)η cl = η var η int (3.7)donde η var y η int son los KIEs variacional e interno (debido a rotación y avibración), respectivamente.El KIE variacional viene dado por el cociente:η var = kCVT HkDTSTkDCVT kHTST(3.8)donde k TST es la constante de velocidad TST, mientras que el KIE debido almovimiento interno viene dado porη int = η int,H= QTSη int,Drot,H QR rot,DQ TSrot,D QR rot,HQ TSvib,H QR vib,DQ TSrot,D QR vib,H(3.9)donde Q rot y Q rot son las funciones de partición rotacional y vibracional respectivamente.El KIE clásico para esta reacción es solamente de 3.46 a T = 333.2K,un valor muy próximo al valor de 3.89 calculado por Hess [38] . Los efectos[38] B. A. Hess Jr, “Computational support for tunneling in thermal [1, 7]-hydrogen shiftreactions.,” J. Org. Chem, vol. 66, no. 17, pp. 5897–5900, 2001.

100 3.2. Cálculos de dinámica directaTabla 3.7: Factores en los KIEs. aT(K) η var η int η cl ηtunZCT η µOMTtun η calc η exp298.2 1.00 4.00 4.00 1.30 2.62 10.5 –333.2 1.00 3.46 3.46 1.27 2.19 7.5 7.0 +0.8−1.3348.2 0.99 3.28 3.28 1.26 2.05 6.7 6.5 +1.1−0.7368.2 1.00 3.08 3.08 1.24 1.90 5.8 5.2 +0.9−0.6388.2 0.99 2.91 2.91 1.22 1.78 5.2 4.6 ± 0.6400.0 0.99 2.82 2.82 1.21 1.72 4.8 –a El clásico η cl , y el total η tot. Los KIEs vienen dados por la Ecuación 3.7 y la Ecuación3.5, respectivamente. Los KIEs experimentales, η exp, están tomados de Baldwin y Reddyconsiderando una diferencia de Ea D −Ea H =0.1 kcal/mol. Los factores ηtunZCTse muestran por comparación.y η µOMTtuntambiénvariacionales son poco importantes en los KIEs clásicos calculados, al igualque habíamos visto en el caso de las constantes de velocidad. Los coeficientesde transmisión ZCT mantienen los coeficientes prácticamente inalterados.En este caso dado que la energía representativa de túnel es muy cercanaa la altura de la barrera, esperamos que el efecto túnel este controlado por lacurvatura en la parte superior de la barrera. Así las frecuencias imaginariasson de ω ‡ H =1804.62i cm−1 para el hidrógeno y de ω ‡ D =1500.82i cm−1 parael deuterio. El cociente entre los dos valores es de 1.20, muy lejano al valoresperado √ 2 debido al movimiento puro del hidrógeno en su modo normal.Este resultado también indica que la frecuencia imaginaria del modo normalinvolucra el movimiento de átomos pesados pues el cociente ω H /ω D es mayorque √ m D /m H . Debemos destacar que el coeficiente de transmisión ZCT secalcula a lo largo del MEP, y este camino incluye todos los grados de libertadinternos no sólo el del hidrógeno. El KIE debido al efecto túnel aumenta cuandose incluye la curvatura a lo largo de la coordenada de reacción.A priori el 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno y la vitamina D 3 presentan similitudesimportantes, este trabajo aborda el estudio de un sistema modelo paradicha vitamina y nos ha dado las pautas para estudiar la dinámica de la transposiciónsigmatrópica [1,7] de hidrógeno en la isomerización de la vitaminaD 3 .

Capítulo 4Conclusiones• Se han puesto a punto los programas MORATE2 y CONFORATE quenos ayudan a evaluar las constantes de velocidad de reacciones químicas.El primero, MORATE2 sirve de interfaz entre el programa de dinámica,POLYRATE, y el programa de la estructura electrónica, MOPAC.El segundo CONFORATE, permite calcular las constante de velocidadteniendo en cuenta todos los confórmeros de reactivos y estados de transiciónque juegan un papel muy importante en la reacción.• Hemos estudiado la reacción de transposición sigmatrópica [1,7] dehidrógeno en el 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno, demostrando la importanciadel efecto túnel sobre las constantes de velocidad. Además, concluimosque el efecto túnel utilizando la aproximación de gran curvaturaes despreciable en esta reacción, aunque es importante tener en cuentalos acoplamientos entre la coordenada de reacción y los modos normalesortogonales a ella.• El análisis de nuestros datos teóricos nos ha permitido separar los efectosisotópicos cinéticos en diferentes contribuciones.• Por último, el estudio de la reacción de transposición sigmatrópica [1,7]de hidrógeno en el 7-metilocta-1,3(Z),5(Z)-trieno nos ha servido paraobtener los parámetros que en trabajos posteriores serán utilizados parallevar a cabo cálculos de dinámica directa sobre la previtamina D 3 conmétodos semiempíricos.101

Apéndice AMétodo simplex descendentemultidimensionalEs un método secuencial de optimización multidimensional que busca elmínimo de una función f(x) que depende de más de una variable independientex = (x 1 , x 2 , . . .,x N ) y que no incluye ninguna estrategia de minimizaciónmonodimensional en su procedimiento.El método simplex descendente (en inglés “downhill simplex method”) sedebe a Nelder y Mead [73] , y tan sólo requiere evaluaciones de la función, no desus derivadas. No es un algoritmo muy eficiente si se tiene en cuenta el númerode evaluaciones de la función que necesita, por ejemplo otros métodos comoel método de Powell [74] es casi con toda seguridad más rápido en aplicacionessimilares. De cualquier manera, el método simplex descendente es el mejormétodo si lo que se busca es “conseguir que algo funcione rápidamente”paraproblemas cuya carga computacional es pequeña.El procedimiento que usa para trabajar puede describirse geométricamentecomo sigue:Un simplex es una figura geométrica definida en N dimensiones, de N+1puntos o vértices, todos ellos interconectados por segmentos de líneas, caraspoligonales, etc. En dos dimensiones, un simplex es un triángulo; en tres es untetraedro, no necesariamente regular; y así sucesivamente. El método puedeser extendido para mayores dimensiones, pero la visualización del simplex yano será fácil. En el problema general que nos atañe y en el caso particular delprograma del que hemos hecho uso en esta memoria, sólo estamos interesadosen simplexos no degenerados, es decir aquellos que engloban un volumeninterior N-dimensional finito. De tal modo que si un punto de un simplexno degenerado se toma como origen, los otros N puntos que definen vectoresdirectores que expanden el espacio vectorial N-dimensional, quedan definidos.[73] J. A. Nelder and R. Mead, “A simplex method for function minimization,” ComputerJournal, vol. 7, no. 4, pp. 308–313, 1965.[74] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. Vetterling, and B. Flannery, Numerical recipes inFortran 77: the art of scientific computing. Cambridge University Press, 2001.103

104Figura A.1: Cuatro operaciones básicas en el método simplex descendente.Como casi todos los métodos de minimización multidimensionales el algoritmocomienza considerando una solución inicial del problema, esto es, un vectorde N variables independientes como primer punto (x = (x 1 , x 2 , . . .,x N )).El método simplex debe comenzar no sólo con un único punto, sino con N+1puntos que definen un simplex inicial. Uno de estos puntos, no importa cuál,se considera el punto inicial P 0 y se toman después los otros N puntos de laforma:P i = P 0 + λe i(A.1)donde los e i ’s son N vectores unitarios, y donde λ es una constante que constituyela hipótesis del escalado de longitud característico del problema (tambiénse podrían tomar diferentes λ’s para cada vector director).El método ahora implica una serie de pasos en los que se mueve el puntodel simplex donde el valor de la función es máxima (el punto más alto en laFigura A.1) a un punto donde el valor es menor a través de la cara opuestadel simplex. Estos pasos se llaman reflexiones y se construyen conservando elvolumen del simplex, manteniendo por lo tanto su no degeneración. Mientraspuede, el método expande el simplex en una y otra dirección tomando grandesdistancias. Cuando se alcanza un “valle”, el método se autocontrae en la direccióntransversal intentando minimizar el valor de la función “descendiendo

A. Método simplex descendente multidimensional 105por el valle”. Si se da la situación en la que el simplex “trata de pasar a travésdel ojo de una aguja”, se autocontrae en todas las direcciones cercando elpunto en el que el valor de la función es más bajo. Estos movimientos básicosaparecen reflejados en la Figura A.1.El algoritmo del método simplex descendente repite los siguientes pasoshasta obtener el valor mínimo de la función:1. Ordenar y retiquetar los N+1 puntos de tal manera que f(x N ) > . . . >f(x 2 ) > f(x 1 ).2. Generar un punto prueba x r por reflexión, tal que x r = x g + a · (x g −x N+1 ) dónde x g es el centroide de hiperfase de los N mejores puntos enlos vértices del simplex..3. Si f(x 1 ) < f(x r ) < f(x N ) entonces se reemplaza x N+1 por x r .4. Si f(x r ) < f(x 1 )) se genera un nuevo punto x e mediante expansión talque x e = x r + b · (x r − x g ) .5. Si f(x e ) < f(x r ), se reemplaza un nuevo punto x N+1 por x e , en otrocaso se reemplaza x N+1 por x r .6. Si f(x r ) > f(x N ), se genera un nuevo punto x C mediante contracción,tal que x e = x g + g · (x N+1− x g ).7. Si f(x C ) < f(x N+1 ) se reemplaza x N+1 por x e .8. Si f(x C ) > f(x N+1 ) se contrae a lo largo de todas las direcciones hastax 1 . Se evalúan los valores de la función objetivo en los N nuevos vértices,x i = x 1 + h · (x i − x 1 ).Geométricamente, el método simplex se puede interpretar de la siguientemanera: partiendo de uno de los vértices del poliedro, ir desplazándose a unode los vértices adyacentes mejorando el valor de la función objetivo hastaencontrar el óptimo.Los criterios de convergencia para el fin del proceso pueden ser tan pequeñoscomo se deseen, como en cualquier método de minimización multidimensionalaunque no se tiene la opción de exigir cierto grado de precisión parauna sola de las variables independientes. A este respecto es posible terminarcuando la distancia del vector por el que se mueve en unos de los ciclos estan pequeño como un parámetro de tolerancia prefijado. Alternativamente sepodría exigir una disminución en el valor de la función en el paso final que seatan pequeño como se desee.

