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pdf 3Mb - Publicaciones - Universidad Juárez Autónoma de Tabasco

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Dinámica <strong>de</strong> los Polinomios Cuadráticos 5Resolviendo obtenemos que: a = a 2 , b = a 12 , y c = a 0a 2 + a 12 − a 12.2Esta proposición nos muestra que el estudio dinámico <strong>de</strong> los polinomios cuadráticoslo po<strong>de</strong>mos reducir a los polinomios <strong>de</strong> la forma P c , con la ventaja que estos últimosestán parametrizados por el campo C. Por ello, encontrar los puntos fijos <strong>de</strong> P sereduce a encontrar los puntos fijos <strong>de</strong> P c , es <strong>de</strong>cir, las raíces <strong>de</strong>l polinomio z 2 − z + c.Resolviendo se obtiene que los puntos fijos <strong>de</strong> P c sonz 1,2 = 1 ± √ 1 − 4c,2los cuales son dos, salvo el caso c = 1 4 , don<strong>de</strong> P c tiene a 1 2como único punto fijo.Definición 2.3. Sea z un punto periódico <strong>de</strong> P <strong>de</strong> periodo k con multiplicador λ =DP k (z); don<strong>de</strong> DP k (z) <strong>de</strong>nota la <strong>de</strong>rivada compleja <strong>de</strong> P k en z.1. z es atractor si | λ |< 1, si λ = 0 diremos que z es super-atractor,2. z es repulsor si | λ |> 1, y3. z es indiferente si | λ |= 1.Observemos que si {z 1 , z 2 , . . . , z k } es una órbita periódica <strong>de</strong> P , usando la regla <strong>de</strong> laca<strong>de</strong>na, se pue<strong>de</strong> mostrar que la <strong>de</strong>rivada DP k (z j ) no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> la j; en consecuenciala <strong>de</strong>finición anterior tiene sentido para órbitas periódicas.Ejemplo 2.1. El punto fijo z = 1 − √ 1 − 4c2<strong>de</strong> P c es:1. atractor si c ∈ ( −34 , 1 ) \ {0} y super-atractor cuando c = 0,42. indiferente si c = 1 4 o c = −34 y3. repulsor si c < −34 o c > 1 4 .Para mostrar la importancia que tiene esta clasificación <strong>de</strong> los puntos periódicosenunciaremos sin <strong>de</strong>mostración algunos teoremas que pue<strong>de</strong>n ser revisados en [1, 2].2.1 Atractores y RepulsoresTeorema 2.1 (Koenings-1884) Sea f una función con un punto fijo en z 0 y cuyo multiplicadores λ. Si 0 < |λ| < 1 o |λ| > 1 entonces existen U, V vecinda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> z 0 y<strong>de</strong> 0 respectivamente y un biholomorfismo ϕ : U → V que conjuga analiticamentela función f a la función g(z) = λz. A<strong>de</strong>más, esta conjugación es única, módulo lamultiplicación por un escalar real.Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 3–15


Dinámica <strong>de</strong> los Polinomios Cuadráticos 7Proposición 2.2. Sea t ∈ R \ Q, tal que t = [a 0 , a 1 , a 2 , . . . ]. t es <strong>de</strong> tipo acotado si ysólo si t es diofantino <strong>de</strong> exponente dos.Este resultado nos dice que los números reales peor aproximados por racionales sonlos <strong>de</strong> tipo acotado. En particular, la razón áurea t = [1, 1, 1, 1, . . .] = 1 + √ 5es un2número <strong>de</strong> tipo acotado y <strong>de</strong> hecho, todos los números algebraicos son <strong>de</strong> este tipo ycasi todo número real es diofantino [10].Teorema 2.3 (Siegel-1942) Sea f una función analítica en z 0 tal que f(z 0 ) = z 0 y λ =f ′ (z 0 ) = e 2πiθ . Si θ es diofantino entonces f es linearizable en z 0 .Al dominio maximal <strong>de</strong> linearización ∆ <strong>de</strong> f se le llama disco <strong>de</strong> Siegel y a θ se lellama número <strong>de</strong> rotación <strong>de</strong> f en ∆.A partir <strong>de</strong> este teorema, se tiene la siguiente clasificación <strong>de</strong> los puntos indiferentesen términos <strong>de</strong> θ.Definición 2.6. Sea f una función analítica en z 0 tal que z 0 es un punto fijo <strong>de</strong> fcon multiplicador λ = e 2πiθ . z 0 es :1. Parabólico si θ es racional.2. Siegel si f es linearizable en una vecindad <strong>de</strong> z 0.3. Kremer si θ es irracional y f no es linearizable en z 0.Teorema 2.4 (Brjuno-1965) Sea f una función analítica en z 0 tal que z 0 es un punto fijo<strong>de</strong> f con multiplicador λ = e 2πiθ . Si pnq n. . . <strong>de</strong>nota la n-ésima aproximación a θ yentonces f es linearizable en z 0 .∞∑n=1log q n+1q n< ∞,Yoccoz <strong>de</strong>mostró en 1998 que para la familia <strong>de</strong> polinomios cuadráticos, la condición<strong>de</strong> Brjuno es necesaria para tener linearización [22, 3], pero en general no se tieneuna condición necesaria.3. Conjuntos <strong>de</strong> Julia y conjuntos <strong>de</strong> FatouPara <strong>de</strong>finir el conjunto <strong>de</strong> Julia y <strong>de</strong> Fatou <strong>de</strong> un polinomio es importante observarque si P es un polinomio <strong>de</strong> grado d entonces el infinito es un punto fijo super-atractory a<strong>de</strong>más por el teorema <strong>de</strong> Böttcher existe una vecindad U <strong>de</strong>l infinito don<strong>de</strong> P esanalíticamente conjugado a la función z d . En consecuencia, la órbita <strong>de</strong> todos lospuntos z ∈ U converge al infinito.Definimos el dominio <strong>de</strong> atracción <strong>de</strong>l infinitoA P (∞) = {z ∈ C : límn→∞ P n (z) = ∞ },Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 3–15


8 Gamaliel Blé Gonzálezel conjunto <strong>de</strong> Julia lleno <strong>de</strong> PK P = {z ∈ C : la órbita O P (z)es acotada }el conjunto <strong>de</strong> Julia J P <strong>de</strong> P es la frontera <strong>de</strong> K P y el conjunto <strong>de</strong> Fatou F P es launión <strong>de</strong> A P (∞) y el interior <strong>de</strong> K P .Como el conjunto A P (∞) es abierto, el conjunto F P resulta ser abierto. Por otro parte,el conjunto K P es compacto y directamente <strong>de</strong>l principio <strong>de</strong>l máximo obtenemosque las componentes <strong>de</strong>l interior <strong>de</strong> K P son simplemente conexas. A<strong>de</strong>más, para elcaso cuando P es un polinomio se tienen los siguientes resultados <strong>de</strong> P. Fatou y G.Julia, los cuales pue<strong>de</strong>n ser consultados en [2, 1]).Figura 1. Conjuntos <strong>de</strong> Julia lleno K c para: a) c=0, b) c=-2, c) c=-1 y d) c=-0.36+0.62iPropieda<strong>de</strong>s:1. El conjunto J P es compacto, perfecto y diferente <strong>de</strong>l vacio.2. Los conjuntos J P y F P son completamente invariantes, es <strong>de</strong>cir, P −1 (J P ) = P (J P ) = J Py <strong>de</strong> igual manera para F P .3. Si f <strong>de</strong>nota la k−ésima iterada <strong>de</strong> P para alguna k ∈ N, es <strong>de</strong>cir f = P k , entoncesJ P = J f y F P = F f .4. Si z ∈ J P entonces el conjunto ∪ ∞ n=1P −n (z) es <strong>de</strong>nso en J P .5. Sea z un punto periódico <strong>de</strong> periodo k <strong>de</strong> P .a) Si z es atractor entonces z ∈ F PRevista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 3–15


Dinámica <strong>de</strong> los Polinomios Cuadráticos 9b) Si z es repulsor entonces z ∈ J P6. Los puntos periódicos repulsores <strong>de</strong> P son un conjunto <strong>de</strong>nso en J P .7. El conjunto K P es conexo si y sólo si la órbita <strong>de</strong> cada punto crítico <strong>de</strong> P es acotada.Teorema 3.1 (Sullivan-1985) Sea P un polinomio y U una componente <strong>de</strong> F P . Entoncesexiste l ≥ 0 tal que P l (U) es periódica, es <strong>de</strong>cir, P l+k (U) = P l (U), para alguna k.Definición 3.1. El dominio <strong>de</strong> atracción A P (w) <strong>de</strong> un punto fijo atractor w es elconjuntoA P (w) = {z ∈ C : lím n = w}n→∞En el caso que ζ = {z 1 , z 2 , . . . , z k } es una órbita atractora <strong>de</strong> periodo k, entonces z jes un punto fijo <strong>de</strong> P k para cada j = 1, ..., k y el dominio <strong>de</strong> atracción <strong>de</strong> ζ es launión <strong>de</strong> los dominios <strong>de</strong> atracción A P k(z j ) <strong>de</strong> cada z j con respecto a P k , es <strong>de</strong>cir,A P (ζ) = ∪ k j=1A P k(z j ).El dominio inmediato <strong>de</strong> atracción <strong>de</strong>l ciclo ζ <strong>de</strong>notado por A ∗ (ζ) es la unión <strong>de</strong> lask componentes <strong>de</strong> A P (ζ) que contienen al ciclo.Teorema 3.2. Si z 0 es un punto periódico atractor <strong>de</strong> P , entonces el dominio inmediato<strong>de</strong> atraccción A ∗ (z 0 ) contiene al menos un punto crítico.4. Familia cuadráticaEn esta sección vamos a presentar algunos <strong>de</strong> los resultados más importantes obtenidosen las últimas décadas para la familia cuadrática.Denotemos por K c = K Pc y J c = J Pc , directamente <strong>de</strong> las propieda<strong>de</strong>s enunciadas enla sección anterior tenemos:Corolario 4.1. El conjunto J c es conexo, si sólo si, la órbita <strong>de</strong>l cero es acotada.Corolario 4.2. El conjunto J c es un conjunto <strong>de</strong> Cantor, si y sólo si, la órbita <strong>de</strong>cero converge a infinito, es <strong>de</strong>cir, 0 ∈ A c (∞).Definimos el conjunto <strong>de</strong> Man<strong>de</strong>lbrot M como,M = {c ∈ C : J c es conexo} = {c ∈ C : la órbita O c (0) es acotada }Observemos que si c = 0 entonces J c es la circunferencia unitaria centrada en ceroy por lo tanto es conexo. De aqui tenemos que M es diferente <strong>de</strong>l vacio, pero nosgustaría tener más propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> M y mostrar la relación <strong>de</strong> este conjunto con ladinámica <strong>de</strong> P c .Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 3–15


10 Gamaliel Blé GonzálezFigura 2. Conjunto <strong>de</strong> Man<strong>de</strong>lbrotProposición 4.1. Sea R = max{2, | c |}. Si | z |> R entonceslím P n (z) = ∞n→∞Demostración Sea z 0 ∈ C tal que |z 0 | > R. Para mostrar que la sucesión {z n }converge a infinito, basta con mostrar que la sucesión |z n | es estrictamente creciente.Veamos en primer lugar que |P (z 0 )| > |z 0 |, es <strong>de</strong>cir, que∣ p(z 0 ) ∣∣∣∣ > 1z 0∣p(z 0 )z 0∣ ∣∣∣=∣z 2 0 + cz 0∣ ∣ ∣∣∣ ≥ |z 0 | −c ∣∣∣∣ > |z 0 | − 1 > 1z 0De aqui tenemos por inducción sobre n que |z n+1 | > |z n | y en consecuencia el resultado.Observación 4.1. Si | c |> 2 entonceslím P c n (0) = ∞n→∞Porque cero es enviado en c y |P c (c)| = |c 2 +c| > |c|, por el resultado anterior la órbita<strong>de</strong> c 2 + c converge a infinito, en consecuencia la órbita <strong>de</strong> cero también converge ainfinito.Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 3–15


Dinámica <strong>de</strong> los Polinomios Cuadráticos 11Corolario 4.3. El conjunto M está contenido en el discoD 2 (0) = {c ∈ C : | c | 2}.A<strong>de</strong>más, Douady y Hubbard <strong>de</strong>mostraron en 1982 el siguiente resultado [6],Teorema 4.1 (Douady-Hubbard) El conjunto M es conexo, compacto y lleno. Don<strong>de</strong> llenosignifica que Ĉ \ M es simplemente conexo.y ese mismo año postularon la siguiente conjetura, la cual permanece sin resolver.Conjeture (MLC) El conjunto M es localmente conexoPara darnos una i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> la complejidad <strong>de</strong> la frontera <strong>de</strong> M, Shishikura mostró en1992 que la dimensión <strong>de</strong> Hausdorff <strong>de</strong> ésta es dos [18]. Sin embargo, este resultadono <strong>de</strong>scartó la posibilidad <strong>de</strong> MLC y para enten<strong>de</strong>r una <strong>de</strong> las implicaciones <strong>de</strong> estaconjetura introduciremos el concepto <strong>de</strong> hiperbolicidad.Definición 4.1. Un polinomio P es hiperbólico siO P (Ω P ) ⋂ J P = ∅,don<strong>de</strong> Ω P <strong>de</strong>nota el conjunto <strong>de</strong> puntos críticos <strong>de</strong> P .En el caso que c /∈ M la órbita <strong>de</strong>l punto crítico se va a infinito y por lo tanto P ces hiperbólico, pero que po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>cir <strong>de</strong> los parámetros que están en M. Por elteorema 3.2 tenemos que los polinomios P c tienen a lo más una órbita atractora ya<strong>de</strong>más, el polinomio P c tiene una órbita atractora si y sólo si P c es hiperbólico.Denotemos porH(M) = {c ∈ M : P c es hiperbólico }= {c ∈ M : P c tiene una órbita atractora }Por el teorema <strong>de</strong> la función implícita tenemos que el conjunto H(M) es abierto yla conjetura <strong>de</strong> Fatou sobre la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> las componentes hiperbólicas se pue<strong>de</strong>traducir para el caso <strong>de</strong> la familia cuadrática en la siguiente conjetura:Conjeture (H) Int(M) = H(M)Douady y Hubbard en [6] <strong>de</strong>mostraron que la conjetura MLC implica la conjeturaH y esto hizo que muchos <strong>de</strong> los trabajos en sistemas dinámicos complejos, <strong>de</strong> lasúltimas dos décadas, se orientarán en la búsqueda <strong>de</strong> una solución para la conjeturaMLC.5. componentes hiperbólicasEn esta sección nos <strong>de</strong>tendremos a estudiar las componentes hiperbólicas con el fin<strong>de</strong> mostrar los avances en la <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> MLC.Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 3–15


12 Gamaliel Blé GonzálezEn primer lugar notemos que en los puntos <strong>de</strong>l interior <strong>de</strong> M, se tiene conexidad localy por lo tanto los puntos importantes son los que se encuentran en la frontera <strong>de</strong> M.Denotemos por W 0 a la componente principal <strong>de</strong> M, <strong>de</strong>finida como,W 0 = {c ∈ M : P c tiene un punto fijo atractor }Para i<strong>de</strong>ntificar el conjunto W 0 , recor<strong>de</strong>mos que P c tiene dos puntos fijos, los cuales<strong>de</strong>notaremos por α c y β c ; ellos satisfacen,z 2 − z + c = (z − α c )(z − β c )= z 2 − (α c + β c )z + α c β c .Así α c + β c = 1 y α c β c = c. Como P ′ c(z) = 2z tenemos que,|P ′ c(α c )| + |P ′ (β c )| = 2α c + 2β c = 2(α c + β c ) = 2.Esta <strong>de</strong>sigualdad nos muestra nuevamente que solamente uno <strong>de</strong> los puntos α c o β ces atractor. Digamos que α c es dicho punto, entoncescomo α c es punto fijo <strong>de</strong> P c tenemos que|P ′ (α c )| = 2|α c | < 1 ⇔ |α c | < 1/2,α 2 c + c = α c ⇒ c = α c − α 2 c . (1)Así el conjunto <strong>de</strong> parámetros c para los cuales P c tiene un punto fijo atractor es laimagen <strong>de</strong>l disco {α c : |α c | < 1/2} bajo la función z ↦→ z−z 2 . Esta función la po<strong>de</strong>mosver como la composición f ◦ g ◦ h, don<strong>de</strong> h(z) = z−1/2, g(z) = z 2 y f(z) = 1/4 − z, yel conjunto <strong>de</strong> parámetros c para los cuales se tiene un punto fijo atractor, resulta serel interior <strong>de</strong> la cardioi<strong>de</strong> mostrada en la figura 3. De aquí po<strong>de</strong>mos observar que laFigura 3. Imagen <strong>de</strong> S 1 bajo f ◦ g ◦ h, don<strong>de</strong> h(z) = z − 1/2, g(z) = z 2 y f(z) = 1/4 − z.función ρ W0 : W 0 → D que a c lo envia en DP c (α c ) es un bi-holomorfismo y <strong>de</strong> hechoRevista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 3–15


