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Dinámica de los Polinomios Cuadráticos 5Resolviendo obtenemos que: a = a 2 , b = a 12 , y c = a 0a 2 + a 12 − a 12.2Esta proposición nos muestra que el estudio dinámico de los polinomios cuadráticoslo podemos reducir a los polinomios de la forma P c , con la ventaja que estos últimosestán parametrizados por el campo C. Por ello, encontrar los puntos fijos de P sereduce a encontrar los puntos fijos de P c , es decir, las raíces del polinomio z 2 − z + c.Resolviendo se obtiene que los puntos fijos de P c sonz 1,2 = 1 ± √ 1 − 4c,2los cuales son dos, salvo el caso c = 1 4 , donde P c tiene a 1 2como único punto fijo.Definición 2.3. Sea z un punto periódico de P de periodo k con multiplicador λ =DP k (z); donde DP k (z) denota la derivada compleja de P k en z.1. z es atractor si | λ |< 1, si λ = 0 diremos que z es super-atractor,2. z es repulsor si | λ |> 1, y3. z es indiferente si | λ |= 1.Observemos que si {z 1 , z 2 , . . . , z k } es una órbita periódica de P , usando la regla de lacadena, se puede mostrar que la derivada DP k (z j ) no depende de la j; en consecuenciala definición anterior tiene sentido para órbitas periódicas.Ejemplo 2.1. El punto fijo z = 1 − √ 1 − 4c2de P c es:1. atractor si c ∈ ( −34 , 1 ) \ {0} y super-atractor cuando c = 0,42. indiferente si c = 1 4 o c = −34 y3. repulsor si c < −34 o c > 1 4 .Para mostrar la importancia que tiene esta clasificación de los puntos periódicosenunciaremos sin demostración algunos teoremas que pueden ser revisados en [1, 2].2.1 Atractores y RepulsoresTeorema 2.1 (Koenings-1884) Sea f una función con un punto fijo en z 0 y cuyo multiplicadores λ. Si 0 < |λ| < 1 o |λ| > 1 entonces existen U, V vecindades de z 0 yde 0 respectivamente y un biholomorfismo ϕ : U → V que conjuga analiticamentela función f a la función g(z) = λz. Además, esta conjugación es única, módulo lamultiplicación por un escalar real.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 3–15

Dinámica de los Polinomios Cuadráticos 7Proposición 2.2. Sea t ∈ R \ Q, tal que t = [a 0 , a 1 , a 2 , . . . ]. t es de tipo acotado si ysólo si t es diofantino de exponente dos.Este resultado nos dice que los números reales peor aproximados por racionales sonlos de tipo acotado. En particular, la razón áurea t = [1, 1, 1, 1, . . .] = 1 + √ 5es un2número de tipo acotado y de hecho, todos los números algebraicos son de este tipo ycasi todo número real es diofantino [10].Teorema 2.3 (Siegel-1942) Sea f una función analítica en z 0 tal que f(z 0 ) = z 0 y λ =f ′ (z 0 ) = e 2πiθ . Si θ es diofantino entonces f es linearizable en z 0 .Al dominio maximal de linearización ∆ de f se le llama disco de Siegel y a θ se lellama número de rotación de f en ∆.A partir de este teorema, se tiene la siguiente clasificación de los puntos indiferentesen términos de θ.Definición 2.6. Sea f una función analítica en z 0 tal que z 0 es un punto fijo de fcon multiplicador λ = e 2πiθ . z 0 es :1. Parabólico si θ es racional.2. Siegel si f es linearizable en una vecindad de z 0.3. Kremer si θ es irracional y f no es linearizable en z 0.Teorema 2.4 (Brjuno-1965) Sea f una función analítica en z 0 tal que z 0 es un punto fijode f con multiplicador λ = e 2πiθ . Si pnq n. . . denota la n-ésima aproximación a θ yentonces f es linearizable en z 0 .∞∑n=1log q n+1q n< ∞,Yoccoz demostró en 1998 que para la familia de polinomios cuadráticos, la condiciónde Brjuno es necesaria para tener linearización [22, 3], pero en general no se tieneuna condición necesaria.3. Conjuntos de Julia y conjuntos de FatouPara definir el conjunto de Julia y de Fatou de un polinomio es importante observarque si P es un polinomio de grado d entonces el infinito es un punto fijo super-atractory además por el teorema de Böttcher existe una vecindad U del infinito donde P esanalíticamente conjugado a la función z d . En consecuencia, la órbita de todos lospuntos z ∈ U converge al infinito.Definimos el dominio de atracción del infinitoA P (∞) = {z ∈ C : límn→∞ P n (z) = ∞ },Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 3–15

8 Gamaliel Blé Gonzálezel conjunto de Julia lleno de PK P = {z ∈ C : la órbita O P (z)es acotada }el conjunto de Julia J P de P es la frontera de K P y el conjunto de Fatou F P es launión de A P (∞) y el interior de K P .Como el conjunto A P (∞) es abierto, el conjunto F P resulta ser abierto. Por otro parte,el conjunto K P es compacto y directamente del principio del máximo obtenemosque las componentes del interior de K P son simplemente conexas. Además, para elcaso cuando P es un polinomio se tienen los siguientes resultados de P. Fatou y G.Julia, los cuales pueden ser consultados en [2, 1]).Figura 1. Conjuntos de Julia lleno K c para: a) c=0, b) c=-2, c) c=-1 y d) c=-0.36+0.62iPropiedades:1. El conjunto J P es compacto, perfecto y diferente del vacio.2. Los conjuntos J P y F P son completamente invariantes, es decir, P −1 (J P ) = P (J P ) = J Py de igual manera para F P .3. Si f denota la k−ésima iterada de P para alguna k ∈ N, es decir f = P k , entoncesJ P = J f y F P = F f .4. Si z ∈ J P entonces el conjunto ∪ ∞ n=1P −n (z) es denso en J P .5. Sea z un punto periódico de periodo k de P .a) Si z es atractor entonces z ∈ F PRevista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 3–15

Dinámica de los Polinomios Cuadráticos 9b) Si z es repulsor entonces z ∈ J P6. Los puntos periódicos repulsores de P son un conjunto denso en J P .7. El conjunto K P es conexo si y sólo si la órbita de cada punto crítico de P es acotada.Teorema 3.1 (Sullivan-1985) Sea P un polinomio y U una componente de F P . Entoncesexiste l ≥ 0 tal que P l (U) es periódica, es decir, P l+k (U) = P l (U), para alguna k.Definición 3.1. El dominio de atracción A P (w) de un punto fijo atractor w es elconjuntoA P (w) = {z ∈ C : lím n = w}n→∞En el caso que ζ = {z 1 , z 2 , . . . , z k } es una órbita atractora de periodo k, entonces z jes un punto fijo de P k para cada j = 1, ..., k y el dominio de atracción de ζ es launión de los dominios de atracción A P k(z j ) de cada z j con respecto a P k , es decir,A P (ζ) = ∪ k j=1A P k(z j ).El dominio inmediato de atracción del ciclo ζ denotado por A ∗ (ζ) es la unión de lask componentes de A P (ζ) que contienen al ciclo.Teorema 3.2. Si z 0 es un punto periódico atractor de P , entonces el dominio inmediatode atraccción A ∗ (z 0 ) contiene al menos un punto crítico.4. Familia cuadráticaEn esta sección vamos a presentar algunos de los resultados más importantes obtenidosen las últimas décadas para la familia cuadrática.Denotemos por K c = K Pc y J c = J Pc , directamente de las propiedades enunciadas enla sección anterior tenemos:Corolario 4.1. El conjunto J c es conexo, si sólo si, la órbita del cero es acotada.Corolario 4.2. El conjunto J c es un conjunto de Cantor, si y sólo si, la órbita decero converge a infinito, es decir, 0 ∈ A c (∞).Definimos el conjunto de Mandelbrot M como,M = {c ∈ C : J c es conexo} = {c ∈ C : la órbita O c (0) es acotada }Observemos que si c = 0 entonces J c es la circunferencia unitaria centrada en ceroy por lo tanto es conexo. De aqui tenemos que M es diferente del vacio, pero nosgustaría tener más propiedades de M y mostrar la relación de este conjunto con ladinámica de P c .Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 3–15

10 Gamaliel Blé GonzálezFigura 2. Conjunto de MandelbrotProposición 4.1. Sea R = max{2, | c |}. Si | z |> R entonceslím P n (z) = ∞n→∞Demostración Sea z 0 ∈ C tal que |z 0 | > R. Para mostrar que la sucesión {z n }converge a infinito, basta con mostrar que la sucesión |z n | es estrictamente creciente.Veamos en primer lugar que |P (z 0 )| > |z 0 |, es decir, que∣ p(z 0 ) ∣∣∣∣ > 1z 0∣p(z 0 )z 0∣ ∣∣∣=∣z 2 0 + cz 0∣ ∣ ∣∣∣ ≥ |z 0 | −c ∣∣∣∣ > |z 0 | − 1 > 1z 0De aqui tenemos por inducción sobre n que |z n+1 | > |z n | y en consecuencia el resultado.Observación 4.1. Si | c |> 2 entonceslím P c n (0) = ∞n→∞Porque cero es enviado en c y |P c (c)| = |c 2 +c| > |c|, por el resultado anterior la órbitade c 2 + c converge a infinito, en consecuencia la órbita de cero también converge ainfinito.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 3–15

Dinámica de los Polinomios Cuadráticos 11Corolario 4.3. El conjunto M está contenido en el discoD 2 (0) = {c ∈ C : | c | 2}.Además, Douady y Hubbard demostraron en 1982 el siguiente resultado [6],Teorema 4.1 (Douady-Hubbard) El conjunto M es conexo, compacto y lleno. Donde llenosignifica que Ĉ \ M es simplemente conexo.y ese mismo año postularon la siguiente conjetura, la cual permanece sin resolver.Conjeture (MLC) El conjunto M es localmente conexoPara darnos una idea de la complejidad de la frontera de M, Shishikura mostró en1992 que la dimensión de Hausdorff de ésta es dos [18]. Sin embargo, este resultadono descartó la posibilidad de MLC y para entender una de las implicaciones de estaconjetura introduciremos el concepto de hiperbolicidad.Definición 4.1. Un polinomio P es hiperbólico siO P (Ω P ) ⋂ J P = ∅,donde Ω P denota el conjunto de puntos críticos de P .En el caso que c /∈ M la órbita del punto crítico se va a infinito y por lo tanto P ces hiperbólico, pero que podemos decir de los parámetros que están en M. Por elteorema 3.2 tenemos que los polinomios P c tienen a lo más una órbita atractora yademás, el polinomio P c tiene una órbita atractora si y sólo si P c es hiperbólico.Denotemos porH(M) = {c ∈ M : P c es hiperbólico }= {c ∈ M : P c tiene una órbita atractora }Por el teorema de la función implícita tenemos que el conjunto H(M) es abierto yla conjetura de Fatou sobre la densidad de las componentes hiperbólicas se puedetraducir para el caso de la familia cuadrática en la siguiente conjetura:Conjeture (H) Int(M) = H(M)Douady y Hubbard en [6] demostraron que la conjetura MLC implica la conjeturaH y esto hizo que muchos de los trabajos en sistemas dinámicos complejos, de lasúltimas dos décadas, se orientarán en la búsqueda de una solución para la conjeturaMLC.5. componentes hiperbólicasEn esta sección nos detendremos a estudiar las componentes hiperbólicas con el finde mostrar los avances en la demostración de MLC.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 3–15

12 Gamaliel Blé GonzálezEn primer lugar notemos que en los puntos del interior de M, se tiene conexidad localy por lo tanto los puntos importantes son los que se encuentran en la frontera de M.Denotemos por W 0 a la componente principal de M, definida como,W 0 = {c ∈ M : P c tiene un punto fijo atractor }Para identificar el conjunto W 0 , recordemos que P c tiene dos puntos fijos, los cualesdenotaremos por α c y β c ; ellos satisfacen,z 2 − z + c = (z − α c )(z − β c )= z 2 − (α c + β c )z + α c β c .Así α c + β c = 1 y α c β c = c. Como P ′ c(z) = 2z tenemos que,|P ′ c(α c )| + |P ′ (β c )| = 2α c + 2β c = 2(α c + β c ) = 2.Esta desigualdad nos muestra nuevamente que solamente uno de los puntos α c o β ces atractor. Digamos que α c es dicho punto, entoncescomo α c es punto fijo de P c tenemos que|P ′ (α c )| = 2|α c | < 1 ⇔ |α c | < 1/2,α 2 c + c = α c ⇒ c = α c − α 2 c . (1)Así el conjunto de parámetros c para los cuales P c tiene un punto fijo atractor es laimagen del disco {α c : |α c | < 1/2} bajo la función z ↦→ z−z 2 . Esta función la podemosver como la composición f ◦ g ◦ h, donde h(z) = z−1/2, g(z) = z 2 y f(z) = 1/4 − z, yel conjunto de parámetros c para los cuales se tiene un punto fijo atractor, resulta serel interior de la cardioide mostrada en la figura 3. De aquí podemos observar que laFigura 3. Imagen de S 1 bajo f ◦ g ◦ h, donde h(z) = z − 1/2, g(z) = z 2 y f(z) = 1/4 − z.función ρ W0 : W 0 → D que a c lo envia en DP c (α c ) es un bi-holomorfismo y de hechoRevista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 3–15

Dinámica de los Polinomios Cuadráticos 13Douady y Hubbard mostraron que si un valor de c ∈ Int(M) es hiperbólico, es decir,P c tiene una órbita periódica atractora de periodo k, entonces toda la componenteW ⊂ Int(M) es hiperbólica, para todo c 1 ∈ W , P c1 tiene una órbita periódicaatractora {z 1 , ..., z k } y la función ρ W : W → D que a c 1 lo envia en DPc k 1(z k ) resultaser un bi-holomorfismo que puede extenderse continuamente a la frontera [4]. Laextensión de este isomorfismo ρ W a la frontera nos proporciona una parametrizaciónde la frontera de W ; en el caso de W 0 podemos parametrizar la cardioide por lafunciónγ W0 (t) = e2πit2( ) e2πit 2− , t ∈ [0, 1].2En este caso decimos que el parámetro c = ρ −1W (e2πit ) tiene argumento interno t.En 1992, Yoccoz demostró MLC para todos los parámetros que se encuentran en lafrontera de una componente hiperbólica de M [9].6. Rayos externosEl polinomio P c tiene un punto fijo super-atractor en el infinito y por el teorema deBöttcher existe una vecindad U del infinito donde el polinomio P c es analíticamenteconjugado a la función z 2 . Denotemos por φ c al bi-holomorfismo que realiza la conjugación,deja fijo al infinito y es tangente a la identidad en el infinito. Si U es elconjunto maximal donde φ c conjuga a z 2 entonces tenemos dos casos:1. Cuando c ∈ M, U = Ĉ \ Kc y2. cuando c /∈ M entonces U es una vecindad del infinito que contiene al valor crítico c.A partir del bi-holomorfismo φ c se puede definir la funciónΦ M : Ĉ \ M → Ĉ \ Dc ↦→ φ c (c)Douady y Hubbard demostraron que esta función es un bi-holomorfismo y por elteorema de Carathéodory (veáse [15]), el bi-holomorfismo Φ M , (o φ c ) se extiendecontinuamente a la frontera de M (a J c ) si sólo si, la frontera de M, (J c ) es localmenteconexo. De aquí obtenemos que la conjetura MLC sería cierta si se demuestra queΦ M se extiende continuamente a la frontera de M.Para entender el comportamiento de Φ M en la frontera vamos a definir los rayosexternos a M y a J c .Si θ ∈ T = R/Z, entonces el rayo externo a M de ángulo θ es el conjuntoR M (θ) = Φ −1M ({z ∈ C : z = re2πiθ , 1 < r < ∞ }).Si el lím r→1 R M (θ) = c, se dice que el rayo de ángulo θ aterriza en c y que c tiene aθ como argumento externo . Esta definición, también es válida para los conjuntos deJulia conexos, si sustituimos a Φ M por φ cTeorema 6.1. (Douady-Hubbard-1982) Sea c un parámetro en la frontera de unacomponente hiperbólica W y con ángulo interno t ∈ T.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 3–15

