Experiencia del estudio geoestadístico de composición química de ...

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⎡⎢x ⊕ y = ⎢⎢⎣∑jx1y1x yjj,...,i
vectorial euclidiano con dimensión D-1. En consecuencia, si denotamos como e 1,..., e D −1a una base ortonormal del símplex, toda composición x está determinada de formaúnica por su vector de coordenadasilr( x) = [ < x,e1 >a ,..., < x, e D- 1>a ],Esta transformación permite identificar cada elemento del símplex con su vector decoordenadas.La existencia de más de una transformación nos lleva a la situación de deber elegirentre una de ellas como paso previo a la aplicación de cualquier método estadísticomultivariante. Ciertamente, las tres transformaciones están relacionadas medianteexpresiones matriciales que permiten obtener cada una de ellas a partir de cualquierade las otras. En este trabajo no se reproducen estas relaciones matriciales por motivosde brevedad, para más detalles consúltese Aitchison (1986) y Egozcue et al (2003).Naturalmente, será también nuestra misión investigar si los resultados obtenidos de laaplicación del método estadístico multivariante se ven o no afectados por latransformación elegida.Tradicionalmente, en las aplicaciones que exigen simetría en el tratamiento de suscomponentes, como por ejemplo una clasificación no paramétrica, se utiliza latrasformación clr. Para la modelización de conjuntos de datos composicionales condistribuciones multivariantes, se ha venido utilizando mayoritariamente la trasformaciónalr. De esta forma se evita trabajar con distribuciones degeneradas. Si se desea utilizarla transformación clr en trabajos que incluyan el modelo normal, Barceló-Vidal et al.(1999) demuestran que para salvar la dificultad de matrices de covarianzasdegeneradas es suficiente con prescindir de una de las variables del conjunto de datosclr-transformados. Sin embargo, con cualquiera de las dos trasformaciones, se deberáanalizar si los resultados del método aplicado son invariantes por permutaciones de lascomponentes. Esta metodología ha permitido ampliar las familias de distribucionessobre el símplex. Destacamos el modelo normal logístico aditivo (Aitchison, 1986) o elmodelo normal asimétrico logístico aditivo (Mateu-Figueras et al, 1998). En laactualidad se están desarrollando (Mateu-Figueras and Pawlowsky-Glahn, 2004) ladefinición de modelos paramétricos basados en la transformación ilr. Usando estatransformación únicamente queda la dificultad de constatar que los resultados nodependen de la base ortonormal escogida. Paralelamente se está trabajando enmodelos definidos sin necesidad de recurrir a las transformaciones. En el trabajoMateu-Figueras and Pawlowsky-Glahn (2004) los autores introducen el modelo normalen el símplex a partir de la función de densidad de su vector de coordenadas.Aitchison (1992) concluye que la naturaleza de los datos composicionales imponeque cualquier distancia entre datos composicionales de cumplir los siguientesrequisitos: invariante por cambios de escala, invariante por perturbaciones, ysubcomposicionalmente dominante. Se puede definir una distancia adecuada mediantela expresión d , y) = d (clr( x),clr(y)),donde d eurepresenta la distancia euclidiana.a(x euD{ ∈ S : i 1 N}Si x = [ x ,..., x ]X =1= representa un conjunto de datosi i iD,....,composicionales, habitualmente la media aritmética X del conjunto de datos no esrepresentativa del centro del conjunto, y además no es una medida compatible con laoperación perturbación.11
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