Apéndice BMétodo del temple simuladoEs un método de minimización. Fue descrito independientemente por S.Kirkpatrick, C. D. Gelatt y M. P. Vecchi en 1983 [75] , y por V. Černý in 1985[76] .Su nombre (en inglés “simulated anneling method”) se inspira en el procesode templado en metalurgia, una técnica que consiste en calentar y luego enfriarcontroladamente un material para aumentar el tamaño de sus cristalesy reducir sus defectos, consiguiendo materiales con diversas propiedades. Eldescenso gradual de temperatura resulta en una distribución homogénea delas moléculas. A temperaturas altas, los átomos tienen alta energía y mayorlibertad para situarse en la red. A medida que baja la temperatura, la energíadecrece y los átomos pierden movilidad térmica. La estructura regular finalcorresponde a un estado de mínima energía. El enfriamiento lento confiere alsistema la posibilidad de encontrar el estado de energía mínima pues permitela redistribución de los átonos que pierden movilidad asegurando que sealcance el estado de más baja energía.Aunque la analogía no es perfecta si que pone de manifiesto que este métodose basa en un procedimiento un poco diferente respecto al de otros algoritmosde minimización que solo consideran aquella dirección en el que el valor dela función rápidamente se minimiza (estos métodos alcanzan un mínimo localy no necesariamente global). La distribución de probabilidad de Boltzmann,Prob(E) ∼ exp(−E/kT)(B.1)muestra que un sistema en equilibrio térmico a la temperatura T tiene unadistribución de energías en base a una función de probabilidad entre diferentesestados energéticos E. Incluso a bajas temperaturas, hay una posibilidad aunquemuy pequeña, de que un sistema esté en un estado de elevada energía. Porlo tanto hay una posibilidad de que el sistema abandone el mínimo local en[75] S. Kirkpatrick and C. Gelatt Jr, “MP Vecchi Optimization by Simulated Annealing,”Science, vol. 220, no. 4598, p. 671680, 1983.[76] V. Černỳ, “Thermodynamical approach to the traveling salesman problem: An efficientsimulation algorithm,” Journal of Optimization Theory and Applications, vol. 45, no.1, pp. 41–51, 1985.107

108el que se encuentra en favor de otro más global. La cantidad k (constante deBoltzmann) es una constante de la naturaleza que relaciona la temperatura conla energía. En otras palabras, el sistemas algunas veces irá en sentido ascendenteganando energía y en otras ocasiones en sentido descendente, perdiendoenergía. Es claro que a bajas temperaturas el sentido ascendente será pocoprobable.En 1953, Metrópolis y colaboradores [77] incorporaron este tipo de principiosa los cálculos numéricos. Propusieron una serie de postulados en basea un sistema termodinámico que supusieron cambia de energía E 1 a E 2 conuna probabilidad p = exp(−(E 2 − E 1 )/kt). De este modo y en el caso en elque E 2 < E 1 la probabilidad será mayor que la unidad y el sistema siempretomará tal opción. Este esquema general en el que se siempre se toma elpaso descendente y sólo en algunas ocasiones el ascendente se conoce comoalgoritmo de Metropolis.Para hacer uso de este algoritmo a otros sistemas termodinámicos se debenproporcionar los siguientes elementos:1. Una descripción de las posibles configuraciones del sistema.2. Un generador de cambios aleatorios en la configuración; estos cambiosson las “opciones”presentes en el sistema.3. Una función objetivo (análoga a la energía) cuya minimización es elobjetivo de este procedimiento.4. Un parámetro de control E (análogo a la temperatura) y un esquemade simulación que nos diga como pasar de los valores bajos a los altos,es decir, después de cuántos cambios aleatorios en la configuración semodifica T para cada paso descendente y cuan largo es el paso.Estas ideas básicas del método del temple simulado se han aplicado enesta memoria en un problema de optimización en un espacio continuo N-dimensional, es decir que a través de este método se intentó obtener el valormínimo de una función f(x) en presencia de muchos mínimos locales, dónde xes un vector N-dimensional. Los cuatro elementos que se necesitan para aplicarel algoritmo de Metropolis en esta caso son:• El valor de la función f objetivo.• El estado en el que se encuentra el sistema, que es el punto x.• El parámetro de control, análogo a la temperatura, con un procedimientode simulación que lo reduzca gradualmente.• Y un generador de cambios aleatorios en la configuración, es decir unmétodo para obtener desplazamientos aleatorios desde x hasta x + ∆x.[77] N. Metropolis, M. N. R. A. W. Rosenbluth, A. H. Teller, and E. Teller, “Equations ofstate calculations by fast computing machines J,” J. Chem. Phys, vol. 21, pp. 1087–1092,1953.

Apéndice CProgramasC.1.MORATE2program morateimplicit double precision (a-h,o-z)parameter (itop=1000,natoms=100)character*80 stringcommon/geom/x(natoms),y(natoms),z(natoms),is(natoms),iat,ich,imultcommon/opt/ iopcommon/gg/ energy,grad(3*natoms),gh(3*natoms,3*natoms)open(unit=90,file=’esp.fu90’,status=’old’)do i=1,itopread(90,10,end=9) stringif(0.ne.index(string,’energy’)) iop=0if(0.ne.index(string,’first’)) iop=1if(0.ne.index(string,’second’)) iop=2if(0.ne.index(string,’Gaussian calculation’)) thenread(90,*)read(90,*) ich,imultdo j=1,natomsread(90,*,end=9) is(j),x(j),y(j),z(j)iat=iat+1enddoendifenddo9 continueclose(90)C call write input MORATEcall wimC call run MORATEcall system (’$TMPDIR/vitH/mopac2002.x input’)C call read output MORATEcall romC call write output Gaussian fchkcall wogfcall system (’rm -f $TMPDIR/vitH/input.*’)C call system (’rm -f /home2/ruben/vitamin-D3/AM1/ec/boat/polyrate/cC &ar/vitH/input.*’)10 format(a80)109

110 C.1. MORATE2end programCsubroutine wimimplicit double precision(a-h,o-z)parameter (natoms=100)common/geom/x(natoms),y(natoms),z(natoms),is(natoms),iat,ich,imultcommon/opt/ iopopen(unit=91,file=’input.dat’,status=’unknown’)if (iop.eq.0) thenwrite(91,*) ’AM1 XYZ 1SCF LET GEO-OK EXTERNAL=EXTERN.VT1’write(91,*) ’Gaussian calculation: single point’else if (iop.eq.1) thenwrite(91,*) ’AM1 XYZ LET GEO-OK 1SCF EXTERNAL=EXTERN.VT1 GRAD’write(91,*) ’Gaussian calculation: gradient’else if (iop.eq.2) thenwrite(91,*) ’AM1 XYZ LET GEO-OK EXTERNAL=EXTERN.VT1 GRAD FORCE DF&ORCE LARGE’write(91,*) ’Gaussian calculation: force constants’endifwrite(91,*)do i=1,iatwrite(91,10) is(i),x(i)*0.529177,y(i)*0.529177,z(i)*0.529177write(91,10) is(i),x(i),y(i),z(i)enddoclose(91)10 format(4x,i2,17x,3(f12.8,’ 1 ’))returnendsubroutine romimplicit double precision (a-h,o-z)parameter (itop=10000,natoms=100)character*80 stringcommon/gg/ energy,grad(3*natoms),gh(3*natoms,3*natoms)common/opt/ iopcommon/geom/x(natoms),y(natoms),z(natoms),is(natoms),iat,ich,imultopen(unit=92,file=’input.out’,status=’old’)iform=20do 99 j=1,itopread(92,10,end=99) stringC Energyif (0.ne.index(string,’HEAT OF FORMATION =’)) thenbackspace(92)if (iop.lt.2) thenread (92,19) energyelseread (92,20) energyendifenergy=energy*1.5936d-3endifC Gradient type1if (iop.eq.1) thenif (0.ne.index(string,’ PARAMETER ATOM TYPE& VALUE GRADIENT’)) then

C. Programas 111read(92,30) (grad(i),i=1,3*iat)do i=1,3*iatgrad(i)=grad(i)*8.432971931d-4enddoendifendifC Gradient type 2if (iop.eq.2) thenif (0.ne.index(string,’CARTESIAN COORDINATE DERIVATIVES’)) thenread(92,*)read(92,*)read(92,*)read(92,50) (grad(i),i=1,3*iat)do i=1,3*iatgrad(i)=grad(i)*8.432971931d-4enddoendifendifC Hessianif (iop.eq.2) thenif (0.ne.index(string,’FULL FORCE MATRIX, INVOKED BY "DFORCE"’))& thenread(92,*)read(92,*)read(92,*)read(92,*)call hessendifendif99 continueclose(92)10 format(a80)19 format(36x,g16.5)20 format(29x,g12.6)30 format(50x,g12.6)40 format(16x,d9.6)50 format(15x,f12.6,1x,f12.6,1x,f12.6)returnendCsubroutine hessimplicit double precision(a-h,o-z)parameter (natoms=100)common/gg/ energy,grad(3*natoms),gh(3*natoms,3*natoms)common/geom/x(natoms),y(natoms),z(natoms),is(natoms),iat,ich,imultopen(unit=92,file=’input.out’,status=’old’)k=1imax=7c=1j=1l=1icurt=43do while (j.lt.3*iat)do i=c,3*iat

112 C.1. MORATE2if (i.eq.icurt.or.i.eq.icurt+47.or.i.eq.icurt+94) thenread(92,*)read(92,*)read(92,*)read(92,*)endifif (i.lt.imax) thenread(92,10) (gh(i,j),j=k,i)elseread(92,10) (gh(i,j),j=k,k+5)endifif (i.eq.3*iat) thenimax=imax+6k=k+6read(92,*)read(92,*)read(92,*)read(92,*)endifenddoif(l.eq.1) thenicurt=icurt+10elseicurt=icurt+6endifl=l+1c=c+6enddodo i=1,3*iatdo j=1,igh(i,j)=gh(i,j)*0.06423enddoenddoclose(92)10 format(12x,6(1x,f17.9))20 format(5(1x,1pe16.8))returnendCsubroutine wogfimplicit double precision (a-h,o-z)parameter (itop=10000,natoms=100)character*80 stringcommon/opt/ iopcommon/gg/ energy,grad(3*natoms),gh(3*natoms,3*natoms)common/geom/x(natoms),y(natoms),z(natoms),is(natoms),iat,ich,imultopen (UNIT=93,status=’UNKNOWN’,FILE=’Test.FChk’)write(93,*) ’Program to emulate MORATE’write(93,10) ichwrite(93,20) imultwrite(93,30) energywrite(93,*) ’Current cartesian coordinates’write(93,50) (x(i),y(i),z(i),i=1,iat)write(93,50) (x(i)*1.889726,y(i)*1.889726,z(i)*1.889726,i=1,iat)if(iop.eq.0) write(93,*)

C. Programas 113if (iop.ge.1) thenwrite(93,*) ’Cartesian Gradient’write(93,50) (grad(i),i=1,3*iat)endifif(iop.eq.1) write(93,*)if (iop.eq.2) thenwrite(93,*) ’Cartesian Force Constants’write(93,50) ((gh(i,j),j=1,i),i=1,3*iat)endifif(iop.eq.2) write(93,*)999 close(93)10 format(’Charge’,37x,’I’,15x,I2)20 format(’Multiplicity’,31x,’I’,15x,I2)30 format(’Total Energy’,31x,’R’,1x,d26.15)50 format(5(1x,1pe15.8))returnendC.2.CONFORATEprogram CONFORATEC..........................................................................C ***************** |C * CONFORATE 0.0 * |C ***************** |C (August 2007) |C by |C Ruben Meana-Paneda, Nicolas Ramos-Berdullas |C Antonio Fernandez-Ramos |C Departmento de Quimica Fisica |C Universidade de Santiago de Compostela (USC) |C Santiago de Compostela |C Spain |C..........................................................................|implicit double precision (a-h,o-z)include ’data.h’CC COMMON BLOCK:Ccommon /tempt/ temp(ntemps),ntempcommon /iops/ iop1,iop2,iop3,iop4,iop5,iop6,iop7common /nr/ n_ra,nat_ra,n_rb,nat_rb,n_ts,nat_tscommon /energy/ enra(nconfs),enrb(nconfs),ents(nconfs)common /mass/ amasa(nconfs,natoms),amasb(nconfs,natoms)& ,amasts(nconfs,natoms)common /coord/ coorda(nconfs,natoms,3),coordb(nconfs,natoms,3)& ,cordts(nconfs,natoms,3)common /com/ xcma(nconfs),ycma(nconfs),zcma(nconfs),& xcmb(nconfs),ycmb(nconfs),zcmb(nconfs),& xcmts(nconfs),ycmts(nconfs),zcmts(nconfs)common /mi/ dmira(nconfs,3),dmirb(nconfs,3),dmirts(nconfs,3)common /linang/ lina(nconfs),linb(nconfs),lints(nconfs)common /numofsymm/ ansyma(nconfs),ansymb(nconfs),ansymts(nconfs)common /frequencies/ wa(nconfs,nfreqs),wb(nconfs,nfreqs)