14 Gamaliel Blé González1. Si t es racional y c ≠ 1/4 entonces c tiene dos argumentos externos, es decir, haydos ángulos θ 1, θ 2 tales que los rayos externos R M (θ i) aterrizan en c, para i = 1, 2.Además, los rayos R c(θ i) aterrizan en la raíz de la componente del interior de K c quecontiene a c y son adyacentes a ésta.2. Si t es irracional entonces existe un único ángulo θ tal que R M (θ) aterriza en c.Douady y Hubbard demostraron también que todos los rayos externos de ánguloracional θ aterrizan a la frontera de M y de hecho ellos mostraron que si θ es periódicobajo la función 2t entonces R M (θ) aterriza en un parámetro c parabólico (P c tiene unaórbita parabólica) y en caso contrario R M (θ) aterriza en un parámetro de Misiurewiczc, (el punto crítico de P c es pre-periódico).Además de los parámetros considerados por Douady-Hubbard, Yoccoz demostró en[9] que se tiene conexidad local en todos los parámetros finitamente renormalizables(veáse [15] para la definición) y en estos últimos años se han destacado los trabajos deLyubich [12, 13] quien ha establecido condiciones que garantizan la conexidad localen parámetros infinitamente renormalizables.7. Conexidad local de los conjuntos de JuliaEn la búsqueda de una demostración de la conjetura MLC, se ha demostrado la conexidadlocal de los conjuntos de Julia J c , para casi todo c ∈ C. Douady-Hubbarddemostraron la conexidad local de los conjuntos de Julia de polinomios hiperbólicos,de polinomios con una órbita parabólica o con el punto crítico pre-periódico (de Misiurewicz)[6]. Además, Douady mostró los primeros ejemplos de conjuntos de Juliaque no son localmente conexo: Los Julias de polinomios cuadráticos con un punto deKremer o con un disco de Siegel ∆ para el cual el punto crítico no está en la fronterade ∆ [5, 8]. En lo que concerne a polinomios cuadráticos con disco de Siegel, en 1994Petersen mostró que si el número de rotación es de tipo acotado entonces el conjuntode Julia es localmente conexo y de medida de Lebesgue cero [16]. En el 2004, Peterseny Zakeri generalizaron este resultado para aquellos polinomios cuadráticos con discosde Siegel, cuyo números de rotación θ = [a 1 , a 2 , ...] satisface que la sucesión {log(a n )}crece del orden √ n, [17]. En 1998 Levi y Van Strien demostraron la conexidad localpara todos los parámetros reales en M [14]. Sin embargo, aún existen parámetros cen la frontera de M donde se desconoce la conexidad local de J c y la conexidad localde M en c.Por otro lado, en 1992, Shishikura demostró que existe un conjunto residual deparámetros c en la frontera de M para los cuales J c tiene dimensión de Hausdorffdos, pero hasta la fecha no se ha podido dar explícitamente uno de estos parámetros[18, 19]. Además, se conjetura la existencia de parámetros c en la familia cuadráticapara los cuales el conjunto J c tiene medida cero.Estas notas son una breve introducción a la familia cuadrática y una invitación aestudiar los retos que existen en sistemas dinámicos.Referencias[1] L. Carleson et T.W. Gamelin, Complex Dynamics, Springer-Verlag, 1993.[2] A.F. Beardon, Iteration of rational functions, Springer-Verlag, 1991.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 3–15

Dinámica de los Polinomios Cuadráticos 15[3] A.D. Brjuno, Convergence of transformations of differential equations to normal forms,Dokl. Akad. Nauk USSR 165, (1965), 987-989.[4] A. Douady, Systèmes Dynamiques Holomorphes, Séminaire Bourbaki, 35é année # 599,Astérisque 105-106 (1982), 39-63.[5] A. Douady, Disques de Siegel et anneaux de Herman, Séminaire Bourbaki, 1986-87,Presentación No.677, Astérisque 152-153, (1987), 151-172.[6] A. Douady, J.H. Hubbard, Étude dynamique des polynômes complexes I et II,Pub.Math. d’Orsay 84-02 et 85-02, (1984-85).[7] P. Fatou, Mémoire sur les équations fonctionnelles Bull.S.M.F 47 (1919), 161-271: 48(1920), 33-94 et 208-314.[8] M. Herman, Are there critical points on the boundaries of a Siegel disk? , Comm.Math. Phys. 99, (1985), 593-612.[9] J.H. Hubbard, Local connectivity of Julia sets and bifurcation loci:three theorems of J.-C. Yoccoz, In ”Topological Methods in Modern Mathematics. A Symposium in Honorof John Milnor’s 60 th. Birthday”, Publish or Perish, 1993, 467-511.[10] G.H. Hardy y E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford UniversityPress, 1979.[11] P. Fatou, Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles J. Math.Pures Appl. (7a.serie) 4 (1918), 47-245.[12] M. Lyubich, Dynamics of quadratic polynomials. I-II Acta Math 178, (1997), 185-297.[13] M. Lyubich, Feigenbaum-Coullet-Tresser universality and Milnor’s Hairness conjecture,Ann. of Math. 149, (1999), 319-420.[14] G. Levin et S.van Strien, Local connectivity of the Julia Set on Real Polynomials, Ann.of Math 147, (1998), 471-541.[15] C.T. McMullen, Complex Dynamics and Renormalization, Princenton University Press,1994.[16] C.L. Petersen, Local connectivity of some Julia sets containing a circle with an irrationalrotation, Act. Math. 177, (1996), 163-224.[17] C.L. Petersen y S. Zakeri, On the Julia set of a typical quadratic polynomial with aSiegel disk,[18] M. Shishikura, The boundary of the Mandelbrot set has Hausdorff dimension two. Complexanalytic methods in dynamical systems (Rio de Janeiro, 1992). Astrisque No. 222(1994), 7, 389-405.[19] M. Shishikura, The Hausdorff dimension of the boundary of the Mandelbrot set andJulia sets, Ann. of Math. 147, (1998), 225-267.[20] C.L. Siegel, Iteration of Analytic functions, Annals of Maths., 43, 1942, 607-612.[21] D. Sullivan, Quasiconformal homeomorphisms and dynamics I, solution of the Fatou-Julia problem on the wandering domains, Ann. of Math. 122, (1985), 401-418.[22] J.-C. Yoccoz, Linéarisation des germes de difféomorphismes holomorphes de (C,0),C.R. Acad. Sci. Paris, 306, 1988, 55-58.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 3–15

Geometría de curvas algebraicasClaudia Reynoso *Universidad de Guanajuato, Facultad de Matemáticas,Callejón Jalisco s/n, A.P. 402, C.P. 36000,Guanajuato, Gto. MéxicoEstas notas tienen como objetivo principal enunciar los teoremas y conceptos fundamentalesusados en geometría algebraica para iniciar el estudio de las variedadesalgebraicas afines, en particular estudiamos las curvas planas afines, que son variedadesalgebraicas de dimensión uno en el espacio afín de dimensión dos. Finalizamos elestudio de las curvas lanas afines analizando sus puntos singulares, rectas tangentes yel índice de intersección de dos curvas planas en un punto.In these notes we will collect the definitions and important results of algebraic geometryrequired for beginning the study of algebraic affine varieties, in particular, thestudy of algebraic plane curves, which are algebraic affine varieties of dimension onein the affine space of dimension two. Finally we define the singular points and thetangent lines in the plane curves and also we study the intersection number of twocurves at a point.Palabras clave: Variedad alegbraica afín, curva plana afín, índice de intersección.Keywords: Algebraic affine variety, affine plane curve, intersection index.1. IntroducciónUn conjunto algebraico afín es un conjunto geométrico que vive en un espacioal que llamaremos espacio afín y que está definido por los ceros de un conjunto depolinomios. Nosotros nos enfocaremos al estudio de las curvas planas afines, que sonconjuntos algebraicos que viven en el plano afín y definidas por los ceros de un sólopolinomio no constante.El objeto de estudio de la geometría algebraica son las variedades algebraicas(conjuntos algebraicos irreducibles), y la herramienta fundamental que utiliza paraestudiar los fenómenos geométricos que se presentan en sus objetos es el álgebra, esdecir, todos estos fenómenos tienen una traducción algebraica que nos ayuda a entenderlos.Estas notas son una introducción al estudio de propiedades locales de curvas planas,daremos primero las definiciones y teoremas importantes para, en la última parte,estudiar estas propiedades.La primera sección es un recordatorio de las definiciones y teoremas provenientesdel álgebra que utilizaremos a lo largo del curso. En el segunda sección damos lasdefiniciones de n-espacio afín y de conjunto algebraico, daremos una serie de propiedadesque satisfacen los conjuntos algebraicos para, finalmente, definir la topología* claudia@cimat.mxRevista de Ciencias Básicas UJAT, volumen 4 número 1 (Noviembre 2005) p 16–33

18 Claudia Reynoso2. Notación y DefinicionesDefinición 1. Un anillo conmutativo con 1 es un conjunto R provisto de dosoperaciones binarias, adición y multiplicación,R × R → R+ : (r, r ′ ) ↦→ r + r ′· : (r, r ′ ) ↦→ r · r ′ = rr ′ ,respectivamente, tal que1. R es un grupo abeliano bajo la adición con elemento identidad 0,2. la multiplicación es conmutativa y asociativa,3. existe un elemento 1 ∈ R tal que 1r = r para todo r ∈ R,4. se satisface la propiedad distributiva: r(s + t) = rs + rt para todo r, s, t ∈ R.A lo largo de estas notas vamos a suponer que el anillo R es conmutativo y con 1.Definición 2. Un anillo R es un dominio entero si no hay divisores de 0, es decir,si dados a, b ∈ R, a ≠ 0, b ≠ 0, entonces ab ≠ 0.Definición 3. Un ideal de un anillo R es un subconjunto que contiene a 0 tal que:1. Si a, b ∈ I entonces a − b ∈ I;2. si a ∈ I y r ∈ R entonces ra ∈ I.Definición 4. El ideal I es primo si I R y ab ∈ I implica que a ∈ I o b ∈ I.Definición 5. El ideal I es maximal si para todo ideal J tal que I ⊂ J R entoncesJ = I.Definición 6. El ideal I es finitamente generado si existen a 1 , ..., a n ∈ R talesquen∑I =< a 1 , ..., a n >:= { r i a i : r i ∈ R}.Definición 7. Un elemento a en un anillo R es irreducible si para cualquier factorizacióna = bc, b, c ∈ R entonces b o c son unidades en R, es decir, tienen inversomultiplicativo. Un dominio R es un Dominio de Factorización Única (DFU) sitodo elemento no cero en R puede ser factorizado de manera única, salvo unidades.i=1Definición 8. Un ideal se llama principal si esta generado por un elemento. Undominio es un Dominio de Ideales Principales (DIP) si todo ideal es principal.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33

Geometría de curvas algebraicas 19Definición 9. Si R y S son anillos entonces la función φ : R → S es un homomorfismode anillos si para todo r 1 , r 2 ∈ R se tiene:φ(r 1 + r 2 ) = φ(r 1 ) + φ(r 2 )φ(r 1 r 2 ) = φ(r 1 )φ(r 2 )φ(1 R ) = 1 S .Si un homomorfismo es uno a uno y sobre entonces se llama isomorfismo. Dos anillosse dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos.Definición 10. Sea R un anillo y sea I un ideal de R. Definimos el anillo cocientede R módulo I, R/I como el conjunto de clases de la siguiente relación deequivalencia en R:r 1 ∼ r 2 si y sólo si r 1 − r 2 ∈ I.La clase de un elemento r ∈ R se denotará por r + I.Teorema 1. Bajo las operacionesR/I × R/I → R/I+ : (r 1 + I, r 2 + I) ↦→ r 1 + r 2 + I· : (r 1 + I, r 2 + I) ↦→ r 1 r 2 + Iel anillo cociente de R módulo I, R/I forma un anillo con elemento identidad parala adición I.Definición 11. Sean R y S anillos y φ : R → S un homormofismo. Definimos elkernel de φ como el conjunto Ker φ = {r ∈ R : φ(r) = 0} y la imagen de φ comoel conjunto Im φ = {φ(r) : r ∈ R}.Observación: Se verifica facilmente que Ker φ es un ideal de R y que Im φ es unsubanillo de S.Teorema 2. (Teorema Fundamental de Homormofismos de Anillos) Sea R y S anillosy sea φ : R → S un homomorfismo de anillos, entonces la aplicaciónR/Ker φ → Im φr + Ker φ ↦→ φ(r)es un isomorfismo de anillos.Definición 12. Un anillo K es un campo si K − {0} es un grupo bajo la multiplicación,con elemento identidad 1. Es decir, para todo a ∈ K −{0}, existe a −1 ∈ K −{0}tal que aa −1 = 1.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33

20 Claudia ReynosoRecordar que el anillo de polinomios con coeficientes en un anillo R en una variablees el conjuntom∑R[x] = { a i x i : a i ∈ R, m ∈ N}.i=0Y la estructura de anillo la dan las operaciones∑m 1∑m 2a i x i + b i x i =max(m 1,m 2)∑i=0 i=0i=0∑m 1∑m∑1+m 2m 2a i x i b i x i =i=0 i=0i=0 j=0((a i + b i )x ii∑a j b i−j )x i .El anillo de polinomios con coeficientes en un campo K en n variables es el conjuntom∑K[x 1 , ..., x n ] = { F i x i 1 : F i ∈ K[x 2 , ..., x n ]}.i=03. Espacio Afín y Conjuntos AlgebraicosSea K un campo. El n-espacio afín sobre K como conjunto es simplemente elproducto cartesiano n veces de K, es decir,A n (K) := K × ... × K,} {{ }n vecesdaremos a este espacio estructura de espacio topológico mediante la topología de Zariskique definiremos en esta sección. Si n = 2 entonces A 2 se llama plano afín.Nota: Cuando no haya lugar a confusión vamos a omitir el K en la notación deln-espacio afín.Sea F ∈ K[x 1 , ..., x n ], denotamos por V (F ) el conjunto de ceros de F , es decirV (F ) = {(a 1 , ..., a n ) ∈ A n : F (a 1 , .., a n ) = 0}. Si F es un polinomio no constanteentonces V (F ) se llama hipersuperficie definida por F . Una hipersuperficie enA 2 se dice curva plana afín.En general, si S es un subconjunto de K[x 1 , ..., x n ], entonces definimos el conjuntode ceros de S como el conjunto V (S) = {p ∈ A n : F (p) = 0 ∀F ∈ S}. Unconjunto X ⊂ A n es un conjunto algebraico si X = V (S) para algún subconjuntoS ∈ K[x 1 , ..., x n ]. Las siguientes propiedades se pueden verificar facilmente:1. V (S) = ∩ F ∈SV (F )2. Si I es el ideal en K[x 1, ..., x n] generado por S, entonces V (S) = V (I), así que todoconjunto algebraico es de la forma V (I) para algún ideal I de K[x 1, ..., x n].Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33