Dinámica <strong>de</strong> los Polinomios Cuadráticos 13Douady y Hubbard mostraron que si un valor <strong>de</strong> c ∈ Int(M) es hiperbólico, es <strong>de</strong>cir,P c tiene una órbita periódica atractora <strong>de</strong> periodo k, entonces toda la componenteW ⊂ Int(M) es hiperbólica, para todo c 1 ∈ W , P c1 tiene una órbita periódicaatractora {z 1 , ..., z k } y la función ρ W : W → D que a c 1 lo envia en DPc k 1(z k ) resultaser un bi-holomorfismo que pue<strong>de</strong> exten<strong>de</strong>rse continuamente a la frontera [4]. Laextensión <strong>de</strong> este isomorfismo ρ W a la frontera nos proporciona una parametrización<strong>de</strong> la frontera <strong>de</strong> W ; en el caso <strong>de</strong> W 0 po<strong>de</strong>mos parametrizar la cardioi<strong>de</strong> por lafunciónγ W0 (t) = e2πit2( ) e2πit 2− , t ∈ [0, 1].2En este caso <strong>de</strong>cimos que el parámetro c = ρ −1W (e2πit ) tiene argumento interno t.En 1992, Yoccoz <strong>de</strong>mostró MLC para todos los parámetros que se encuentran en lafrontera <strong>de</strong> una componente hiperbólica <strong>de</strong> M [9].6. Rayos externosEl polinomio P c tiene un punto fijo super-atractor en el infinito y por el teorema <strong>de</strong>Böttcher existe una vecindad U <strong>de</strong>l infinito don<strong>de</strong> el polinomio P c es analíticamenteconjugado a la función z 2 . Denotemos por φ c al bi-holomorfismo que realiza la conjugación,<strong>de</strong>ja fijo al infinito y es tangente a la i<strong>de</strong>ntidad en el infinito. Si U es elconjunto maximal don<strong>de</strong> φ c conjuga a z 2 entonces tenemos dos casos:1. Cuando c ∈ M, U = Ĉ \ Kc y2. cuando c /∈ M entonces U es una vecindad <strong>de</strong>l infinito que contiene al valor crítico c.A partir <strong>de</strong>l bi-holomorfismo φ c se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>finir la funciónΦ M : Ĉ \ M → Ĉ \ Dc ↦→ φ c (c)Douady y Hubbard <strong>de</strong>mostraron que esta función es un bi-holomorfismo y por elteorema <strong>de</strong> Carathéodory (veáse [15]), el bi-holomorfismo Φ M , (o φ c ) se extien<strong>de</strong>continuamente a la frontera <strong>de</strong> M (a J c ) si sólo si, la frontera <strong>de</strong> M, (J c ) es localmenteconexo. De aquí obtenemos que la conjetura MLC sería cierta si se <strong>de</strong>muestra queΦ M se extien<strong>de</strong> continuamente a la frontera <strong>de</strong> M.Para enten<strong>de</strong>r el comportamiento <strong>de</strong> Φ M en la frontera vamos a <strong>de</strong>finir los rayosexternos a M y a J c .Si θ ∈ T = R/Z, entonces el rayo externo a M <strong>de</strong> ángulo θ es el conjuntoR M (θ) = Φ −1M ({z ∈ C : z = re2πiθ , 1 < r < ∞ }).Si el lím r→1 R M (θ) = c, se dice que el rayo <strong>de</strong> ángulo θ aterriza en c y que c tiene aθ como argumento externo . Esta <strong>de</strong>finición, también es válida para los conjuntos <strong>de</strong>Julia conexos, si sustituimos a Φ M por φ cTeorema 6.1. (Douady-Hubbard-1982) Sea c un parámetro en la frontera <strong>de</strong> unacomponente hiperbólica W y con ángulo interno t ∈ T.Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 3–15


14 Gamaliel Blé González1. Si t es racional y c ≠ 1/4 entonces c tiene dos argumentos externos, es <strong>de</strong>cir, haydos ángulos θ 1, θ 2 tales que los rayos externos R M (θ i) aterrizan en c, para i = 1, 2.A<strong>de</strong>más, los rayos R c(θ i) aterrizan en la raíz <strong>de</strong> la componente <strong>de</strong>l interior <strong>de</strong> K c quecontiene a c y son adyacentes a ésta.2. Si t es irracional entonces existe un único ángulo θ tal que R M (θ) aterriza en c.Douady y Hubbard <strong>de</strong>mostraron también que todos los rayos externos <strong>de</strong> ánguloracional θ aterrizan a la frontera <strong>de</strong> M y <strong>de</strong> hecho ellos mostraron que si θ es periódicobajo la función 2t entonces R M (θ) aterriza en un parámetro c parabólico (P c tiene unaórbita parabólica) y en caso contrario R M (θ) aterriza en un parámetro <strong>de</strong> Misiurewiczc, (el punto crítico <strong>de</strong> P c es pre-periódico).A<strong>de</strong>más <strong>de</strong> los parámetros consi<strong>de</strong>rados por Douady-Hubbard, Yoccoz <strong>de</strong>mostró en[9] que se tiene conexidad local en todos los parámetros finitamente renormalizables(veáse [15] para la <strong>de</strong>finición) y en estos últimos años se han <strong>de</strong>stacado los trabajos <strong>de</strong>Lyubich [12, 13] quien ha establecido condiciones que garantizan la conexidad localen parámetros infinitamente renormalizables.7. Conexidad local <strong>de</strong> los conjuntos <strong>de</strong> JuliaEn la búsqueda <strong>de</strong> una <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> la conjetura MLC, se ha <strong>de</strong>mostrado la conexidadlocal <strong>de</strong> los conjuntos <strong>de</strong> Julia J c , para casi todo c ∈ C. Douady-Hubbard<strong>de</strong>mostraron la conexidad local <strong>de</strong> los conjuntos <strong>de</strong> Julia <strong>de</strong> polinomios hiperbólicos,<strong>de</strong> polinomios con una órbita parabólica o con el punto crítico pre-periódico (<strong>de</strong> Misiurewicz)[6]. A<strong>de</strong>más, Douady mostró los primeros ejemplos <strong>de</strong> conjuntos <strong>de</strong> Juliaque no son localmente conexo: Los Julias <strong>de</strong> polinomios cuadráticos con un punto <strong>de</strong>Kremer o con un disco <strong>de</strong> Siegel ∆ para el cual el punto crítico no está en la frontera<strong>de</strong> ∆ [5, 8]. En lo que concerne a polinomios cuadráticos con disco <strong>de</strong> Siegel, en 1994Petersen mostró que si el número <strong>de</strong> rotación es <strong>de</strong> tipo acotado entonces el conjunto<strong>de</strong> Julia es localmente conexo y <strong>de</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue cero [16]. En el 2004, Peterseny Zakeri generalizaron este resultado para aquellos polinomios cuadráticos con discos<strong>de</strong> Siegel, cuyo números <strong>de</strong> rotación θ = [a 1 , a 2 , ...] satisface que la sucesión {log(a n )}crece <strong>de</strong>l or<strong>de</strong>n √ n, [17]. En 1998 Levi y Van Strien <strong>de</strong>mostraron la conexidad localpara todos los parámetros reales en M [14]. Sin embargo, aún existen parámetros cen la frontera <strong>de</strong> M don<strong>de</strong> se <strong>de</strong>sconoce la conexidad local <strong>de</strong> J c y la conexidad local<strong>de</strong> M en c.Por otro lado, en 1992, Shishikura <strong>de</strong>mostró que existe un conjunto residual <strong>de</strong>parámetros c en la frontera <strong>de</strong> M para los cuales J c tiene dimensión <strong>de</strong> Hausdorffdos, pero hasta la fecha no se ha podido dar explícitamente uno <strong>de</strong> estos parámetros[18, 19]. A<strong>de</strong>más, se conjetura la existencia <strong>de</strong> parámetros c en la familia cuadráticapara los cuales el conjunto J c tiene medida cero.Estas notas son una breve introducción a la familia cuadrática y una invitación aestudiar los retos que existen en sistemas dinámicos.Referencias[1] L. Carleson et T.W. Gamelin, Complex Dynamics, Springer-Verlag, 1993.[2] A.F. Beardon, Iteration of rational functions, Springer-Verlag, 1991.Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 3–15


Dinámica <strong>de</strong> los Polinomios Cuadráticos 15[3] A.D. Brjuno, Convergence of transformations of differential equations to normal forms,Dokl. Akad. Nauk USSR 165, (1965), 987-989.[4] A. Douady, Systèmes Dynamiques Holomorphes, Séminaire Bourbaki, 35é année # 599,Astérisque 105-106 (1982), 39-63.[5] A. Douady, Disques <strong>de</strong> Siegel et anneaux <strong>de</strong> Herman, Séminaire Bourbaki, 1986-87,Presentación No.677, Astérisque 152-153, (1987), 151-172.[6] A. Douady, J.H. Hubbard, Étu<strong>de</strong> dynamique <strong>de</strong>s polynômes complexes I et II,Pub.Math. d’Orsay 84-02 et 85-02, (1984-85).[7] P. Fatou, Mémoire sur les équations fonctionnelles Bull.S.M.F 47 (1919), 161-271: 48(1920), 33-94 et 208-314.[8] M. Herman, Are there critical points on the boundaries of a Siegel disk? , Comm.Math. Phys. 99, (1985), 593-612.[9] J.H. Hubbard, Local connectivity of Julia sets and bifurcation loci:three theorems of J.-C. Yoccoz, In ”Topological Methods in Mo<strong>de</strong>rn Mathematics. A Symposium in Honorof John Milnor’s 60 th. Birthday”, Publish or Perish, 1993, 467-511.[10] G.H. Hardy y E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford UniversityPress, 1979.[11] P. Fatou, Mémoire sur l’itération <strong>de</strong>s fonctions rationnelles J. Math.Pures Appl. (7a.serie) 4 (1918), 47-245.[12] M. Lyubich, Dynamics of quadratic polynomials. I-II Acta Math 178, (1997), 185-297.[13] M. Lyubich, Feigenbaum-Coullet-Tresser universality and Milnor’s Hairness conjecture,Ann. of Math. 149, (1999), 319-420.[14] G. Levin et S.van Strien, Local connectivity of the Julia Set on Real Polynomials, Ann.of Math 147, (1998), 471-541.[15] C.T. McMullen, Complex Dynamics and Renormalization, Princenton University Press,1994.[16] C.L. Petersen, Local connectivity of some Julia sets containing a circle with an irrationalrotation, Act. Math. 177, (1996), 163-224.[17] C.L. Petersen y S. Zakeri, On the Julia set of a typical quadratic polynomial with aSiegel disk,[18] M. Shishikura, The boundary of the Man<strong>de</strong>lbrot set has Hausdorff dimension two. Complexanalytic methods in dynamical systems (Rio <strong>de</strong> Janeiro, 1992). Astrisque No. 222(1994), 7, 389-405.[19] M. Shishikura, The Hausdorff dimension of the boundary of the Man<strong>de</strong>lbrot set andJulia sets, Ann. of Math. 147, (1998), 225-267.[20] C.L. Siegel, Iteration of Analytic functions, Annals of Maths., 43, 1942, 607-612.[21] D. Sullivan, Quasiconformal homeomorphisms and dynamics I, solution of the Fatou-Julia problem on the wan<strong>de</strong>ring domains, Ann. of Math. 122, (1985), 401-418.[22] J.-C. Yoccoz, Linéarisation <strong>de</strong>s germes <strong>de</strong> difféomorphismes holomorphes <strong>de</strong> (C,0),C.R. Acad. Sci. Paris, 306, 1988, 55-58.Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 3–15


Geometría <strong>de</strong> curvas algebraicasClaudia Reynoso *<strong>Universidad</strong> <strong>de</strong> Guanajuato, Facultad <strong>de</strong> Matemáticas,Callejón Jalisco s/n, A.P. 402, C.P. 36000,Guanajuato, Gto. MéxicoEstas notas tienen como objetivo principal enunciar los teoremas y conceptos fundamentalesusados en geometría algebraica para iniciar el estudio <strong>de</strong> las varieda<strong>de</strong>salgebraicas afines, en particular estudiamos las curvas planas afines, que son varieda<strong>de</strong>salgebraicas <strong>de</strong> dimensión uno en el espacio afín <strong>de</strong> dimensión dos. Finalizamos elestudio <strong>de</strong> las curvas lanas afines analizando sus puntos singulares, rectas tangentes yel índice <strong>de</strong> intersección <strong>de</strong> dos curvas planas en un punto.In these notes we will collect the <strong>de</strong>finitions and important results of algebraic geometryrequired for beginning the study of algebraic affine varieties, in particular, thestudy of algebraic plane curves, which are algebraic affine varieties of dimension onein the affine space of dimension two. Finally we <strong>de</strong>fine the singular points and thetangent lines in the plane curves and also we study the intersection number of twocurves at a point.Palabras clave: Variedad alegbraica afín, curva plana afín, índice <strong>de</strong> intersección.Keywords: Algebraic affine variety, affine plane curve, intersection in<strong>de</strong>x.1. IntroducciónUn conjunto algebraico afín es un conjunto geométrico que vive en un espacioal que llamaremos espacio afín y que está <strong>de</strong>finido por los ceros <strong>de</strong> un conjunto <strong>de</strong>polinomios. Nosotros nos enfocaremos al estudio <strong>de</strong> las curvas planas afines, que sonconjuntos algebraicos que viven en el plano afín y <strong>de</strong>finidas por los ceros <strong>de</strong> un sólopolinomio no constante.El objeto <strong>de</strong> estudio <strong>de</strong> la geometría algebraica son las varieda<strong>de</strong>s algebraicas(conjuntos algebraicos irreducibles), y la herramienta fundamental que utiliza paraestudiar los fenómenos geométricos que se presentan en sus objetos es el álgebra, es<strong>de</strong>cir, todos estos fenómenos tienen una traducción algebraica que nos ayuda a enten<strong>de</strong>rlos.Estas notas son una introducción al estudio <strong>de</strong> propieda<strong>de</strong>s locales <strong>de</strong> curvas planas,daremos primero las <strong>de</strong>finiciones y teoremas importantes para, en la última parte,estudiar estas propieda<strong>de</strong>s.La primera sección es un recordatorio <strong>de</strong> las <strong>de</strong>finiciones y teoremas provenientes<strong>de</strong>l álgebra que utilizaremos a lo largo <strong>de</strong>l curso. En el segunda sección damos las<strong>de</strong>finiciones <strong>de</strong> n-espacio afín y <strong>de</strong> conjunto algebraico, daremos una serie <strong>de</strong> propieda<strong>de</strong>sque satisfacen los conjuntos algebraicos para, finalmente, <strong>de</strong>finir la topología* claudia@cimat.mxRevista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, volumen 4 número 1 (Noviembre 2005) p 16–33


18 Claudia Reynoso2. Notación y DefinicionesDefinición 1. Un anillo conmutativo con 1 es un conjunto R provisto <strong>de</strong> dosoperaciones binarias, adición y multiplicación,R × R → R+ : (r, r ′ ) ↦→ r + r ′· : (r, r ′ ) ↦→ r · r ′ = rr ′ ,respectivamente, tal que1. R es un grupo abeliano bajo la adición con elemento i<strong>de</strong>ntidad 0,2. la multiplicación es conmutativa y asociativa,3. existe un elemento 1 ∈ R tal que 1r = r para todo r ∈ R,4. se satisface la propiedad distributiva: r(s + t) = rs + rt para todo r, s, t ∈ R.A lo largo <strong>de</strong> estas notas vamos a suponer que el anillo R es conmutativo y con 1.Definición 2. Un anillo R es un dominio entero si no hay divisores <strong>de</strong> 0, es <strong>de</strong>cir,si dados a, b ∈ R, a ≠ 0, b ≠ 0, entonces ab ≠ 0.Definición 3. Un i<strong>de</strong>al <strong>de</strong> un anillo R es un subconjunto que contiene a 0 tal que:1. Si a, b ∈ I entonces a − b ∈ I;2. si a ∈ I y r ∈ R entonces ra ∈ I.Definición 4. El i<strong>de</strong>al I es primo si I R y ab ∈ I implica que a ∈ I o b ∈ I.Definición 5. El i<strong>de</strong>al I es maximal si para todo i<strong>de</strong>al J tal que I ⊂ J R entoncesJ = I.Definición 6. El i<strong>de</strong>al I es finitamente generado si existen a 1 , ..., a n ∈ R talesquen∑I =< a 1 , ..., a n >:= { r i a i : r i ∈ R}.Definición 7. Un elemento a en un anillo R es irreducible si para cualquier factorizacióna = bc, b, c ∈ R entonces b o c son unida<strong>de</strong>s en R, es <strong>de</strong>cir, tienen inversomultiplicativo. Un dominio R es un Dominio <strong>de</strong> Factorización Única (DFU) sitodo elemento no cero en R pue<strong>de</strong> ser factorizado <strong>de</strong> manera única, salvo unida<strong>de</strong>s.i=1Definición 8. Un i<strong>de</strong>al se llama principal si esta generado por un elemento. Undominio es un Dominio <strong>de</strong> I<strong>de</strong>ales Principales (DIP) si todo i<strong>de</strong>al es principal.Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33


Geometría <strong>de</strong> curvas algebraicas 19Definición 9. Si R y S son anillos entonces la función φ : R → S es un homomorfismo<strong>de</strong> anillos si para todo r 1 , r 2 ∈ R se tiene:φ(r 1 + r 2 ) = φ(r 1 ) + φ(r 2 )φ(r 1 r 2 ) = φ(r 1 )φ(r 2 )φ(1 R ) = 1 S .Si un homomorfismo es uno a uno y sobre entonces se llama isomorfismo. Dos anillosse dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos.Definición 10. Sea R un anillo y sea I un i<strong>de</strong>al <strong>de</strong> R. Definimos el anillo cociente<strong>de</strong> R módulo I, R/I como el conjunto <strong>de</strong> clases <strong>de</strong> la siguiente relación <strong>de</strong>equivalencia en R:r 1 ∼ r 2 si y sólo si r 1 − r 2 ∈ I.La clase <strong>de</strong> un elemento r ∈ R se <strong>de</strong>notará por r + I.Teorema 1. Bajo las operacionesR/I × R/I → R/I+ : (r 1 + I, r 2 + I) ↦→ r 1 + r 2 + I· : (r 1 + I, r 2 + I) ↦→ r 1 r 2 + Iel anillo cociente <strong>de</strong> R módulo I, R/I forma un anillo con elemento i<strong>de</strong>ntidad parala adición I.Definición 11. Sean R y S anillos y φ : R → S un homormofismo. Definimos elkernel <strong>de</strong> φ como el conjunto Ker φ = {r ∈ R : φ(r) = 0} y la imagen <strong>de</strong> φ comoel conjunto Im φ = {φ(r) : r ∈ R}.Observación: Se verifica facilmente que Ker φ es un i<strong>de</strong>al <strong>de</strong> R y que Im φ es unsubanillo <strong>de</strong> S.Teorema 2. (Teorema Fundamental <strong>de</strong> Homormofismos <strong>de</strong> Anillos) Sea R y S anillosy sea φ : R → S un homomorfismo <strong>de</strong> anillos, entonces la aplicaciónR/Ker φ → Im φr + Ker φ ↦→ φ(r)es un isomorfismo <strong>de</strong> anillos.Definición 12. Un anillo K es un campo si K − {0} es un grupo bajo la multiplicación,con elemento i<strong>de</strong>ntidad 1. Es <strong>de</strong>cir, para todo a ∈ K −{0}, existe a −1 ∈ K −{0}tal que aa −1 = 1.Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33