114 C.2. CONFORATE& ,wts(nconfs,nfreqs)common /elec/ dega(numbstates),degb(numbstates),degts(numbstates)& ,difena(numbstates),difenb(numbstates),difents(numbstates)& ,numsta,numstb,numstscommon/coef/ ct(nconfs,ntemps),ct_mt(nconfs,ntemps)common/ska/ scalefcommon/torsion/ tor_ra(nfreqs),tor_rb(nfreqs),tor_ts(nfreqs)CC ARRAYSCdimension qrota(nconfs,ntemps),qrotb(nconfs,ntemps)& ,qrots(nconfs,ntemps)dimension qviba(nconfs,ntemps),qvibb(nconfs,ntemps)& ,qvibts(nconfs,ntemps)dimension qa(nconfs,ntemps),qb(nconfs,ntemps),qts(nconfs,ntemps)dimension qtota(ntemps),qtotb(ntemps),qtots(ntemps)dimension ak(ntemps),akp(nconfs,ntemps)dimension ak_vtst(ntemps),akp_vtst(nconfs,ntemps)dimension ak_vtst_mt(ntemps),akp_vtst_mt(nconfs,ntemps)dimension qvibap(nconfs,ntemps,nfreqs)& ,qvibbp(nconfs,ntemps,nfreqs)& ,qvibtsp(nconfs,ntemps,nfreqs)dimension entsp(nconfs)C OPTIONS (IOPS)C............................................C iop1: 1 UnimolecularC : 2 BimolecularC iop2: 1 FrequenciesC : 2 HessiansC iop3: 1 Moments of inertia by inputC iop4: Gaussian-03 automaticC iop5: 1 LONG OUTPUTC lin (a-b-TS): 0 LinearC 1 Non-LinearC iop6: 1 Electronic degenerancyC iopa: Read A SectionC iopb: Read B SectionC iopts: Read TS SectionC iop7: 1 TSTC : 2 VTSTC : 3 VTST/MTC............................................C IOPs Default valuesiop3=0iop5=0iop6=0iop7=1C Scale factorscalef=1.0D0C Head of programwrite(6,1)C Read Input Datacall readatC Write Input Datacall writedat

C. Programas 115C Store energies of TSs for partial rate constantsdo i=1,n_tsentsp(i)=ents(i)enddoC Energies: Reorder energy of TS’s and reactantsC and compute the differences in kcal/molcall reorder(enra,n_ra,eminra)call reorder(ents,n_ts,emints)if (iop1.eq.2) thencall reorder(enrb,n_rb,eminrb)v=(emints-eminra-eminrb)*627.5095D0else if (iop1.eq.1) thenv=(emints-eminra)*627.5095D0endifC Write Relative Energieswrite(6,6)write (6,11) eminrado i=1,n_rawrite(6,7) i,enra(i)enddoif (iop1.eq.2) thenwrite(6,12) eminrbdo i=1,n_rbwrite(6,8) i,enrb(i)enddoendifwrite (6,13) emintsdo i=1,n_tswrite(6,9) i,ents(i)enddowrite (6,14) VCC Write ZPECCCReactants Awrite(6,5)if (nat_ra.gt.1) thendo i=1,n_raif (lina(i).eq.0) nfreq=3*nat_ra-5if (lina(i).eq.1) nfreq=3*nat_ra-6call zpen(nfreq,i,wa,a_zpe)write(6,7) i,a_zpeenddoendifBimolecular Reactant Bif (iop1.eq.2) thenif (nat_rb.gt.1) thendo i=1,n_rbif (linb(i).eq.0) nfreq=3*nat_rb-5if (linb(i).eq.1) nfreq=3*nat_rb-6call zpen(nfreq,i,wb,b_zpe)write(6,8) i,b_zpeenddoendifendif

116 C.2. CONFORATEC TSif (nat_ts.gt.1) thendo i=1,n_tsif (lints(i).eq.0) nfreq=3*nat_ts-5if (lints(i).eq.1) nfreq=3*nat_ts-6call zpen(nfreq,i,wts,ts_zpe)write(6,9) i,ts_zpeenddoendifwrite(6,4)CC Loop over the TemperaturesCdo i=1,ntempC Reactant-AC Moleculeif (nat_ra.gt.1) thendo j=1,n_raC Rotational Partition FunctionC REACT-Aif (lina(j).eq.0) thenC 1: Lineal Moleculeqrota(j,i)=zrotlin(dmira(j,1),temp(i))nfreq=3*nat_ra-5elseC 2: Non-Linear Moleculeqrota(j,i)=zrotnolin(dmira(j,1),dmira(j,2),dmira(j,3),temp(i))nfreq=3*nat_ra-6endifCCVibrational Partition FunctionREACT-Aqviba(j,i)=1.D0do m=1,nfreqqvibap(j,i,m)=qqvib(wa(j,m),j,temp(i))C Torsinal modes!!!!!C Aproximation to lower frequenciesqviba(j,i)=qviba(j,i)*qvibap(j,i,m)enddoqa(j,i)=qrota(j,i)*qviba(j,i)CCCCCCCCElectronic Partition FunctionREACT-Aif (iop6.eq.1) thenqeleca=qelect(numsta,dega,difena,temp(i))qa(j,i)=qa(j,i)*qelecaendifif (j.eq.1) write (6,310) temp(i)write (6,311) jwrite(6,34) qrota(j,i),qviba(j,i),qeleca,qa(j,i)write (6,32)do m=1,nfreqwrite (6,33) m,wa(j,m),qvibap(j,i,m)enddoNumber of symmetryqa(j,i)=qa(j,i)/ansyma(j)REACT-A

C. Programas 117call wgt(qa(j,i),temp(i),enra(j))enddoC Atomselse if (nat_ra.eq.1) thenqa(j,i)=1.D0/ansyma(j)if (iop6.eq.1) thenqeleca=qelect(numsta,dega,difena,temp(i))qa(j,i)=qa(j,i)*qelecaendifendifCC Bimolecular reactionCC Reactant Bif (iop1.eq.2) thendo j=1,n_rbC Moleculeif (nat_rb.gt.1) thenCC Rotational Partition FunctionCC REACT-Bif (linb(j).eq.0) thenC 1: Linear Moleculeqrotb(j,i)=zrotlin(dmirb(j,1),temp(i))nfreq=3*nat_rb-5elseC 2: Non-Linear Moleculeqrotb(j,i)=zrotnolin(dmirb(j,1),dmirb(j,2),dmirb(j,3),& temp(i))nfreq=3*nat_rb-6endifCCCCCVibrational Partition Functionqvibb(j,i)=1.D0do m=1,nfreqqvibbp(j,i,m)=qqvib(wb(j,m),j,temp(i))qvibb(j,i)=qvibb(j,i)*qvibbp(j,i,m)enddoAtomelse if (nat_rb.eq.1) thenqb(j,i)=1.D0qrotb(j,i)=1.D0qvibb(j,i)=1.D0endifTraslational Partition Functionamatot=0.D0ambtot=0.D0do k=1,nat_raamatot=amatot+amasa(j,k)enddodo k=1,nat_rbambtot=ambtot+amasb(j,k)enddoqtrans=ztrans(amatot,ambtot,temp(i))qb(j,i)=qrotb(j,i)*qvibb(j,i)Electronic Partition Function

118 C.2. CONFORATECCCCif (iop6.eq.1) thenqelecb=qelect(numstb,degb,difenb,temp(i))write(6,*) ’qelecb’,qelecbqb(j,i)=qb(j,i)*qelecbendifwrite (6,312) jwrite(6,35) qrotb(j,i),qvibb(j,i),qelecb,qtrans,qb(j,i)write (6,32)do m=1,nfreqwrite (6,33) m,wb(j,m),qvibbp(j,i,m)enddoqb(j,i)=qb(j,i)*qtransqb(j,i)=qb(j,i)/ansymb(j)call wgt(qb(j,i),temp(i),enrb(j))write(6,*) ’qb’,qrotb(j,i),qvibb(j,i)write(6,*) ’qtrans’,qtransenddoendifC Transition Statedo j=1,n_tsCCCCCC&if (nat_ts.gt.1) thenRotational Partition Function TS1: Lineal Moleculeif (lints(j).eq.0) thenqrots(j,i)=zrotlin(dmirts(j,1),temp(i))nfreq=3*nat_ts-5else2: Non-linear Moleculeqrots(j,i)=zrotnolin(dmirts(j,1),dmirts(j,2),dmirts(j,3),temp(i))nfreq=3*nat_ts-6endifVibrational Partition Functionwrite(6,*) ’TS’,jcall zvib(j,wts,temp(i),nfreq,qvibts(j,i))qvibts(j,i)=1.D0do m=1,nfreqif (wts(j,m).gt.0D0) thenwts(j,m)=wts(j,m)qvibtsp(j,i,m)=qqvib(wts(j,m),j,temp(i))qvibts(j,i)=qvibts(j,i)*qvibtsp(j,i,m)endifenddoqts(j,i)=qrots(j,i)*qvibts(j,i)C Electronic Partition Functionif (iop6.eq.1) thenCCqelects=qelect(numsts,degts,difents,temp(i))write(6,*) ’qelects’,qelectsqts(j,i)=qts(j,i)*qelectsendifwrite (6,313) jwrite(6,34) qrots(j,i),qvibts(j,i),qelects,qts(j,i)write (6,32)

C. Programas 119Cdo m=1,nfreqwrite (6,33) m,wts(j,m),qvibtsp(j,i,m)enddoqts(j,i)=qts(j,i)/ansymts(j)call wgt(qts(j,i),temp(i),ents(j))write(6,*) ’qrotts’,qrots(j,i),qvibts(j,i)endifenddoC Compute the total partition functionqtota(i)=0.D0qtotb(i)=0.D0qtots(i)=0.D0do j=1,n_raqtota(i)=qa(j,i)+qtota(i)enddoif (iop1.eq.2) thendo j=1,n_rbqtotb(i)=qb(j,i)+qtotb(i)enddoendifdo j=1,n_tsqtots(i)=qts(j,i)+qtots(i)enddoC call tot(qa,qtota)C if (iop2.eq.2) call tot(qb,qtotb)C call tot(qts,qtots)CC call wgt(i,temp(i),qa,n_ra,enra,qtota)C if (iop2.eq.2) call wgt(i,temp(i),qb,n_rb,enrb,qtotb)C write(6,*) ’nts’,n_tsC call wgt(i,temp(i),qts,n_ts,ents,qtots)C write(6,*) ’temp’,temp(i)C write(6,*) ’qtota’,qtota(i)C write(6,*) ’qtotb’,qtotb(i)C write(6,*) ’qtots’,qtots(i)CC write(6,*) " T(K) CVT/SCT"CCC do i=1,ntempC Unimolecularif (iop1.eq.1) thenak(i)=(boltz*temp(i)/hp)*(qtots(i)/(qtota(i)))*& exp(-V/(rg*Temp(i)))Cdo n=1,n_tsCakp(n,i)=(boltz*temp(i)/hp)*(qts(n,i)*exp(-(entsp(n)-emints))C & /(qtota(i)))*exp(-(entsp(n)-eminra)*627.5095/(rg*Temp(i)))& /(qtota(i)))*exp(-V/(rg*Temp(i)))enddoCCVTSTif (iop7.gt.1) thenak_vtst(i)=0.D0do n=1,n_ts