Geometría de curvas algebraicas 23Prueba. Ver demostración en [1] página 27.Corolario 1. Todo conjunto algebraico en A n está definido por un conjunto finito depolinomios.Prueba. Consideremos el conjunto algebraico V (I) para algún ideal I ⊂ K[x 1 , ..., x n ].Como el campo K es Noetheriano (pues sus únicos ideales son (0) y K = (1)) entoncesK[x 1 , ..., x n ] es Noetheriano así que I = (F 1 , ..., F r ), entonces V (I) = V (F 1 , ..., F r ).Corolario 2. Todo conjunto algebraico en A n es la intersección de un número finitode hipersuperficies.Prueba. Para todo conjunto algebraico V ⊂ A n , existen polinomios F 1 , ..., F r ∈K[x 1 , ..., x n ] tales que V = V (F 1 , ..., F r ), así que V = V (F 1 ) ∩ ... ∩ V (F r ) por lapropiedad 1 de la sección 3.6. Componentes irreducibles de un conjunto algebraicoLos entes básicos que se estudian en geometría algebraica son los conjuntos algebraicosirreducibles; irreducibles en el sentido que definiremos a continuación.Un conjunto algebraico V ∈ A n es reducible si V = V 1 ∪ V 2 , donde V 1 , V 2 sonconjuntos algebraicos en A n y V i ≠ V , i = 1, 2. En caso contrario se dice que V esirreducible.Proposición 2. Un conjunto algebraico V es irreducible si y sólo si I(V ) es un idealprimo.Prueba. Si I(V ) = {F ∈ K[x 1 , ..., x n ] : F (p) = 0 ∀ p ∈ V } no es primo entoncesexiste F 1 , F 2 ∈ K[x 1 , ..., x n ] − I(V ) tales que F 1 F 2 ∈ I(V ). Entonces V =(V ∩ V (F 1 )) ∪ (V ∩ V (F 2 )) y V ∩ V (F i ) V , i = 1, 2, así que V es reducible.Inversamente, supongamos que V = V 1 ∪ V 2 , V i ≠ V , entonces I(V i ) ⊃ I(V ); seaF i ∈ I(V i ), F i /∈ I(V ). Entonces F 1 F 2 ∈ I(V ), así que I(V ) no es primo.Definición 15. Un conjunto algebraico irreducible en A n se llama variedad algebraicaafínEl siguiente teorema nos dice que todo conjunto algebraico se descompone comounión de variedades algebraicas afines, de aquí que sea suficiente, en geometríaalgebraica, enunciar resultados para éstas.Teorema 4. Sea V un conjunto algebraico en A n . Entonces existen únicos conjuntosalgebraicos irreducibles V 1 , ..., V m tales que V = V 1 ∪ ... ∪ V m y V i ⊄ V j para i ≠ j.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33

24 Claudia ReynosoPrueba. Ver demostración en [2] página 16.Ejemplo: En general es difícil encontrar las componentes irreducible de un conjuntoalgebraico. Ver por ejemplo la página de [3], en este ejemplo se calculan las componentesirreducibles de V (xz − y 2 , x 3 − yz) usando las llamadas Bases de Groebner.La descomposición de este conjunto en componentes irreducibles es V (x, y) ∪ V (xz −y 2 , x 3 − yz, x 2 y − z 2 )7. Subconjuntos algebraicos del planoEl principal objetivo de estas notas es estudiar algunas propiedades locales de curvasplanas, es decir, hipersuperficies que viven en A 2 . Como veremos en esta sección,estos son los conjuntos algebraicos que tiene sentido estudiar en el plano afín pues elresto son puntos aislados, el vacío y el total.Proposición 3. Sean F y G polinomios en K[x, y] sin factores comunes. EntoncesV (F, G) = V (F ) ∩ V (G) es un conjunto finito de puntos.Prueba. Si F y G no tienen factores en común en K[x][y], entonces no tienen factoresen común en K(x)[y]. Esto se sigue del siguiente hecho general: Si R es un dominiode factorización única (DFU) con campo de cocientes K, entonces todo elementoirreducible F ∈ R[x] es irreducible visto como elemento en K[x].Como K(X) es un campo entonces K(x)[y] es un dominio de ideales principales(DIP), así que < F, G >=< 1 > en K(x)[y], entonces existen R, S ∈ K(x)[y] talesque RF + SG = 1.Existe un polinomio no cero D ∈ K[x] tal que DR := A, DS := B ∈ K[x][y]. Porlo tanto tenemos que A(x, y)F (x, y) + B(x, y)G(x, y) = D(x).Si (a, b) ∈ V (F, G) entonces D(a) = 0, pero D tiene sólo un número finito de ceros.Esto muestra que sólo un número finito de x − coordenadas pertenecen a los puntosde la variedad. De manera análoga se prueba que sólo existen un número finito dey − coordenadas.Corolario 3. Si K es un campo infinito, entonces los subconjuntos algebraicos irreduciblesde A 2 son: A 2 , ∅, {p}, tal que p ∈ A 2 y curvas planas irreducibles V (F ),donde F es un polinomio irreducibles y V (F ) es infinito.8. Teorema de los ceros de Hilbert (Nullstellensatz)En esta sección estudiamos el Teorema de los Ceros de Hilbert, el cual es másconocido por su nombre en alemán: Nullstellensatz.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33

Geometría de curvas algebraicas 25En la sección 4 vimos que si un ideal I de K[x 1 , ..., x n ] no es radical, entonces nopuede ser el ideal de un conjunto de puntos de A n . Pero será cierto que todo idealradical es el ideal de un conjunto de puntos? Para campos algebraicamente cerradosla respuesta es afirmativa y nos la da el Teorema de los ceros de Hilbert, este Teoremanos dice que si I es radical, entonces I es el ideal de puntos de V (I).También mencionaremos en esta sección el Teorema Débil de los Ceros, que, comoveremos, es una generalización del Teorema Fundamental del Álgebra y que puedeobtenerse como corolario del Teorema de los Ceros de Hilbert.A lo largo de esta sección vamos a suponer que K es un campo algebraicamentecerrado, es decir, todo polinomio F (x) ∈ K[x] tiene sus raices en K.Teorema 5. (Teorema débil de los ceros de Hilbert) Si I es un ideal propiode K[x 1 , ..., x n ] entonces V (I) ≠ ∅.Otra manera de enunciar este Teorema es la siguiente: Si (F 1 , ..., F r ) = { ∑ ri=1 G iF i :G i ∈ K[x 1 , ..., x n ]} K[x 1 , ..., x n ] entonces el sistemaF 1 (x 1 , ..., x n ) = 0F 2 (x 1 , ..., x n ) = 0.F r (x 1 , ..., x n ) = 0tiene solución en A n .Observación: Si consideramos el campo R (el cual no es algebraicamente cerrado)entonces < x 2 + 1 > R[x] y x 2 + 1 = 0 no tiene soluciones en R.Teorema 6. (Teorema de los ceros de Hilbert) Sea I un ideal en K[x 1 , ..., x n ].Entonces I(V (I)) = Rad(I).Prueba. Ver demostración en [2] página 20.A partir del Teorema de los Ceros podemos concluir el Teorema Débil: Sea I ⊂K[x 1 , ..., x n ] un ideal propio. Supongamos que V (I) = ∅ entonces I(V (I)) = I(∅) =K[x 1 , ..., x n ] = Rad(I), la última igualdad implica que 1 ∈ I así que I = K[x 1 , ..., x n ]y esto es una contradicción.El siguiente corolario es sumamente importante porque establece relaciones biyectivasentre objetos algebraicos y objetos geométricos.Corolario 4. Existe una correspondencia uno a uno entre las siguientes colecciones:Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33

26 Claudia Reynoso{I ⊂ K[x 1 , ..., x n ] : I es ideal radical} ↔ {X ⊂ A n : X es algebraico}I ↦→ V (I)si I es un ideal primo entonces es un ideal radical, así que:{I ⊂ K[x 1 , ..., x n ] : I es ideal primo} ↔ {X ⊂ A n : X es variedad algebraica}I ↦→ V (I){I ⊂ K[x 1 , ..., x n ] : I es ideal maximal} ↔ A n(x 1 − a 1 , ..., x n − a n ) ↦→ (a 1 , ..., a n )9. Anillo CoordenadoAhora empezaremos a estudiar las funciones continuas respecto a la topología deZariski de una variedad algebraica al campo donde está definida, el concepto básicoen este tema es el de anillo coordenado.Si V ⊂ A n es una variedad entonces I(V ) es un ideal primo yΓ(V ) = K[x 1, ..., x n ]I(V )es un dominio entero al que llamaremos anillo coordenado de V . Y la pregunta es:Qué representa Γ(V ) para la variedad V ?Sea F (V, K) = {f : V → K : f es función}. Bajo las operacionesF (V, K) × F (V, K) → F (V, K)· : (f, g) ↦→ fg : V → Kx ↦→ f(x)g(x)+ : (f, g) ↦→ f + g : V → Kx ↦→ f(x) + g(x)F (V, K) es un anillo donde podemos identificar a K con el subanillo de las funcionesconstantes en F (V, K). Un elemento f ∈ F (V, K) es una función polinomialen V si existe F ∈ K[x 1 , ..., x n ] tal que f(a 1 , ..., a n ) = F (a 1 , ..., a n ) para todop = (a 1 , ..., a n ) ∈ V . El conjunto de funciones polinomiales de V forma un subanilloen F (V, K).Definimos el siguiente homomorfismo de anillosRevista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33

Geometría de curvas algebraicas 27K[x 1 , ..., x n ] → F (V, K)F ↦→ F |V ,el kernel de este homomorfismo es {F ∈ K[x 1 , ..., x n ] : F (p) = 0 ∀p ∈ V } = I(V ),así que, por el Teorema Fundamental de Homomorfismos de Anillos, Γ(V ) es isomorfoal subanillo de F (V, K) de funciones polinomiales en V en K.Nosotros definimos los cerrados de Zariski como ceros de polinomios, podemos entoncesconcluir que el conjunto de funciones polinomiales de una variedad V en Kes el conjunto de funciones continuas respecto a la topología de Zariski de V en K,donde estamos identificando a K con A 1 .10. Anillo Local de una Variedad en un puntoEl anillo local de una variedad en un punto es un subanillo del campo de fraccionesdel anillo coordenado de la variedad, que nos da, como su nombre lo dice, informacióngeométrica local del punto como parte de la variedad donde se encuentra, verpor ejemplo el teorema 7.Sea V una variedad afín. El campo de fracciones del anillo coordenado Γ(V ) esK(V ) = { F : F, G ∈ Γ(V ), G ≠ 0}.GUn elemento de K(V ) se llama función racional de V .Sea R ∈ K(V ) y sea p ∈ V . Diremos que R está definida en p si existen F, G ∈Γ(V ) tales que R = F Gy G(p) ≠ 0.Definición 16. Definimos el anillo local de V en p como el conjunto O P (V ) ={R ∈ K(V ) : R está definida en p}.Notar que O p (V ) es un subanillo de K(V ). Entonces tenemos la siguiente cadena decontenciones:K ⊂ Γ(V ) ⊂ O p (V ) ⊂ K(V ),donde un elemento en K define una función polinomial constante en Γ(V ) y unafunción polinomial f ∈ Γ(V ) es el elemento f 1 ∈ O p(V ).Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33

Geometría de curvas algebraicas 29Sea F = ΠF eii la factorización de F en componentes irreducibles. Entonces m p (F ) =∑ei m p (F i ) y si L es una línea tangente a F i con multiplicidad r i , entonces L es tangentea F con multiplicidad ∑ e i r i .Ahora veamos cómo extender estas definiciones a un punto p = (a, b) ≠ (0, 0).Consideremos la traslaciónT : A 2 → A 2(x, y) ↦→ (x + a, y + b)entonces descomponemos F T := F ◦T (x, y) = F (x+a, y+b) como F T = G m +G m+1 +..., donde G i ∈ K[x, y] es homogéneo de grado i, definiremos entonces m p (F ) :=m (0,0) (F T ).11.2 Índice de IntersecciónSea F y G curvas planas y sea p ∈ A 2 . El objetivo de esta sección es definir unentero positivo que mida (en algún sentido) la manera en que las curvas V (F ) y V (G)se intersectan en el punto p. Este entero se llamará el índice de intersección de Fy G en p y se denotará por I(p, F ∩ G).Vemos a pedirle a la definición de índice, I(p, F ∩ G), que satisfaga los siguienteaxiomas, casi todos ellos son propiedades intuitivas que queremos tener de I(p, F ∩G).A partir de estos axiomas se puede probar el teorema que nos dice cómo podemosdefinir el índice de intersección de dos curvas en un punto a partir del anillo local delplano afín en el punto y de los polinomios que definen las curvas.1. Si F ≠ G entonces para todo p ∈ A 2 I(p, F ∩ G) ∈ Z ≥0 . Si F = G entonces para todop ∈ V (F ) I(p, F ∩ G) = ∞.2. I(p, F ∩ G) = 0 si y sólo si p /∈ F ∩ G.3. Si T es un cambio afín de coordenadas en A 2 entonces I(T (p), F T ∩ G T ) = I(p, F ∩ G).4. I(p, F ∩ G) = I(p, G ∩ F )Las curvas F y G se intersectan transversalmente en p si p es un punto no-singularpara F y G, y si la línea tangente a F en p es diferente de la línea tangente a G en p.Queremos que I(p, F ∩ G) = 1 si y sólo si las curvas se intersectan transversalmenteo, más generalmente5. I(p, F ∩ G) ≥ m p(F )m p(G), con igualdad si y sólo si F y G no tienen líneas tangentesen común.6. Si F = ΠF r iiy G = ΠG s jj , entonces I(p, F ∩ G) = P i,jrisjI(p, Fi ∩ Gj).7. I(p, F ∩ G) = I(p, F ∩ (G + AF )) para todo A ∈ K[x, y].Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33

30 Claudia ReynosoTeorema 7. Sean F y G curvas y p ∈ A 2 . Existe una única definición de I(p, F ∩ G)de tal manera que se satisfacen las propiedades anteriores, dicha definición es:I(p, F ∩ G) = dim KO p (A 2 )(F, G)O p (A 2 ) .Prueba. Ver demostración en [2] página 75.En generaldimensión.O p(V )IO p(V )es un espacio vectorial sobre K, asi que podemos calcular suPuesto que O p (A 2 ) = { A B: A, B ∈ K[x, y], B(p) ≠ 0}, entonces los elementos coninverso multiplicativo en este anillo son las funciones en O p (A 2 ) que no se anulan enp. Para calcular esta dimensión como espacio vectorial debemos ver a F y G comoelementos del anillo local.Ejemplo 1: Consideremos las siguientes curvasF (x, y) = q(x, y) + xr(x, y)G(x, y) = q(x, y) + yr(x, y),en el anillo C[x, y] tales que q y r son homogéneos de grado d sin componenetes encomún. Calcularemos el índice de intersección de estas curvas en el punto p = (0, 0).tenemos queI(p, F ∩ G) = dim CO p (A 2 )< q(x, y) + xr(x, y), q(x, y) + yr(x, y) > ,por lo tanto< q(x, y) + xr(x, y), q(x, y) + yr(x, y) >=< r(x − y), q + yr >OI(p, F ∩ G) = dim p(A 2 )C O= dim p(A 2 )C + dim CO p(A 2 ) .El primer sumando se calcula facilmente usando (5) puesto que p y q no son invertiblesen el anillo O p (A 2 ), tienen grado d y no tienen componentes en común.I(p, r ∩ q + yr) = I(p, r ∩ q) = m p (r)m p (q) = d 2 .Sólo resta calcular el segundo sumando, para ello necesitamos considerar dos casos:Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33