20 Claudia ReynosoRecordar que el anillo <strong>de</strong> polinomios con coeficientes en un anillo R en una variablees el conjuntom∑R[x] = { a i x i : a i ∈ R, m ∈ N}.i=0Y la estructura <strong>de</strong> anillo la dan las operaciones∑m 1∑m 2a i x i + b i x i =max(m 1,m 2)∑i=0 i=0i=0∑m 1∑m∑1+m 2m 2a i x i b i x i =i=0 i=0i=0 j=0((a i + b i )x ii∑a j b i−j )x i .El anillo <strong>de</strong> polinomios con coeficientes en un campo K en n variables es el conjuntom∑K[x 1 , ..., x n ] = { F i x i 1 : F i ∈ K[x 2 , ..., x n ]}.i=03. Espacio Afín y Conjuntos AlgebraicosSea K un campo. El n-espacio afín sobre K como conjunto es simplemente elproducto cartesiano n veces <strong>de</strong> K, es <strong>de</strong>cir,A n (K) := K × ... × K,} {{ }n vecesdaremos a este espacio estructura <strong>de</strong> espacio topológico mediante la topología <strong>de</strong> Zariskique <strong>de</strong>finiremos en esta sección. Si n = 2 entonces A 2 se llama plano afín.Nota: Cuando no haya lugar a confusión vamos a omitir el K en la notación <strong>de</strong>ln-espacio afín.Sea F ∈ K[x 1 , ..., x n ], <strong>de</strong>notamos por V (F ) el conjunto <strong>de</strong> ceros <strong>de</strong> F , es <strong>de</strong>cirV (F ) = {(a 1 , ..., a n ) ∈ A n : F (a 1 , .., a n ) = 0}. Si F es un polinomio no constanteentonces V (F ) se llama hipersuperficie <strong>de</strong>finida por F . Una hipersuperficie enA 2 se dice curva plana afín.En general, si S es un subconjunto <strong>de</strong> K[x 1 , ..., x n ], entonces <strong>de</strong>finimos el conjunto<strong>de</strong> ceros <strong>de</strong> S como el conjunto V (S) = {p ∈ A n : F (p) = 0 ∀F ∈ S}. Unconjunto X ⊂ A n es un conjunto algebraico si X = V (S) para algún subconjuntoS ∈ K[x 1 , ..., x n ]. Las siguientes propieda<strong>de</strong>s se pue<strong>de</strong>n verificar facilmente:1. V (S) = ∩ F ∈SV (F )2. Si I es el i<strong>de</strong>al en K[x 1, ..., x n] generado por S, entonces V (S) = V (I), así que todoconjunto algebraico es <strong>de</strong> la forma V (I) para algún i<strong>de</strong>al I <strong>de</strong> K[x 1, ..., x n].Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33


Geometría <strong>de</strong> curvas algebraicas 23Prueba. Ver <strong>de</strong>mostración en [1] página 27.Corolario 1. Todo conjunto algebraico en A n está <strong>de</strong>finido por un conjunto finito <strong>de</strong>polinomios.Prueba. Consi<strong>de</strong>remos el conjunto algebraico V (I) para algún i<strong>de</strong>al I ⊂ K[x 1 , ..., x n ].Como el campo K es Noetheriano (pues sus únicos i<strong>de</strong>ales son (0) y K = (1)) entoncesK[x 1 , ..., x n ] es Noetheriano así que I = (F 1 , ..., F r ), entonces V (I) = V (F 1 , ..., F r ).Corolario 2. Todo conjunto algebraico en A n es la intersección <strong>de</strong> un número finito<strong>de</strong> hipersuperficies.Prueba. Para todo conjunto algebraico V ⊂ A n , existen polinomios F 1 , ..., F r ∈K[x 1 , ..., x n ] tales que V = V (F 1 , ..., F r ), así que V = V (F 1 ) ∩ ... ∩ V (F r ) por lapropiedad 1 <strong>de</strong> la sección 3.6. Componentes irreducibles <strong>de</strong> un conjunto algebraicoLos entes básicos que se estudian en geometría algebraica son los conjuntos algebraicosirreducibles; irreducibles en el sentido que <strong>de</strong>finiremos a continuación.Un conjunto algebraico V ∈ A n es reducible si V = V 1 ∪ V 2 , don<strong>de</strong> V 1 , V 2 sonconjuntos algebraicos en A n y V i ≠ V , i = 1, 2. En caso contrario se dice que V esirreducible.Proposición 2. Un conjunto algebraico V es irreducible si y sólo si I(V ) es un i<strong>de</strong>alprimo.Prueba. Si I(V ) = {F ∈ K[x 1 , ..., x n ] : F (p) = 0 ∀ p ∈ V } no es primo entoncesexiste F 1 , F 2 ∈ K[x 1 , ..., x n ] − I(V ) tales que F 1 F 2 ∈ I(V ). Entonces V =(V ∩ V (F 1 )) ∪ (V ∩ V (F 2 )) y V ∩ V (F i ) V , i = 1, 2, así que V es reducible.Inversamente, supongamos que V = V 1 ∪ V 2 , V i ≠ V , entonces I(V i ) ⊃ I(V ); seaF i ∈ I(V i ), F i /∈ I(V ). Entonces F 1 F 2 ∈ I(V ), así que I(V ) no es primo.Definición 15. Un conjunto algebraico irreducible en A n se llama variedad algebraicaafínEl siguiente teorema nos dice que todo conjunto algebraico se <strong>de</strong>scompone comounión <strong>de</strong> varieda<strong>de</strong>s algebraicas afines, <strong>de</strong> aquí que sea suficiente, en geometríaalgebraica, enunciar resultados para éstas.Teorema 4. Sea V un conjunto algebraico en A n . Entonces existen únicos conjuntosalgebraicos irreducibles V 1 , ..., V m tales que V = V 1 ∪ ... ∪ V m y V i ⊄ V j para i ≠ j.Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33


24 Claudia ReynosoPrueba. Ver <strong>de</strong>mostración en [2] página 16.Ejemplo: En general es difícil encontrar las componentes irreducible <strong>de</strong> un conjuntoalgebraico. Ver por ejemplo la página <strong>de</strong> [3], en este ejemplo se calculan las componentesirreducibles <strong>de</strong> V (xz − y 2 , x 3 − yz) usando las llamadas Bases <strong>de</strong> Groebner.La <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> este conjunto en componentes irreducibles es V (x, y) ∪ V (xz −y 2 , x 3 − yz, x 2 y − z 2 )7. Subconjuntos algebraicos <strong>de</strong>l planoEl principal objetivo <strong>de</strong> estas notas es estudiar algunas propieda<strong>de</strong>s locales <strong>de</strong> curvasplanas, es <strong>de</strong>cir, hipersuperficies que viven en A 2 . Como veremos en esta sección,estos son los conjuntos algebraicos que tiene sentido estudiar en el plano afín pues elresto son puntos aislados, el vacío y el total.Proposición 3. Sean F y G polinomios en K[x, y] sin factores comunes. EntoncesV (F, G) = V (F ) ∩ V (G) es un conjunto finito <strong>de</strong> puntos.Prueba. Si F y G no tienen factores en común en K[x][y], entonces no tienen factoresen común en K(x)[y]. Esto se sigue <strong>de</strong>l siguiente hecho general: Si R es un dominio<strong>de</strong> factorización única (DFU) con campo <strong>de</strong> cocientes K, entonces todo elementoirreducible F ∈ R[x] es irreducible visto como elemento en K[x].Como K(X) es un campo entonces K(x)[y] es un dominio <strong>de</strong> i<strong>de</strong>ales principales(DIP), así que < F, G >=< 1 > en K(x)[y], entonces existen R, S ∈ K(x)[y] talesque RF + SG = 1.Existe un polinomio no cero D ∈ K[x] tal que DR := A, DS := B ∈ K[x][y]. Porlo tanto tenemos que A(x, y)F (x, y) + B(x, y)G(x, y) = D(x).Si (a, b) ∈ V (F, G) entonces D(a) = 0, pero D tiene sólo un número finito <strong>de</strong> ceros.Esto muestra que sólo un número finito <strong>de</strong> x − coor<strong>de</strong>nadas pertenecen a los puntos<strong>de</strong> la variedad. De manera análoga se prueba que sólo existen un número finito <strong>de</strong>y − coor<strong>de</strong>nadas.Corolario 3. Si K es un campo infinito, entonces los subconjuntos algebraicos irreducibles<strong>de</strong> A 2 son: A 2 , ∅, {p}, tal que p ∈ A 2 y curvas planas irreducibles V (F ),don<strong>de</strong> F es un polinomio irreducibles y V (F ) es infinito.8. Teorema <strong>de</strong> los ceros <strong>de</strong> Hilbert (Nullstellensatz)En esta sección estudiamos el Teorema <strong>de</strong> los Ceros <strong>de</strong> Hilbert, el cual es másconocido por su nombre en alemán: Nullstellensatz.Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33


Geometría <strong>de</strong> curvas algebraicas 25En la sección 4 vimos que si un i<strong>de</strong>al I <strong>de</strong> K[x 1 , ..., x n ] no es radical, entonces nopue<strong>de</strong> ser el i<strong>de</strong>al <strong>de</strong> un conjunto <strong>de</strong> puntos <strong>de</strong> A n . Pero será cierto que todo i<strong>de</strong>alradical es el i<strong>de</strong>al <strong>de</strong> un conjunto <strong>de</strong> puntos? Para campos algebraicamente cerradosla respuesta es afirmativa y nos la da el Teorema <strong>de</strong> los ceros <strong>de</strong> Hilbert, este Teoremanos dice que si I es radical, entonces I es el i<strong>de</strong>al <strong>de</strong> puntos <strong>de</strong> V (I).También mencionaremos en esta sección el Teorema Débil <strong>de</strong> los Ceros, que, comoveremos, es una generalización <strong>de</strong>l Teorema Fundamental <strong>de</strong>l Álgebra y que pue<strong>de</strong>obtenerse como corolario <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> los Ceros <strong>de</strong> Hilbert.A lo largo <strong>de</strong> esta sección vamos a suponer que K es un campo algebraicamentecerrado, es <strong>de</strong>cir, todo polinomio F (x) ∈ K[x] tiene sus raices en K.Teorema 5. (Teorema débil <strong>de</strong> los ceros <strong>de</strong> Hilbert) Si I es un i<strong>de</strong>al propio<strong>de</strong> K[x 1 , ..., x n ] entonces V (I) ≠ ∅.Otra manera <strong>de</strong> enunciar este Teorema es la siguiente: Si (F 1 , ..., F r ) = { ∑ ri=1 G iF i :G i ∈ K[x 1 , ..., x n ]} K[x 1 , ..., x n ] entonces el sistemaF 1 (x 1 , ..., x n ) = 0F 2 (x 1 , ..., x n ) = 0.F r (x 1 , ..., x n ) = 0tiene solución en A n .Observación: Si consi<strong>de</strong>ramos el campo R (el cual no es algebraicamente cerrado)entonces < x 2 + 1 > R[x] y x 2 + 1 = 0 no tiene soluciones en R.Teorema 6. (Teorema <strong>de</strong> los ceros <strong>de</strong> Hilbert) Sea I un i<strong>de</strong>al en K[x 1 , ..., x n ].Entonces I(V (I)) = Rad(I).Prueba. Ver <strong>de</strong>mostración en [2] página 20.A partir <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> los Ceros po<strong>de</strong>mos concluir el Teorema Débil: Sea I ⊂K[x 1 , ..., x n ] un i<strong>de</strong>al propio. Supongamos que V (I) = ∅ entonces I(V (I)) = I(∅) =K[x 1 , ..., x n ] = Rad(I), la última igualdad implica que 1 ∈ I así que I = K[x 1 , ..., x n ]y esto es una contradicción.El siguiente corolario es sumamente importante porque establece relaciones biyectivasentre objetos algebraicos y objetos geométricos.Corolario 4. Existe una correspon<strong>de</strong>ncia uno a uno entre las siguientes colecciones:Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33


26 Claudia Reynoso{I ⊂ K[x 1 , ..., x n ] : I es i<strong>de</strong>al radical} ↔ {X ⊂ A n : X es algebraico}I ↦→ V (I)si I es un i<strong>de</strong>al primo entonces es un i<strong>de</strong>al radical, así que:{I ⊂ K[x 1 , ..., x n ] : I es i<strong>de</strong>al primo} ↔ {X ⊂ A n : X es variedad algebraica}I ↦→ V (I){I ⊂ K[x 1 , ..., x n ] : I es i<strong>de</strong>al maximal} ↔ A n(x 1 − a 1 , ..., x n − a n ) ↦→ (a 1 , ..., a n )9. Anillo Coor<strong>de</strong>nadoAhora empezaremos a estudiar las funciones continuas respecto a la topología <strong>de</strong>Zariski <strong>de</strong> una variedad algebraica al campo don<strong>de</strong> está <strong>de</strong>finida, el concepto básicoen este tema es el <strong>de</strong> anillo coor<strong>de</strong>nado.Si V ⊂ A n es una variedad entonces I(V ) es un i<strong>de</strong>al primo yΓ(V ) = K[x 1, ..., x n ]I(V )es un dominio entero al que llamaremos anillo coor<strong>de</strong>nado <strong>de</strong> V . Y la pregunta es:Qué representa Γ(V ) para la variedad V ?Sea F (V, K) = {f : V → K : f es función}. Bajo las operacionesF (V, K) × F (V, K) → F (V, K)· : (f, g) ↦→ fg : V → Kx ↦→ f(x)g(x)+ : (f, g) ↦→ f + g : V → Kx ↦→ f(x) + g(x)F (V, K) es un anillo don<strong>de</strong> po<strong>de</strong>mos i<strong>de</strong>ntificar a K con el subanillo <strong>de</strong> las funcionesconstantes en F (V, K). Un elemento f ∈ F (V, K) es una función polinomialen V si existe F ∈ K[x 1 , ..., x n ] tal que f(a 1 , ..., a n ) = F (a 1 , ..., a n ) para todop = (a 1 , ..., a n ) ∈ V . El conjunto <strong>de</strong> funciones polinomiales <strong>de</strong> V forma un subanilloen F (V, K).Definimos el siguiente homomorfismo <strong>de</strong> anillosRevista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33


Geometría <strong>de</strong> curvas algebraicas 27K[x 1 , ..., x n ] → F (V, K)F ↦→ F |V ,el kernel <strong>de</strong> este homomorfismo es {F ∈ K[x 1 , ..., x n ] : F (p) = 0 ∀p ∈ V } = I(V ),así que, por el Teorema Fundamental <strong>de</strong> Homomorfismos <strong>de</strong> Anillos, Γ(V ) es isomorfoal subanillo <strong>de</strong> F (V, K) <strong>de</strong> funciones polinomiales en V en K.Nosotros <strong>de</strong>finimos los cerrados <strong>de</strong> Zariski como ceros <strong>de</strong> polinomios, po<strong>de</strong>mos entoncesconcluir que el conjunto <strong>de</strong> funciones polinomiales <strong>de</strong> una variedad V en Kes el conjunto <strong>de</strong> funciones continuas respecto a la topología <strong>de</strong> Zariski <strong>de</strong> V en K,don<strong>de</strong> estamos i<strong>de</strong>ntificando a K con A 1 .10. Anillo Local <strong>de</strong> una Variedad en un puntoEl anillo local <strong>de</strong> una variedad en un punto es un subanillo <strong>de</strong>l campo <strong>de</strong> fracciones<strong>de</strong>l anillo coor<strong>de</strong>nado <strong>de</strong> la variedad, que nos da, como su nombre lo dice, informacióngeométrica local <strong>de</strong>l punto como parte <strong>de</strong> la variedad don<strong>de</strong> se encuentra, verpor ejemplo el teorema 7.Sea V una variedad afín. El campo <strong>de</strong> fracciones <strong>de</strong>l anillo coor<strong>de</strong>nado Γ(V ) esK(V ) = { F : F, G ∈ Γ(V ), G ≠ 0}.GUn elemento <strong>de</strong> K(V ) se llama función racional <strong>de</strong> V .Sea R ∈ K(V ) y sea p ∈ V . Diremos que R está <strong>de</strong>finida en p si existen F, G ∈Γ(V ) tales que R = F Gy G(p) ≠ 0.Definición 16. Definimos el anillo local <strong>de</strong> V en p como el conjunto O P (V ) ={R ∈ K(V ) : R está <strong>de</strong>finida en p}.Notar que O p (V ) es un subanillo <strong>de</strong> K(V ). Entonces tenemos la siguiente ca<strong>de</strong>na <strong>de</strong>contenciones:K ⊂ Γ(V ) ⊂ O p (V ) ⊂ K(V ),don<strong>de</strong> un elemento en K <strong>de</strong>fine una función polinomial constante en Γ(V ) y unafunción polinomial f ∈ Γ(V ) es el elemento f 1 ∈ O p(V ).Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33