120 C.2. CONFORATEakp_vtst(n,i)=ct(n,i)*& (boltz*temp(i)/hp)*(qts(n,i)*exp(-(entsp(n)-emints))& /(qtota(i)))*C & exp(-(entsp(n)-eminra)*627.5095/(rg*Temp(i)))& exp(-V/(rg*Temp(i)))ak_vtst(i)=ak_vtst(i)+akp_vtst(n,i)enddoendifC VTST/MTif (iop7.eq.3) thenak_vtst_mt(i)=0.D0do n=1,n_tsakp_vtst_mt(n,i)=ct_mt(n,i)*& (boltz*temp(i)/hp)*(qts(n,i)*exp(-(entsp(n)-emints))& /(qtota(i)))*C & exp(-(entsp(n)-eminra)*627.5095/(rg*Temp(i)))& exp(-V/(rg*Temp(i)))ak_vtst_mt(i)=ak_vtst_mt(i)+akp_vtst_mt(n,i)enddoendifCC BimolecularCelse if (iop1.eq.2) thenak(i)=(boltz*temp(i)/hp)*(qtots(i)/(qtota(i)*qtotb(i)))*& exp(-V/(rg*Temp(i)))do n=1,n_tsakp(n,i)=(boltz*temp(i)/hp)*(qts(n,i)*exp(-(entsp(n)-emints))& /(qtota(i)*qtotb(i)))*C & exp(-(entsp(n)-eminra-eminrb)*627.5095/(rg*Temp(i)))& exp(-V/(rg*Temp(i)))enddoC VTSTif (iop7.gt.1) thenak_vtst(i)=0.D0do n=1,n_tsakp_vtst(n,i)=ct(n,i)*& (boltz*temp(i)/hp)*(qts(n,i)*exp(-(entsp(n)-emints))& /(qtota(i)*qtotb(i)))*C & exp(-(entsp(n)-eminra-eminrb)*627.5095/(rg*Temp(i)))& exp(-V/(rg*Temp(i)))ak_vtst(i)=ak_vtst(i)+akp_vtst(n,i)enddoendifC VTST/MTif (iop7.eq.3) thenak_vtst_mt(i)=0.D0do n=1,n_tsakp_vtst_mt(n,i)=ct_mt(n,i)*& (boltz*temp(i)/hp)*(qts(n,i)*exp(-(entsp(n)-emints))& /(qtota(i)*qtotb(i)))*C & exp(-(entsp(n)-eminra-eminrb)*627.5095/(rg*Temp(i)))& exp(-V/(rg*Temp(i)))ak_vtst_mt(i)=ak_vtst_mt(i)+akp_vtst_mt(n,i)enddo

C. Programas 121CCCCCCendifendifwrite(6,*) boltz*temp(i)/hwrite(6,*) (qtots(i)/(qtota(i)*qtotb(i)))*&exp(-V/(r*Temp(i)))write(6,*) exp(-V/(r*Temp(i)))ak(i)=akappa(i)*(r*T(i)/h)*(qtots(i)/qtotr(i))*&exp(-V/(r*T(i)))enddoC End loop over TemperaturesCC Unimolecular - Bimolecularif (iop1.eq.1) write(6,17)if (iop1.eq.2) write(6,18)Cwrite(6,19)C write(6,29) (j,j=1,n_ts)C if (n_ts.le.4) thenC do i=1,ntempCC write(6,20) temp(i),ak(i)C write(6,30) temp(i),ak(i),C & (akp(n,i),akp(n,i)*100./ak(i),n=1,n_ts)CC write(6,*) temp(i),ak(i),(akp(n,i),n=1,n_ts)CC write(6,30) temp(i),ak(i),(akp(n,i),CC & akp(n,i)*100./ak(i),n=1,n_ts)C enddocall result(n_ts,ak,akp)C elseC do i=1,ntempCC write(6,20) temp(i),ak(i)CC write(6,30) temp(i),ak(i),(akp(n,i),n=1,n_ts)C write(6,30) temp(i),ak(i),(akp(n,i),C & akp(n,i)*100./ak(i),n=1,4)C enddoC write(6,*)CC do ii=2,n_ts/4C if ((n_ts/4)-1.C do i=1,ntempC write(6,30) temp(i),ak(i),(akp(n,i),C & akp(n,i)*100./ak(i),n=n,n_ts)CC enddoC enddoC endifif (iop7.gt.1) thenwrite(6,191)CCCCCCwrite(6,29) (j,j=1,n_ts)do i=1,ntempwrite(6,30) temp(i),ak_vtst(i),(akp_vtst(n,i),n=1,n_ts)enddocall result(n_ts,ak_vtst,akp_vtst)endifif (iop7.eq.3) thenwrite(6,192)write(6,29) (j,j=1,n_ts)do i=1,ntemp

122 C.2. CONFORATECCwrite(6,30) temp(i),ak_vtst_mt(i),(akp_vtst_mt(n,i),n=1,n_ts)enddocall result(n_ts,ak_vtst_mt,akp_vtst_mt)endifwrite(6,90)1 format(80(’-’),/,32x,17(’*’),/,32x,’* CONFORATE 0.0 *’,/,32x,&17(’*’),/,34x,’(August 2007)’,/,19x,’Ruben Meana-Panieda, Nicolas&Ramos-Berdullas’,/,27x,’and Antonio Fernandez-Ramos’,/,&25x,’Department of Physical Chemistry’,/,19x,’University of Santia&go de Compostela (USC)’,/,25x,’Santiago de Compostela, Galicia’,/,&38x,’Spain’,/,80(’-’))4 format(80(’-’))5 format(30x,’Zero Point Energies’)6 format(30x,’Relative Energies’)7 format(21X,’Reactant-A-’,i2,’:’,6x,F16.5,1x,’kcal/mol’)8 format(21X,’Reactant-B-’,i2,’:’,6x,F16.5,1x,’kcal/mol’)9 format(35X,’TS-’,i2,’:’,F16.5,1x,’kcal/mol’)11 format(80(’-’),/,6x,’Minimum Energy of Rectants-A:’,6x,F16.5,&’ hartree’)12 format(6x,’Minimum Energy of Rectants-B:’,6x,F16.5,’ hartree’)13 format(6x,’Minimum Energy of Transtion States:’,F16.5,’ hartree’)14 format(6x,’Height of the Barrier V*:’,9x,F16.5,’ kcal/mol’&,/,80(’-’))C16 format(/,23x,’Forward rates (cm**3/molecule-sec)’,/,23x,34(’-’))17 format(/,29x,’Forward rates (sec**-1)’,/,29x,23(’-’))18 format(/,23x,’Forward rates (cm**3/molecule-sec)’,/,23x,34(’-’))19 format(2(/),4x,"T(K)",5x,"TST Total",16x,’TST by Conformer’,/,3x,& 6(’-’),3x,10(’-’),16x,16(’-’),/)191 format(2(/),4x,"T(K)",4x,"VTST Total",14x,’VTST by Conformer’,/,3x& ,6(’-’),3x,10(’-’),14x,17(’-’),/)192 format(2(/),4x,"T(K)",3x,"VTST/MT Total",12x,&’VTST/MT by Conformer’,/,3x,6(’-’),2x,13(’-’),12x,20(’-’),/)20 format(F9.2,2x,1PD11.4)C29 format(17x,800(4(11x,i2,9x,’%’),/))C30 format(F9.2,2x,1PD11.4,800(4(2x,1PD11.4,3x,g7.2)),/)C29 format(17x,800(11x,i2,9x,’%’))30 format(F9.2,2x,1PD11.4,4(2x,1PD11.4,3x,g5.2))31 format(19x,8(2x,1PD11.4,3x,g7.2))29 format(29x,i2,800(10x,i2))C30 format(F9.2,800(2x,1PD11.4))310 format(2(/),24x,5(’*’),’ TEMP = ’,F9.2,’ K ’,5(’*’))311 format(80(’-’),/,34x,’REACT-A-’,i2,/,80(’-’))312 format(80(’-’),/,34x,’REACT-B-’,i2,/,80(’-’))313 format(80(’-’),/,36x,’TS-’,i2,/,80(’-’))32 format(7x,’N o ’,4x,’Freq (cm**-1)’,7x,’Q_vib’,/,3x,43(’-’))33 format(5x,i4,6x,F9.2,6x,1(1PD11.4,6x))34 format(3x,’Q_rot: ’,1PD11.4,/,3x,’Q_vib: ’,1PD11.4,/,&3x,’Q_elect: ’,1Pg11.6,/,3x,’Q_Total: ’,1PD11.4)35 format(3x,’Q_rot: ’,1PD11.4,/,3x,’Q_vib: ’,1PD11.4,/,&3x,’Q_elect: ’ ,1Pg11.6,/,3x,’Q_Total: ’,1PD11.4,&/,3x,’Q_tras: ’,1PD11.4)90 format(2(/),10x,20(’*’),’ END OF CONFORATE ’,20(’*’))endC Write final results: Total Constants-Partial Constants

C. Programas 123subroutine result(n_ts,ak,akp)implicit double precision(a-h,o-z)include ’data.h’common /tempt/ temp(ntemps),ntempdimension ak(ntemps),akp(nconfs,ntemps)dimension per(nconfs,ntemps)C Compute the percentagesdo i=1,ntempdo n=1,n_tsper(n,i)=(akp(n,i)*100.)/ak(i)enddoenddoC Number of conformers lower or equal 2if (n_ts.le.2) thenwrite(6,10) (n,n=1,n_ts)do i=1,ntempwrite(6,20) temp(i),ak(i),(akp(n,i),per(n,i),n=1,n_ts)enddowrite(6,*)C Number of conformers greater than 2elseicont=1write(6,10) (n,n=1,2)do i=1,ntempwrite(6,20) temp(i),ak(i),(akp(n,i),per(n,i),n=1,2)enddowrite(6,*)icont=icont+2CCjj=abs((n_ts/2.)-1.)do i=1,jjwrite(6,10) (n,n=icont,icont+1)do j=1,ntempwrite(6,30) temp(j),(akp(n,j),per(n,j),n=icont,icont+1)enddowrite(6,*)icont=icont+2enddoCCidiv=n_ts/2.irest=n_ts-2*idivif (irest.gt.0.) thenwrite(6,10) (n,n=icont,n_ts)do j=1,ntempwrite(6,30) temp(j),(akp(n,j),per(n,j),n=icont,n_ts)enddowrite(6,*)endifendif10 format(28x,(3(i2,11x,’%’,12x)))20 format(F9.2,2x,1PD11.4,3(2x,1PD11.4,3x,g10.3))30 format(F9.2,13x,3(2x,1PD11.4,3x,g10.3))returnend

124 C.2. CONFORATEC Compute traslational partition functionfunction ztrans(amasr1,amasr2,t)implicit double precision(a-h,o-z)include ’data.h’redm=amasr1*amasr2/(amasr1+amasr2)pi=2.d0*asin(1.d0)ztrans=1.D-6*(((2*pi*(redm*1D-3/av)*boltz*t))/(hp**2))**1.5returnendC Compute rotational partition function for linear moleculesfunction zrotlin(ainer,t)implicit double precision(a-h,o-z)include ’data.h’zrotlin=(t*boltz/(hp*c))/ainerreturnendC Compute rotational partition function for non-linear moleculesfunction zrotnolin(ainerA,ainerB,ainerC,t)implicit double precision(a-h,o-z)include ’data.h’pi=2.d0*asin(1.d0)C zrotnolin=(t*boltz/hp/c)**1.5*(8.*PI*ainerA*ainerB*ainerC)**0.5zrotnolin=(t*boltz/hp/c)**1.5*(PI/(ainerA*ainerB*ainerC))**0.5returnendC Compute vibrational partition functionfunction qqvib(freq,nconf,temp)implicit double precision (a-h,o-z)include ’data.h’const=hp*c/boltz/tempqqvib=(exp(-0.5*const*freq)) / (1.-exp((-const*freq)))returnendC Compute electronic partition functionfunction qelect(nest,gi,energ,t)implicit double precision (a-h,o-z)include ’data.h’dimension gi(nest),energ(nest)qelect=0.D0do i=1,nestqelect1=gi(i)*exp(-energ(i)/(rg*t))qelect=qelect+qelect1enddoreturnendC Reorder the energiessubroutine reorder(e,n,emin)implicit double precision(a-h,o-z)include ’data.h’dimension e(nconfs)