Geometría de curvas algebraicas 311) Supongamos que x − y no divide a qO p (A 2 )dim C< x − y, q + yr > = dim O 0 (A 1 )C< ax d+1 + bx d > = dim O 0 (A 1 )C< x d (ax + b) >puesto que ax + b es invertible en la localización ya que b ≠ 0, entoncesO 0 (A 1 )dim C< x d (ax + b) > = dim O 0 (A 1 )C< x d > .Para calcular esta última dimensión vamos a utilizar la siguiente proposición cuyademostración puede ser consultada en la página 57 de [2].Proposición 4. Si V (I) = {p} entonces K[x1,...,xn]Ies isomorfo a Op(An )IO p(A n ). Así que:K[x 1 , ..., x n ] O p (A n )dim K ) = dim KIIO p (A n ) .Entonces, como V (x d O) = {0}, tenemos que dim 0(A 1 )C = dim C C[x](x d )caso I(p, F ∩ G) = d 2 + d.= d. En este2) Supongamos que x − y divide a qO p (A 2 )dim C< x − y, q + yr > = dim O 0 (A 1 )C< ax d+1 > = dim C[x]Cax d+1 = d + 1En este caso I(p, F ∩ G) = d 2 + d + 1.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33

32 Claudia ReynosoEjemplo 2: Calcular el índice de intersección de las curvasE(x, y) = (x 2 + y 2 ) 2 + 3x 2 y − y 3F (x, y) = (x 2 + y 2 ) 3 − 4x 2 y 2en el punto p = (0, 0). En R 2manera:las curvas correspondientes se ven de la siguienteEmpezaremos reemplazando F porF − (x 2 + y 2 )E = y((x 2 + y 2 )(y 2 − 3x 2 ) − 4x 2 y) = yGy ahora reemplazaremos G porG + 3E = y(5x 2 − 3y 2 + 4y 3 + 4x 2 y) = yH.EntoncesI(p, E ∩ F ) = I(p, E ∩ (F + E(3y − (x 2 + y 2 ))) =I(p, E ∩ (F − (x 2 + y 2 )E + 3Ey)) = I(p, E ∩ (yG + 3Ey)) =I(p, E ∩ y(G + 3E)) = I(p, E ∩ y 2 H) =2I(p, E ∩ y) + I(p, E ∩ H).Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33

Geometría de curvas algebraicas 33Por (7) y (6) I(p, E ∩ H) = I(p, x 4 ∩ y) = 4 y I(p, E ∩ H) = m p (E)m p (H) = 6 por(5), así que I(p, E ∩ F ) = 14.AgradecimientosQuiero agradecer al Dr. Víctor Castellanos por la invitación para participar enla Primera Escuela de Invierno de Geometría y Dinámica impartiendo el curso ”Introduccióna la Geometría de Curvas Algebraicas”; muchas gracias también a laUniversidad Juárez Autónoma de Tabasco por la hospitalidad brindada.Referencias[1] David Eisenbud: Commutative Algebra, with a View Toward Algebraic Geometry.Springer-Verlag, 1995.[2] William Fulton: Algebraic Curves. An Introduction to Algebraic Geometry. W. A. Benjamin,Inc., 1969.[3] David Cox, John Little, Donal O’Shea: Ideals, Varieties, and Algorithms. Springer-Verlag, 1991.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33

Dinámica de grupos kleineanosManuel Cruz *Facultad de MatemáticasUniversidad de GuanajuatoEn estas breves notas describiremos los conceptos e ideas básicas de la teoría deiteración de los llamados grupos Kleineanos, los cuales fueron introducidos por H.Poincaré.In this brief notes we introduce the basic concepts and ideas in the iteration theory ofKeinian groups, which where introduced by H. Poincaré.Palabras clave: Iteración de los grupos Kleineanos.Keywords: Kleinian groups iteration.1. IntroducciónEl objetivo de estas breves notas es el de ilustrar algunas ideas de la teoría degrupos Kleineanos. Éstos son subgrupos discretos de automorfismos de la esfera deRiemann, que, cuando actúan, en particular, en el semiplano superior H := {z ∈ C :Im(z) > 0} presentan un comportamiento muy interesante, no sólo desde el puntode vista dinámico, sino también, desde el punto de vista artístico, como se puedeapreciar en los diversos grabados del famoso artista holandés M.C. Escher (ver, porejemplo, [4]).En la siguiente figura se puede apreciar la dinámica de un grupo Kleineano, llamadogrupo de Schottky. Dada una configuración de círculos tangentes en el planocomplejo, este grupo está generado por inversiones con respecto de estos círculos. Enesta figura se puede apreciar cómo el plano complejo se des–compone en dos partes,una ‘curva irregular’ y su complemento, un ‘abierto regular’. Trataremos de explicaresta dicotomía a lo largo de este manuscrito.Como ‘regla general’, no haremos demostraciones en las secciones si–guientes, exceptoel resultado que caracteriza a los llamados grupos Fuchianos. Los conceptos,ejemplos y resultados pueden consultarse en cualesquiera de las referencias [1, 2, 3].2. Grupos KleineanosTodo automorfismo conforme de la esfera de Riemannexpresar como una transformación de Möbius de la formaĈ := C ∪ {∞} se puedeγ(z) = az + bcz + d ,* manuel@cimat.mxRevista de Ciencias Básicas UJAT, volumen 4 número 1 (Noviembre 2005) p 34–40

Dinámica de grupos kleineanos 35Figura 1. Grupo de Schottky.donde a, b, c, d ∈ C y ad − bc = 1. Esto es, el grupo de automorfismos conformes dela esfera, Aut(Ĉ), se puede identificar con el grupo de Möbius{ }az + bMöb(Ĉ) := cz + d : ad − bc = 1 .Por otro lado, SL(2, C) = {(a, b, c, d) ∈ C 4 : ad−bc = 1} es un subgrupo topológicode C 4 . Si consideramos la aplicación antípoda z ↦→ −z, podemos entonces definir enSL(2, C)/{z ↦→ −z} la topología cociente y por lo tantoPSL(2, C) := SL(2, C)/{±id}admite una estructura de grupo topológico. También, existe un homomorfismo continuoy suprayectivo ρ : SL(2, C) −→ Möb(Ĉ) dado por( ) a b↦−→ az + bc d cz + d ,cuyo kernel es {±id}. Por el Primer Teorema de Isomorfismo concluimos queAut(Ĉ) ∼ = PSL(2, C).Un grupo Kleineano es un subgrupo discreto Γ ⊂ PSL(2, C) que actúa en la esferaĈ por transformaciones de Möbius de la siguiente manera:Γ × Ĉ −→ Ĉ,az + b(γ, z) ↦−→ γ · z =cz + d .La acción de un grupo Kleineano (infinito) Γ en la esfera, particiona a la esferaen dos subconjuntos ajenos, el dominio de discontinuidad Ω(Γ) y el conjunto límiteΛ(Γ) := Ĉ \ Ω(Γ). El dominio de discontinuidad es, por definición, el subconjuntoabierto más grande de la esfera en el cual Γ actúa propiamente discontinuamente(ver §3). Si la cardinalidad de Λ(Γ), |Λ(Γ)|, es menor ó igual que 2, decimos que ΓRevista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 34–40

36 Manuel Cruzes elemental; en caso contrario, decimos que Γ no es elemental. Si Γ es un grupoKleineano no-elemental, el conjunto límite puede describirse como el subconjuntocerrado mínimo de la esfera que es diferente del vacío e invariante bajo Γ.En la siguiente sección estudiaremos una clase muy importante de grupos Kleineanos,los llamados grupos Fuchianos. Éstos son grupos Kleineanos que dejan invarianteun círculo en la esfera, que podemos identificar con el círculo unitario y, por lo tanto,estudiaremos la acción de estos grupos en el llamado disco de Poincaré, uno de cuyosmodelos es el semiplano superior en el plano complejo H := {z ∈ C : Im(z) > 0}.3. Grupos Fuchsianos3.1 Isometrías del plano hiperbólicoHaciendo un análisis similar al de la sección anterior, podemos identificar al grupode automorfismos conformes del semiplano superior, Aut(H), con{ }PSL(2, R) ∼ az + b=cz + d : a, b, c, d ∈ R, ad − bc = 1 .En H podemos definir la métricads = 1Im(z) |dz|.Esta métrica se llama la métrica hiperbólica ó métrica de Poincaré. Se puede probarque H, dotado de esta métrica, es un espacio métrico completo de curvatura constanteigual a -1.Es fácil ver que todo automorfismo conforme de H es una isometría. Más aún, elgrupo completo de isometrías del semiplano hiperbólico lo podemos caracterizar apartir del siguiente resultado.Teorema 1. Toda isometría del semiplano hiperbólico (H, ρ H ) es de la formapara algún γ ∈ Aut(H).z ↦−→ γ(z) ó z ↦−→ γ(−¯z),Existe también un isomorfismo entre PSL(2, R) y el grupo de isometrías del semiplanosuperior que preservan orientación, Isom + (H).3.2 Clasificación de isometríasDenotemos por S 1 ∞ a la frontera ideal de H; esto es, S 1 ∞ := R ∪ {∞}.Definición 1. Sean γ 1 , γ 2 ∈ Isom + (H). Decimos que γ 1 y γ 2 son conjugadas si existeh ∈ Isom + (H) tal que γ 2 = hγ 1 h −1 .Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 34–40

Dinámica de grupos kleineanos 37Definición 2. Sea γ ∈ Isom + (H), γ ≠ id. Entonces,a. γ es parabólica si y sólo si γ es conjugada a una traslación z ↦→ z + 1.b. γ es elíptica si y sólo si γ es conjugada a una rotación euclideana no-trivial z ↦→ e iθ zalrededor del origen.c. γ es hiperbólica si y sólo si γ es conjugada a una homotecia euclideana no-trivialz ↦→ λz, λ > 0.Observación 1. Sea γ ∈ Isom + (H), γ ≠ id. Entonces,a. γ tiene un único punto fijo, el cual está en S 1 ∞, ób. γ tiene exactamente dos puntos fijos, los cuales están en S 1 ∞, óc. γ tiene un único punto fijo en H y ninguno en S 1 ∞.3.3 Grupos FuchsianosDefinición 3. Un grupo Γ ⊂ Isom + (H) es discreto si su topología inducida es latopología discreta.Observación 2. Γ es discreto si y sólo si dada una sucesión γ n ∈ Γ, tal que γ n → id,entonces γ n = id, para n suficientemente grande.Definición 4. Un grupo Fuchsiano es un subgrupo discreto Γ ⊂ Isom + (H).Decimos que un grupo Γ actúa propiamente discontinuamente en H si la órbita decualquier punto z ∈ H, Γz := {γ(z) : γ ∈ Γ} es localmente finita. Esto es, si paratodo K ⊂ H compacto se cumple queγ(K) ∩ K ≠ ∅,sólo para un número finito de elementos γ ∈ Γ. En particular, el estabilizador decualquier punto z ∈ H, Γ z := {γ ∈ Γ : γ(z) = z}, es finito.De acuerdo con la clasificación de isometrías del semiplano hiperbólico, podemosformar tres tipos de subgrupos cíclicos de PSL(2, R):• Hiperbólico: Γ = 〈z → λz : λ > 0〉.• Parabólico: Γ = 〈z → z + 1〉.• Elíptico: Γ = ˙z → e iθ z : θ ∈ R¸.Proposicón 1. Tenemos los siguientes casos:a. Todo subgrupo cíclico hiperbólico de PSL(2, R) es Fuchsiano.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 34–40

38 Manuel Cruzb. Todo subgrupo cíclico parabólico de PSL(2, R) es Fuchsiano.c. Un subgrupo cíclico elíptico de PSL(2, R) es Fuchsiano si y sólo si es finito.Ejemplo 1. El grupo Modular El subgrupo de PSL(2, R) definido por{ }az + bPSL(2, Z) :=cz + d : a, b, c, d ∈ Z, ad − bc = 1se llama el grupo modular. PSL(2, Z) es un subgrupo discreto de PSL(2, R), y por lotanto, es Fuchsiano.Figura 2. Dinámica de PSL(2, Z).Ejemplo 2. El grupo Γ = 〈z → λz : λ > 0〉 ⊂ PSL(2, R) es Fuchsiano.Ejemplo 3. El grupo Γ = 〈z → z + 1〉 ⊂ PSL(2, R) es Fuchsiano.Teorema 2. Sea Γ ⊂ PSL(2, R). Entonces, Γ es un grupo Fuchsiano si y sólo si Γactúa propiamente discontinuamente en H.Prueba. Supongamos primero que Γ es un grupo Fuchsiano. Sean z ∈ H y K ⊂ Hcompacto. Entonces,{γ ∈ Γ : γ(z) ∈ K} = {γ ∈ PSL(2, R) : γ(z) ∈ K} ∩ Γes finito, ya que es la intersección de un conjunto cerrado y uno discreto. Como laacción de PSL(2, R) en H es continua, se sigue que Γ actúa propiamente discontinuamente.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 34–40

Dinámica de grupos kleineanos 39Recíprocamente, supongamos ahora que Γ actúa propiamente disconti–nuamenteen H y supongamos que Γ no es discreto. Sea z ∈ H un punto que no esté fijo porningún elemento distinto de la identidad en Γ. Como Γ no es discreto, existe unasucesión {γ n } ⊂ Γ de elementos distintos tal que γ n −→ id cuando n → ∞. Luego,γ n (z) converge a z, cuando n → ∞, y como z no es punto fijo de ningún elementodistinto de la identidad en Γ, se sigue que {γ n (z)} es una sucesión de puntos distintosde z, para toda n. Esto implica que todo disco hiperbólico cerrado centrado en zcontiene una infinidad de puntos de la Γ-órbita de z. Esto es, Γ no actúa propiamentediscontinuamente en H, lo cual es una contradicción.Corolario 1. Γ ⊂ PSL(2, R) actúa propiamente discontinuamente en H si y sólo sipara toda z ∈ H, la Γ-órbita de z es discreta en H.Esto es, si z ∈ H y {γ n } ⊂ Γ es una sucesión de elementos distintos, entonces{γ n (z)} tiene un punto límite en S 1 ∞.Definición 5. El conjunto de todos los posibles puntos límite de Γ-órbitas de puntosen H se llama el conjunto límite de Γ y se denota por Λ(Γ).De acuerdo con las observación anterior, para todo grupo Fuchsiano Γ ⊂ PSL(2, R)se cumple queΛ(Γ) ⊂ S 1 ∞.Ejemplo 4. 1. Si Γ = 〈z → λz : λ > 1〉, entonces Λ(Γ) = {0, ∞}.2. Si Γ = 〈z → z + 1〉, entonces Λ(Γ) = {∞}.3. Si Γ = PSL(2, Z), entonces Λ(Γ) = S 1 ∞.4. Grupos Kleineanos otra vezSupongamos que Γ es un grupo Kleineano no-elemental y finitamente generado.De acuerdo con la dinámica de Γ, la esfera se particiona en dos subconjuntos ajenos:el conjunto límite Λ(Γ) y el conjunto de discontinuidad, Ω(Λ) := Ĉ\Λ(Γ). En general,el conjunto límite es el lugar del comportamiento caótico; es un conjunto compacto,perfecto y puede caracterizarse de las siguientes maneras:• El conjunto cerrado mínimo y Γ-invariante si |Λ(Γ)| > 2;• El conjunto de puntos de acumulación de cualquier órbita Γz ⊂ C; b• La cerradura del conjunto de puntos fijos repulsores de γ ∈ Γ; ó,• El conjunto de puntos, cerca de los cuales Γ no forma una familia normal.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 34–40