Geometría <strong>de</strong> curvas algebraicas 29Sea F = ΠF eii la factorización <strong>de</strong> F en componentes irreducibles. Entonces m p (F ) =∑ei m p (F i ) y si L es una línea tangente a F i con multiplicidad r i , entonces L es tangentea F con multiplicidad ∑ e i r i .Ahora veamos cómo exten<strong>de</strong>r estas <strong>de</strong>finiciones a un punto p = (a, b) ≠ (0, 0).Consi<strong>de</strong>remos la traslaciónT : A 2 → A 2(x, y) ↦→ (x + a, y + b)entonces <strong>de</strong>scomponemos F T := F ◦T (x, y) = F (x+a, y+b) como F T = G m +G m+1 +..., don<strong>de</strong> G i ∈ K[x, y] es homogéneo <strong>de</strong> grado i, <strong>de</strong>finiremos entonces m p (F ) :=m (0,0) (F T ).11.2 Índice <strong>de</strong> IntersecciónSea F y G curvas planas y sea p ∈ A 2 . El objetivo <strong>de</strong> esta sección es <strong>de</strong>finir unentero positivo que mida (en algún sentido) la manera en que las curvas V (F ) y V (G)se intersectan en el punto p. Este entero se llamará el índice <strong>de</strong> intersección <strong>de</strong> Fy G en p y se <strong>de</strong>notará por I(p, F ∩ G).Vemos a pedirle a la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> índice, I(p, F ∩ G), que satisfaga los siguienteaxiomas, casi todos ellos son propieda<strong>de</strong>s intuitivas que queremos tener <strong>de</strong> I(p, F ∩G).A partir <strong>de</strong> estos axiomas se pue<strong>de</strong> probar el teorema que nos dice cómo po<strong>de</strong>mos<strong>de</strong>finir el índice <strong>de</strong> intersección <strong>de</strong> dos curvas en un punto a partir <strong>de</strong>l anillo local <strong>de</strong>lplano afín en el punto y <strong>de</strong> los polinomios que <strong>de</strong>finen las curvas.1. Si F ≠ G entonces para todo p ∈ A 2 I(p, F ∩ G) ∈ Z ≥0 . Si F = G entonces para todop ∈ V (F ) I(p, F ∩ G) = ∞.2. I(p, F ∩ G) = 0 si y sólo si p /∈ F ∩ G.3. Si T es un cambio afín <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas en A 2 entonces I(T (p), F T ∩ G T ) = I(p, F ∩ G).4. I(p, F ∩ G) = I(p, G ∩ F )Las curvas F y G se intersectan transversalmente en p si p es un punto no-singularpara F y G, y si la línea tangente a F en p es diferente <strong>de</strong> la línea tangente a G en p.Queremos que I(p, F ∩ G) = 1 si y sólo si las curvas se intersectan transversalmenteo, más generalmente5. I(p, F ∩ G) ≥ m p(F )m p(G), con igualdad si y sólo si F y G no tienen líneas tangentesen común.6. Si F = ΠF r iiy G = ΠG s jj , entonces I(p, F ∩ G) = P i,jrisjI(p, Fi ∩ Gj).7. I(p, F ∩ G) = I(p, F ∩ (G + AF )) para todo A ∈ K[x, y].Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33


30 Claudia ReynosoTeorema 7. Sean F y G curvas y p ∈ A 2 . Existe una única <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> I(p, F ∩ G)<strong>de</strong> tal manera que se satisfacen las propieda<strong>de</strong>s anteriores, dicha <strong>de</strong>finición es:I(p, F ∩ G) = dim KO p (A 2 )(F, G)O p (A 2 ) .Prueba. Ver <strong>de</strong>mostración en [2] página 75.En generaldimensión.O p(V )IO p(V )es un espacio vectorial sobre K, asi que po<strong>de</strong>mos calcular suPuesto que O p (A 2 ) = { A B: A, B ∈ K[x, y], B(p) ≠ 0}, entonces los elementos coninverso multiplicativo en este anillo son las funciones en O p (A 2 ) que no se anulan enp. Para calcular esta dimensión como espacio vectorial <strong>de</strong>bemos ver a F y G comoelementos <strong>de</strong>l anillo local.Ejemplo 1: Consi<strong>de</strong>remos las siguientes curvasF (x, y) = q(x, y) + xr(x, y)G(x, y) = q(x, y) + yr(x, y),en el anillo C[x, y] tales que q y r son homogéneos <strong>de</strong> grado d sin componenetes encomún. Calcularemos el índice <strong>de</strong> intersección <strong>de</strong> estas curvas en el punto p = (0, 0).tenemos queI(p, F ∩ G) = dim CO p (A 2 )< q(x, y) + xr(x, y), q(x, y) + yr(x, y) > ,por lo tanto< q(x, y) + xr(x, y), q(x, y) + yr(x, y) >=< r(x − y), q + yr >OI(p, F ∩ G) = dim p(A 2 )C O= dim p(A 2 )C + dim CO p(A 2 ) .El primer sumando se calcula facilmente usando (5) puesto que p y q no son invertiblesen el anillo O p (A 2 ), tienen grado d y no tienen componentes en común.I(p, r ∩ q + yr) = I(p, r ∩ q) = m p (r)m p (q) = d 2 .Sólo resta calcular el segundo sumando, para ello necesitamos consi<strong>de</strong>rar dos casos:Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33


Geometría <strong>de</strong> curvas algebraicas 311) Supongamos que x − y no divi<strong>de</strong> a qO p (A 2 )dim C< x − y, q + yr > = dim O 0 (A 1 )C< ax d+1 + bx d > = dim O 0 (A 1 )C< x d (ax + b) >puesto que ax + b es invertible en la localización ya que b ≠ 0, entoncesO 0 (A 1 )dim C< x d (ax + b) > = dim O 0 (A 1 )C< x d > .Para calcular esta última dimensión vamos a utilizar la siguiente proposición cuya<strong>de</strong>mostración pue<strong>de</strong> ser consultada en la página 57 <strong>de</strong> [2].Proposición 4. Si V (I) = {p} entonces K[x1,...,xn]Ies isomorfo a Op(An )IO p(A n ). Así que:K[x 1 , ..., x n ] O p (A n )dim K ) = dim KIIO p (A n ) .Entonces, como V (x d O) = {0}, tenemos que dim 0(A 1 )C = dim C C[x](x d )caso I(p, F ∩ G) = d 2 + d.= d. En este2) Supongamos que x − y divi<strong>de</strong> a qO p (A 2 )dim C< x − y, q + yr > = dim O 0 (A 1 )C< ax d+1 > = dim C[x]Cax d+1 = d + 1En este caso I(p, F ∩ G) = d 2 + d + 1.Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33


32 Claudia ReynosoEjemplo 2: Calcular el índice <strong>de</strong> intersección <strong>de</strong> las curvasE(x, y) = (x 2 + y 2 ) 2 + 3x 2 y − y 3F (x, y) = (x 2 + y 2 ) 3 − 4x 2 y 2en el punto p = (0, 0). En R 2manera:las curvas correspondientes se ven <strong>de</strong> la siguienteEmpezaremos reemplazando F porF − (x 2 + y 2 )E = y((x 2 + y 2 )(y 2 − 3x 2 ) − 4x 2 y) = yGy ahora reemplazaremos G porG + 3E = y(5x 2 − 3y 2 + 4y 3 + 4x 2 y) = yH.EntoncesI(p, E ∩ F ) = I(p, E ∩ (F + E(3y − (x 2 + y 2 ))) =I(p, E ∩ (F − (x 2 + y 2 )E + 3Ey)) = I(p, E ∩ (yG + 3Ey)) =I(p, E ∩ y(G + 3E)) = I(p, E ∩ y 2 H) =2I(p, E ∩ y) + I(p, E ∩ H).Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33


Geometría <strong>de</strong> curvas algebraicas 33Por (7) y (6) I(p, E ∩ H) = I(p, x 4 ∩ y) = 4 y I(p, E ∩ H) = m p (E)m p (H) = 6 por(5), así que I(p, E ∩ F ) = 14.Agra<strong>de</strong>cimientosQuiero agra<strong>de</strong>cer al Dr. Víctor Castellanos por la invitación para participar enla Primera Escuela <strong>de</strong> Invierno <strong>de</strong> Geometría y Dinámica impartiendo el curso ”Introduccióna la Geometría <strong>de</strong> Curvas Algebraicas”; muchas gracias también a la<strong>Universidad</strong> Juárez Autónoma <strong>de</strong> <strong>Tabasco</strong> por la hospitalidad brindada.Referencias[1] David Eisenbud: Commutative Algebra, with a View Toward Algebraic Geometry.Springer-Verlag, 1995.[2] William Fulton: Algebraic Curves. An Introduction to Algebraic Geometry. W. A. Benjamin,Inc., 1969.[3] David Cox, John Little, Donal O’Shea: I<strong>de</strong>als, Varieties, and Algorithms. Springer-Verlag, 1991.Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33


Dinámica <strong>de</strong> grupos kleineanosManuel Cruz *Facultad <strong>de</strong> Matemáticas<strong>Universidad</strong> <strong>de</strong> GuanajuatoEn estas breves notas <strong>de</strong>scribiremos los conceptos e i<strong>de</strong>as básicas <strong>de</strong> la teoría <strong>de</strong>iteración <strong>de</strong> los llamados grupos Kleineanos, los cuales fueron introducidos por H.Poincaré.In this brief notes we introduce the basic concepts and i<strong>de</strong>as in the iteration theory ofKeinian groups, which where introduced by H. Poincaré.Palabras clave: Iteración <strong>de</strong> los grupos Kleineanos.Keywords: Kleinian groups iteration.1. IntroducciónEl objetivo <strong>de</strong> estas breves notas es el <strong>de</strong> ilustrar algunas i<strong>de</strong>as <strong>de</strong> la teoría <strong>de</strong>grupos Kleineanos. Éstos son subgrupos discretos <strong>de</strong> automorfismos <strong>de</strong> la esfera <strong>de</strong>Riemann, que, cuando actúan, en particular, en el semiplano superior H := {z ∈ C :Im(z) > 0} presentan un comportamiento muy interesante, no sólo <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto<strong>de</strong> vista dinámico, sino también, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto <strong>de</strong> vista artístico, como se pue<strong>de</strong>apreciar en los diversos grabados <strong>de</strong>l famoso artista holandés M.C. Escher (ver, porejemplo, [4]).En la siguiente figura se pue<strong>de</strong> apreciar la dinámica <strong>de</strong> un grupo Kleineano, llamadogrupo <strong>de</strong> Schottky. Dada una configuración <strong>de</strong> círculos tangentes en el planocomplejo, este grupo está generado por inversiones con respecto <strong>de</strong> estos círculos. Enesta figura se pue<strong>de</strong> apreciar cómo el plano complejo se <strong>de</strong>s–compone en dos partes,una ‘curva irregular’ y su complemento, un ‘abierto regular’. Trataremos <strong>de</strong> explicaresta dicotomía a lo largo <strong>de</strong> este manuscrito.Como ‘regla general’, no haremos <strong>de</strong>mostraciones en las secciones si–guientes, exceptoel resultado que caracteriza a los llamados grupos Fuchianos. Los conceptos,ejemplos y resultados pue<strong>de</strong>n consultarse en cualesquiera <strong>de</strong> las referencias [1, 2, 3].2. Grupos KleineanosTodo automorfismo conforme <strong>de</strong> la esfera <strong>de</strong> Riemannexpresar como una transformación <strong>de</strong> Möbius <strong>de</strong> la formaĈ := C ∪ {∞} se pue<strong>de</strong>γ(z) = az + bcz + d ,* manuel@cimat.mxRevista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, volumen 4 número 1 (Noviembre 2005) p 34–40


Dinámica <strong>de</strong> grupos kleineanos 35Figura 1. Grupo <strong>de</strong> Schottky.don<strong>de</strong> a, b, c, d ∈ C y ad − bc = 1. Esto es, el grupo <strong>de</strong> automorfismos conformes <strong>de</strong>la esfera, Aut(Ĉ), se pue<strong>de</strong> i<strong>de</strong>ntificar con el grupo <strong>de</strong> Möbius{ }az + bMöb(Ĉ) := cz + d : ad − bc = 1 .Por otro lado, SL(2, C) = {(a, b, c, d) ∈ C 4 : ad−bc = 1} es un subgrupo topológico<strong>de</strong> C 4 . Si consi<strong>de</strong>ramos la aplicación antípoda z ↦→ −z, po<strong>de</strong>mos entonces <strong>de</strong>finir enSL(2, C)/{z ↦→ −z} la topología cociente y por lo tantoPSL(2, C) := SL(2, C)/{±id}admite una estructura <strong>de</strong> grupo topológico. También, existe un homomorfismo continuoy suprayectivo ρ : SL(2, C) −→ Möb(Ĉ) dado por( ) a b↦−→ az + bc d cz + d ,cuyo kernel es {±id}. Por el Primer Teorema <strong>de</strong> Isomorfismo concluimos queAut(Ĉ) ∼ = PSL(2, C).Un grupo Kleineano es un subgrupo discreto Γ ⊂ PSL(2, C) que actúa en la esferaĈ por transformaciones <strong>de</strong> Möbius <strong>de</strong> la siguiente manera:Γ × Ĉ −→ Ĉ,az + b(γ, z) ↦−→ γ · z =cz + d .La acción <strong>de</strong> un grupo Kleineano (infinito) Γ en la esfera, particiona a la esferaen dos subconjuntos ajenos, el dominio <strong>de</strong> discontinuidad Ω(Γ) y el conjunto límiteΛ(Γ) := Ĉ \ Ω(Γ). El dominio <strong>de</strong> discontinuidad es, por <strong>de</strong>finición, el subconjuntoabierto más gran<strong>de</strong> <strong>de</strong> la esfera en el cual Γ actúa propiamente discontinuamente(ver §3). Si la cardinalidad <strong>de</strong> Λ(Γ), |Λ(Γ)|, es menor ó igual que 2, <strong>de</strong>cimos que ΓRevista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 34–40


36 Manuel Cruzes elemental; en caso contrario, <strong>de</strong>cimos que Γ no es elemental. Si Γ es un grupoKleineano no-elemental, el conjunto límite pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>scribirse como el subconjuntocerrado mínimo <strong>de</strong> la esfera que es diferente <strong>de</strong>l vacío e invariante bajo Γ.En la siguiente sección estudiaremos una clase muy importante <strong>de</strong> grupos Kleineanos,los llamados grupos Fuchianos. Éstos son grupos Kleineanos que <strong>de</strong>jan invarianteun círculo en la esfera, que po<strong>de</strong>mos i<strong>de</strong>ntificar con el círculo unitario y, por lo tanto,estudiaremos la acción <strong>de</strong> estos grupos en el llamado disco <strong>de</strong> Poincaré, uno <strong>de</strong> cuyosmo<strong>de</strong>los es el semiplano superior en el plano complejo H := {z ∈ C : Im(z) > 0}.3. Grupos Fuchsianos3.1 Isometrías <strong>de</strong>l plano hiperbólicoHaciendo un análisis similar al <strong>de</strong> la sección anterior, po<strong>de</strong>mos i<strong>de</strong>ntificar al grupo<strong>de</strong> automorfismos conformes <strong>de</strong>l semiplano superior, Aut(H), con{ }PSL(2, R) ∼ az + b=cz + d : a, b, c, d ∈ R, ad − bc = 1 .En H po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir la métricads = 1Im(z) |dz|.Esta métrica se llama la métrica hiperbólica ó métrica <strong>de</strong> Poincaré. Se pue<strong>de</strong> probarque H, dotado <strong>de</strong> esta métrica, es un espacio métrico completo <strong>de</strong> curvatura constanteigual a -1.Es fácil ver que todo automorfismo conforme <strong>de</strong> H es una isometría. Más aún, elgrupo completo <strong>de</strong> isometrías <strong>de</strong>l semiplano hiperbólico lo po<strong>de</strong>mos caracterizar apartir <strong>de</strong>l siguiente resultado.Teorema 1. Toda isometría <strong>de</strong>l semiplano hiperbólico (H, ρ H ) es <strong>de</strong> la formapara algún γ ∈ Aut(H).z ↦−→ γ(z) ó z ↦−→ γ(−¯z),Existe también un isomorfismo entre PSL(2, R) y el grupo <strong>de</strong> isometrías <strong>de</strong>l semiplanosuperior que preservan orientación, Isom + (H).3.2 Clasificación <strong>de</strong> isometríasDenotemos por S 1 ∞ a la frontera i<strong>de</strong>al <strong>de</strong> H; esto es, S 1 ∞ := R ∪ {∞}.Definición 1. Sean γ 1 , γ 2 ∈ Isom + (H). Decimos que γ 1 y γ 2 son conjugadas si existeh ∈ Isom + (H) tal que γ 2 = hγ 1 h −1 .Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 34–40


Dinámica <strong>de</strong> grupos kleineanos 37Definición 2. Sea γ ∈ Isom + (H), γ ≠ id. Entonces,a. γ es parabólica si y sólo si γ es conjugada a una traslación z ↦→ z + 1.b. γ es elíptica si y sólo si γ es conjugada a una rotación eucli<strong>de</strong>ana no-trivial z ↦→ e iθ zalre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l origen.c. γ es hiperbólica si y sólo si γ es conjugada a una homotecia eucli<strong>de</strong>ana no-trivialz ↦→ λz, λ > 0.Observación 1. Sea γ ∈ Isom + (H), γ ≠ id. Entonces,a. γ tiene un único punto fijo, el cual está en S 1 ∞, ób. γ tiene exactamente dos puntos fijos, los cuales están en S 1 ∞, óc. γ tiene un único punto fijo en H y ninguno en S 1 ∞.3.3 Grupos FuchsianosDefinición 3. Un grupo Γ ⊂ Isom + (H) es discreto si su topología inducida es latopología discreta.Observación 2. Γ es discreto si y sólo si dada una sucesión γ n ∈ Γ, tal que γ n → id,entonces γ n = id, para n suficientemente gran<strong>de</strong>.Definición 4. Un grupo Fuchsiano es un subgrupo discreto Γ ⊂ Isom + (H).Decimos que un grupo Γ actúa propiamente discontinuamente en H si la órbita <strong>de</strong>cualquier punto z ∈ H, Γz := {γ(z) : γ ∈ Γ} es localmente finita. Esto es, si paratodo K ⊂ H compacto se cumple queγ(K) ∩ K ≠ ∅,sólo para un número finito <strong>de</strong> elementos γ ∈ Γ. En particular, el estabilizador <strong>de</strong>cualquier punto z ∈ H, Γ z := {γ ∈ Γ : γ(z) = z}, es finito.De acuerdo con la clasificación <strong>de</strong> isometrías <strong>de</strong>l semiplano hiperbólico, po<strong>de</strong>mosformar tres tipos <strong>de</strong> subgrupos cíclicos <strong>de</strong> PSL(2, R):• Hiperbólico: Γ = 〈z → λz : λ > 0〉.• Parabólico: Γ = 〈z → z + 1〉.• Elíptico: Γ = ˙z → e iθ z : θ ∈ R¸.Proposicón 1. Tenemos los siguientes casos:a. Todo subgrupo cíclico hiperbólico <strong>de</strong> PSL(2, R) es Fuchsiano.Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 34–40