C. Programas 125emin=e(1)do i=1,nif (e(i).lt.emin) emin=e(i)enddodo i=1,ne(i)=(e(i)-emin)*627.5095d0enddoreturnendC Compute ZPEsubroutine zpen(nfreq,n_r,freq,zpe)implicit double precision(a-h,o-z)include ’data.h’dimension freq(nconfs,nfreqs)zpe=0.D0do i=1,nfreqif (freq(n_r,i).gt.0.D0) zpe=zpe+0.5D0*freq(n_r,i)enddozpe=zpe*2.859143523D-3C zpe=zpe/349.75d0returnendC Reorder frequenciessubroutine reorderfreq(n,freq,nf)implicit double precision(a-h,o-z)include ’data.h’dimension freq(nconfs,nfreqs)common/ska/ scalefC Scale Factordo i=1,nffreq(n,i)=freq(n,i)*scalefenddoC Reorderdo 50 j=1,nfdo 50 k=1,j-1if (freq(n,k) .lt. freq(n,j)) thensalva=freq(n,j)do l=j-1,k,-1freq(n,l+1)=freq(n,l)end dofreq(n,k)=salvaend if50 continuereturnendC Compute the Maxwell-Botzmann weight of each partition functionsubroutine wgt(q,temp,enr)implicit double precision(a-h,o-z)include ’data.h’q=q*exp(-enr/(rg*temp))returnend

126 C.2. CONFORATEC Read input datasubroutine readatimplicit double precision(a-h,o-z)include ’data.h’C common /tt/ Titlecharacter*80 Titlecommon /iops/ iop1,iop2,iop3,iop4,iop5,iop6,iop7common /tempt/ temp(ntemps),ntempcommon /nr/ n_ra,nat_ra,n_rb,nat_rb,n_ts,nat_tscommon /energy/ enra(nconfs),enrb(nconfs),ents(nconfs)common /symbol/ asymbola,asymbolb,asymboltscharacter*2 asymbola(nconfs,natoms),asymbolb(nconfs,natoms)& ,asymbolts(nconfs,natoms)common /coord/ coorda(nconfs,natoms,3),coordb(nconfs,natoms,3)& ,cordts(nconfs,natoms,3)common /mass/ amasa(nconfs,natoms),amasb(nconfs,natoms)& ,amasts(nconfs,natoms)common /linang/ lina(nconfs),linb(nconfs),lints(nconfs)common /numofsymm/ ansyma(nconfs),ansymb(nconfs),ansymts(nconfs)common /mi/ dmira(nconfs,3),dmirb(nconfs,3),dmirts(nconfs,3)common /frequencies/ wa(nconfs,nfreqs),wb(nconfs,nfreqs)& ,wts(nconfs,nfreqs)common /elec/ dega(numbstates),degb(numbstates),degts(numbstates)& ,difena(numbstates),difenb(numbstates),difents(numbstates)& ,numsta,numstb,numstscommon/torsion/ tor_ra(nfreqs),tor_rb(nfreqs),tor_ts(nfreqs)character*80 stringlogical vltscommon/lts/ vltscommon/ska/ scalefC Only valid for TSs (for TSs vlts is true)vlts=.false.Cdo i=1,100000read(5,10,end=9) stringC Data partif(0.ne.index(string,’Title’)) thenread(5,10,ERR=1000) Titlewrite(6,*) ’Title’write(6,10) Titleelse if(0.ne.index(string,’Unimolecular’)) theniop1=1else if(0.ne.index(string,’Bimolecular’)) theniop1=2else if(0.ne.index(string,’Number of reactants A’)) thenread(5,*,ERR=1001) n_raelse if(0.ne.index(string,’Number of atoms of A’)) thenread(5,*,ERR=1002) nat_raelse if(0.ne.index(string,’Number of reactants B’).and.iop1.eq.2&) thenread(5,*,ERR=1003) n_rbelse if(0.ne.index(string,’Number of atoms of B’).and.iop1.eq.2)& then

C. Programas 127read(5,*,ERR=1004) nat_rbelse if(0.ne.index(string,’Number of TSs’)) thenread(5,*,ERR=1005) n_tselse if(0.ne.index(string,’Number of atoms of TSs’)) thenread(5,*,ERR=1006) nat_tselse if(0.ne.index(string,’Freq’)) theniop2=1else if(0.ne.index(string,’Hessian’)) theniop2=2else if(0.ne.index(string,’Scale Factor’)) thenread(5,*,ERR=1007) scalefelse if(0.ne.index(string,’Number of Freq Aproximation’)) thenread(5,*)read(5,10) stringif(0.ne.index(string,’REACT-A’)) thenread(5,10) kk,tor_ra(i),aproxtorsionalendifC read(5,*) cualquiera,else if(0.ne.index(string,’Moments of inertia’)) theniop3=1CC else if(0.ne.index(string,’Gaussian 03’)) thenC iop4=1C else if(0.ne.index(string,’LONG OUTPUT’)) thenC iop5=1C Electronic Partition Function Sectionelse if(0.ne.index(string,’Electronic Degeneracy’)) theniop6=1read(5,10) stringif(0.ne.index(string,’REACT-A’)) thenread(5,*,ERR=1008) numstado n=1,numstaread(5,*,ERR=1009) dega(n),difena(n)enddoelsewrite(6,21)stopendifif (iop1.eq.2) thenread(5,10) stringif(0.ne.index(string,’REACT-B’)) thenread(5,*,ERR=1010) numstbdo n=1,numstbread(5,*,ERR=1011) degb(n),difenb(n)enddoelsewrite(6,21)stopendifendifread(5,10) stringif(0.ne.index(string,’TS’)) thenread(5,*,ERR=1012) numstsdo n=1,numstsread(5,*,ERR=1013) degts(n),difents(n)

128 C.2. CONFORATECCCCenddoelsewrite(6,21)stopendifelse if(0.ne.index(string,’Number of Temperatures’)) thenread(5,*,ERR=1014) ntempelse if(0.ne.index(string,’Temperatures’)) thendo j=1,ntempread(5,*,ERR=1015) temp(j)enddoelse if(0.ne.index(string,’Transition State’)) thenelse if(0.ne.index(string,’VTST/MT’)) thenwrite(6,*) index(string,’VTST/MT’)write(6,*) ’VTST/MT’iop7=3else if(0.ne.index(string,’VTST’)) thenwrite(6,*) index(string,’VTST’)write(6,*) ’VTST’iop7=2else if(1.eq.index(string,’TST’)) thenwrite(6,*) index(string,’TST’)write(6,*) ’TST’iop7=1C Reactants partC Reactant Aelse if(0.ne.index(string,’REACT-A’)) thenread(5,*,ERR=1016) nCif (n.gt.n_ra) thenstopendifcall readconf(n,nat_ra,enra(n),asymbola,coorda,dmira,wa,ansyma(&n),lina(n),amasa)C write(6,*) nCC write(6,*) enra(n)C do k=1,nat_raC write(6,*) asymbola(n,k),(coorda(n,k,j),j=1,3)C enddoC write(6,*) ’Moments’C write(6,*) (dmira(n,j),j=1,3)C write(6,*) (wa(n,j),j=1,3*nat_ra-6)C Reactant BC Only for Bimolecular reactionselse if(0.ne.index(string,’REACT-B’)) thenif (iop1.eq.2) thenread(5,*,ERR=1017) nif (n.gt.n_rb) thenwrite(6,20)stopendifcall readconf(n,nat_rb,enrb(n),asymbolb,coordb,dmirb,wb,ansymb(&n),linb(n),amasb)Cwrite(6,*) (wb(n,j),j=1,3*nat_rb-5)endif

C. Programas 129C Transition Stateelse if(0.ne.index(string,’TS’)) thenCvlts=.true.read(5,*,ERR=1018) nif (n.gt.n_ts) thenwrite(6,20)stopendifcall readconf(n,nat_ts,ents(n),asymbolts,cordts,dmirts,wts,&ansymts(n),lints(n),amasts)CCwrite(6,*) (wts(n,j),j=1,3*nat_ts-5)write(6,*) (wts(n,j),j=1,9)vlts=.false.endifenddoCC if (iop7.eq.0) thenC write(6,*) ’Please write the method to evaluate the rateCC &constants: TST VTST VTST/MT’C stopC endifC9 continue10 format(A80)20 format(’Please check the number of conformers’)21 format(’Please keep the block data joined in the Electronic Degene&racy section.’)30 format(1x,F16.8,1x,F16.8,1X,F16.8,1X,F16.8)returnC --------------------------ERROR REPORT----------------------------------1000 write(6,*) ’Error reading "Title"’stop1001 write(6,*) ’Error reading "Number of reactants A"’stop1002 write(6,*) ’Error reading "Number of atoms A"’stop1003 write(6,*) ’Error reading "Number of reactants B"’stop1004 write(6,*) ’Error reading "Number of atoms B"’stop1005 write(6,*) ’Error reading "Number of TSs"’stop1006 write(6,*) ’Error reading "Number of atoms of TSs"’stop1007 write(6,*) ’Error reading "Scale Factor"’stop1008 write(6,*) ’Error reading "Electronic Degeneracy, ’&,’Number of States Reactant-A"’stop1009 write(6,*) ’Error reading "Electronic Degeneracy, ’&,’Degeneracy-Delta Energy Reactant-A"’stop1010 write(6,*) ’Error reading "Electronic Degeneracy, ’&,’Number of States Reactant-B"’

130 C.2. CONFORATEstop1011 write(6,*) ’Error reading "Electronic Degeneracy, ’&,’Degeneracy-Delta Energy Reactant-B"’stop1012 write(6,*) ’Error reading "Electronic Degeneracy, ’&,’Number of States TS"’stop1013 write(6,*) ’Error reading "Electronic Degeneracy, ’&,’Degeneracy-Delta TS"’stop1014 write(6,*) ’Error reading "Number of Temperatures"’stop1015 write(6,*) ’Error reading "Temperatures"’stop1016 write(6,*) ’Error reading "Number of conformer REACT-A"’stop1017 write(6,*) ’Error reading "Number of conformer REACT-B"’stop1018 write(6,*) ’Error reading "Number of conformer TS"’stopC --------------------------ERROR REPORT----------------------------------endsubroutine readconf(n,num,ener,asl,coord,dmir,w,ansym,lin,amas)implicit double precision(a-h,o-z)include ’data.h’common /tempt/ temp(ntemps),ntempcommon /iops/ iop1,iop2,iop3,iop4,iop5,iop6,iop7logical vltscommon/lts/ vltscommon/coef/ ct(nconfs,ntemps),ct_mt(nconfs,ntemps)dimension xcm(nconfs),ycm(nconfs),zcm(nconfs)dimension coord(nconfs,natoms,3)dimension dmir(nconfs,3), w(nconfs,nfreqs)character * 2 asymb(104),asl(nconfs,natoms)character * 2 asymbol(natoms)dimension ams(104),isymbol(natoms)dimension ffcc(3*natoms,3*natoms),amas(nconfs,natoms)character *80 stringCCarray of atomic symbols (D: Deuterium i=104)data (asymb(i),i=1,104) /* ’H ’,’He’,’Li’,’Be’,’B ’,’C ’,’N ’,’O ’,’F ’,’Ne’,* ’Na’,’Mg’,’Al’,’Si’,’P ’,’S ’,’Cl’,’Ar’,* ’K ’,’Ca’,’Sc’,’Ti’,’V ’,’Cr’,’Mn’,’Fe’,’Co’,’Ni’,’Cu’,* ’Zn’,’Ga’,’Ge’,’As’,’Se’,’Br’,’Kr’,* ’Rb’,’Sr’,’Y ’,’Zr’,’Nb’,’Mo’,’Tc’,’Ru’,’Rh’,’Pd’,’Ag’,* ’Cd’,’In’,’Sn’,’Sb’,’Te’,’I ’,’Xe’,* ’Cs’,’Ba’,’La’,’Ce’,’Pr’,’Nd’,’Pm’,’Sm’,’Eu’,’Gd’,’Tb’,* ’Dy’,’Ho’,’Er’,’Tm’,’Yb’,’Lu’,’Hf’,’Ta’,’W ’,’Re’,* ’Os’,’Ir’,’Pt’,’Au’,’Hg’,’Tl’,’Pb’,’Bi’,’Po’,’At’,’Rn’,* ’Fr’,’Ra’,’Ac’,’Th’,’Pa’,’U’,’Np’,’Pu’,’Am’,’Cm’,’Bk’,* ’Cf’,’Es’,’Fm’,’Md’,’No’,’Lr’,’D’/