40 Manuel CruzAgradecimientosAgradezco sinceramente a los Dres. Víctor Castellanos Vargas y Gamaliel Blé Gonzálezpor la invitación que me hicieron para participar en esta Escuela y por haber logradoestablecer un espacio verdaderamente estimulante para su desarrollo. Agradezcotambién a todos los participantes por el gran ambiente de trabajo y amistad logrado.Referencias[1] A. Beardon, The geometry of discrete groups, Springer Verlag, 1981.[2] G.A. Jones and D. Singerman, Complex functions. An algebraic and geometric viewpoint,Cambridge University Press, 1987.[3] S. Katok, Fuchsian groups, Benjamin Cumming, 1981.[4] J.L. Locher, The world of Escher, Harry N. Abrams, New York, 1971.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 34–40

Introducción a los sistemas lineales sobresuperficies de Riemann compactasAbel Castorena *Instituto de Matemáticas, UNAM, Campus Morelia.Apdo. Postal 61-3(Xangari) C.P. 58089Morelia, Michoacán. México.El propósito de estas notas es dar una muy breve exposición demostrando solo algunosresultados de un tema clásico de la geometría algebraica: superficies de Riemanncompactas, sistemas lineales y curvas algebráicas.The main goal of these short notes is to give some results on compact Riemann surfacesto stablish the Riemann-Hurwitz formula. Also we discuss some facts on divisors, linearsystems and Brill-Noether theory for special divisors on algebraic curves.Palabras clave: Geometría Algebraica, Superficies de Riemann.Keywords: Algebraic Geometry, Compact Riemann Surface.1. IntroducciónEn los cursos de variable compleja de licenciatura, el tema central es el estudiode las funciones holomorfas (o funciones analíticas ) y las funciones meromorfas.Las primeras tienen en cada punto de su dominio una expansión en serie de Taylor.Ejemplos de funciones holomorfas son los polinomios complejos de la forma c 0 +c 1 z +c 2 z 2 + · · · + a n z n , las funciones trigonometricas sin z, cos z ó la exponencial e z .Si U = C − {0}, la función f : U → C definida por f(z) = 1 zes holomorfa en U.Podemos ver que esta función presenta un problema en el origen que NO perteneceal dominio de f. Nos gustaría extender esta función al origen, y la manera másnatural es definiendo f(0) := ∞. La función f es un ejemplo de lo que se llamafunción meromorfa. Las funciones meromorfas tienen expansión en serie de Laurenty tal expansión nos da información sobre la naturaleza de los puntos donde no estandefinidas tales funciones. Estas son muy importantes en el estudio de las superficiesde Riemann compactas ya que por medio de ellas podemos estudiar ciertos objetosllamados divisores los cuales en la teoría de sistemas lineales son muy importantes.Uno de los objetivos principales de estas notas es exponer de forma breve el tema dedivisores y ver como estos nos dan información sobre el tipo de funciones meromorfasque existen sobre las superficies de Riemann compactas, así como su relación con lascurvas algebráicas mediante la teoría de sistemas lineales.1.1 Ejemplos de superficies de Riemann.Para el estudio de superficies de Riemann debemos introducir el concepto de variedadcompleja. Para ello, veamos el concepto de variedad diferenciable real.* abel@matmor.unam.mxRevista de Ciencias Básicas UJAT, volumen 4 número 1 (Noviembre 2005) p 41–52

42 Abel Castorena1.- Sea M un espacio topológico Hausdorff. Una carta n-dimensional sobre M esun homeomorfismo φ : U → V , donde U ⊂ M es abierto y V es un abierto de R n .Dos cartas φ 1 : U 1 → V 1 , φ 2 : U 2 → V 2 se dicen C ∞ compatibles si la aplicación:φ 21 := φ 2 ◦ φ −11 : φ 1 (U 1 ∩ U 2 ) → φ 2 (U 1 ∩ U 2 )es un difeomorfismo C ∞ , es decir φ 21 y su inversa tienen derivadas parciales detodos los ordenes en cada punto de su dominio.2.- Un atlas C ∞ es una colección de cartas {φ α : U α → V α } donde M = ⋃ U α yαpara cualquier par de indices α, β tal que U α ∩ U β ≠ ∅, se tiene que φ βα := φ β ◦ φ −1α escompatible. Decimos que dos atlas sobre M son equivalentes si su unión es un atlas.3.- Una estructura C ∞ sobre M es una clase de equivalencia de atlas. Una variedaddiferenciable real C ∞ de dimensión n es un espacio Hausdorff segundo numerable conexoM con una estructura C ∞ cuyas cartas son homeomorfismos a conjuntos abiertosde R n . Decimos que M es compacta si, M como espacio topológico es compacto. Mes orientable si, para cualquier α, β, el determinante de la derivada de φ βα es mayorque cero en cada punto p ∈ U α ∩ U β .De la definición de variedad diferenciable podemos ver que R n con la funciónidentidad es una variedad diferenciable(orientable) y además cada abierto de R n esvariedad diferenciable.Sea M una variedad diferenciable compacta de dimensión dos. Una triangulaciónde M es una descomposición de M por conjuntos cerrados △ M = {T α }, donde cadaT α es homeomorfo a un triángulo de R 2 , tal que cualesquiera dos triángulos o bienson disjuntos; se intersectan en un vértice ó a lo largo de una arista. Si denotamos porv = #vertices, e = #aristas y t = #triangulos de la triangulación, la característicade Euler de M con respecto a la triangulación △ M , es el entero e(M) := v − e + t. Elnúmero e(M) no depende de la triangulación. ([4], p.50).Un teorema de clasificación afirma que toda superficie M compacta orientable ysin frontera es homeomorfa a una esfera con g−asas ([4], p.6). El número g se llamael género de M, el cual resulta ser un invariante topológico.Proposición.- Sea C una variedad diferenciable de dimensión dos, orientable, compactay sin frontera de género g. Entonces e(C) = 2 − 2g.Una demostración de este hecho se encuentra en Ver [4], p.51Ejercicio 1.-. Demuestra que un abierto de una variedad diferenciable, es variedaddiferencible.Ejercicio 2.- Demostrar que S 2 := {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1} es una variedaddiferenciable de dimensión dos.Definición. Decimos que una variedad diferenciable M es una variedad compleja dedimensión n si admite una cubierta abierta {U α } y cartas coordenadas φ α : U α → C ntal que φ βα := φ β ◦ φ −1α : φ α (U α ∩ U β ) → φ β (U α ∩ U β ) es un biholomorfismo, esdecir, φ βα y su inversa son funciones holomorfas en cada variable z 1 , ..., z n de C n y elRevista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 41–52

Introducción a los sistemas lineales sobre superficies de Riemann compactas 45T viene dada de la siguiente manera: Como Λ es un subgrupo discreto de C, existeun ɛ > 0 tal que |τ| > 2ɛ para cada τ ∈ Λ. Dado un número z α ∈ C, consideremosel disco abierto D α := D(z α , ɛ). Por la elección de ɛ, notemos que para x, y ∈ D α ,x − y /∈ Λ. Esto nos permite ver que la restricción π α := π| Dα : D α → U α := π(D α ) esinyectiva. Se tiene que π α es un homeomorfismo( demostrarlo !) y se puede ver queφ α := πα −1 : U α → D α es una carta compleja de T .Ejercicio 6.- . Prueba que cualesquiera dos cartas φ α , φ β definidas de la forma anteriorsobre T son compatibles, es decir, prueba que T es una superficie de Riemann.En CP n estan definidas de manera natural ciertos subconjuntos dados como cerosde polinomios homogéneos. Tales subconjuntos se les llama variedades proyectivas ovariedades algebraicas. Estas variedades tienen una topología natural inducida porC n+1 .Un ejemplo de este tipo de variedades es cuando consideramos un polinomio homogeneoF irreducible de grado m sobre C n+1 , es decir, F : C n+1 → C es un polinomiode grado m en las variables z 0 , ..., z n tal que F (λz 0 , ..., λz n ) = λ m F (z 0 , ..., z n ) paratodo λ ∈ C − {0}. Notemos que si (z 0 , ..., z n ) ≠ (0, ..., 0) es un cero de F , es decir,F (z 0 , ..., z n ) = 0, entonces también se tiene que F (λz 0 , ..., λz n ) = 0.Esto nos permite definir en CP n una aplicación que denotaremos por F , dada porF [Z] = 0 si F (Z) = 0 y F ([Z]) = 1 si F (Z) ≠ 0. El conjunto Y := {[Z] ∈ CP n :F (Z) = 0} esta bien definido y se llama hypersuperficie de grado m.Si F es un polinomio no singular, es decir,∂F∂z j(Z) ≠ 0 para toda j y toda Z ≠(0, 0, ..., 0) decimos que Y es no singular o lisa. En caso contrario decimos que Y essingular.Ejercicio 7.- Si Y es no singular dar un sistema de cartas complejas para Y y demuestraque la dimensión de Y es n − 1. (Aqui hay que hacer uso del teorema de lafunción implícita).Definición. Una curva algebraica X es un subconjunto cerrado y conexo de CP N dadocomo el conjunto de ceros de polinomios homogéneos F 1 , , , , F N−1 en una vecindadde cada punto p ∈ X. La dimensión compleja de X es uno. Un punto p ∈ X se dicepunto suave o liso, si la matriz jacobiana formada por ( ∂F k∂z j)(p) k=1,...,N−1,j=0,...,N tienerango N − 1. En caso contrario decimos que p es un punto singular. Si p ∈ X es lisopara todo p, decimos que X es no singular. Si X es una curva algebraica en CP 2 dadapor los ceros de un polinomio homogeneo irreducible de grado d diremos que X esuna curva plana de grado d.Dada una curva plana X, decimos que un punto p ∈ X es una singularidad detipo nodal, o que p es un nodo, si en coordenadas afines, el punto p es de la forma(z, w) ∈ C 2 donde las coordenadas afines de p satisfacen z 2 − w 2 = 0.Una curva plana X no singular es una superficie de Riemann compacta, por lo tantotiene un género asociado, el cual esta relacionado con el grado de X, es decir, si elgrado de X es d, entonces el género de X como superficie de Riemann compacta esg = (d−1)(d−2)2([2], p.220). A esta fórmula se le llama fórmula de Plucker. Existe unaRevista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 41–52

46 Abel Castorenafórmula de Plucker cuando la curva X es singular, de ello hablaremos en la últimasección.2. Funciones meromorfas sobre superficies de RiemannPor medio de la cartas complejas distintos conceptos y teoremas de variable complejase extienden a superfices de Riemann.Definición. Sea C una superficie de Riemann. Sea p ∈ C y W una vecindad de p.Decimos que una función continua f : W → C es holomorfa en p si existe una cartalocal φ : U p → V ⊂ C con U p abierto alrededor de p tal que f ◦ φ −1 : φ(U p ∩ W ) → Ces una función holomorfa en φ(p) ∈ C.Es claro que si f es holomorfa en p, entonces f es holomorfa en una vecindad de p.Si U ⊆ C es un abierto y f : U → C es holomorfa en p para todo p ∈ U, decimos quef es holomorfa, y denotamos por O C (U) = O U := {f : U → C|f es holomorfa}. Porejemplo, una carta compleja de una superficie de Riemann es una función holomorfa.Ejercicio 8.- Con la notación anterior prueba que f es holomorfa en W si y solosí existen cartas φ α : U α → C con W ⊆ ⋃ α U α y f ◦ φ −1α holomorfa sobre φ α (W ∩ U α )para cada α.Ejercicio 9.- Prueba que la suma, resta y multiplicación de funciones holomorfas esholomorfa. Si f, g son holomorfas en un punto p ∈ C con g(p) ≠ 0, prueba que f gesholomorfa en p.Sea C una superficie de Riemann y consideremos un punto p ∈ C. Sea W una vecindadde p y f : W − {p} → C holomorfa. Decimos que:1.- f tiene una singularidad removible en p si y solo sí existe una carta local φ : U →V ⊆ C con p ∈ U tal que f ◦ φ −1 tiene una singularidad removible en φ(p).2.- f tiene un polo en p si y solo sí existe una carta local φ : U → V ⊆ C con p ∈ Utal que f ◦ φ −1 tiene un polo en φ(p).3.- f tiene una singularidad esencial en p si y solo sí existe una carta local φ : U →V ⊆ C con p ∈ U tal que f ◦ φ −1 tiene una singularidad esencial en φ(p).Si escribimos z = φ(x) para x cercano a p, tenemos que f ◦ φ −1 es holomorfa en unavecindad de z 0 := φ(p). Podemos expander f ◦ φ −1 en serie de Laurent alrededor dez 0 : f ◦ φ −1 (z) = ∑ n c n(z − z 0 ) n . A esta serie se le llama serie de Laurent de f en elpunto p y los c n se les llama los coeficientes de Laurent. Esta representación de f enserie de Laurent no depende de la elección de la carta local ( ver [4], p.26) y nos dainformación sobre el tipo de singularidad que tiene f en el punto p.Una función f : C → C se llama meromorfa en un punto p ∈ C si f es holomorfa otiene una singularidad removible en p, o bien tiene un polo en p.Diremos que f es meromorfa sobre una abierto W ⊆ C si es meromorfa en cada puntode W . Definimos M X (W ) = M W = {f : W → C : f es meromorfa. }Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 41–52