38 Manuel Cruzb. Todo subgrupo cíclico parabólico <strong>de</strong> PSL(2, R) es Fuchsiano.c. Un subgrupo cíclico elíptico <strong>de</strong> PSL(2, R) es Fuchsiano si y sólo si es finito.Ejemplo 1. El grupo Modular El subgrupo <strong>de</strong> PSL(2, R) <strong>de</strong>finido por{ }az + bPSL(2, Z) :=cz + d : a, b, c, d ∈ Z, ad − bc = 1se llama el grupo modular. PSL(2, Z) es un subgrupo discreto <strong>de</strong> PSL(2, R), y por lotanto, es Fuchsiano.Figura 2. Dinámica <strong>de</strong> PSL(2, Z).Ejemplo 2. El grupo Γ = 〈z → λz : λ > 0〉 ⊂ PSL(2, R) es Fuchsiano.Ejemplo 3. El grupo Γ = 〈z → z + 1〉 ⊂ PSL(2, R) es Fuchsiano.Teorema 2. Sea Γ ⊂ PSL(2, R). Entonces, Γ es un grupo Fuchsiano si y sólo si Γactúa propiamente discontinuamente en H.Prueba. Supongamos primero que Γ es un grupo Fuchsiano. Sean z ∈ H y K ⊂ Hcompacto. Entonces,{γ ∈ Γ : γ(z) ∈ K} = {γ ∈ PSL(2, R) : γ(z) ∈ K} ∩ Γes finito, ya que es la intersección <strong>de</strong> un conjunto cerrado y uno discreto. Como laacción <strong>de</strong> PSL(2, R) en H es continua, se sigue que Γ actúa propiamente discontinuamente.Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 34–40


Dinámica <strong>de</strong> grupos kleineanos 39Recíprocamente, supongamos ahora que Γ actúa propiamente disconti–nuamenteen H y supongamos que Γ no es discreto. Sea z ∈ H un punto que no esté fijo porningún elemento distinto <strong>de</strong> la i<strong>de</strong>ntidad en Γ. Como Γ no es discreto, existe unasucesión {γ n } ⊂ Γ <strong>de</strong> elementos distintos tal que γ n −→ id cuando n → ∞. Luego,γ n (z) converge a z, cuando n → ∞, y como z no es punto fijo <strong>de</strong> ningún elementodistinto <strong>de</strong> la i<strong>de</strong>ntidad en Γ, se sigue que {γ n (z)} es una sucesión <strong>de</strong> puntos distintos<strong>de</strong> z, para toda n. Esto implica que todo disco hiperbólico cerrado centrado en zcontiene una infinidad <strong>de</strong> puntos <strong>de</strong> la Γ-órbita <strong>de</strong> z. Esto es, Γ no actúa propiamentediscontinuamente en H, lo cual es una contradicción.Corolario 1. Γ ⊂ PSL(2, R) actúa propiamente discontinuamente en H si y sólo sipara toda z ∈ H, la Γ-órbita <strong>de</strong> z es discreta en H.Esto es, si z ∈ H y {γ n } ⊂ Γ es una sucesión <strong>de</strong> elementos distintos, entonces{γ n (z)} tiene un punto límite en S 1 ∞.Definición 5. El conjunto <strong>de</strong> todos los posibles puntos límite <strong>de</strong> Γ-órbitas <strong>de</strong> puntosen H se llama el conjunto límite <strong>de</strong> Γ y se <strong>de</strong>nota por Λ(Γ).De acuerdo con las observación anterior, para todo grupo Fuchsiano Γ ⊂ PSL(2, R)se cumple queΛ(Γ) ⊂ S 1 ∞.Ejemplo 4. 1. Si Γ = 〈z → λz : λ > 1〉, entonces Λ(Γ) = {0, ∞}.2. Si Γ = 〈z → z + 1〉, entonces Λ(Γ) = {∞}.3. Si Γ = PSL(2, Z), entonces Λ(Γ) = S 1 ∞.4. Grupos Kleineanos otra vezSupongamos que Γ es un grupo Kleineano no-elemental y finitamente generado.De acuerdo con la dinámica <strong>de</strong> Γ, la esfera se particiona en dos subconjuntos ajenos:el conjunto límite Λ(Γ) y el conjunto <strong>de</strong> discontinuidad, Ω(Λ) := Ĉ\Λ(Γ). En general,el conjunto límite es el lugar <strong>de</strong>l comportamiento caótico; es un conjunto compacto,perfecto y pue<strong>de</strong> caracterizarse <strong>de</strong> las siguientes maneras:• El conjunto cerrado mínimo y Γ-invariante si |Λ(Γ)| > 2;• El conjunto <strong>de</strong> puntos <strong>de</strong> acumulación <strong>de</strong> cualquier órbita Γz ⊂ C; b• La cerradura <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong> puntos fijos repulsores <strong>de</strong> γ ∈ Γ; ó,• El conjunto <strong>de</strong> puntos, cerca <strong>de</strong> los cuales Γ no forma una familia normal.Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 34–40


40 Manuel CruzAgra<strong>de</strong>cimientosAgra<strong>de</strong>zco sinceramente a los Dres. Víctor Castellanos Vargas y Gamaliel Blé Gonzálezpor la invitación que me hicieron para participar en esta Escuela y por haber logradoestablecer un espacio verda<strong>de</strong>ramente estimulante para su <strong>de</strong>sarrollo. Agra<strong>de</strong>zcotambién a todos los participantes por el gran ambiente <strong>de</strong> trabajo y amistad logrado.Referencias[1] A. Beardon, The geometry of discrete groups, Springer Verlag, 1981.[2] G.A. Jones and D. Singerman, Complex functions. An algebraic and geometric viewpoint,Cambridge University Press, 1987.[3] S. Katok, Fuchsian groups, Benjamin Cumming, 1981.[4] J.L. Locher, The world of Escher, Harry N. Abrams, New York, 1971.Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 34–40


Introducción a los sistemas lineales sobresuperficies <strong>de</strong> Riemann compactasAbel Castorena *Instituto <strong>de</strong> Matemáticas, UNAM, Campus Morelia.Apdo. Postal 61-3(Xangari) C.P. 58089Morelia, Michoacán. México.El propósito <strong>de</strong> estas notas es dar una muy breve exposición <strong>de</strong>mostrando solo algunosresultados <strong>de</strong> un tema clásico <strong>de</strong> la geometría algebraica: superficies <strong>de</strong> Riemanncompactas, sistemas lineales y curvas algebráicas.The main goal of these short notes is to give some results on compact Riemann surfacesto stablish the Riemann-Hurwitz formula. Also we discuss some facts on divisors, linearsystems and Brill-Noether theory for special divisors on algebraic curves.Palabras clave: Geometría Algebraica, Superficies <strong>de</strong> Riemann.Keywords: Algebraic Geometry, Compact Riemann Surface.1. IntroducciónEn los cursos <strong>de</strong> variable compleja <strong>de</strong> licenciatura, el tema central es el estudio<strong>de</strong> las funciones holomorfas (o funciones analíticas ) y las funciones meromorfas.Las primeras tienen en cada punto <strong>de</strong> su dominio una expansión en serie <strong>de</strong> Taylor.Ejemplos <strong>de</strong> funciones holomorfas son los polinomios complejos <strong>de</strong> la forma c 0 +c 1 z +c 2 z 2 + · · · + a n z n , las funciones trigonometricas sin z, cos z ó la exponencial e z .Si U = C − {0}, la función f : U → C <strong>de</strong>finida por f(z) = 1 zes holomorfa en U.Po<strong>de</strong>mos ver que esta función presenta un problema en el origen que NO perteneceal dominio <strong>de</strong> f. Nos gustaría exten<strong>de</strong>r esta función al origen, y la manera másnatural es <strong>de</strong>finiendo f(0) := ∞. La función f es un ejemplo <strong>de</strong> lo que se llamafunción meromorfa. Las funciones meromorfas tienen expansión en serie <strong>de</strong> Laurenty tal expansión nos da información sobre la naturaleza <strong>de</strong> los puntos don<strong>de</strong> no estan<strong>de</strong>finidas tales funciones. Estas son muy importantes en el estudio <strong>de</strong> las superficies<strong>de</strong> Riemann compactas ya que por medio <strong>de</strong> ellas po<strong>de</strong>mos estudiar ciertos objetosllamados divisores los cuales en la teoría <strong>de</strong> sistemas lineales son muy importantes.Uno <strong>de</strong> los objetivos principales <strong>de</strong> estas notas es exponer <strong>de</strong> forma breve el tema <strong>de</strong>divisores y ver como estos nos dan información sobre el tipo <strong>de</strong> funciones meromorfasque existen sobre las superficies <strong>de</strong> Riemann compactas, así como su relación con lascurvas algebráicas mediante la teoría <strong>de</strong> sistemas lineales.1.1 Ejemplos <strong>de</strong> superficies <strong>de</strong> Riemann.Para el estudio <strong>de</strong> superficies <strong>de</strong> Riemann <strong>de</strong>bemos introducir el concepto <strong>de</strong> variedadcompleja. Para ello, veamos el concepto <strong>de</strong> variedad diferenciable real.* abel@matmor.unam.mxRevista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, volumen 4 número 1 (Noviembre 2005) p 41–52


42 Abel Castorena1.- Sea M un espacio topológico Hausdorff. Una carta n-dimensional sobre M esun homeomorfismo φ : U → V , don<strong>de</strong> U ⊂ M es abierto y V es un abierto <strong>de</strong> R n .Dos cartas φ 1 : U 1 → V 1 , φ 2 : U 2 → V 2 se dicen C ∞ compatibles si la aplicación:φ 21 := φ 2 ◦ φ −11 : φ 1 (U 1 ∩ U 2 ) → φ 2 (U 1 ∩ U 2 )es un difeomorfismo C ∞ , es <strong>de</strong>cir φ 21 y su inversa tienen <strong>de</strong>rivadas parciales <strong>de</strong>todos los or<strong>de</strong>nes en cada punto <strong>de</strong> su dominio.2.- Un atlas C ∞ es una colección <strong>de</strong> cartas {φ α : U α → V α } don<strong>de</strong> M = ⋃ U α yαpara cualquier par <strong>de</strong> indices α, β tal que U α ∩ U β ≠ ∅, se tiene que φ βα := φ β ◦ φ −1α escompatible. Decimos que dos atlas sobre M son equivalentes si su unión es un atlas.3.- Una estructura C ∞ sobre M es una clase <strong>de</strong> equivalencia <strong>de</strong> atlas. Una variedaddiferenciable real C ∞ <strong>de</strong> dimensión n es un espacio Hausdorff segundo numerable conexoM con una estructura C ∞ cuyas cartas son homeomorfismos a conjuntos abiertos<strong>de</strong> R n . Decimos que M es compacta si, M como espacio topológico es compacto. Mes orientable si, para cualquier α, β, el <strong>de</strong>terminante <strong>de</strong> la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> φ βα es mayorque cero en cada punto p ∈ U α ∩ U β .De la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> variedad diferenciable po<strong>de</strong>mos ver que R n con la funcióni<strong>de</strong>ntidad es una variedad diferenciable(orientable) y a<strong>de</strong>más cada abierto <strong>de</strong> R n esvariedad diferenciable.Sea M una variedad diferenciable compacta <strong>de</strong> dimensión dos. Una triangulación<strong>de</strong> M es una <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> M por conjuntos cerrados △ M = {T α }, don<strong>de</strong> cadaT α es homeomorfo a un triángulo <strong>de</strong> R 2 , tal que cualesquiera dos triángulos o bienson disjuntos; se intersectan en un vértice ó a lo largo <strong>de</strong> una arista. Si <strong>de</strong>notamos porv = #vertices, e = #aristas y t = #triangulos <strong>de</strong> la triangulación, la característica<strong>de</strong> Euler <strong>de</strong> M con respecto a la triangulación △ M , es el entero e(M) := v − e + t. Elnúmero e(M) no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> la triangulación. ([4], p.50).Un teorema <strong>de</strong> clasificación afirma que toda superficie M compacta orientable ysin frontera es homeomorfa a una esfera con g−asas ([4], p.6). El número g se llamael género <strong>de</strong> M, el cual resulta ser un invariante topológico.Proposición.- Sea C una variedad diferenciable <strong>de</strong> dimensión dos, orientable, compactay sin frontera <strong>de</strong> género g. Entonces e(C) = 2 − 2g.Una <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> este hecho se encuentra en Ver [4], p.51Ejercicio 1.-. Demuestra que un abierto <strong>de</strong> una variedad diferenciable, es variedaddiferencible.Ejercicio 2.- Demostrar que S 2 := {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1} es una variedaddiferenciable <strong>de</strong> dimensión dos.Definición. Decimos que una variedad diferenciable M es una variedad compleja <strong>de</strong>dimensión n si admite una cubierta abierta {U α } y cartas coor<strong>de</strong>nadas φ α : U α → C ntal que φ βα := φ β ◦ φ −1α : φ α (U α ∩ U β ) → φ β (U α ∩ U β ) es un biholomorfismo, es<strong>de</strong>cir, φ βα y su inversa son funciones holomorfas en cada variable z 1 , ..., z n <strong>de</strong> C n y elRevista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 41–52


Introducción a los sistemas lineales sobre superficies <strong>de</strong> Riemann compactas 45T viene dada <strong>de</strong> la siguiente manera: Como Λ es un subgrupo discreto <strong>de</strong> C, existeun ɛ > 0 tal que |τ| > 2ɛ para cada τ ∈ Λ. Dado un número z α ∈ C, consi<strong>de</strong>remosel disco abierto D α := D(z α , ɛ). Por la elección <strong>de</strong> ɛ, notemos que para x, y ∈ D α ,x − y /∈ Λ. Esto nos permite ver que la restricción π α := π| Dα : D α → U α := π(D α ) esinyectiva. Se tiene que π α es un homeomorfismo( <strong>de</strong>mostrarlo !) y se pue<strong>de</strong> ver queφ α := πα −1 : U α → D α es una carta compleja <strong>de</strong> T .Ejercicio 6.- . Prueba que cualesquiera dos cartas φ α , φ β <strong>de</strong>finidas <strong>de</strong> la forma anteriorsobre T son compatibles, es <strong>de</strong>cir, prueba que T es una superficie <strong>de</strong> Riemann.En CP n estan <strong>de</strong>finidas <strong>de</strong> manera natural ciertos subconjuntos dados como ceros<strong>de</strong> polinomios homogéneos. Tales subconjuntos se les llama varieda<strong>de</strong>s proyectivas ovarieda<strong>de</strong>s algebraicas. Estas varieda<strong>de</strong>s tienen una topología natural inducida porC n+1 .Un ejemplo <strong>de</strong> este tipo <strong>de</strong> varieda<strong>de</strong>s es cuando consi<strong>de</strong>ramos un polinomio homogeneoF irreducible <strong>de</strong> grado m sobre C n+1 , es <strong>de</strong>cir, F : C n+1 → C es un polinomio<strong>de</strong> grado m en las variables z 0 , ..., z n tal que F (λz 0 , ..., λz n ) = λ m F (z 0 , ..., z n ) paratodo λ ∈ C − {0}. Notemos que si (z 0 , ..., z n ) ≠ (0, ..., 0) es un cero <strong>de</strong> F , es <strong>de</strong>cir,F (z 0 , ..., z n ) = 0, entonces también se tiene que F (λz 0 , ..., λz n ) = 0.Esto nos permite <strong>de</strong>finir en CP n una aplicación que <strong>de</strong>notaremos por F , dada porF [Z] = 0 si F (Z) = 0 y F ([Z]) = 1 si F (Z) ≠ 0. El conjunto Y := {[Z] ∈ CP n :F (Z) = 0} esta bien <strong>de</strong>finido y se llama hypersuperficie <strong>de</strong> grado m.Si F es un polinomio no singular, es <strong>de</strong>cir,∂F∂z j(Z) ≠ 0 para toda j y toda Z ≠(0, 0, ..., 0) <strong>de</strong>cimos que Y es no singular o lisa. En caso contrario <strong>de</strong>cimos que Y essingular.Ejercicio 7.- Si Y es no singular dar un sistema <strong>de</strong> cartas complejas para Y y <strong>de</strong>muestraque la dimensión <strong>de</strong> Y es n − 1. (Aqui hay que hacer uso <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> lafunción implícita).Definición. Una curva algebraica X es un subconjunto cerrado y conexo <strong>de</strong> CP N dadocomo el conjunto <strong>de</strong> ceros <strong>de</strong> polinomios homogéneos F 1 , , , , F N−1 en una vecindad<strong>de</strong> cada punto p ∈ X. La dimensión compleja <strong>de</strong> X es uno. Un punto p ∈ X se dicepunto suave o liso, si la matriz jacobiana formada por ( ∂F k∂z j)(p) k=1,...,N−1,j=0,...,N tienerango N − 1. En caso contrario <strong>de</strong>cimos que p es un punto singular. Si p ∈ X es lisopara todo p, <strong>de</strong>cimos que X es no singular. Si X es una curva algebraica en CP 2 dadapor los ceros <strong>de</strong> un polinomio homogeneo irreducible <strong>de</strong> grado d diremos que X esuna curva plana <strong>de</strong> grado d.Dada una curva plana X, <strong>de</strong>cimos que un punto p ∈ X es una singularidad <strong>de</strong>tipo nodal, o que p es un nodo, si en coor<strong>de</strong>nadas afines, el punto p es <strong>de</strong> la forma(z, w) ∈ C 2 don<strong>de</strong> las coor<strong>de</strong>nadas afines <strong>de</strong> p satisfacen z 2 − w 2 = 0.Una curva plana X no singular es una superficie <strong>de</strong> Riemann compacta, por lo tantotiene un género asociado, el cual esta relacionado con el grado <strong>de</strong> X, es <strong>de</strong>cir, si elgrado <strong>de</strong> X es d, entonces el género <strong>de</strong> X como superficie <strong>de</strong> Riemann compacta esg = (d−1)(d−2)2([2], p.220). A esta fórmula se le llama fórmula <strong>de</strong> Plucker. Existe unaRevista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 41–52