C. Programas 131data (ams(i),i=1,54) /* 1.007825d+00,4.0026d+00,7.01600d+00,9.01218d+00,11.00931d+00,* 12.0d+00,14.00307d+00,15.99491d+00,18.99840d+00,19.99244d+00,* 22.9898d+00,23.98504d+00,26.98153d+00,27.97693d+00,* 30.97376d+00,31.97207d+00,34.96885d+00,39.948d+00,* 38.96371d+00,39.96259d+00,44.95592d+00,47.90d+00,50.9440d+00,* 51.9405d+00,54.9381d+00,55.9349d+00,58.9332d+00,57.9353d+00,* 62.9298d+00,63.9291d+00,68.9257d+00,73.9219d+00,74.9216d+00,* 79.9165d+00,78.9183d+00,83.9115d+00,* 84.9117d+00,87.9056d+00,89.9054d+00,89.9043d+00,92.9060d+00,* 97.9055d+00,97.0d+00,101.9037d+00,102.9048d+00,105.9032d+00,* 106.9041d+00,113.9036d+00,114.9041d+00,119.9022d+00,* 120.9038d+00,129.9067d+00,126.9044d+00,131.9042d+00/data (ams(i),i=55,104) /* 132.9054d+00,137.9052d+00,138.9063d+00,139.9054d+00,* 140.9076d+00,141.9077d+00,144.9127d+00,151.9197d+00,* 152.9212d+00,157.9241d+00,158.9253d+00,163.9292d+00,* 164.9303d+00,165.9303d+00,168.9342d+00,173.9389d+00,* 174.9408d+00,179.9465d+00,180.9480d+00,183.9509d+00,* 186.9557d+00,191.9615d+00,192.9629d+00,194.9648d+00,* 196.9665d+00,201.9706d+00,* 204.9744d+00,207.9766d+00,208.9804d+00,208.9824d+00,* 209.9871d+00,222.0176d+00,* 223.0197d+00,226.0254d+00,* 227.0278d+00,232.0381d+00,231.0359d+00,238.0508d+00,* 237.0482d+00,244.0642d+00,243.0614d+00,247.0703d+00,* 247.0703d+00,251.0796d+00,252.0829d+00,257.0751d+00,* 258.0986d+00,259.1009d+00,260.1053d+00,2.0141d+00/C Energyread(5,*,ERR=1000) enerC Cartesian coordinatesread(5,*,ERR=1001) (asymbol(k),(coord(n,k,j),j=1,3),k=1,num)C write(6,*) (asymbol(k),(coord(n,k,j),j=1,3),k=1,num)do i=1,numasl(n,i)=asymbol(i)enddodo hi=1,numdo j=1,104if(asymbol(hi).eq.asymb(j)) isymbol(hi)=jenddoenddodo j=1,numamas(n,j)=ams(isymbol(j))enddoCC do k=1,numC write(6,30) asl(n,k),(coord(n,k,j),j=1,3)C enddoCC ’if’ for atomnsif (num.gt.1) thenC Lineal or Non-Linearread(5,10,ERR=1002) stringif (0.ne.index(string,’LINEAL’)) then

132 C.2. CONFORATElin=0C write(6,*) ’LINEAL’else if (0.ne.index(string,’NON’)) thenlin=1C write(6,*) ’NONLINEAR’endifC Number of symmetryread(5,*,ERR=1003) ansymC change to center of masscall cdm(n,num,amas,xcm(n),ycm(n),zcm(n),coord)C write(6,*) ’Center of mass’,xcm(n),ycm(n),zcm(n)C do k=1,numC write(6,*) amas(n,k),(coord(n,k,j),j=1,3)C enddoC compute the moments of inertiaCif (iop3.eq.0) thenCcall mofi(n,num,amas,coord,lin,dmir)write(6,*) ’Moments of inertia: ’,(dmir(n,j),j=1,3)else if (iop3.eq.1) thenif (num.eq.2.or.lin.eq.0) thenread(5,*,ERR=1004)(dmir(n,j),j=1,1)elseread(5,*,ERR=1004)(dmir(n,j),j=1,3)endifendifCC Degrees of freedomif (lin.eq.0) thenndimr=3*num-5else if (lin.eq.1) thenndimr=3*num-6endifCCc iop2=0 -> read frequenciesCc iop2=1 -> read force constantsCif(iop2.eq.1) thenread(5,*,ERR=1005) (w(n,j),j=1,ndimr)else if (iop2.eq.2) thencall calcfc(n,ndimr,num,amas,w,lin)Cwrite(6,*) (w(n,j),j=1,ndimr)endifCCC reorder frequenciescall reorderfreq(n,w,ndimr)C Read Transmission CoefficientsCwrite(6,*) iop7,vltsif ((iop7.gt.1).and.vlts.eqv..true.) thendo i=1,ntempread(5,*,ERR=1006) t,ct(n,i)enddoendifread(5,*)if ((iop7.eq.3).and.vlts.eqv..true.) thendo i=1,ntemp

C. Programas 133read(5,*,ERR=1007) t,ct_mt(n,i)enddoendifCC endif for atomsendifCCendifenddoreturn10 format(A80)20 format(1x,f16.8,1x,F16.8,1X,F16.8,1X,F16.8)30 format(1x,a3,1x,F16.8,1X,F16.8,1X,F16.8)C --------------------------ERROR REPORT----------------------------------1000 write(6,*) ’Error reading "ENERGY"’stop1001 write(6,*) ’Error reading "Cartesian Coordinates"’stop1002 write(6,*) ’Error reading "LINEAL or NON-LINEAR molecule"’stop1003 write(6,*) ’Error reading "Number of Symmetry"’stop1004 write(6,*) ’Error reading "Moments of inertia"’stop1005 write(6,*) ’Error reading "Frequencies"’stop1006 write(6,*) ’Error reading "Variational Factors"’stop1007 write(6,*) ’Error reading "Transmission Coefficients"’stopC --------------------------ERROR REPORT----------------------------------endC Write input datasubroutine writedatimplicit double precision(a-h,o-z)include ’data.h’common /iops/ iop1,iop2,iop3,iop4,iop5,iop6,iop7common /tempt/ temp(ntemps),ntempcommon /nr/ n_ra,nat_ra,n_rb,nat_rb,n_ts,nat_tscommon /energy/ enra(nconfs),enrb(nconfs),ents(nconfs)common /symbol/ asymbola,asymbolb,asymboltscharacter*2 asymbola(nconfs,natoms),asymbolb(nconfs,natoms)& ,asymbolts(nconfs,natoms)common /coord/ coorda(nconfs,natoms,3),coordb(nconfs,natoms,3)& ,cordts(nconfs,natoms,3)common /com/ xcma(nconfs),ycma(nconfs),zcma(nconfs),& xcmb(nconfs),ycmb(nconfs),zcmb(nconfs),& xcmts(nconfs),ycmts(nconfs),zcmts(nconfs)common /mi/ dmira(nconfs,3),dmirb(nconfs,3),dmirts(nconfs,3)common /linang/ lina(nconfs),linb(nconfs),lints(nconfs)common /numofsymm/ ansyma(nconfs),ansymb(nconfs),ansymts(nconfs)common /frequencies/ wa(nconfs,nfreqs),wb(nconfs,nfreqs)&,wts(nconfs,nfreqs)common /elec/ dega(numbstates),degb(numbstates),degts(numbstates)& ,difena(numbstates),difenb(numbstates),difents(numbstates)

134 C.2. CONFORATE& ,numsta,numstb,numstscommon /ska/ scalefC Write dataif (iop1.eq.1) thenwrite (6,1)else if (iop1.eq.2) thenwrite (6,2)endifwrite(6,*) ’Number of conformers of reactant A: ’,n_rawrite(6,*) ’Number of atoms of A: ’,nat_raif (iop1.eq.2) thenwrite(6,*)’Number of conformers of reactant B: ’,n_rbwrite(6,*)’Number of atoms of B: ’,nat_rbendifwrite(6,*) ’Number of confomers of TS: ’,n_tswrite(6,*) ’Number of atoms of TS: ’,nat_tsCif (iop1.eq.1) thenwrite (6,3) n_ra,nat_ra,n_ts,nat_tselse if (iop1.eq.2) thenwrite (6,4) n_ra,nat_ra,n_rb,nat_rb,n_ts,nat_tsendifif (iop2.eq.1) thenwrite (6,*) ’Using Frequencies’else if (iop2.eq.2) thenwrite (6,*) ’Using Hessians’else if (iop4.eq.1) thenwrite (6,*) ’Automatic from Gaussian’else if (iop5.eq.1) thenwrite (6,*) ’LONG OUTPUT’endifwrite(6,*) ’Scale Factor:’,scalefwrite(6,*) ’Number of Temperatures: ’,ntempwrite(6,*) ’Temperatures (K) ’do j=1,ntempwrite(6,*) temp(j)enddowrite(6,*) ’---’C Electronic Degeneracyif (iop6.eq.1) thenwrite(6,*) ’Electronic Degeneracy’write(6,*) ’REACT-A’write(6,*) ’Number of states’,numstawrite(6,*) ’Deg Delta-E’write(6,*) ’--- -------’do n=1,numstawrite(6,*) dega(n),’ ’,difena(n)enddoif (iop1.eq.2) thenwrite(6,*) ’REACT-B’write(6,*) ’Number of states’,numstbwrite(6,*) ’Deg Delta-E’write(6,*) ’--- -------’do n=1,numstbwrite(6,*) degb(n),’ ’,difenb(n)

C. Programas 135enddoendifwrite(6,*) ’TS’write(6,*) ’Number of states’,numstswrite(6,*) ’Deg Delta-E’write(6,*) ’--- -------’do n=1,numstswrite(6,*) degts(n),’ ’,difents(n)enddoendifwrite(6,*) ’---’C Write reactants-Ado j=1,n_rawrite(6,10) jwrite(6,20) enra(j)write(6,21)do k=1,nat_rawrite(6,30) asymbola(j,k),(coorda(j,k,m),m=1,3)enddowrite(6,31)write(6,19) ansyma(j)write(6,32) (dmira(j,k),k=1,3)write(6,33) (dmira(j,k)*2.99792458d1,k=1,3)if (lina(j).eq.0) thenwrite(6,*) ’Lineal’write(6,35)nk=3*nat_ra-5do i=1,nkwrite(6,40) i,wa(j,i)enddoelse if (lina(j).eq.1) thenwrite(6,*) ’Non-Linear’write(6,35)nk=3*nat_ra-6do i=1,nkwrite(6,40) i,wa(j,i)enddoendifwrite(6,*) ’---’enddoC Write reactants-BC Only bimolecular reactionsif (iop1.eq.2) thendo j=1,n_rbwrite(6,11) jwrite(6,20) enrb(j)write(6,21)do k=1,nat_rbwrite(6,30) asymbolb(j,k),(coordb(j,k,m),m=1,3)enddowrite(6,31)write(6,19) ansymb(j)write(6,32) (dmirb(j,k),k=1,3)