Introducción a los sistemas lineales sobre superficies de Riemann compactas 47Si f es una función meromorfa en un punto p con serie de Laurent ∑ n c n(z − z 0 ) n ,definimos el orden de f en p, ord p f, como ord p f = min{n|c n ≠ 0}. Esta definición nodepende de la elección de cartas (Ver [4],p.27).Ejemplos. Sea C = C y W = C − {0}. La función f : W → C dada por f(z) = 1 z esmeromorfa en z = 0.Sea f : CP 1 → C definida en una vecindad del punto al infinito, es decir, en unconjunto de la forma U ∞ := {z ∈ C||z| > 1} ∪ {∞}. f es meromorfa en ∞ si ysolo si f( 1 g(z)z) es meromorfa en z = 0. Si f(z) =h(z)con g, h polinomios, entoncesf es meromorfa en ∞. Factoriazando g y h en factores lineales, escribimos f(z) =c(z − z 1 ) n1 · · · (z − z r ) nr con c ≠ 0, los z i todos distintos y los n i enteros. Notemos quepara cada i = 1, ..., r, ord zi f = n i . Además ord ∞ f = grado g − grado h = − ∑ i n iy ord p f = 0 para p ∈ CP 1 ∑− {z 1 , ..., z r , ∞}. Esto prueba que ord p f = 0. Unap∈CP 1función racional f sobre CP 1 es un cociente de dos polinomios complejos y por lotanto es meromorfa y ∑ ord p (f) = 0.pAlgunos teoremas acerca de funciones holomorfas y meromorfas de variable complejase pueden enunciar también sobre superficies de Riemann. Uno de estos teoremas, espor ejemplo, el principio del módulo máximo:Principio del módulo máximo ([4, p.29]). Sea C una superficie de Riemann y f : W →C holomorfa sobre un abierto W de C. Supongamos que existe un punto p ∈ W talque |f(x)| ≤ |f(p)| para toda x ∈ W , entonces f es constante sobre W .El principio del módulo máximo tiene una consecuencia cuando C es compacta:Teorema.- Sea C una superficie de Riemann compacta y f : C → C holomorfa,entonces f es constante.Demostración. La prueba de este hecho se deja al lector.Si C es compacta se tiene que O C ≃ C y el principio del modulo máximo nos diceque sobre un superficie de Riemann compacta solo debemos estudiar funcionesmeromorfas.Ejercicio 10.- Sea C una superficie de Riemann. Enuncia y demuestra el teorema deidentidad sobre C . Utiliza este teorema de identidad para probar que el conjunto deceros y polos de una función meromorfa f sobre C es un conjunto discreto. Si C escompacta, entonces el conjunto de ceros y polos de f es un conjunto finito.Sea C una superficie de Riemann compacta y f : C → CP 1 meromorfa. Sea p ∈ C,y z : U p → V ⊂ C carta local tal que z(p) = 0. Tomamos la serie de Talylor de falrededor de p, entonces f(z) = z n ˜f(z) con ˜f(0) ≠ 0. Localmente ˜f tiene raiz enesimay escribimos f(z) = (zg(z)) n . Si tomamos a zg(z) como nueva coordenada local,resulta que localmente f es de la forma z → z n . Se define b p (f) := n como la multiplicidadde f en p. El entero n sólo depende del punto p y no de la carta que hemoselegido. Si n > 1, decimos que p es un punto de ramificación. Para y ∈ CP 1 definimosd y (f) =∑ b p (f). Se tiene que este número es constante e independiente de y, esp∈f −1 (y)Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 41–52

48 Abel Castorenadecir para y 1 , y 2 ∈ CP 1 , d y1 (f) = d y2 (f). A tal número se le llama el grado de f ([4],p 47).Sea f : C → CP 1 meromorfa de grado k. Consideremos una triangulación de CP 1de tal manera que los vértices de la triangulación sean los puntos de ramificación def y sean c 0 = # caras de la triangulación , a 0 = # aristas de la triangulación yv 0 = # vertices sobre la triangulación. Tomando la imagen inversa bajo f de estala triangulación tenemos sobre C una triangulación donde c = kc 0 , a = ka 0 , v =kv 0 − ∑ p (b p(f) − 1). Utilizando la caractéristica de Euler obtenemos la siguienteidentidad conocida como fórmula de Riemann-Hurwitz:2 − 2g = c − a + v = k(e(CP 1 )) − ∑ p(b p (f) − 1) = 2k − ∑ p(b p (f) − 1).3. Divisores y Sistemas LinealesSea C una superficie de Riemann. Consideremos el conjunto Z CZ|f función}.:= {f : C →Definición. Un divisor D sobre C, es una función D ∈ Z C tal que el soporte de D,Supp (D) = {p ∈ C|D(p) ≠ 0}, es un conjunto discreto.Si C es compacta, Supp (D) es un conjunto finito {p 1 , . . . , p d }. Sea D(p j ) = n j .Así formalmente escribimos D como una suma finita de puntos con sus respectivasimagenes, es decir, D = ∑ j n jp j , donde D(p j ) = n j . El grado del divisor D se definecomo la suma ∑ n j . Escribimos D ≥ 0 si n i ≥ 0 para toda i, y dados dos divisoresjD 1 , D 2 , escribimos D 1 ≥ D 2 si D 1 − D 2 ≥ 0. Denotamos por Div(C) el conjunto dedivisores de C el cual es un grupo abeliano libre bajo la suma.Si C es una superficie de Riemann compacta, podemos asociar a una función meromorfaf : C → CP 1 un divisor div (f) dado por div (f) := ∑ p (ord p(f)) · p. Atal∑divisor se le llama principal. El divisor de ceros de f, se define como div 0 (f) =ord p (f) · p.p,ord p(f)>0El divisor de polos de f se define como div ∞ (f) =∑p,ord p(f)

Introducción a los sistemas lineales sobre superficies de Riemann compactas 49M(C)|div (f) ≥ −D} ∪ {0}. L(D) tiene estructura de espacio vectorial sobre C. SiD = np con n > 0 y f ∈ L(D), entonces div (f) ≥ −np, es decir, ord p (f) ≥ −n, loque implica que f tiene un polo de orden n en p pero no de orden mayor. Notemosque si D 1 ≤ D 2 entonces L(D 1 ) ⊆ L(D 2 ). Si D = 0, tenemos que L(D) = O C .Lema. Sea C superficie de Riemann compacta. Sea D un divisor sobre C con grado(D) 0.Para un divisor arbitrario D sobre C existe una fórmula que da una relación entre losespacios h i (C, D) con el grado del divisor D y el género de C. Tal fórmula se conoceRevista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 41–52

50 Abel Castorenacomo Teorema de Riemann-Roch:Teorema de Riemann-Roch. Sea C una superficie de Riemann compacta de génerog. Sea D un divisor sobre C de grado d. Entonces h 0 (C, D) − h 1 (C, D) = d − g + 1.Este es uno de los teoremas más importantes en la teoría de divisores sobre superficiesde Riemann compactas y existen diversas pruebas de este teorema, algunas son algebraicas,otras utilizan lo que se llama cohomología de gavillas. Una prueba basada enuna serie de ejercicios y que el lector podría intentar resolverlos se encuentra en ([1], p.50-51). Esta prueba da evidencia clara de la relación entre las superficies de Riemanncompactas y las curvas planas con singularidades. Incluso, de tal prueba se puedededucir la fórmula de Plucker más general para curvas planas con singularidades quenosotros enunciaremos más adelante.Como una aplicación sencilla del teorema de Riemann-Roch tenemos el siguientehecho:1.- Sea C una superficie de Riemann compacta de género g y sea p ∈ C un punto.Entonces, existe una función meromorfa no constante f sobre C la cual tiene un únicopolo en q de orden a lo más g + 1.Para probar esta afirmación procedemos como sigue: Sea D : C → Z el divisor dadopor D(p) = g + 1 si p = q, y D(p) = 0 si q ≠ p. El grado de D es g + 1. Por lafórmula de Riemann-Roch h 0 (C, D) = 2 + h 1 (C, D) ≥ 2, entonces existe una funciónmeromorfa no constante f tal que (f)(q) ≥ −D(q), es decir −ord q (f) ≥ −(g + 1), obiene, ord q (f) ≤ g + 1. De hecho notemos que f es holomorfa en todo C − {q}.Ejercicio 13-. Si D 1 , D 2 son dos divisores equivalentes sobre una superficie de Riemanncompacta, prueba que L 1 (D 1 ) ≃ L 1 (D 2 ).Sea f : C → CP 1 meromorfa de grado k y consideremos η = dz la 1-forma meromorfasobre CP 1 . η. Sea ω := f ∗ (η) = df. Si f se escribe localmente alrededor de un puntode ramificación q i ∈ C con f(q i ) ≠ ∞ como f(z) = z ki , entonces q i es un cero deorden k i − 1 para ω. En los puntos p j donde f(p j ) = ∞ se tiene que ω tiene unpolo de orden dos. Si R es el conjunto de puntos de ramificación de f, entonces(ω) = ∑∑(k i − 1)q i − 2( k p j ), entonces grado(ω) = ∑ (k i − 1) − 2k. Por la fórmulaq i∈Rj=1de Riemann-Hurwitz se tiene que grado(ω) = 2g − 2.Proposición.- Sea C una superficie de Riemann compacta y ω 0 una 1-forma meromorfano cero. Entonces grado (ω 0 ) = 2g − 2.Demostración. Sea f : C → CP 1 meromorfa y sea ω = f ∗ (dz). Se tiene que g := ω0ωes una función meromorfa y grado div (g) = 0.Si C es una superficie de Riemann de compacta, D un divisor de sobre C y f 0 , ..., f res una base para L(D), tenemos que la función φ : C → CP r = P(L(D)) dada porφ(p) := [f 0 (p) : · · · : f r (p)] NO esta definida en los puntos p tales que f j (p) = 0 paratoda j y en los puntos p donde existe algun k con f k (p) = ∞. La función φ se extiendede forma holomorfa a todo C de la siguiente manera:Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 41–52

Introducción a los sistemas lineales sobre superficies de Riemann compactas 51Sea p ∈ C cualquier punto y sea k := min j (ord p (f j )). Podemos suponer que en unavecindad de p ninguna f j tiene otro polo mas que posiblemente en p y que en talvecindad no hay ceros comunes de los f j excepto quizas p.Si tomamos una carta local z : U p → C alrededor de p, con z(p) = 0, tenemos quecada f j (z) es holomorfa para z ≠ 0 cerca del origen y no hay ninguna z que sea raízcomun de cada f j . Podemos escribir f j = z k g j , donde g j es holomorfa en una vecindadde p y al menos existe un subíndice j tal que g j (p) ≠ 0.Para z cerca de p con z ≠ 0 definimos ˜φ(p) = [g 0 (z) : · · · : g r (z)] = [z −k f 0 (z) :· · · : z −k f r (z)]. Como al menos alguna g j ≠ 0, se tiene que ˜φ(z) ∈ U j , donde U j esun abierto de la cubierta abierta de CP r . En el punto p, donde z(p) = 0, tomamos˜φ(p) := [g 0 (0) : · · · : g r (0)]. Esto nos hace ver que tenemos una aplicación holomorfaC → CP r bien definida. Así pues, dado un divisor D sobre C podemos estudiaraplicaciones holomorfas C → CP r . La imagén de C será una curva algebraica( posiblementesingular) y por medio de estos divisores podemos ver la relación entre lassuperficies de Riemann compactas y las curvas algebraicas.Definición. Decimos que una aplicación φ : C → CP r es birracional si existe unabierto denso U de C donde φ| U : U → CP r es un biholomorfismo, es decir, φ U esuna función holomorfa con inversa holomorfa.Si X es una curva plana con singularidades de tipo nodal, existe una técnica que”resuellve” dichas singularidades X, es decir, a X uno le puede asociar un únicasuperficie de Riemann compacta C X salvo isomorfismo, con una aplicación birracionalτ : C X − −− > X([4],p.69), es decir, si X sing es el conjunto de nodos de X, se tieneque C X −τ −1 (X sing ) es biholomorfo a X −X sing . A C X se le llama la desingularizaciónde X. Si d es el grado de X, y δ es el nuḿero de nodos de X, se tiene que el génerode C X viene dado por la siguiente fórmula de Plucker para curvas planas con nodos:g = (d−1)(d−2)2− δ ([2], p.262).El siguiente resultado nos dice toda superficie de Riemann compacta C admite unmodelo biracional a una curva plana X con nodos, es decir, C admite un sistemalineal gd 2 para una cierta d:Teorema.- Sea C una superficie de Riemann compacta. Entonces existe una aplicaciónholomorfa f : C → CP 2 cuya imagen X = f(C) es una curva plana con nodos ydonde f : C → X es biracional.Demostración. Ver [1], p.50. En este caso se tiene que C ≃ C X .Denotemos por P GL(3, C), el grupo de biholomorfismos proyectivos de CP 2 . Lafórmula de Plucker nos permite relacionar dos variedades de la siguiente manera:Decimos que dos superficies de Riemann compactas C 1 , C 2 son equivalentes si C 1 yC 2 son biholomorfas. Sea [C] la clase de equivalencia de una superficie de Riemanncompacta. Definimos la variedad moduli de superficies de Riemann compactas comoM g := {[C] : C es superficie de Riemann compacta de género g}. Se tiene que parag ≥ 2, M g es una variedad compleja de dimensión 3g − 3 ([3], p.43). Sea Ug,d δ := {X :X es curva plana reducida e irreducible de grado d, género g con δ nodos}. La variedadVg,d δ := U g,d δ /P GL(3, C) se llama variedad de Severi y tiene dimensión 3d + g − 9([3], p.30). La aplicación natural entre estas dos variedades esta dada por:Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 41–52

52 Abel CastorenaΨ : V δ g,d → M g , Ψ(X) = C X .Mediante el estudio de la aplicación Ψ uno puede preguntarse ”cuántos” modelosproyectivos planos de grado d tiene una superficie de Riemann compacta de génerog. Para ello, se define el número de Brill-Noether de una gd 2 sobre una superficiede Riemann compacta C de género g como ρ(g, 2, d) := 3d − 2g − 6. Notemos quedim Vg,d δ = ρ(g, 2, d) + 3g − 3. De aqui tenemos que saber ”cuantos ” son los modelosplanos de grado d de una superficie de Riemann compacta es calcular la dimensiónde Ψ −1 ([C]), para [C] ∈ M g . Si ρ(g, 2, d) ≥ 0, se tiene que en general( en el sentidode moduli ) las fibras de la aplicación Ψ tienen dimensión presisamente dim Vg,d δ −dim M g = ρ(g, 2, d) ≥ 0, ([3], p.27). El estudio de las fibras de la aplicación Ψ esparte de lo que se conoce como teoría de Brill-Noether para divisores especiales.En la actualidad esta teoría esta muy bien entendida y sigue dando resultados interesantesque nos permiten entender mejor la geometría de las curvas algebraicas. Ellector interesado sobre el origen, desarrollo y problemas relacionados con la variedadM g , la variedad de Severi y teoría de Brill-Noether puede encontrar en las referencias[1] y [3] una exposición sobre los teoremas más importantes y algunos problemasabiertos actuales en esta dirección.AgradecimientosEstas se sustentan en un minicurso que fue impartido por un servidor en la unidadde Cs. Básicas de la Universidad Juárez Autonóma de Tabasco(UJAT) del 31 deenero al 4 de febrero de 2005 durante la Primera Escuela de Invierno de Geometrá yDinámica. En la exposición de tales notas tuve la experiencia de utilizar un pizarrónelectrónico en el cual se guardo toda la exposición en un archivo pdf. Basandomeen tales archivos escribí estas notas en latex en el orden en que expuse el curso.Quiero agradecer a todo el personal de la división de Cs. Básicas de la UJAT elapoyo otorgado durante mi estancia y de manera muy especial a mi colega y amigo,Dr. Victor Castellanos Vargas por todo el entusiasmo que tuvo en esta escuela deinvierno.Referencias[1] E. Arbarello, M. Cornalba, P. Griffiths, J. Harris, Geometry of Algebraic Curves VolumeI. Grundlehrem der Mathematischen Wissenschaften 267. Springer-Verlag 1984.[2] P. Griffiths, J. Harris Principles of algebraic geometry. John Wiley 1994.[3] J. Harris, I. Morrison, Moduli of curves. Springer Verlag 1998.[4] R. Miranda, Algebraic curves and Riemann surfaces. Graduate studies in mathematicsVol 5. American Mathematical Society 1995.[5] R. Narasimhan, Compact Riemann Surfaces. Birkhauser Verlag 1992.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 41–52