46 Abel Castorenafórmula <strong>de</strong> Plucker cuando la curva X es singular, <strong>de</strong> ello hablaremos en la últimasección.2. Funciones meromorfas sobre superficies <strong>de</strong> RiemannPor medio <strong>de</strong> la cartas complejas distintos conceptos y teoremas <strong>de</strong> variable complejase extien<strong>de</strong>n a superfices <strong>de</strong> Riemann.Definición. Sea C una superficie <strong>de</strong> Riemann. Sea p ∈ C y W una vecindad <strong>de</strong> p.Decimos que una función continua f : W → C es holomorfa en p si existe una cartalocal φ : U p → V ⊂ C con U p abierto alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> p tal que f ◦ φ −1 : φ(U p ∩ W ) → Ces una función holomorfa en φ(p) ∈ C.Es claro que si f es holomorfa en p, entonces f es holomorfa en una vecindad <strong>de</strong> p.Si U ⊆ C es un abierto y f : U → C es holomorfa en p para todo p ∈ U, <strong>de</strong>cimos quef es holomorfa, y <strong>de</strong>notamos por O C (U) = O U := {f : U → C|f es holomorfa}. Porejemplo, una carta compleja <strong>de</strong> una superficie <strong>de</strong> Riemann es una función holomorfa.Ejercicio 8.- Con la notación anterior prueba que f es holomorfa en W si y solosí existen cartas φ α : U α → C con W ⊆ ⋃ α U α y f ◦ φ −1α holomorfa sobre φ α (W ∩ U α )para cada α.Ejercicio 9.- Prueba que la suma, resta y multiplicación <strong>de</strong> funciones holomorfas esholomorfa. Si f, g son holomorfas en un punto p ∈ C con g(p) ≠ 0, prueba que f gesholomorfa en p.Sea C una superficie <strong>de</strong> Riemann y consi<strong>de</strong>remos un punto p ∈ C. Sea W una vecindad<strong>de</strong> p y f : W − {p} → C holomorfa. Decimos que:1.- f tiene una singularidad removible en p si y solo sí existe una carta local φ : U →V ⊆ C con p ∈ U tal que f ◦ φ −1 tiene una singularidad removible en φ(p).2.- f tiene un polo en p si y solo sí existe una carta local φ : U → V ⊆ C con p ∈ Utal que f ◦ φ −1 tiene un polo en φ(p).3.- f tiene una singularidad esencial en p si y solo sí existe una carta local φ : U →V ⊆ C con p ∈ U tal que f ◦ φ −1 tiene una singularidad esencial en φ(p).Si escribimos z = φ(x) para x cercano a p, tenemos que f ◦ φ −1 es holomorfa en unavecindad <strong>de</strong> z 0 := φ(p). Po<strong>de</strong>mos expan<strong>de</strong>r f ◦ φ −1 en serie <strong>de</strong> Laurent alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>z 0 : f ◦ φ −1 (z) = ∑ n c n(z − z 0 ) n . A esta serie se le llama serie <strong>de</strong> Laurent <strong>de</strong> f en elpunto p y los c n se les llama los coeficientes <strong>de</strong> Laurent. Esta representación <strong>de</strong> f enserie <strong>de</strong> Laurent no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> la elección <strong>de</strong> la carta local ( ver [4], p.26) y nos dainformación sobre el tipo <strong>de</strong> singularidad que tiene f en el punto p.Una función f : C → C se llama meromorfa en un punto p ∈ C si f es holomorfa otiene una singularidad removible en p, o bien tiene un polo en p.Diremos que f es meromorfa sobre una abierto W ⊆ C si es meromorfa en cada punto<strong>de</strong> W . Definimos M X (W ) = M W = {f : W → C : f es meromorfa. }Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 41–52


Introducción a los sistemas lineales sobre superficies <strong>de</strong> Riemann compactas 47Si f es una función meromorfa en un punto p con serie <strong>de</strong> Laurent ∑ n c n(z − z 0 ) n ,<strong>de</strong>finimos el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> f en p, ord p f, como ord p f = min{n|c n ≠ 0}. Esta <strong>de</strong>finición no<strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> la elección <strong>de</strong> cartas (Ver [4],p.27).Ejemplos. Sea C = C y W = C − {0}. La función f : W → C dada por f(z) = 1 z esmeromorfa en z = 0.Sea f : CP 1 → C <strong>de</strong>finida en una vecindad <strong>de</strong>l punto al infinito, es <strong>de</strong>cir, en unconjunto <strong>de</strong> la forma U ∞ := {z ∈ C||z| > 1} ∪ {∞}. f es meromorfa en ∞ si ysolo si f( 1 g(z)z) es meromorfa en z = 0. Si f(z) =h(z)con g, h polinomios, entoncesf es meromorfa en ∞. Factoriazando g y h en factores lineales, escribimos f(z) =c(z − z 1 ) n1 · · · (z − z r ) nr con c ≠ 0, los z i todos distintos y los n i enteros. Notemos quepara cada i = 1, ..., r, ord zi f = n i . A<strong>de</strong>más ord ∞ f = grado g − grado h = − ∑ i n iy ord p f = 0 para p ∈ CP 1 ∑− {z 1 , ..., z r , ∞}. Esto prueba que ord p f = 0. Unap∈CP 1función racional f sobre CP 1 es un cociente <strong>de</strong> dos polinomios complejos y por lotanto es meromorfa y ∑ ord p (f) = 0.pAlgunos teoremas acerca <strong>de</strong> funciones holomorfas y meromorfas <strong>de</strong> variable complejase pue<strong>de</strong>n enunciar también sobre superficies <strong>de</strong> Riemann. Uno <strong>de</strong> estos teoremas, espor ejemplo, el principio <strong>de</strong>l módulo máximo:Principio <strong>de</strong>l módulo máximo ([4, p.29]). Sea C una superficie <strong>de</strong> Riemann y f : W →C holomorfa sobre un abierto W <strong>de</strong> C. Supongamos que existe un punto p ∈ W talque |f(x)| ≤ |f(p)| para toda x ∈ W , entonces f es constante sobre W .El principio <strong>de</strong>l módulo máximo tiene una consecuencia cuando C es compacta:Teorema.- Sea C una superficie <strong>de</strong> Riemann compacta y f : C → C holomorfa,entonces f es constante.Demostración. La prueba <strong>de</strong> este hecho se <strong>de</strong>ja al lector.Si C es compacta se tiene que O C ≃ C y el principio <strong>de</strong>l modulo máximo nos diceque sobre un superficie <strong>de</strong> Riemann compacta solo <strong>de</strong>bemos estudiar funcionesmeromorfas.Ejercicio 10.- Sea C una superficie <strong>de</strong> Riemann. Enuncia y <strong>de</strong>muestra el teorema <strong>de</strong>i<strong>de</strong>ntidad sobre C . Utiliza este teorema <strong>de</strong> i<strong>de</strong>ntidad para probar que el conjunto <strong>de</strong>ceros y polos <strong>de</strong> una función meromorfa f sobre C es un conjunto discreto. Si C escompacta, entonces el conjunto <strong>de</strong> ceros y polos <strong>de</strong> f es un conjunto finito.Sea C una superficie <strong>de</strong> Riemann compacta y f : C → CP 1 meromorfa. Sea p ∈ C,y z : U p → V ⊂ C carta local tal que z(p) = 0. Tomamos la serie <strong>de</strong> Talylor <strong>de</strong> falre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> p, entonces f(z) = z n ˜f(z) con ˜f(0) ≠ 0. Localmente ˜f tiene raiz enesimay escribimos f(z) = (zg(z)) n . Si tomamos a zg(z) como nueva coor<strong>de</strong>nada local,resulta que localmente f es <strong>de</strong> la forma z → z n . Se <strong>de</strong>fine b p (f) := n como la multiplicidad<strong>de</strong> f en p. El entero n sólo <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l punto p y no <strong>de</strong> la carta que hemoselegido. Si n > 1, <strong>de</strong>cimos que p es un punto <strong>de</strong> ramificación. Para y ∈ CP 1 <strong>de</strong>finimosd y (f) =∑ b p (f). Se tiene que este número es constante e in<strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong> y, esp∈f −1 (y)Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 41–52


48 Abel Castorena<strong>de</strong>cir para y 1 , y 2 ∈ CP 1 , d y1 (f) = d y2 (f). A tal número se le llama el grado <strong>de</strong> f ([4],p 47).Sea f : C → CP 1 meromorfa <strong>de</strong> grado k. Consi<strong>de</strong>remos una triangulación <strong>de</strong> CP 1<strong>de</strong> tal manera que los vértices <strong>de</strong> la triangulación sean los puntos <strong>de</strong> ramificación <strong>de</strong>f y sean c 0 = # caras <strong>de</strong> la triangulación , a 0 = # aristas <strong>de</strong> la triangulación yv 0 = # vertices sobre la triangulación. Tomando la imagen inversa bajo f <strong>de</strong> estala triangulación tenemos sobre C una triangulación don<strong>de</strong> c = kc 0 , a = ka 0 , v =kv 0 − ∑ p (b p(f) − 1). Utilizando la caractéristica <strong>de</strong> Euler obtenemos la siguientei<strong>de</strong>ntidad conocida como fórmula <strong>de</strong> Riemann-Hurwitz:2 − 2g = c − a + v = k(e(CP 1 )) − ∑ p(b p (f) − 1) = 2k − ∑ p(b p (f) − 1).3. Divisores y Sistemas LinealesSea C una superficie <strong>de</strong> Riemann. Consi<strong>de</strong>remos el conjunto Z CZ|f función}.:= {f : C →Definición. Un divisor D sobre C, es una función D ∈ Z C tal que el soporte <strong>de</strong> D,Supp (D) = {p ∈ C|D(p) ≠ 0}, es un conjunto discreto.Si C es compacta, Supp (D) es un conjunto finito {p 1 , . . . , p d }. Sea D(p j ) = n j .Así formalmente escribimos D como una suma finita <strong>de</strong> puntos con sus respectivasimagenes, es <strong>de</strong>cir, D = ∑ j n jp j , don<strong>de</strong> D(p j ) = n j . El grado <strong>de</strong>l divisor D se <strong>de</strong>finecomo la suma ∑ n j . Escribimos D ≥ 0 si n i ≥ 0 para toda i, y dados dos divisoresjD 1 , D 2 , escribimos D 1 ≥ D 2 si D 1 − D 2 ≥ 0. Denotamos por Div(C) el conjunto <strong>de</strong>divisores <strong>de</strong> C el cual es un grupo abeliano libre bajo la suma.Si C es una superficie <strong>de</strong> Riemann compacta, po<strong>de</strong>mos asociar a una función meromorfaf : C → CP 1 un divisor div (f) dado por div (f) := ∑ p (ord p(f)) · p. Atal∑divisor se le llama principal. El divisor <strong>de</strong> ceros <strong>de</strong> f, se <strong>de</strong>fine como div 0 (f) =ord p (f) · p.p,ord p(f)>0El divisor <strong>de</strong> polos <strong>de</strong> f se <strong>de</strong>fine como div ∞ (f) =∑p,ord p(f)


Introducción a los sistemas lineales sobre superficies <strong>de</strong> Riemann compactas 49M(C)|div (f) ≥ −D} ∪ {0}. L(D) tiene estructura <strong>de</strong> espacio vectorial sobre C. SiD = np con n > 0 y f ∈ L(D), entonces div (f) ≥ −np, es <strong>de</strong>cir, ord p (f) ≥ −n, loque implica que f tiene un polo <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n n en p pero no <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n mayor. Notemosque si D 1 ≤ D 2 entonces L(D 1 ) ⊆ L(D 2 ). Si D = 0, tenemos que L(D) = O C .Lema. Sea C superficie <strong>de</strong> Riemann compacta. Sea D un divisor sobre C con grado(D) 0.Para un divisor arbitrario D sobre C existe una fórmula que da una relación entre losespacios h i (C, D) con el grado <strong>de</strong>l divisor D y el género <strong>de</strong> C. Tal fórmula se conoceRevista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 41–52


50 Abel Castorenacomo Teorema <strong>de</strong> Riemann-Roch:Teorema <strong>de</strong> Riemann-Roch. Sea C una superficie <strong>de</strong> Riemann compacta <strong>de</strong> génerog. Sea D un divisor sobre C <strong>de</strong> grado d. Entonces h 0 (C, D) − h 1 (C, D) = d − g + 1.Este es uno <strong>de</strong> los teoremas más importantes en la teoría <strong>de</strong> divisores sobre superficies<strong>de</strong> Riemann compactas y existen diversas pruebas <strong>de</strong> este teorema, algunas son algebraicas,otras utilizan lo que se llama cohomología <strong>de</strong> gavillas. Una prueba basada enuna serie <strong>de</strong> ejercicios y que el lector podría intentar resolverlos se encuentra en ([1], p.50-51). Esta prueba da evi<strong>de</strong>ncia clara <strong>de</strong> la relación entre las superficies <strong>de</strong> Riemanncompactas y las curvas planas con singularida<strong>de</strong>s. Incluso, <strong>de</strong> tal prueba se pue<strong>de</strong><strong>de</strong>ducir la fórmula <strong>de</strong> Plucker más general para curvas planas con singularida<strong>de</strong>s quenosotros enunciaremos más a<strong>de</strong>lante.Como una aplicación sencilla <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> Riemann-Roch tenemos el siguientehecho:1.- Sea C una superficie <strong>de</strong> Riemann compacta <strong>de</strong> género g y sea p ∈ C un punto.Entonces, existe una función meromorfa no constante f sobre C la cual tiene un únicopolo en q <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n a lo más g + 1.Para probar esta afirmación proce<strong>de</strong>mos como sigue: Sea D : C → Z el divisor dadopor D(p) = g + 1 si p = q, y D(p) = 0 si q ≠ p. El grado <strong>de</strong> D es g + 1. Por lafórmula <strong>de</strong> Riemann-Roch h 0 (C, D) = 2 + h 1 (C, D) ≥ 2, entonces existe una funciónmeromorfa no constante f tal que (f)(q) ≥ −D(q), es <strong>de</strong>cir −ord q (f) ≥ −(g + 1), obiene, ord q (f) ≤ g + 1. De hecho notemos que f es holomorfa en todo C − {q}.Ejercicio 13-. Si D 1 , D 2 son dos divisores equivalentes sobre una superficie <strong>de</strong> Riemanncompacta, prueba que L 1 (D 1 ) ≃ L 1 (D 2 ).Sea f : C → CP 1 meromorfa <strong>de</strong> grado k y consi<strong>de</strong>remos η = dz la 1-forma meromorfasobre CP 1 . η. Sea ω := f ∗ (η) = df. Si f se escribe localmente alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> un punto<strong>de</strong> ramificación q i ∈ C con f(q i ) ≠ ∞ como f(z) = z ki , entonces q i es un cero <strong>de</strong>or<strong>de</strong>n k i − 1 para ω. En los puntos p j don<strong>de</strong> f(p j ) = ∞ se tiene que ω tiene unpolo <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n dos. Si R es el conjunto <strong>de</strong> puntos <strong>de</strong> ramificación <strong>de</strong> f, entonces(ω) = ∑∑(k i − 1)q i − 2( k p j ), entonces grado(ω) = ∑ (k i − 1) − 2k. Por la fórmulaq i∈Rj=1<strong>de</strong> Riemann-Hurwitz se tiene que grado(ω) = 2g − 2.Proposición.- Sea C una superficie <strong>de</strong> Riemann compacta y ω 0 una 1-forma meromorfano cero. Entonces grado (ω 0 ) = 2g − 2.Demostración. Sea f : C → CP 1 meromorfa y sea ω = f ∗ (dz). Se tiene que g := ω0ωes una función meromorfa y grado div (g) = 0.Si C es una superficie <strong>de</strong> Riemann <strong>de</strong> compacta, D un divisor <strong>de</strong> sobre C y f 0 , ..., f res una base para L(D), tenemos que la función φ : C → CP r = P(L(D)) dada porφ(p) := [f 0 (p) : · · · : f r (p)] NO esta <strong>de</strong>finida en los puntos p tales que f j (p) = 0 paratoda j y en los puntos p don<strong>de</strong> existe algun k con f k (p) = ∞. La función φ se extien<strong>de</strong><strong>de</strong> forma holomorfa a todo C <strong>de</strong> la siguiente manera:Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 41–52


Introducción a los sistemas lineales sobre superficies <strong>de</strong> Riemann compactas 51Sea p ∈ C cualquier punto y sea k := min j (ord p (f j )). Po<strong>de</strong>mos suponer que en unavecindad <strong>de</strong> p ninguna f j tiene otro polo mas que posiblemente en p y que en talvecindad no hay ceros comunes <strong>de</strong> los f j excepto quizas p.Si tomamos una carta local z : U p → C alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> p, con z(p) = 0, tenemos quecada f j (z) es holomorfa para z ≠ 0 cerca <strong>de</strong>l origen y no hay ninguna z que sea raízcomun <strong>de</strong> cada f j . Po<strong>de</strong>mos escribir f j = z k g j , don<strong>de</strong> g j es holomorfa en una vecindad<strong>de</strong> p y al menos existe un subíndice j tal que g j (p) ≠ 0.Para z cerca <strong>de</strong> p con z ≠ 0 <strong>de</strong>finimos ˜φ(p) = [g 0 (z) : · · · : g r (z)] = [z −k f 0 (z) :· · · : z −k f r (z)]. Como al menos alguna g j ≠ 0, se tiene que ˜φ(z) ∈ U j , don<strong>de</strong> U j esun abierto <strong>de</strong> la cubierta abierta <strong>de</strong> CP r . En el punto p, don<strong>de</strong> z(p) = 0, tomamos˜φ(p) := [g 0 (0) : · · · : g r (0)]. Esto nos hace ver que tenemos una aplicación holomorfaC → CP r bien <strong>de</strong>finida. Así pues, dado un divisor D sobre C po<strong>de</strong>mos estudiaraplicaciones holomorfas C → CP r . La imagén <strong>de</strong> C será una curva algebraica( posiblementesingular) y por medio <strong>de</strong> estos divisores po<strong>de</strong>mos ver la relación entre lassuperficies <strong>de</strong> Riemann compactas y las curvas algebraicas.Definición. Decimos que una aplicación φ : C → CP r es birracional si existe unabierto <strong>de</strong>nso U <strong>de</strong> C don<strong>de</strong> φ| U : U → CP r es un biholomorfismo, es <strong>de</strong>cir, φ U esuna función holomorfa con inversa holomorfa.Si X es una curva plana con singularida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> tipo nodal, existe una técnica que”resuellve” dichas singularida<strong>de</strong>s X, es <strong>de</strong>cir, a X uno le pue<strong>de</strong> asociar un únicasuperficie <strong>de</strong> Riemann compacta C X salvo isomorfismo, con una aplicación birracionalτ : C X − −− > X([4],p.69), es <strong>de</strong>cir, si X sing es el conjunto <strong>de</strong> nodos <strong>de</strong> X, se tieneque C X −τ −1 (X sing ) es biholomorfo a X −X sing . A C X se le llama la <strong>de</strong>singularización<strong>de</strong> X. Si d es el grado <strong>de</strong> X, y δ es el nuḿero <strong>de</strong> nodos <strong>de</strong> X, se tiene que el género<strong>de</strong> C X viene dado por la siguiente fórmula <strong>de</strong> Plucker para curvas planas con nodos:g = (d−1)(d−2)2− δ ([2], p.262).El siguiente resultado nos dice toda superficie <strong>de</strong> Riemann compacta C admite unmo<strong>de</strong>lo biracional a una curva plana X con nodos, es <strong>de</strong>cir, C admite un sistemalineal gd 2 para una cierta d:Teorema.- Sea C una superficie <strong>de</strong> Riemann compacta. Entonces existe una aplicaciónholomorfa f : C → CP 2 cuya imagen X = f(C) es una curva plana con nodos ydon<strong>de</strong> f : C → X es biracional.Demostración. Ver [1], p.50. En este caso se tiene que C ≃ C X .Denotemos por P GL(3, C), el grupo <strong>de</strong> biholomorfismos proyectivos <strong>de</strong> CP 2 . Lafórmula <strong>de</strong> Plucker nos permite relacionar dos varieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la siguiente manera:Decimos que dos superficies <strong>de</strong> Riemann compactas C 1 , C 2 son equivalentes si C 1 yC 2 son biholomorfas. Sea [C] la clase <strong>de</strong> equivalencia <strong>de</strong> una superficie <strong>de</strong> Riemanncompacta. Definimos la variedad moduli <strong>de</strong> superficies <strong>de</strong> Riemann compactas comoM g := {[C] : C es superficie <strong>de</strong> Riemann compacta <strong>de</strong> género g}. Se tiene que parag ≥ 2, M g es una variedad compleja <strong>de</strong> dimensión 3g − 3 ([3], p.43). Sea Ug,d δ := {X :X es curva plana reducida e irreducible <strong>de</strong> grado d, género g con δ nodos}. La variedadVg,d δ := U g,d δ /P GL(3, C) se llama variedad <strong>de</strong> Severi y tiene dimensión 3d + g − 9([3], p.30). La aplicación natural entre estas dos varieda<strong>de</strong>s esta dada por:Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 41–52