136 C.2. CONFORATEwrite(6,33) (dmirb(j,k)*2.99792458d1,k=1,3)if (linb(j).eq.0) thenwrite(6,*) ’Lineal’write(6,35)nk=3*nat_rb-5do i=1,nkwrite(6,40) i,wb(j,i)enddoelse if (linb(j).eq.1) thenwrite(6,*) ’Non-Linear’write(6,35)nk=3*nat_rb-6do i=1,nkwrite(6,40) i,wb(j,i)enddoendifwrite(6,*) ’---’enddoendifC Write TSdo j=1,n_tswrite(6,12) jwrite(6,20) ents(j)write(6,21)do k=1,nat_tswrite(6,30) asymbolts(j,k),(cordts(j,k,m),m=1,3)enddowrite(6,31)write(6,19) ansymts(j)write(6,32) (dmirts(j,k),k=1,3)write(6,33) (dmirts(j,k)*2.99792458d1,k=1,3)if (lints(j).eq.0) thenwrite(6,*) ’Lineal’write(6,35)nk=3*nat_ts-5do i=1,nkwrite(6,40) i,wts(j,i)enddoelse if (lints(j).eq.1) thenwrite(6,*) ’Non-Linear’write(6,35)nk=3*nat_ts-6do i=1,nkwrite(6,40) i,wts(j,i)enddoendifwrite(6,*) ’---’enddo1 format(1x,’Unimolecular Reaction’,20x,’A --> TS’)2 format(1x,’Bimolecular Reaction’,10x,’A + B --> TS’)3 format(1x,’Unimolecular Reaction’,3x,’(’,i3,’)’,’A_’,i3,’ --> ’&,’(’,i3,’)’,’TS_’,i3)4 format(1x,’Bimolecular Reaction’,3x,’(’,i3,’)’,’A_’,i3,’ + ’&,’(’,i3,’)’,’B_’,i3,’ --> ’,’(’,i3,’)’,’TS_’,i3)C2 format(1x,’Bimolecular Reaction A + B --> TS’)

C. Programas 13710 format(’REACT-A-’,i2)11 format(’REACT-B-’,i2)12 format(’TS-’,i2)19 format(1x,’Number of symmetry’,f10.1)20 format(1x,’Energy:’,f19.6,’ hartree’)21 format(56(’-’),/,1x,’Atomic’,15x,’Coordinates (Angstroms)’,&/,1x,’Symbol’,10x,’X’,15x,’Y’,15x,’Z’,/,56(’-’))30 format(2x,a3,1x,F16.8,1X,F16.8,1X,F16.8)31 format(56(’-’))32 format(37x,’1’,11x,’2’,11x,’3’,&/,1x,’Rotational Constants (cm**-1):’,3(F10.5,2x))33 format(22x,’(GHz):’,3(F13.5))C32 format(35x,’1’,11x,’2’,11x,’3’,C &/,1x,’Moments of inertia (cm**-1):’,3(F10.5,2x))35 format(4x,’N o ’,3x,’Freq (cm**-1)’,/,4x,’-’,4x,13(’-’))40 format(1x,i4,6x,F9.2)returnendC Comput the center of masssubroutine cdm(l,n,am,xcm,ycm,zcm,coord)implicit double precision (a-h,o-z)include ’data.h’dimension am(nconfs,natoms)dimension coord(nconfs,natoms,3)C Reinitioamat=0.d0xcm=0.d0ycm=0.d0zcm=0.d0C atomic number, cartesian coordinatesdo i=1,namat=amat+am(l,i)enddodo i=1,nxcm=xcm+(am(l,i)*coord(l,i,1))/amatenddodo i=1,nycm=ycm+(am(l,i)*coord(l,i,2))/amatenddodo i=1,nzcm=zcm+(am(l,i)*coord(l,i,3))/amatenddoCdo j=1,ncoord(l,j,1)=coord(l,j,1)-xcmenddodo j=1,ncoord(l,j,2)=coord(l,j,2)-ycmenddodo j=1,ncoord(l,j,3)=coord(l,j,3)-zcmenddoreturnstop

138 C.2. CONFORATEendC Compute the moments of inertiasubroutine mofi(l,n,am,coord,line,ee)implicit double precision(a-h,o-z)include ’data.h’dimension coord(nconfs,natoms,3)dimension am(nconfs,natoms),ee(nconfs,3)dimension t(3,3),ta(9),xx(3,natoms),dlx(3,3),e(3),f(3)C line:0 linealC :1 non-linearC build the 3*3 matrix of momenta of inertiado i=1,nxx(1,i)=coord(l,i,1)xx(2,i)=coord(l,i,2)xx(3,i)=coord(l,i,3)enddoC reinitio to 0.do i=1,3do j=1,3t(i,j)=0.enddoenddoCdo i=1,nt(1,1)=t(1,1)+am(l,i)*(xx(2,i)**2+xx(3,i)**2)t(2,2)=t(2,2)+am(l,i)*(xx(1,i)**2+xx(3,i)**2)t(3,3)=t(3,3)+am(l,i)*(xx(1,i)**2+xx(2,i)**2)t(1,2)=t(1,2)-am(l,i)*xx(1,i)*xx(2,i)t(1,3)=t(1,3)-am(l,i)*xx(1,i)*xx(3,i)t(2,3)=t(2,3)-am(1,i)*xx(2,i)*xx(3,i)enddoCDIS=0.02966D0C symmetric matrixt(2,1)=t(1,2)t(3,1)=t(1,3)t(3,2)=t(2,3)C Prebuilding the matrix to diagonalizek=0do i=1,3do j=1,ik=k+1ta(k)=t(i,j)enddoenddoC diagonalization of the moments of inertia matrixCALL HQRII(ta,3,3,e,dlx)do i=1,3C f(i)=e(i)*CDISCC amgstron**2(uma) --> bohr**2(uma): only f(i)C f(i)=e(i)*(1.88972652D0**2)C f(i)=f(i)*(1823.105455)C write(6,*) f(i)CC amgstron**2(uma) --> cm**2(gm): only f(i)e(i)=e(i)*(1.660538782D-40)

C. Programas 139pi=2.d0*asin(1.d0)C Rotational Constantse(i)=6.6260693d-27/(8*(pi)**2*2.99792458d10*e(i))C e(i)=e(i)*CDISC write(6,*) f(i)enddoC write(6,10) (29.9792458/(2.d0*f(i)),i=1,3) LONGOUPUTC tiner=e(1)*e(2)*e(3)C Lineal molecules: only takes the value neq to 0.if (line.eq.0) thendo i=1,3if (e(i).ne.0) ee(l,1)=e(i)enddoC Non-linear moleculeselsedo i=1,3ee(l,i)=e(i)enddoendifC write(6,*) ’Eigenvalues: ’,e(1),e(2),e(3)C write(6,20) e(1)*e(2)*e(3)10 format(1x,’Rotational constants (GHz) : ’,3(3x,f8.4))20 format(/,1x,’Product of the moments of inertia : ’,&1PE14.6,/)returnstopendC Compute the frequencies for the hessiansubroutine calcfc(ll,n,nat,amas,w,lin)implicit double precision (a-h,o-z)include ’data.h’dimension amas(nconfs,natoms),ffcc(3*natoms,3*natoms)dimension w(nconfs,nfreqs),e(nfreqs),a((3*natoms)**2)dimension dLx(3,natoms,nfreqs),sige(nfreqs),sigw(nfreqs)logical vltscommon/lts/ vltsC Input: C w : frequencies w(i,j) : i number of conformerCj number of the atomCC reinitialization of force constantsdo i=1,3*natdo j=1,3*natffcc(i,j)=0.0D+0enddoenddoread(5,*) ((ffcc(i,j),j=1,i),i=1,3*nat)C write(6,*) ((ffcc(i,j),j=1,i),i=1,3*nat)

140 C.2. CONFORATEC Full F matrixdo i=1,ndo j=1,iffcc(j,i)=ffcc(i,j)enddoenddoC copy copy copynumb=3*natl=0do i=1,numb/3do i2=1,3l=l+1k=0do j=1,numb/3do jj=1,3k=k+1ffcc(k,l)=ffcc(k,l)/(sqrt(amas(ll,i))*sqrt(amas(ll,j)))C write(6,*) l,i,j,ffcc(k,l),amas(ll,i),amas(ll,j)enddoenddoenddoenddoCwrite(6,*) ((ffcc(i,j),j=1,i),i=1,3*nat)k=0do i=1,numbdo j=1,ik=k+1a(k)=ffcc(i,j)*2240.75D0C write(6,*) a(k)enddoenddoC Diagonalize the FC matrixCALL HQRII(A,NUMB,NUMB,E,FFCC)C write(6,*) (e(i),i=1,3*nat)C write(6,*)C write(6,*)C 2 veces pitpi=6.283185307D0CONS=1.D3*2.0455D0/(2.99792458D0*TPI)do i=1,numbsige(i)=signo(e(i))e(i)=sqrt(abs(e(i)))*consenddoC do i=1,numbC write(6,*) e(i)C enddoC write(6,*)CC nat > 2 normal formatC nat = 2 extra formatif (nat.gt.2) ndumb=6if (nat.eq.2.or.lin.eq.0) ndumb=5Cif (vlts.eqv..true.) dtempor=e(1)do j=3*nat,ndumb+1,-1

C. Programas 141w(ll,j-ndumb)=e(j)sigw(j-ndumb)=sige(j)do i=1,natdLx(1,i,j-ndumb)=FFcc(3*i-2,j)dLx(2,i,j-ndumb)=FFcc(3*i-1,j)dLx(3,i,j-ndumb)=FFcc(3*i,j)enddoenddoCif (vlts.eqv..true.) thenC w(ll,ndumb+1)=-dtemporw(ll,1)=-dtemporendifC write(6,*) ’w’,(w(ll,j),j=1,9)CC l1=1C l2=3C33 do i=1,natC if(i.eq.1) thenCC write(6,5) l1,l2CC write(6,10) (sigw(j)*w(ll,j),j=l1,l2)CC write(6,*)C endifCC write(6,20) ((dLx(ic,i,j),ic=1,3),j=l1,l2)C enddoC l1=l2+1C l2=l2+3C if(l1.le.n) thenC if(l2.le.n) thenC goto 33C else if(l2.gt.n) thenC l2=nC goto 33C elseC continueC endifC endif5 format(//,1x,’w(’,i3,’) to w(’,i3,’):’,/)10 format(2x,3(10x,f8.1,5x))20 format(4x,3(2x,3(1x,f6.3)))C copy copy copyCreturnstopendC======================================================================SUBROUTINE HQRII(A,N,M,E,V)IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z)include ’data.h’REAL*8 A((3*natoms)**2), E(3*natoms), V(3*natoms,3*natoms)C REAL*8 A((300)**2), E(300), V(300,300)*************************************************************** HQRII IS A DIAGONALISATION ROUTINE, WRITTEN BY YOSHITAKA BEPPU OF

142 C.2. CONFORATE* NAGOYA UNIVERSITY, JAPAN.* FOR DETAILS SEE ’COMPUTERS & CHEMISTRY’ VOL.6 1982. PAGE 000.** ON INPUT A = MATRIX TO BE DIAGONALISED* N = SIZE OF MATRIX TO BE DIAGONALISED.* M = NUMBER OF EIGENVECTORS NEEDED.* E = ARRAY OF SIZE AT LEAST N* V = ARRAY OF SIZE AT LEAST NMAX*M** ON OUTPUT E = EIGENVALUES* V = EIGENVECTORS IN ARRAY OF SIZE NMAX*M***********************************************************************DIMENSION W(5,1200)IF(N.LE.1 .OR. M .LE.1 .OR. M .GT. N) THENIF(N.EQ.1 .AND. M.EQ.1) THENE(1)=A(1)V(1,1)=1.D0RETURNENDIFcWRITE(7,’(////10X,’’IN HQRII, N =’’,I4,’’ M =’’,I4)’)N,MSTOPENDIF** EPS3 AND EPS ARE MACHINE-PRECISION DEPENDENT*EPS3=1.D-25LL=(N*(N+1))/2+1EPS=1.D-15IORD=-1NM1=N-1IF(N.EQ.2) GOTO 80NM2=N-2CHOUSEHOLDER TRANSFORMATIONDO 70 K=1,NM2KP1=K+1W(2,K)=A((K*(K+1))/2)SUM=0.DO 10 J=KP1,NW(2,J)=A((J*(J-1))/2+K)10 SUM=W(2,J)**2+SUMS=SIGN(SQRT(SUM),W(2,KP1))W(1,K)=-SW(2,KP1)=W(2,KP1)+SA(K+(KP1*(KP1-1))/2)=W(2,KP1)H=W(2,KP1)*SIF(ABS(H).LT.1.D-35) GOTO 70C# IF(H.EQ.0.D0) GOTO 70SUMM=0.D0DO 50 I=KP1,NSUM=0.D0DO 20 J=KP1,I20 SUM=SUM+A(J+(I*(I-1))/2)*W(2,J)IF(I.GE.N) GOTO 40IP1=I+1