Invitación al álgebra homólogica 551. f 1 es inyectiva,2. f 2 es sobreyectiva,3. Imf 1 = Kerf 2.En tal caso se le llama sucesión exacta corta.Ejercicio 1. Demostrar la afirmación anterior.Ahora estamos en condición de enunciar nuestro teorema del rango generalizado.Teorema 2 (del rango) Se consideran los siguientes casos:a) Para toda 0 → V 1 −→f 1dim V 1 + dim V 3.V 2 −→f 2V 3 → 0, sucesión exacta corta, se satisface: dim V 2 =b) Para toda sucesión exacta V · : · · · → V i−1 −→f i−1(−1) dim Vi = 0.Pi∈ZV i −→f iV i+1 −→f i+1. . . , se satisface:Como corolario obtenemos la formulación original:Corolario 1. Si f : E → F es una aplicación lineal, entonces:dim E = dim(Kerf) + dim(Imf).Prueba. Como 0 → V 1identificaciones:−→f1 V 2 −→f2 V 3 → 0 es exacta, tenemos las siguientesV 1 se puede identificar, mediante f 1, con un subespacio vectorial de V 2 : V 1 ⊂ V 2,V 3 ≃ V 2/V 1, el espacio cociente de V 2 por el subespacio V 1.Sea {e 1 , ..., e k } una base de V 1 y {ɛ 1 , ..., ɛ l } una base de V 3 . Sea {ɛ ′ 1, . . . , ɛ ′ l } un“levantamiento” a V 2 de la base elegida en V 3 .Sea v ∈ V un elemento arbitrario de V 2 , existen β j ∈ k tales que:f 2 (v) =Levantando esta relación a V 2 tenemos:v =l∑β j ɛ j .j=1l∑β j ɛ ′ j + v 0 , v 0 ∈ Kerf 2 ≃ V 1 .j=1Por tanto,l∑k∑v = β j ɛ ′ j + α i e i ,j=1 i=1Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67

56 Alexis G. Zamorapara alguna colección {α i ∈ k}. Esto demuestra que {e 1 , ..., e k , ɛ ′ 1, ..., ɛ ′ l} es un conjuntogenerador de V 2 . La demostración de que estos elementos son linealmente independienteses similar.Ejercicio 2. Demuestre la parte b) del teorema.3. Lección 2. Formas diferenciales en R 2 .Todas las funciones que consideraremos en esta lección son de clase C ∞ . Resumimosen la siguiente tabla las definiciones y propiedades elementales de las formasdiferenciales en R 2 .Expresión Conjunto (conexo) Expresión de la integralde integraciónΩ 0 f p ∈ R 2 f(p)∫Ω 1 ω = pdx + qdy curvas Γ ⊂ R 2 Γ ω = ∫ 10 (p(t)γ′ 1(t) + q(t)γ 2(t))dt′∫Ω 2 hdx ∧ dy dominios U ⊂ R 2 hdx ∧ dy( integral de Riemann)∫UEn estas expresiones f,p, q, h son funciones (de clase C ∞ ) y Γ es una curva, estoes, la imagen en R 2 de una función de clase C 1 : γ : [0, 1] → R 2 ,γ(t) = (γ 1 (t), γ 2 (t)), t ∈ [0, 1].La expresión p(t) tiene el significado p(t) = p(γ 1 (t), γ 2 (t)).Los elementos de Ω i se denominan i-formas. Estos espacios vectoriales tienen aplicacionesnaturales definidas entre ellas, los llamados operadores diferenciales o simplementeel diferencial d : Ω i → Ω i+1 . Se definen por medio de las siguientes expresiones:si f ∈ Ω 0 (≃ C ∞ ), df := f xdx + f ydy,si ω = pdx + qdy ∈ Ω 1 , dω := (p y − q x)dx ∧ dy.El diferencial de toda 2−forma es cero. De este modo podemos definir una sucesiónde espacios vectoriales y aplicaciones lineales:Ω· : 0 → Ω 0 −→dΩ 1 −→d Ω 2 → 0.Nos preguntamos si esta sucesión es exacta. La respuesta a esta pregunta es obviamentenegativa, pues si f ∈ Ω 0 es cualquier función constante df = 0. Esta dificultadpodemos salvarla modificando nuestra definición de Ω·:Ω· : 0 → R → Ω 0 −→dcon la nueva aplicación definida como la inclusión.Ω 1 −→d Ω 2 → 0,Ejercicio 3. Demostrar que d : Ω 1 → Ω 2 es sobreyectiva.De este modo Ω· es exacta si y sólo si para 1-formas ω = pdx+qdy las condiciones:Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67

Invitación al álgebra homólogica 57a) dω = 0,b) existe f ∈ Ω 0 tal que f x = p, f y = q son equivalentes.Definición 2 (formas cerradas y exactas) Una 1−forma ω = pdx + qdy se llama cerrada sidω = 0 (equivalentemente si p y = q x ). ω se llama exacta si existe f ∈ Ω 0 tal quef x = p y f y = q.Así nuestro problema es investigar si para 1−formas son equivalentes las condicionesde ser exacta y cerrada. Una de las dos implicaciones es una simple consecuenciade la conmutatividad de las derivadas parciales mixtas, si f ∈ Ω 0 , entonces:d 2 f = d(df) = d(f x dx + f y dy) = (f xy − f yx )dx ∧ dy = 0.Esto es, toda forma exacta es cerrada. El recíproco de esta afirmación también escierto. Sea ω una forma cerrada, definamosf(p) :=∫ p0ω, p ∈ R 2 .El significado de la integral es tomar cualquier curva γ tal que γ(0) = 0 y γ(1) = p.Por supuesto, para que esta definición tenga sentido es necesario que el valor de laintegral sea independiente de la curva γ elegida, o equivalentemente que para todacurva cerrada Γ (γ(0) = γ(1)): ∫ω = 0.ΓLa independencia de la integral con respecto a la curva de integración la garantiza elteorema de Green:Teorema 3. Sea ω una 1−forma y Γ una curva cerrada en R 2 , entonces∫ω =Γ∫ ∫dω.Γ oDonde Γ o denota el interior de Γ.Ejercicio 4. Demuestre que efecto d( ∫ pω) = ω.0Con esto resolvemos completamente el problema planteado, siempre que trabajemosen R 2 , pero ¿qué sucede si consideramos formas definidas sobre dominios arbitrariosU ⊂ R 2 ? Nuestro último argumento ya no será válido, pues la demostracióndel teorema de Green se basa en el hecho de que el interior de Γ es un dominiosimplemente conexo del plano.Consideremos, por ejemplo, U = ∆ 1 − {(0, 0)}, el disco abierto de radio 1 menosel origen. De ahora en adelante Ω i (U) denotará el espacio de i−formas diferencialesdefinidas sobre U, o sea las funciones que aparecen como coeficientes de nuestrasformas serán ahora elementos de C ∞ (U) . Nuevamente nos preguntamos si la sucesiónΩ·(U) es exacta. Naturalmente, el mismo argumento usado anteriormente demuestraque toda forma exacta sobre U es también cerrada. Sin embargo, toda forma cerradaRevista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67

58 Alexis G. Zamorano es exacta. Para convencernos de esta última afirmación introducimos las formasdiferenciales complejas.Identifiquemos el plano R 2 con C del modo usual, z = x+iy. Una forma diferencialcompleja ω es una expresión del tipo ω = f(z)dz, con f(z) = u(x, y) + iv(x, y) unafunción diferenciable con variable y valores complejos y dz = dx + idy.La expresión de ω puede reescribirse como:f(z)dz = (u(x, y) + iv(x, y))dx + (iu(x, y) − v(x, y))dy.Vista de este modo toda forma diferencial compleja es una forma real pero con valoresen los números complejos. Ahora bien, ω será cerrada si y sólo si:esto es, si y sólo si:(u + iv) y = (iu − v) x ,u y = −v x , u x = v y .Estas son las bien conocidas condiciones de Cauchy-Riemann. Podemos concluir entoncesque una forma diferencial compleja f(z)dz en U es cerrada si y sólo si f(z) esuna función holomorfa en U. Como un subproducto de nuestra discusión obtenemosel siguiente teorema de Cauchy, que es la base de la teoría de funciones holomorfas:Teorema 4. Sea Γ ⊂ C una curva simple tal que su interior U es un dominio simplementeconexo. Si f es una función holomorfa en una vecindad de Ū entonces∫f(z)dz = 0.ΓPara finalizar, regresemos a nuestro dominio U = ∆ 1 − {(0, 0)}. Consideremos laforma compleja 1 zdz, que es holomorfa en U. Sabemos por tanto que nuestra formaes cerrada, sin embargo esta no puede ser exacta, pues de serlo su ”primitiva”, ln(z)tendría una rama bien definida en U.Ejercicio 5. Deducir de lo anterior que la sucesión Ω·(U) no es exacta.4. Lección 3. Complejos de módulos y homologíaLa propiedad d 2 f = 0 para toda función diferenciable f sugiere de manera naturalla noción de complejo. Sin embargo, antes de plantear la definición introducimos unaclase de objetos que generalizan el concepto de espacio vectorial y para los cualespuede ser definidos igualmente los complejos.Para simplificar la discusión suponemos que R es un anillo conmutativo y con 1(por ejemplo, k[x 1 , ..., x n ] el anillo de polinomios en n variables).Definición 3. (Definición de módulos) Sea R un anillo (con las convenciones anteriores),un R−módulo M es un grupo abeliano (M, +) provisto de una aplicación:R × M → M, (r, m) → rm que satisface:Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67

Invitación al álgebra homólogica 59i) ∀a ∈ R, la aplicación M → M, m → am es R−lineal,ii) ∀a 1, a 2 ∈ R y m ∈ M, (a 1 + a 2)m = a 1m + a 2m.iii) ∀m ∈ M, 1m = m.Ejemplo 2. 1. Si R = k es un campo, entonces los k−módulos son precisamente losk−espacios vectoriales.2. R es un R−módulo con R × R → R la multiplicación del anillo.3. Si I ⊂ R es un ideal, entonces I es un R−módulo con la multiplicación del anillo.4. M 1 ⊂ M 2 es llamado un submódulo de M 2 si es un subgrupo de M 2 y RM 1 ⊂ M 1. Ental caso el grupo cociente M 2/M 1 es un R−módulo.5. Si M 1, M 2 son R−módulos, la suma directa M 1 ⊕ M 2 es un R−módulo. En particularla suma directa de R consigo mismo n veces, R n , se denomina el módulo libre de rangon.6. Los espacios Ω i son Ω 0 -módulos.Entre dos módulos definidos sobre un mismo anillo existe la noción de aplicacionesR−lineales. Nótese, por ejemplo, que la aplicación R−lineal d : Ω 1 → Ω 2 no esΩ 0 −lineal.Definición 4 (complejos) Sea M · : · · · → M i−1 −→di−1 M i −→di M i+1 −→di+2 . . . , unasucesión de R−módulos y aplicaciones R−lineales. M · se llama un complejo si, paratodo k ∈ Z, d k+1 ◦ d k = 0.La condición d k+1 ◦ d k = 0 es equivalente a Imd k ⊂ Kerd k+1 . Si además Imd k =Kerd k+1 , M · se llama sucesión exacta.Ejemplo 3. Sea U = ∆ 1 − {(0, 0)} entonces, por la discusión de la lección anterior,Ω·(U) es un complejo pero no una sucesión exacta.Definición 5 (cohomología) Sea M · un complejo de R−módulos, el i−ésimo módulo decohomología de M · se define como:H i (M ·) := Kerd i /Imd i−1 .En particular si U ⊂ R 2 es un dominio a la cohomología de Ω·(U) se le llamacohomología de “de Rham” de U y se denota por HDR i (U). Reformulando nuestroanálisis sobre las formas diferenciales en R 2 podemos establecer:U ⊂ R 2 es simplemente conexo ⇐⇒ HDR 1 (U) = 0.Este hecho es la primera manifestación de un principio general: la cohomología decomplejos nos brinda información muy importante sobre los objetos que estamos estudiando.Esta información puede ser, dependiendo del contexto, algebraica, topológicao geométrica.También es posible definir un morfismo entre dos complejos. Si M · y N · son doscomplejos tenemos:Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67

60 Alexis G. ZamoraDefinición 6 (morfismos de complejos) Un morfismo α : M · → N ·, es una colección deaplicaciones R−lineales α i : M i → N i tal que los cuadradosconmuntan para todo i ∈ Z.M i−1d i−1M i ,α i−1 α i δ i−1N i−1 N iEjercicio 6. Dado α : M · → N · un morfismo de complejos demuestre que α induceuna aplicación R−lineal: α ∗ : H i (M ·) → H i (N ·)La siguiente definición es la clave para comparar la cohomomología de complejos.Definición 7 (morfismo cero-cohomólogico) Un morfismo de complejos α : M · → N ·, se dicecero-cohomólogico si existe aplicaciones R−linealestales que α k = h k+1 d k + δ k−1 h k .h i : M i → N i−1 ,Lema 1. Si α es cero-cohomológica entonces α ∗ es la aplicación cero.Prueba. La primera observación es que α k envía el ker(d k ) en el kernel de δ k (esto esprecisamente lo que permite definir α ∗ ). Sea m ∈ ker(d k ). Entonces:α k (m) = h k+1 d k (m) + δ k−1 h k (m),pero d k (m) = 0, y δ k−1 h k (m) ∈ Im(δ k−1 ), y por tanto su clase es cero en H k (N ·).El modo más usual de obtener información de este lema es notar que si dos morfismos:α, β : M · → N · satisfacen que α − β es cero-cohomólogica, entonces α ∗ = β ∗ .5. Lección 4. Dos ejemplos de complejos5.1 Complejo de Koszul de longitud 2Comenzamos con la siguiente definición básica:Definición 8 (divisor de cero) Sea R un anillo (conmutativo y con 1), x ∈ R se llama undivisor de cero si ∃y ∈ R, y ≠ 0 tal que xy = 0. Si x no es divisor de cero se le llamaelemento regular.Dados cualesquiera dos elementos x, y ∈ R definimos (x : y) := {a ∈ R | ay ∈}.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67

Invitación al álgebra homólogica 61Ejercicio 7. Demuestre que (x : y) es un ideal de R.Sea x ∈ R, definimos el siguiente complejo:K(x) : 0 → R −→ ·x R,A pesar de su aspecto inofensivo la cohomología de este complejo nos brinda algunainformación sobre x. En efecto, H 0 (K(x)) = Ker(R −→ ·x R) = (0 : x), de modo quex es regular si y sólo si H 0 (K(x)) = 0.Un problema más interesante se presenta si elegimos dos elementos x, y ∈ R y definimosla noción de conjunto regular. El conjunto ordenado {x, y} se llamará regularsi:a) x es regular,b) la clase de y en R/ < x > (denotada por ȳ) es regular.Supongamos entonces que x es regular y sea y cualquier otro elemento en R.Definimos el complejo:K(x, y) : 0 → R −→(y x)d 0R ⊕ R −→(−x,y)d 1R → 0.Es fácil comprobar que esta sucesión es, en efecto, un complejo. Calculemos su cohomología:H 0 (K(x, y)) = Ker(d 0 ) = {a ∈ R | ay = 0 y ax = 0} = 0,ya que x es regular.Veamos ahora quién es H 1 (K(x, y)) = Ker(d 1 )/Im(d 0 ). En primer lugarKer(d 1 ) = {( a b) | −ax + by = 0}.La condición by = ax implica que b ∈ (x : y). Inversamente, si b ∈ (x : y), entoncesexiste a tal que by = ax, además este a será único pues la existencia de a ′ ≠ a conla misma propiedad implica que x es divisor de cero. Esta correspondencia biunívocaestablece un isomorfismo de ideales (esto es, dicha correspondencia es R−lineal):Por otro ladoKer(d 1 ) ≃ (x : y).Im(d 0 ) = {( cycx) | c ∈ R}.De este modo Im(d 0 ) puede ser identificado, a través del isomorfismo anterior, conel ideal generado por < x >⊂ (x : y). En conclusión:H 1 (K(x, y)) ≃ (x : y)/ < x > .Ahora estamos en condición de formular la conclusión de nuestro análisis:Proposicón 1. Sea x ∈ R un elemento regular, y ∈ R. El conjunto ordenado {x, y}es regular si y sólo si: H 1 (K(x, y)) = 0.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67

