Experiencia del estudio geoestadístico de composición química de ...

Supongamos que la matriz transformada Y tiene rango r. La dvs de la matriz Y sedefine como Y=ULV t que puede ser escrita en términos de sumatorio comoY =r∑i=1λ u vLos escalares λ i son los valores singulares en orden decreciente, (u i ) es el conjunto devectores propios por la izquierda y (v i ) es el conjunto de vectores propios por laderecha. En ambos conjuntos los vectores son ortonormales, es decir, a pares están enángulo recto y con longitud uno, y U y V son matrices que contienen, respectivamente,a estos vectores en sus columnas. Los vectores u i y v i se usaran para construir lascoordenadas de los datos en una dimensión reducida y así obtener representacionesgráficas. Con el uso de los s primeros sumandos del sumatorio se obtendrá unaaproximación de Y. Para obtener una medida de la calidad de esta aproximacióncalcularemos el cociente de la suma de los s primeros valores propios sobre la sumatotal de los valores propios, que es el invariante correspondiente a la traza de la matrizy nos informa de la variabilidad total del conjunto de datos.El biplot consiste en una representación bidimensional aproximada, es decirconsideramos s=2. Eckart and Young (1936) demuestran que la mejor aproximaciónbidimensional que minimiza la distancia euclidiana a la matriz Y es la matriz Ŷ definidaporYˆ= λ1u1v1+ λ2u2v2Usando esta descomposición, la aproximación bidimensional de Y sería:Y ˆ = f g + f g1El biplot se obtendría representando cada fila como el punto de coordenadas (f 1 ,f 2 ) ycada columna como el punto de coordenadas (g 1 ,g 2 ), éstas representadas comovectores.La dvs nos proporciona una descomposición que será la natural para el biplot, restandoúnicamente la elección a qué factor asignamos el valor propio. La asignación del valorpropio a los factores F nos lleva al llamado biplot de forma (f i =λ i u i y g i =v i ), que favorecela representación de los individuos, mientras que la asignación del valor propio a losfactores G nos lleva al llamado biplot de covarianza (f i =u i y g i =λ i v i ), que favorece larepresentación de las variables (Greenacre and Underhill, 1982).En el trabajo de Aitchison y Greenacre (2002) se desarrolla la aplicación de los biplotsa los datos composicionales y las transformaciones necesarias de la matriz original dedatos X de acuerdo con la naturaleza de los datos. Esto les lleva a ver la equivalenciadel biplot de logratios y el biplot de logratios entre componentes y su media geométrica,resultado de la transformación logratio centrada clr. Éste último es de menor dimensióny, por lo tanto, es el que se usa habitualmente, llamándolo biplot de variación relativa obiplot composicional, puesto que los vectores que emanan del centro son larepresentación relativa de una componente en relación al centro geométrico, es decir,en relación al conjunto de las componentes y no la representación de la componente.Esta es una de las diferencias esenciales con los biplots habituales que se deberátener en cuenta en el momento de la interpretación.Para el análisis de los biplots será de especial importancia el concepto de luz o linkentre dos vértices de dos vectores en el biplot, dimensión entre ellos, que correspondea la combinación lineal de las variables correspondientes. Para profundizar en el1ii2i214