C. Programas 143CDO 30 J=IP1,N30 SUM=SUM+A(I+(J*(J-1))/2)*W(2,J)40 W(1,I)=SUM/H50 SUMM=W(1,I)*W(2,I)+SUMMU=SUMM*0.5D0/HDO 60 J=KP1,NW(1,J)=W(2,J)*U-W(1,J)DO 60 I=KP1,J60 A(I+(J*(J-1))/2)=W(1,I)*W(2,J)+W(1,J)*W(2,I)+A(I+(J*(J-1))/2)70 A((K*(K+1))/2)=H80 W(2,NM1)=A((NM1*(NM1+1))/2)W(2,N)=A((N*(N+1))/2)W(1,NM1)=A(NM1+(N*(N-1))/2)W(1,N)=0.D0GERSCH=ABS(W(2,1))+ABS(W(1,1))DO 90 I=1,NM190 GERSCH=MAX(ABS(W(2,I+1))+ABS(W(1,I))+ABS(W(1,I+1)),GERSCH)DEL=EPS*GERSCHDO 100 I=1,NW(3,I)=W(1,I)E(I)=W(2,I)100 V(I,M)=E(I)IF(DEL.EQ.ZERO) GOTO 210QR-METHOD WITH ORIGIN SHIFTK=N110 L=K120 IF(ABS(W(3,L-1)).LT.DEL) GOTO 130L=L-1IF(L.GT.1) GOTO 120130 IF(L.EQ.K) GOTO 160WW=(E(K-1)+E(K))*0.5D0R=E(K)-WWZ=SIGN(SQRT(W(3,K-1)**2+R*R),R)+WWEE=E(L)-ZE(L)=EEFF=W(3,L)R=SQRT(EE*EE+FF*FF)J=LGOTO 150140 R=SQRT(E(J)**2+W(3,J)**2)W(3,J-1)=S*REE=E(J)*CiFF=W(3,J)*Ci150 Ci=E(J)/RS=W(3,J)/RWW=E(J+1)-ZE(J)=(FF*Ci+WW*S)*S+EE+ZE(J+1)=Ci*WW-S*FFJ=J+1IF(J.LT.K) GOTO 140W(3,K-1)=E(K)*SE(K)=E(K)*Ci+ZGOTO 110160 K=K-1IF(K.GT.1) GOTO 110

144 C.2. CONFORATE* * * * * * * * * * * * *** AT THIS POINT THE ARRAY ’E’ CONTAINS THE UN-ORDERED EIGENVALUES** * * * * * * * * * * * *CSTRAIGHT SELECTION SORT OF EIGENVALUESSORTER=1.D0IF(IORD.LT.0) SORTER=-1.D0J=N170 L=1II=1LL=1DO 190 I=2,JIF((E(I)-E(L))*SORTER .GT. 0.D0) GOTO 180L=IGOTO 190180 II=ILL=L190 CONTINUEIF(II.EQ.LL) GOTO 200WW=E(LL)E(LL)=E(II)E(II)=WW200 J=II-1IF(J.GE.2) GOTO 170210 IF(M.EQ.0) RETURN**************** ORDERING OF EIGENVALUES COMPLETE.***************CCINVERSE-ITERATION FOR EIGENVECTORSFN=FLOAT(N)EPS1=1.D-5SEPS=SQRT(EPS)EPS2=0.05D0RN=0.D0RA=EPS*0.6180339887485D00.618... IS THE FIBONACCI NUMBER (-1+SQRT(5))/2.IG=1DO 430 I=1,MIM1=I-1DO 220 J=1,NW(3,J)=0.D0W(4,J)=W(1,J)W(5,J)=V(J,M)-E(I)RN=RN+RAIF(RN.GE.EPS) RN=RN-EPS220 V(J,I)=RNDO 250 J=1,NM1IF(ABS(W(5,J)).GE.ABS(W(1,J))) GOTO 230W(2,J)=-W(5,J)/W(1,J)W(5,J)=W(1,J)T=W(5,J+1)W(5,J+1)=W(4,J)W(4,J)=TW(3,J)=W(4,J+1)

C. Programas 145CCIF(W(3,J).EQ.ZERO) W(3,J)=DELW(4,J+1)=0.D0GOTO 240230 IF(W(5,J).EQ.ZERO) W(5,J)=DELW(2,J)=-W(1,J)/W(5,J)240 W(4,J+1)=W(3,J)*W(2,J)+W(4,J+1)250 W(5,J+1)=W(4,J)*W(2,J)+W(5,J+1)IF(ABS(W(5,N)) .LT. EPS3) W(5,N)=DELDO 310 ITERE=1,5IF(ITERE.EQ.1) GOTO 270DO 260 J=1,NM1IF(W(3,J).EQ.ZERO) GOTO 260T=V(J,I)V(J,I)=V(J+1,I)V(J+1,I)=T260 V(J+1,I)=V(J,I)*W(2,J)+V(J+1,I)270 V(N,I)=V(N,I)/W(5,N)V(NM1,I)=(V(NM1,I)-V(N,I)*W(4,NM1))/W(5,NM1)VN=MAX(ABS(V(N,I)),ABS(V(NM1,I)),1.D-20)IF(N.EQ.2) GOTO 290K=NM2280 V(K,I)=(V(K,I)-V(K+1,I)*W(4,K)-V(K+2,I)*W(3,K))/W(5,K)VN=MAX(ABS(V(K,I)),VN,1.D-20)K=K-1IF(K.GE.1) GOTO 280290 S=EPS1/VNDO 300 J=1,N300 V(J,I)=V(J,I)*SIF(ITERE.GT.1 .AND. VN.GT.1) GOTO 320310 CONTINUETRANSFORMATION OF EIGENVECTORS320 IF(N.EQ.2) GOTO 360DO 350 J=1,NM2K=N-J-1IF(A((K*(K+1))/2).EQ.ZERO) GOTO 350KP1=K+1SUM=0.D0DO 330 KK=KP1,N330 SUM=SUM+A(K+(KK*(KK-1))/2)*V(KK,I)S=-SUM/A((K*(K+1))/2)DO 340 KK=KP1,N340 V(KK,I)=A(K+(KK*(KK-1))/2)*S+V(KK,I)350 CONTINUE360 DO 370 J=IG,IIF(ABS(E(J)-E(I)) .LT. EPS2) GOTO 380370 CONTINUEJ=I380 IG=JIF(IG .EQ. I) GOTO 410RE-ORTHOGONALISATIONDO 400 K=IG,IM1SUM=0.D0DO 390 J=1,N390 SUM=V(J,K)*V(J,I)+SUMS=-SUM

146 C.2. CONFORATEDO 400 J=1,N400 V(J,I)=V(J,K)*S+V(J,I)C NORMALISATION410 SUM=1.D-24DO 420 J=1,N420 SUM=SUM+V(J,I)**2SINV=1.D0/SQRT(SUM)DO 430 J=1,N430 V(J,I)=V(J,I)*SINVRETURNENDfunction signo(x)implicit double precision (a-h,o-z)C Real signif(x.ge.0.) signo=1.if(x.lt.0.) signo=-1.returnendC.2.1.TitleCH3 + H2 --> CH4 + HEjemplo del fichero de entradaTítulo.Bimolecular A + B --> TS Reacción unimolecular o bimolecular..Number of reactants A Número de conformeros del reactivo A.1Number of atoms of A Número de átomos del reactivo A.4Number of reactants B Número de conformeros del reactivo B.1Number of atoms of B Número de átomos del reactivo B.2Number of TSs1Número de conformeros del estado de transiciónNumber of atoms of TSs Número de átomos en el estado de transición.6FrequenciesScale Factor1.0D0Factor de escalado de las frecuencias.VTST/MTElectronic Degeneracy Degeneración electrónicaREACT-A1 Number of states Número de estados

C. Programas 1472 0. Degeneracy Delta energy IN KCAL/MOL Energías de los estados.REACT-B11 0.TS12 0.Number of Temperatures Número de temperaturas.3Temperatures298.400.667.Temperaturas.REACT-A Tipo de punto estacionario.1-39.0770091 EnergíaC 0.000000 0.000000 0.000000 GeometríaH 0.000000 0.000000 1.080000H 0.951231 0.000000 -0.511429H -0.854865 -0.417189 -0.511429NON Geometría angular o lineal.6 Número de simetría.3826.22 3826.07 3551.70 1690.84 1690.41 593.34 Frecuencias en cm-1.REACT-B1-1.117505H 0.000000 0.000000 -0.001115H 0.000000 0.000000 0.711115LINEAL25481.31TS1-40.155521H 0.000000 0.000000 0.095704H 0.000000 0.000000 1.010623C 0.000000 0.000000 2.313407H 1.038225 0.000000 2.621355H -0.519112 0.899129 2.621355H -0.519112 -0.899129 2.621355NON33795.52 3795.52 3567.56 1810.30 1772.84 1772.84 1549.81 1549.811444.22 720.57 720.57 -2739.60298. 0.99 # Coeficientes variacionales.400. 0.99667. 0.99

148 C.2. CONFORATE298. 63.0843 # Coeficientes de efecto túnel.400. 18.3462667. 11.6881

AgradecimientosMe gustaría darle las gracias a mi director de tesis, el Dr. AntonioFernández Ramos por haberme dado la oportunidad de trabajar en su grupode investigación y por toda su inestimable ayuda, al igual que al resto demiembros del grupo, Saulo A. Vázquez Rodríguez y Emilio Martínez Núñez,con quienes siempre es grato compartir las misma inquietudes.También me gustaría darle las gracias a mis compañeros de laboratorioJuanjo Nogueira, Nicolás Ramos Berdullas y Marta Pombar Pérez por tantashoras de trabajo compartidas y por todos los buenos momentos vividos dentroy fuera del laboratorio, así como al Dr. Hosein Mousavipour de quien he recogidoel testigo en la investigación de la vitamina D 3 , y a los miembros de otrosgrupos del departamento de Química Física con los que he llegado a entablaruna gran amistad, en especial a Javier López Cacheiro, por su amable disposiciónante cualquier problema o duda y a Juan Pablo Senosiain y su mujer,Sonia, por los buenos momentos pasados.En especial, me gustaría extender mi agradecimiento a todos mis antiguoscompañeros y profesores de la Universidad de Oviedo, por todo lo que meenseñaron cuando comencé mi andadura en la química, y en general a todosaquellos profesores con los que siempre estaré en deuda. Desde aquí me gustaríarecordar al Profesor Lorenzo Pueyo Casaus quien supo como nadie despertaren mí esa pasión por la comprensión profunda de las cosas.También quiero expresar mi agradecimiento al Profesor D. G. Truhlar ytodos aquellos que han creado métodos y teorías en dinámica química, porquegracias a ellos este trabajo ha sido posible.Este trabajo no hubiese sido posible sin la financiación que he recibido dela Dirección Xeral de Investigación Desenvolvemento e Innovación (Proyecto2006/XA088), y sin la ayuda del CESGA, que nos ha permitido usar susordenadores.Desde aquí quiero brindar un reconocimiento especial a mis padres y a mishermanas por todo su apoyo, cariño y comprensión.Olu, dziȩkuje, że jesteś przy mnie.Mi más sincero agradecimiento para todos vosotros.149

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