52 Abel CastorenaΨ : V δ g,d → M g , Ψ(X) = C X .Mediante el estudio <strong>de</strong> la aplicación Ψ uno pue<strong>de</strong> preguntarse ”cuántos” mo<strong>de</strong>losproyectivos planos <strong>de</strong> grado d tiene una superficie <strong>de</strong> Riemann compacta <strong>de</strong> génerog. Para ello, se <strong>de</strong>fine el número <strong>de</strong> Brill-Noether <strong>de</strong> una gd 2 sobre una superficie<strong>de</strong> Riemann compacta C <strong>de</strong> género g como ρ(g, 2, d) := 3d − 2g − 6. Notemos quedim Vg,d δ = ρ(g, 2, d) + 3g − 3. De aqui tenemos que saber ”cuantos ” son los mo<strong>de</strong>losplanos <strong>de</strong> grado d <strong>de</strong> una superficie <strong>de</strong> Riemann compacta es calcular la dimensión<strong>de</strong> Ψ −1 ([C]), para [C] ∈ M g . Si ρ(g, 2, d) ≥ 0, se tiene que en general( en el sentido<strong>de</strong> moduli ) las fibras <strong>de</strong> la aplicación Ψ tienen dimensión presisamente dim Vg,d δ −dim M g = ρ(g, 2, d) ≥ 0, ([3], p.27). El estudio <strong>de</strong> las fibras <strong>de</strong> la aplicación Ψ esparte <strong>de</strong> lo que se conoce como teoría <strong>de</strong> Brill-Noether para divisores especiales.En la actualidad esta teoría esta muy bien entendida y sigue dando resultados interesantesque nos permiten enten<strong>de</strong>r mejor la geometría <strong>de</strong> las curvas algebraicas. Ellector interesado sobre el origen, <strong>de</strong>sarrollo y problemas relacionados con la variedadM g , la variedad <strong>de</strong> Severi y teoría <strong>de</strong> Brill-Noether pue<strong>de</strong> encontrar en las referencias[1] y [3] una exposición sobre los teoremas más importantes y algunos problemasabiertos actuales en esta dirección.Agra<strong>de</strong>cimientosEstas se sustentan en un minicurso que fue impartido por un servidor en la unidad<strong>de</strong> Cs. Básicas <strong>de</strong> la <strong>Universidad</strong> Juárez Autonóma <strong>de</strong> <strong>Tabasco</strong>(UJAT) <strong>de</strong>l 31 <strong>de</strong>enero al 4 <strong>de</strong> febrero <strong>de</strong> 2005 durante la Primera Escuela <strong>de</strong> Invierno <strong>de</strong> Geometrá yDinámica. En la exposición <strong>de</strong> tales notas tuve la experiencia <strong>de</strong> utilizar un pizarrónelectrónico en el cual se guardo toda la exposición en un archivo <strong>pdf</strong>. Basandomeen tales archivos escribí estas notas en latex en el or<strong>de</strong>n en que expuse el curso.Quiero agra<strong>de</strong>cer a todo el personal <strong>de</strong> la división <strong>de</strong> Cs. Básicas <strong>de</strong> la UJAT elapoyo otorgado durante mi estancia y <strong>de</strong> manera muy especial a mi colega y amigo,Dr. Victor Castellanos Vargas por todo el entusiasmo que tuvo en esta escuela <strong>de</strong>invierno.Referencias[1] E. Arbarello, M. Cornalba, P. Griffiths, J. Harris, Geometry of Algebraic Curves VolumeI. Grundlehrem <strong>de</strong>r Mathematischen Wissenschaften 267. Springer-Verlag 1984.[2] P. Griffiths, J. Harris Principles of algebraic geometry. John Wiley 1994.[3] J. Harris, I. Morrison, Moduli of curves. Springer Verlag 1998.[4] R. Miranda, Algebraic curves and Riemann surfaces. Graduate studies in mathematicsVol 5. American Mathematical Society 1995.[5] R. Narasimhan, Compact Riemann Surfaces. Birkhauser Verlag 1992.Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 41–52


Invitación al álgebra homólogica 551. f 1 es inyectiva,2. f 2 es sobreyectiva,3. Imf 1 = Kerf 2.En tal caso se le llama sucesión exacta corta.Ejercicio 1. Demostrar la afirmación anterior.Ahora estamos en condición <strong>de</strong> enunciar nuestro teorema <strong>de</strong>l rango generalizado.Teorema 2 (<strong>de</strong>l rango) Se consi<strong>de</strong>ran los siguientes casos:a) Para toda 0 → V 1 −→f 1dim V 1 + dim V 3.V 2 −→f 2V 3 → 0, sucesión exacta corta, se satisface: dim V 2 =b) Para toda sucesión exacta V · : · · · → V i−1 −→f i−1(−1) dim Vi = 0.Pi∈ZV i −→f iV i+1 −→f i+1. . . , se satisface:Como corolario obtenemos la formulación original:Corolario 1. Si f : E → F es una aplicación lineal, entonces:dim E = dim(Kerf) + dim(Imf).Prueba. Como 0 → V 1i<strong>de</strong>ntificaciones:−→f1 V 2 −→f2 V 3 → 0 es exacta, tenemos las siguientesV 1 se pue<strong>de</strong> i<strong>de</strong>ntificar, mediante f 1, con un subespacio vectorial <strong>de</strong> V 2 : V 1 ⊂ V 2,V 3 ≃ V 2/V 1, el espacio cociente <strong>de</strong> V 2 por el subespacio V 1.Sea {e 1 , ..., e k } una base <strong>de</strong> V 1 y {ɛ 1 , ..., ɛ l } una base <strong>de</strong> V 3 . Sea {ɛ ′ 1, . . . , ɛ ′ l } un“levantamiento” a V 2 <strong>de</strong> la base elegida en V 3 .Sea v ∈ V un elemento arbitrario <strong>de</strong> V 2 , existen β j ∈ k tales que:f 2 (v) =Levantando esta relación a V 2 tenemos:v =l∑β j ɛ j .j=1l∑β j ɛ ′ j + v 0 , v 0 ∈ Kerf 2 ≃ V 1 .j=1Por tanto,l∑k∑v = β j ɛ ′ j + α i e i ,j=1 i=1Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67


56 Alexis G. Zamorapara alguna colección {α i ∈ k}. Esto <strong>de</strong>muestra que {e 1 , ..., e k , ɛ ′ 1, ..., ɛ ′ l} es un conjuntogenerador <strong>de</strong> V 2 . La <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> que estos elementos son linealmente in<strong>de</strong>pendienteses similar.Ejercicio 2. Demuestre la parte b) <strong>de</strong>l teorema.3. Lección 2. Formas diferenciales en R 2 .Todas las funciones que consi<strong>de</strong>raremos en esta lección son <strong>de</strong> clase C ∞ . Resumimosen la siguiente tabla las <strong>de</strong>finiciones y propieda<strong>de</strong>s elementales <strong>de</strong> las formasdiferenciales en R 2 .Expresión Conjunto (conexo) Expresión <strong>de</strong> la integral<strong>de</strong> integraciónΩ 0 f p ∈ R 2 f(p)∫Ω 1 ω = pdx + qdy curvas Γ ⊂ R 2 Γ ω = ∫ 10 (p(t)γ′ 1(t) + q(t)γ 2(t))dt′∫Ω 2 hdx ∧ dy dominios U ⊂ R 2 hdx ∧ dy( integral <strong>de</strong> Riemann)∫UEn estas expresiones f,p, q, h son funciones (<strong>de</strong> clase C ∞ ) y Γ es una curva, estoes, la imagen en R 2 <strong>de</strong> una función <strong>de</strong> clase C 1 : γ : [0, 1] → R 2 ,γ(t) = (γ 1 (t), γ 2 (t)), t ∈ [0, 1].La expresión p(t) tiene el significado p(t) = p(γ 1 (t), γ 2 (t)).Los elementos <strong>de</strong> Ω i se <strong>de</strong>nominan i-formas. Estos espacios vectoriales tienen aplicacionesnaturales <strong>de</strong>finidas entre ellas, los llamados operadores diferenciales o simplementeel diferencial d : Ω i → Ω i+1 . Se <strong>de</strong>finen por medio <strong>de</strong> las siguientes expresiones:si f ∈ Ω 0 (≃ C ∞ ), df := f xdx + f ydy,si ω = pdx + qdy ∈ Ω 1 , dω := (p y − q x)dx ∧ dy.El diferencial <strong>de</strong> toda 2−forma es cero. De este modo po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir una sucesión<strong>de</strong> espacios vectoriales y aplicaciones lineales:Ω· : 0 → Ω 0 −→dΩ 1 −→d Ω 2 → 0.Nos preguntamos si esta sucesión es exacta. La respuesta a esta pregunta es obviamentenegativa, pues si f ∈ Ω 0 es cualquier función constante df = 0. Esta dificultadpo<strong>de</strong>mos salvarla modificando nuestra <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> Ω·:Ω· : 0 → R → Ω 0 −→dcon la nueva aplicación <strong>de</strong>finida como la inclusión.Ω 1 −→d Ω 2 → 0,Ejercicio 3. Demostrar que d : Ω 1 → Ω 2 es sobreyectiva.De este modo Ω· es exacta si y sólo si para 1-formas ω = pdx+qdy las condiciones:Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67


Invitación al álgebra homólogica 57a) dω = 0,b) existe f ∈ Ω 0 tal que f x = p, f y = q son equivalentes.Definición 2 (formas cerradas y exactas) Una 1−forma ω = pdx + qdy se llama cerrada sidω = 0 (equivalentemente si p y = q x ). ω se llama exacta si existe f ∈ Ω 0 tal quef x = p y f y = q.Así nuestro problema es investigar si para 1−formas son equivalentes las condiciones<strong>de</strong> ser exacta y cerrada. Una <strong>de</strong> las dos implicaciones es una simple consecuencia<strong>de</strong> la conmutatividad <strong>de</strong> las <strong>de</strong>rivadas parciales mixtas, si f ∈ Ω 0 , entonces:d 2 f = d(df) = d(f x dx + f y dy) = (f xy − f yx )dx ∧ dy = 0.Esto es, toda forma exacta es cerrada. El recíproco <strong>de</strong> esta afirmación también escierto. Sea ω una forma cerrada, <strong>de</strong>finamosf(p) :=∫ p0ω, p ∈ R 2 .El significado <strong>de</strong> la integral es tomar cualquier curva γ tal que γ(0) = 0 y γ(1) = p.Por supuesto, para que esta <strong>de</strong>finición tenga sentido es necesario que el valor <strong>de</strong> laintegral sea in<strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong> la curva γ elegida, o equivalentemente que para todacurva cerrada Γ (γ(0) = γ(1)): ∫ω = 0.ΓLa in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia <strong>de</strong> la integral con respecto a la curva <strong>de</strong> integración la garantiza elteorema <strong>de</strong> Green:Teorema 3. Sea ω una 1−forma y Γ una curva cerrada en R 2 , entonces∫ω =Γ∫ ∫dω.Γ oDon<strong>de</strong> Γ o <strong>de</strong>nota el interior <strong>de</strong> Γ.Ejercicio 4. Demuestre que efecto d( ∫ pω) = ω.0Con esto resolvemos completamente el problema planteado, siempre que trabajemosen R 2 , pero ¿qué suce<strong>de</strong> si consi<strong>de</strong>ramos formas <strong>de</strong>finidas sobre dominios arbitrariosU ⊂ R 2 ? Nuestro último argumento ya no será válido, pues la <strong>de</strong>mostración<strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> Green se basa en el hecho <strong>de</strong> que el interior <strong>de</strong> Γ es un dominiosimplemente conexo <strong>de</strong>l plano.Consi<strong>de</strong>remos, por ejemplo, U = ∆ 1 − {(0, 0)}, el disco abierto <strong>de</strong> radio 1 menosel origen. De ahora en a<strong>de</strong>lante Ω i (U) <strong>de</strong>notará el espacio <strong>de</strong> i−formas diferenciales<strong>de</strong>finidas sobre U, o sea las funciones que aparecen como coeficientes <strong>de</strong> nuestrasformas serán ahora elementos <strong>de</strong> C ∞ (U) . Nuevamente nos preguntamos si la sucesiónΩ·(U) es exacta. Naturalmente, el mismo argumento usado anteriormente <strong>de</strong>muestraque toda forma exacta sobre U es también cerrada. Sin embargo, toda forma cerradaRevista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67


58 Alexis G. Zamorano es exacta. Para convencernos <strong>de</strong> esta última afirmación introducimos las formasdiferenciales complejas.I<strong>de</strong>ntifiquemos el plano R 2 con C <strong>de</strong>l modo usual, z = x+iy. Una forma diferencialcompleja ω es una expresión <strong>de</strong>l tipo ω = f(z)dz, con f(z) = u(x, y) + iv(x, y) unafunción diferenciable con variable y valores complejos y dz = dx + idy.La expresión <strong>de</strong> ω pue<strong>de</strong> reescribirse como:f(z)dz = (u(x, y) + iv(x, y))dx + (iu(x, y) − v(x, y))dy.Vista <strong>de</strong> este modo toda forma diferencial compleja es una forma real pero con valoresen los números complejos. Ahora bien, ω será cerrada si y sólo si:esto es, si y sólo si:(u + iv) y = (iu − v) x ,u y = −v x , u x = v y .Estas son las bien conocidas condiciones <strong>de</strong> Cauchy-Riemann. Po<strong>de</strong>mos concluir entoncesque una forma diferencial compleja f(z)dz en U es cerrada si y sólo si f(z) esuna función holomorfa en U. Como un subproducto <strong>de</strong> nuestra discusión obtenemosel siguiente teorema <strong>de</strong> Cauchy, que es la base <strong>de</strong> la teoría <strong>de</strong> funciones holomorfas:Teorema 4. Sea Γ ⊂ C una curva simple tal que su interior U es un dominio simplementeconexo. Si f es una función holomorfa en una vecindad <strong>de</strong> Ū entonces∫f(z)dz = 0.ΓPara finalizar, regresemos a nuestro dominio U = ∆ 1 − {(0, 0)}. Consi<strong>de</strong>remos laforma compleja 1 zdz, que es holomorfa en U. Sabemos por tanto que nuestra formaes cerrada, sin embargo esta no pue<strong>de</strong> ser exacta, pues <strong>de</strong> serlo su ”primitiva”, ln(z)tendría una rama bien <strong>de</strong>finida en U.Ejercicio 5. Deducir <strong>de</strong> lo anterior que la sucesión Ω·(U) no es exacta.4. Lección 3. Complejos <strong>de</strong> módulos y homologíaLa propiedad d 2 f = 0 para toda función diferenciable f sugiere <strong>de</strong> manera naturalla noción <strong>de</strong> complejo. Sin embargo, antes <strong>de</strong> plantear la <strong>de</strong>finición introducimos unaclase <strong>de</strong> objetos que generalizan el concepto <strong>de</strong> espacio vectorial y para los cualespue<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>finidos igualmente los complejos.Para simplificar la discusión suponemos que R es un anillo conmutativo y con 1(por ejemplo, k[x 1 , ..., x n ] el anillo <strong>de</strong> polinomios en n variables).Definición 3. (Definición <strong>de</strong> módulos) Sea R un anillo (con las convenciones anteriores),un R−módulo M es un grupo abeliano (M, +) provisto <strong>de</strong> una aplicación:R × M → M, (r, m) → rm que satisface:Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67