62 Alexis G. ZamoraPrueba. ȳ ∈ R/ < x > es regular si y sólo si(0 : ȳ) ≃ (x : y)/ < x >≃ H 1 (K(x, y)) = 0.Este ejemplo ilustra una vez más cómo la cohomología de complejos codifica importanteinformación sobre los objetos estudiados. En este caso la información es detipo algebraica.5.2 Homología simplicialEl siguiente ejemplo puede ser considerado, junto con el teorema del rango y elestudio de formas cerradas, como la motivación histórica más importante para elsurgimiento del álgebra homológica.Sea X una superficie de Riemann compacta (o más generalmente una 2−variedadreal, conexa, compacta, sin frontera y orientable). Un triángulo en X se define comola imagen del triágulo “estándar” en R 2 bajo una aplicación homeomorfa. Más precisamente,∆ 2 ⊂ R 2 es el triángulo definido por los vértices v 0 = (0, 0), v 1 = (0, 1),v 2 = (1, 0), una orientación se define como un ordenamiento de los vértices, concretamentetomamos:v 0 < v 1 < v 2 .Con esta orientación tiene sentido hablar de la región interior a ∆ 2 y cometiendo unligero abuso de lenguaje llamaremos ∆ 2 al triángulo junto con su interior.Similarmente definimos el eje estándar en R 2 como el segmento de recta orientado∆ 1 = v 0 ¯v 1 y el vértice estándar como el punto ∆ 0 = v 0 . Además los tres ejes de ∆ 2serán denotados por:I 0 :=v 1 ¯v 2 , I 1 := v 0 ¯v 1 , I 2 := v 0 ¯v 1 (= ∆ 1 ).Es completamente natural definir la frontera orientada de ∆ i como:δ(∆ 2 ) = I 0 − I 1 + I 2 ,δ(∆ 1 ) = v 0 − v 1 ,δ(∆ 0 ) = 0,(el lector está invitado a convencerse de la “naturalidad” de estas definiciones medianteun dibujo).Finalmente, se define C i (X) como el grupo abeliano libre generado por todas lasposibles imágenes homeomorfas de ∆ i en X. El operador δ definido anteriormentepuede extenderse por medio de imágenes homeomorfas y linealidad a los gruposC i (X). Como resultado obtenemos un complejo de Z−módulos (o sea, de gruposabelianos):C 2 (X) −→δC 1 (X) −→δ C 0 (X) → 0.Nótese que en este caso los módulos que forman el complejo están numerados enorden decreciente. De un modo ingenuo podemos decir que debido a esta notaciónRevista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67

Invitación al álgebra homólogica 63hablamos de “homología” del complejo, en lugar de cohomología. La verdadera razónde este cambio de notación hay que buscarla en la noción de dualidad de módulos.La homología de este complejo, llamada homología simplicial y denotada porH i (X, Z) guarda toda la información esencial sobre la topología de X. Por ejemplo,debido al hecho de que X es conexa, o más exactamente arco conexa, se deduceque H 0 (X, Z) = Z.En efecto, todo elemento de C 0 (X) está en el núcleo de la aplicación frontera, sip, q ∈ X son dos elementos cualesquiera de C 0 (X) existe una curva γ con γ(0) = p, yγ(1) = q. Por tanto p − q ∈ C 0 (X) está en la imagen de δ, puesto que es la fronterade γ ∈ C 1 (X). Esto demuestra que H 0 (X, Z) es el grupo libre sobre Z generado porp.El grupo H 1 (X, Z) ≃ Z 2g , donde g es el género de X, clasifica la clase topológica deX. El lector podrá encontrar en las notas de A. Castorena, en este mismo volumen,la definición de género.6. Lección 5. Hom R(N, −)Sea R un anillo conmutativo y con 1. Fijemos un R−módulo N, a cada R−móduloM le asignamos el conjunto de R−aplicaciones lineales N → M, este conjuntose denota como Hom R (N, M), y tiene una estructura de R−módulo, definida por lasuma y el producto puntuales.Ejercicio 8. Compruebe que Hom R (N, M) es un R−módulo. Haga notar que lacondición R es conmutativo es indispensable para definir la estructura de R−módulo.Para simplificar la notación es conveniente denotar la clase de todos los R− módulospor Mod R y la asignación anterior por:Hom R (N, −) : Mod R → Mod R .Esta asignación no sólo define una aplicación entre módulos sino también entre morfismosde módulos. Sif : M 1 → M 2es una aplicación R−lineal definimosf N : Hom R (N, M 1 ) → Hom R (N, M 2 )por medio de la composición: f N (α) = f ◦ α. Es decir f N (α) hace conmutar el diagrama:N f N (α)αM 1f M 2.Nos planteamos ahora el siguiente problema, seaM · : 0 → M 1 −→f1M 2 −→f2 M 3 → 0,Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67

64 Alexis G. Zamorauna sucesión exacta corta de R−módulos. Cuándo es la sucesión:exacta?Hom R (N, M ·) : 0 → Hom R (N, M 1 ) −→f 1,N→ Hom R (N, M 2 ) −→f 2,NHom R (N, M 3 ) → 0La respuesta más general que se puede dar a esta pregunta es la siguiente:Afirmación 1. Si M · es exacta entonces0 → Hom R (N, M 1 ) −→f 1,NHom R (N, M 2 ) −→f 2,NHom R (N, M 3 )es exacta.Prueba. Supongamos que α ∈ Hom R (N, M 1 ) es tal que f 1,N (α) = f 1 ◦α = 0, entoncesIm(α) ⊂ Ker(f 1 ) = 0, puesto que M · es exacta. Por tanto α = 0. Esto de muestraque f 1,N es inyectiva.Sea ahora β ∈ Hom R (N, M 2 ) un elemento de la imagen de f 1,N . Esto significa queexiste α ∈ Hom R (N, M 1 ) tal que β = f 1 ◦ α. Pero entoncesf 2,N (β) = f 2,N (f 1 ◦ α) = f 2 ◦ f 1 ◦ α = 0,puesto que f 2 ◦f 1 = 0, por ser M · exacta. Esto demuestra que Im(f 1,N ) ⊂ Ker(f 2,N ).Finalmente, sea β ∈ Ker(f 2,N ). Esto es, f 2 ◦ β = 0. Esto implica que la imagen deβ : N → M 2 está contenida en el kernel de f 2 , pero al mismo tiempo Ker(f 2 ) = M 1 ,esto es, β factoriza a través de M 1 y por tanto está en la imagen de f 1,N .Por tanto la respuesta a nuestra pregunta es afirmativa salvo, tal vez, por la exactitudde Hom R (N, M ·) en la última flecha, o lo que es lo mismo, por la sobreyectividaddef 2,N : Hom R (N, M 2 ) → Hom R (N, M 3 ).Fijo N esta aplicación será sobreyectiva para toda M · exacta si y sólo si se cumplela siguiente condición: P: Para todo morfismo sobreyectivo de R−módulos:y todo morfismoM 2 → M 3 → 0,γ : N → M 3 ,existe γ ′ : N → M 2 tal que el siguiente diagrama conmuta:Lo que motiva la siguiente:γ ′N M 2 M 3 0γ.Definición 9 (módulo proyectivo) Un R−módulo N se dice proyectivo si satisface algunade las propiedades equivalentes siguientes:Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67

Invitación al álgebra homólogica 65a) la propiedad P,b) para toda sucesión exacta corta M · de R−módulos la sucesión Hom R(N, M ·) tambiénes exacta.Ejemplo 4. 1. Sea R n un módulo libre y supongamos que tenemos morfismos:R n γ.M 2f M 3 0Sea e 1, ...e n una base de R n y m i := γ(e i). Sean ¯m i ∈ M 2 tales que f( ¯m i) = m i. ComoR n es libre la asignación β(e i) = ¯m i define una aplicación R − lineal β : R n → M 2 quepor construcción satisfaceγ = f ◦ β.Es decir, todo módulo libre es proyectivo.2. Sea R = Z y consideremos el módulo Z 2 y el diagrama:Z 2idZπ Z 2 0donde π es el cociente de Z por 2Z. Este diagrama no puede ser completado con unmorfismo β : Z 2 → Z puesto que Hom Z (Z 2, Z) = 0. Esto es, Z 2 no es un móduloproyectivo.Ejemplo 5. Demuestre que:a) un módulo M es libre (≃ R n ) si y sólo si tiene una base e 1, ..., e n. Aquí la definiciónde base es exactamente la misma que en álgebra lineal: un conjunto de generadoreslinealmente independientes.b) si M es libre y e 1, ..., e n es una base todo morfismo α : M → N se define medianteuna asignación α(e i) = n i ∈ N. En particular para todo N:Hom R(R n , N) ≃ N n .Ejercicio 9. Demuestre que Hom Z (Z 2 , Z) = 0.El último ejemplo nos permite deducir dos razones por la cuáles un módulo puedeno ser proyectivo.Afirmación 2. Sea D un dominio (todo elemento de D ≠ 0 es regular). Sea M unD−módulo finitamente generado y supongamos que existe m ∈ M tal que m es detorsión, es decir, m ≠ 0 y para algún n ∈ Z, n ≠ 0 nm = 0. Entonces M no esproyectivo.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67

66 Alexis G. ZamoraPrueba. La hipótesis M es finitamente generado significa que existe un morfismosobreyectivo:D k → M → 0,para algún k natural. El mismo argumento usado para demostrar el Problema 9 nospermite concluir queHom D (M, D k ) = 0.La segunda razón está relacionada con la existencia de extensiones no triviales.Sean M y N R−módulos, una extensión no trivial de N por M es una sucesiónexacta:0 → M → ¯M → N → 0que no es isomorfa a la extensión0 → M → M ⊕ N → N → 0.Isomorfismo entre extensiones significa que existe un diagrama conmutativo:Tenemos entonces:0 M id¯M0 M ¯M′ N 0Afirmación 3. Sea N un R−módulo, supongamos que existe M que admite unaextensión no trivial de N por M. Entonces N no es proyectivo.Prueba. SeaϕNid0 → M → ¯M −→π N → 0la extensión no trivial y consideremos el diagrama:0 .N.0 M ¯Mπ N 0Si N es proyectivo existe β : N → ¯M tal que π ◦ β = id. Del Ejercicio 10 se deduceque la extensión considerada no podría ser no trivial.idEjercicio 10. Sea0 → M → ¯M −→π N → 0,una sucesión exacta de R−módulos, supongamos que existe β : N → M tal queπ ◦ β = id. Demostrar que en tal caso ¯M ≃ M ⊕ N y la extensión definida por lasucesión exacta es trivial.Hom R (N, −) es uno de los casos más importantes de lo que se conoce como unfuntor (en este caso de la categoría de R−módulos en sí misma). Construir a partirde una sucesión exactaRevista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67

Invitación al álgebra homólogica 67M · : 0 → M 1 −→f1M 2 −→f2 M 3 → 0,otra sucesión que termine en 0 y que tenga por inicio la sucesión:0 → Hom R (N, M 1 ) −→f 1,NHom R (N, M 2 ) −→f 2,NHom R (N, M 3 ) → . . .es un problema que involucra la construcción de complejos asociados a la sucesiónexacta y el cálculo de sus cohomologías. En esta construcción aparecen de modonatural módulos que parametrizan el conjunto de extensiones no triviales de M 3 porM 1 .Referencias[1] Kostrikin, A. y Manin, Y. Linear Algebra and Geometry. Gordon and Breach, 1997.◦Los resultados discutidos en la Lección 1 pueden encontrarse en cualquier texto modernode Algebra Lineal, pero personalmente recomiendo este texto.[2] Ahlfors, L. Complex Analysis. McGraw-Hill, 1953.◦Para una introducción a las formas diferenciables, y en particular su relación con lavariable compleja[3] Springer, G. Introduction to Riemann Surfaces, Addison-Wesley, 1957.◦Este último texto es también magnífico para tomar un primer contacto con la homologíasimplicial sobre una superficie de Riemann.[4] Rotman, J.J. An Introduction to Homological Algebra. Academic Press 1979.◦Para los conceptos directamente relacionados con el álgebra homológica, como módulos,complejos y el funtor Hom.[5] Eisenbud, D. Commutative Algebra. With a view toward Algebraic Geometry. SpringerVerlag, 1995.◦La discusión en la Lección 4, sección 1 es reproducción de la sección 17.1 de este texto.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67

EditoresREVISTA DE CIENCIAS BASICAS UJATes editada por laDivisión Académica de Ciencias Básicasde la Universidad Juárez Autónoma de TabascoDr. Abdiel E. Cáceres González (abdiel.caceres@dacb.ujat.mx)Dr. José Leonardo Sáenz Cetina (leonardo.saenz@basicas.ujat.mx)Comité editorialFísicaM.C. Esteban Andrés ZárateMatemáticasM.C. Robert Jeffrey FlowersQuímicaDr. Isaías Magaña MenaM.C. Ma. Teresa Gamboa RodríguezComputaciónL.S.C.A. Diana G. Chuc DuránDescripciónLa Revista de Ciencias Básicas UJAT es una publicación semestral, dedicada a la difusión de lasciencias básicas. Se dirige a profesores y estudiantes universitarios, y en general a todos los interesadosen las ciencias. Su propósito es ofrecer un espacio que permita informar sobre las investigaciones en elárea correspondiente y difundir temas generales de las ciencias básicas.Información para autoresLos autores deben enviar por correo electrónico (revistaCB@dacb.ujat.mx) una copia enformato PDF de su artículo propuesto. El artículo será distribuido a tres revisores, los cuales darán suaprobación para que sea publicado. Una vez que el artículo sea aceptado para su publicación, se lesolicitará al autor una versión del documento en formato fuente de LaTeX2e, el molde para conservar elestilo tipográfico se encuentra en la sección de “Información para autores”, en la página WEB de larevista (http://www.revistaCB.ujat.mx/), también es posible solicitarlo por correo electrónico.El contenido de los artículos debe ser de interés científico en las áreas de física, matemáticas,computación y química; pudiendo ser de divulgación de temas de investigación o de reportes deinvestigación. La extensión deseable de los artículos oscila entre las 5 y 15 páginas, pudiendo extendersetanto como sea necesario de acuerdo a los criterios de los editores.Todos los artículos deberán ser escritos en español o inglés, con un resumen de no mas de 150palabras tanto en español como en inglés.Para encontrar revisores adecuados, agregue el siguiente cuestionario resuelto en el correo electrónicoque nos envíe:1) ¿Cuál es la contribución importante de este trabajo?2) ¿Cuáles son las áreas de conocimiento más relacionadas con este trabajo?Lista de suscriptoresLa suscripción es absolutamente gratuita. La Revista Ciencias Básicas UJAT se distribuyepersonalmente dentro de las instalaciones de la DACB-UJAT, si usted está interesado en recibirla en undomicilio diferente, mande un correo electrónico a los editores, proporcionando su dirección yúnicamente se requerirá el costo del envío.Página WEBhttp://www.revistaCB.ujat.mx/Correo electrónicorevistaCB@dacb.ujat.mx