Invitación al álgebra homólogica 59i) ∀a ∈ R, la aplicación M → M, m → am es R−lineal,ii) ∀a 1, a 2 ∈ R y m ∈ M, (a 1 + a 2)m = a 1m + a 2m.iii) ∀m ∈ M, 1m = m.Ejemplo 2. 1. Si R = k es un campo, entonces los k−módulos son precisamente losk−espacios vectoriales.2. R es un R−módulo con R × R → R la multiplicación <strong>de</strong>l anillo.3. Si I ⊂ R es un i<strong>de</strong>al, entonces I es un R−módulo con la multiplicación <strong>de</strong>l anillo.4. M 1 ⊂ M 2 es llamado un submódulo <strong>de</strong> M 2 si es un subgrupo <strong>de</strong> M 2 y RM 1 ⊂ M 1. Ental caso el grupo cociente M 2/M 1 es un R−módulo.5. Si M 1, M 2 son R−módulos, la suma directa M 1 ⊕ M 2 es un R−módulo. En particularla suma directa <strong>de</strong> R consigo mismo n veces, R n , se <strong>de</strong>nomina el módulo libre <strong>de</strong> rangon.6. Los espacios Ω i son Ω 0 -módulos.Entre dos módulos <strong>de</strong>finidos sobre un mismo anillo existe la noción <strong>de</strong> aplicacionesR−lineales. Nótese, por ejemplo, que la aplicación R−lineal d : Ω 1 → Ω 2 no esΩ 0 −lineal.Definición 4 (complejos) Sea M · : · · · → M i−1 −→di−1 M i −→di M i+1 −→di+2 . . . , unasucesión <strong>de</strong> R−módulos y aplicaciones R−lineales. M · se llama un complejo si, paratodo k ∈ Z, d k+1 ◦ d k = 0.La condición d k+1 ◦ d k = 0 es equivalente a Imd k ⊂ Kerd k+1 . Si a<strong>de</strong>más Imd k =Kerd k+1 , M · se llama sucesión exacta.Ejemplo 3. Sea U = ∆ 1 − {(0, 0)} entonces, por la discusión <strong>de</strong> la lección anterior,Ω·(U) es un complejo pero no una sucesión exacta.Definición 5 (cohomología) Sea M · un complejo <strong>de</strong> R−módulos, el i−ésimo módulo <strong>de</strong>cohomología <strong>de</strong> M · se <strong>de</strong>fine como:H i (M ·) := Kerd i /Imd i−1 .En particular si U ⊂ R 2 es un dominio a la cohomología <strong>de</strong> Ω·(U) se le llamacohomología <strong>de</strong> “<strong>de</strong> Rham” <strong>de</strong> U y se <strong>de</strong>nota por HDR i (U). Reformulando nuestroanálisis sobre las formas diferenciales en R 2 po<strong>de</strong>mos establecer:U ⊂ R 2 es simplemente conexo ⇐⇒ HDR 1 (U) = 0.Este hecho es la primera manifestación <strong>de</strong> un principio general: la cohomología <strong>de</strong>complejos nos brinda información muy importante sobre los objetos que estamos estudiando.Esta información pue<strong>de</strong> ser, <strong>de</strong>pendiendo <strong>de</strong>l contexto, algebraica, topológicao geométrica.También es posible <strong>de</strong>finir un morfismo entre dos complejos. Si M · y N · son doscomplejos tenemos:Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67


60 Alexis G. ZamoraDefinición 6 (morfismos <strong>de</strong> complejos) Un morfismo α : M · → N ·, es una colección <strong>de</strong>aplicaciones R−lineales α i : M i → N i tal que los cuadradosconmuntan para todo i ∈ Z.M i−1d i−1M i ,α i−1 α i δ i−1N i−1 N iEjercicio 6. Dado α : M · → N · un morfismo <strong>de</strong> complejos <strong>de</strong>muestre que α induceuna aplicación R−lineal: α ∗ : H i (M ·) → H i (N ·)La siguiente <strong>de</strong>finición es la clave para comparar la cohomomología <strong>de</strong> complejos.Definición 7 (morfismo cero-cohomólogico) Un morfismo <strong>de</strong> complejos α : M · → N ·, se dicecero-cohomólogico si existe aplicaciones R−linealestales que α k = h k+1 d k + δ k−1 h k .h i : M i → N i−1 ,Lema 1. Si α es cero-cohomológica entonces α ∗ es la aplicación cero.Prueba. La primera observación es que α k envía el ker(d k ) en el kernel <strong>de</strong> δ k (esto esprecisamente lo que permite <strong>de</strong>finir α ∗ ). Sea m ∈ ker(d k ). Entonces:α k (m) = h k+1 d k (m) + δ k−1 h k (m),pero d k (m) = 0, y δ k−1 h k (m) ∈ Im(δ k−1 ), y por tanto su clase es cero en H k (N ·).El modo más usual <strong>de</strong> obtener información <strong>de</strong> este lema es notar que si dos morfismos:α, β : M · → N · satisfacen que α − β es cero-cohomólogica, entonces α ∗ = β ∗ .5. Lección 4. Dos ejemplos <strong>de</strong> complejos5.1 Complejo <strong>de</strong> Koszul <strong>de</strong> longitud 2Comenzamos con la siguiente <strong>de</strong>finición básica:Definición 8 (divisor <strong>de</strong> cero) Sea R un anillo (conmutativo y con 1), x ∈ R se llama undivisor <strong>de</strong> cero si ∃y ∈ R, y ≠ 0 tal que xy = 0. Si x no es divisor <strong>de</strong> cero se le llamaelemento regular.Dados cualesquiera dos elementos x, y ∈ R <strong>de</strong>finimos (x : y) := {a ∈ R | ay ∈}.Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67


Invitación al álgebra homólogica 61Ejercicio 7. Demuestre que (x : y) es un i<strong>de</strong>al <strong>de</strong> R.Sea x ∈ R, <strong>de</strong>finimos el siguiente complejo:K(x) : 0 → R −→ ·x R,A pesar <strong>de</strong> su aspecto inofensivo la cohomología <strong>de</strong> este complejo nos brinda algunainformación sobre x. En efecto, H 0 (K(x)) = Ker(R −→ ·x R) = (0 : x), <strong>de</strong> modo quex es regular si y sólo si H 0 (K(x)) = 0.Un problema más interesante se presenta si elegimos dos elementos x, y ∈ R y <strong>de</strong>finimosla noción <strong>de</strong> conjunto regular. El conjunto or<strong>de</strong>nado {x, y} se llamará regularsi:a) x es regular,b) la clase <strong>de</strong> y en R/ < x > (<strong>de</strong>notada por ȳ) es regular.Supongamos entonces que x es regular y sea y cualquier otro elemento en R.Definimos el complejo:K(x, y) : 0 → R −→(y x)d 0R ⊕ R −→(−x,y)d 1R → 0.Es fácil comprobar que esta sucesión es, en efecto, un complejo. Calculemos su cohomología:H 0 (K(x, y)) = Ker(d 0 ) = {a ∈ R | ay = 0 y ax = 0} = 0,ya que x es regular.Veamos ahora quién es H 1 (K(x, y)) = Ker(d 1 )/Im(d 0 ). En primer lugarKer(d 1 ) = {( a b) | −ax + by = 0}.La condición by = ax implica que b ∈ (x : y). Inversamente, si b ∈ (x : y), entoncesexiste a tal que by = ax, a<strong>de</strong>más este a será único pues la existencia <strong>de</strong> a ′ ≠ a conla misma propiedad implica que x es divisor <strong>de</strong> cero. Esta correspon<strong>de</strong>ncia biunívocaestablece un isomorfismo <strong>de</strong> i<strong>de</strong>ales (esto es, dicha correspon<strong>de</strong>ncia es R−lineal):Por otro ladoKer(d 1 ) ≃ (x : y).Im(d 0 ) = {( cycx) | c ∈ R}.De este modo Im(d 0 ) pue<strong>de</strong> ser i<strong>de</strong>ntificado, a través <strong>de</strong>l isomorfismo anterior, conel i<strong>de</strong>al generado por < x >⊂ (x : y). En conclusión:H 1 (K(x, y)) ≃ (x : y)/ < x > .Ahora estamos en condición <strong>de</strong> formular la conclusión <strong>de</strong> nuestro análisis:Proposicón 1. Sea x ∈ R un elemento regular, y ∈ R. El conjunto or<strong>de</strong>nado {x, y}es regular si y sólo si: H 1 (K(x, y)) = 0.Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67


62 Alexis G. ZamoraPrueba. ȳ ∈ R/ < x > es regular si y sólo si(0 : ȳ) ≃ (x : y)/ < x >≃ H 1 (K(x, y)) = 0.Este ejemplo ilustra una vez más cómo la cohomología <strong>de</strong> complejos codifica importanteinformación sobre los objetos estudiados. En este caso la información es <strong>de</strong>tipo algebraica.5.2 Homología simplicialEl siguiente ejemplo pue<strong>de</strong> ser consi<strong>de</strong>rado, junto con el teorema <strong>de</strong>l rango y elestudio <strong>de</strong> formas cerradas, como la motivación histórica más importante para elsurgimiento <strong>de</strong>l álgebra homológica.Sea X una superficie <strong>de</strong> Riemann compacta (o más generalmente una 2−variedadreal, conexa, compacta, sin frontera y orientable). Un triángulo en X se <strong>de</strong>fine comola imagen <strong>de</strong>l triágulo “estándar” en R 2 bajo una aplicación homeomorfa. Más precisamente,∆ 2 ⊂ R 2 es el triángulo <strong>de</strong>finido por los vértices v 0 = (0, 0), v 1 = (0, 1),v 2 = (1, 0), una orientación se <strong>de</strong>fine como un or<strong>de</strong>namiento <strong>de</strong> los vértices, concretamentetomamos:v 0 < v 1 < v 2 .Con esta orientación tiene sentido hablar <strong>de</strong> la región interior a ∆ 2 y cometiendo unligero abuso <strong>de</strong> lenguaje llamaremos ∆ 2 al triángulo junto con su interior.Similarmente <strong>de</strong>finimos el eje estándar en R 2 como el segmento <strong>de</strong> recta orientado∆ 1 = v 0 ¯v 1 y el vértice estándar como el punto ∆ 0 = v 0 . A<strong>de</strong>más los tres ejes <strong>de</strong> ∆ 2serán <strong>de</strong>notados por:I 0 :=v 1 ¯v 2 , I 1 := v 0 ¯v 1 , I 2 := v 0 ¯v 1 (= ∆ 1 ).Es completamente natural <strong>de</strong>finir la frontera orientada <strong>de</strong> ∆ i como:δ(∆ 2 ) = I 0 − I 1 + I 2 ,δ(∆ 1 ) = v 0 − v 1 ,δ(∆ 0 ) = 0,(el lector está invitado a convencerse <strong>de</strong> la “naturalidad” <strong>de</strong> estas <strong>de</strong>finiciones medianteun dibujo).Finalmente, se <strong>de</strong>fine C i (X) como el grupo abeliano libre generado por todas lasposibles imágenes homeomorfas <strong>de</strong> ∆ i en X. El operador δ <strong>de</strong>finido anteriormentepue<strong>de</strong> exten<strong>de</strong>rse por medio <strong>de</strong> imágenes homeomorfas y linealidad a los gruposC i (X). Como resultado obtenemos un complejo <strong>de</strong> Z−módulos (o sea, <strong>de</strong> gruposabelianos):C 2 (X) −→δC 1 (X) −→δ C 0 (X) → 0.Nótese que en este caso los módulos que forman el complejo están numerados enor<strong>de</strong>n <strong>de</strong>creciente. De un modo ingenuo po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>cir que <strong>de</strong>bido a esta notaciónRevista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67


Invitación al álgebra homólogica 63hablamos <strong>de</strong> “homología” <strong>de</strong>l complejo, en lugar <strong>de</strong> cohomología. La verda<strong>de</strong>ra razón<strong>de</strong> este cambio <strong>de</strong> notación hay que buscarla en la noción <strong>de</strong> dualidad <strong>de</strong> módulos.La homología <strong>de</strong> este complejo, llamada homología simplicial y <strong>de</strong>notada porH i (X, Z) guarda toda la información esencial sobre la topología <strong>de</strong> X. Por ejemplo,<strong>de</strong>bido al hecho <strong>de</strong> que X es conexa, o más exactamente arco conexa, se <strong>de</strong>duceque H 0 (X, Z) = Z.En efecto, todo elemento <strong>de</strong> C 0 (X) está en el núcleo <strong>de</strong> la aplicación frontera, sip, q ∈ X son dos elementos cualesquiera <strong>de</strong> C 0 (X) existe una curva γ con γ(0) = p, yγ(1) = q. Por tanto p − q ∈ C 0 (X) está en la imagen <strong>de</strong> δ, puesto que es la frontera<strong>de</strong> γ ∈ C 1 (X). Esto <strong>de</strong>muestra que H 0 (X, Z) es el grupo libre sobre Z generado porp.El grupo H 1 (X, Z) ≃ Z 2g , don<strong>de</strong> g es el género <strong>de</strong> X, clasifica la clase topológica <strong>de</strong>X. El lector podrá encontrar en las notas <strong>de</strong> A. Castorena, en este mismo volumen,la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> género.6. Lección 5. Hom R(N, −)Sea R un anillo conmutativo y con 1. Fijemos un R−módulo N, a cada R−móduloM le asignamos el conjunto <strong>de</strong> R−aplicaciones lineales N → M, este conjuntose <strong>de</strong>nota como Hom R (N, M), y tiene una estructura <strong>de</strong> R−módulo, <strong>de</strong>finida por lasuma y el producto puntuales.Ejercicio 8. Compruebe que Hom R (N, M) es un R−módulo. Haga notar que lacondición R es conmutativo es indispensable para <strong>de</strong>finir la estructura <strong>de</strong> R−módulo.Para simplificar la notación es conveniente <strong>de</strong>notar la clase <strong>de</strong> todos los R− módulospor Mod R y la asignación anterior por:Hom R (N, −) : Mod R → Mod R .Esta asignación no sólo <strong>de</strong>fine una aplicación entre módulos sino también entre morfismos<strong>de</strong> módulos. Sif : M 1 → M 2es una aplicación R−lineal <strong>de</strong>finimosf N : Hom R (N, M 1 ) → Hom R (N, M 2 )por medio <strong>de</strong> la composición: f N (α) = f ◦ α. Es <strong>de</strong>cir f N (α) hace conmutar el diagrama:N f N (α)αM 1f M 2.Nos planteamos ahora el siguiente problema, seaM · : 0 → M 1 −→f1M 2 −→f2 M 3 → 0,Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67


64 Alexis G. Zamorauna sucesión exacta corta <strong>de</strong> R−módulos. Cuándo es la sucesión:exacta?Hom R (N, M ·) : 0 → Hom R (N, M 1 ) −→f 1,N→ Hom R (N, M 2 ) −→f 2,NHom R (N, M 3 ) → 0La respuesta más general que se pue<strong>de</strong> dar a esta pregunta es la siguiente:Afirmación 1. Si M · es exacta entonces0 → Hom R (N, M 1 ) −→f 1,NHom R (N, M 2 ) −→f 2,NHom R (N, M 3 )es exacta.Prueba. Supongamos que α ∈ Hom R (N, M 1 ) es tal que f 1,N (α) = f 1 ◦α = 0, entoncesIm(α) ⊂ Ker(f 1 ) = 0, puesto que M · es exacta. Por tanto α = 0. Esto <strong>de</strong> muestraque f 1,N es inyectiva.Sea ahora β ∈ Hom R (N, M 2 ) un elemento <strong>de</strong> la imagen <strong>de</strong> f 1,N . Esto significa queexiste α ∈ Hom R (N, M 1 ) tal que β = f 1 ◦ α. Pero entoncesf 2,N (β) = f 2,N (f 1 ◦ α) = f 2 ◦ f 1 ◦ α = 0,puesto que f 2 ◦f 1 = 0, por ser M · exacta. Esto <strong>de</strong>muestra que Im(f 1,N ) ⊂ Ker(f 2,N ).Finalmente, sea β ∈ Ker(f 2,N ). Esto es, f 2 ◦ β = 0. Esto implica que la imagen <strong>de</strong>β : N → M 2 está contenida en el kernel <strong>de</strong> f 2 , pero al mismo tiempo Ker(f 2 ) = M 1 ,esto es, β factoriza a través <strong>de</strong> M 1 y por tanto está en la imagen <strong>de</strong> f 1,N .Por tanto la respuesta a nuestra pregunta es afirmativa salvo, tal vez, por la exactitud<strong>de</strong> Hom R (N, M ·) en la última flecha, o lo que es lo mismo, por la sobreyectividad<strong>de</strong>f 2,N : Hom R (N, M 2 ) → Hom R (N, M 3 ).Fijo N esta aplicación será sobreyectiva para toda M · exacta si y sólo si se cumplela siguiente condición: P: Para todo morfismo sobreyectivo <strong>de</strong> R−módulos:y todo morfismoM 2 → M 3 → 0,γ : N → M 3 ,existe γ ′ : N → M 2 tal que el siguiente diagrama conmuta:Lo que motiva la siguiente:γ ′N M 2 M 3 0γ.Definición 9 (módulo proyectivo) Un R−módulo N se dice proyectivo si satisface alguna<strong>de</strong> las propieda<strong>de</strong>s equivalentes siguientes:Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67


Invitación al álgebra homólogica 65a) la propiedad P,b) para toda sucesión exacta corta M · <strong>de</strong> R−módulos la sucesión Hom R(N, M ·) tambiénes exacta.Ejemplo 4. 1. Sea R n un módulo libre y supongamos que tenemos morfismos:R n γ.M 2f M 3 0Sea e 1, ...e n una base <strong>de</strong> R n y m i := γ(e i). Sean ¯m i ∈ M 2 tales que f( ¯m i) = m i. ComoR n es libre la asignación β(e i) = ¯m i <strong>de</strong>fine una aplicación R − lineal β : R n → M 2 quepor construcción satisfaceγ = f ◦ β.Es <strong>de</strong>cir, todo módulo libre es proyectivo.2. Sea R = Z y consi<strong>de</strong>remos el módulo Z 2 y el diagrama:Z 2idZπ Z 2 0don<strong>de</strong> π es el cociente <strong>de</strong> Z por 2Z. Este diagrama no pue<strong>de</strong> ser completado con unmorfismo β : Z 2 → Z puesto que Hom Z (Z 2, Z) = 0. Esto es, Z 2 no es un móduloproyectivo.Ejemplo 5. Demuestre que:a) un módulo M es libre (≃ R n ) si y sólo si tiene una base e 1, ..., e n. Aquí la <strong>de</strong>finición<strong>de</strong> base es exactamente la misma que en álgebra lineal: un conjunto <strong>de</strong> generadoreslinealmente in<strong>de</strong>pendientes.b) si M es libre y e 1, ..., e n es una base todo morfismo α : M → N se <strong>de</strong>fine medianteuna asignación α(e i) = n i ∈ N. En particular para todo N:Hom R(R n , N) ≃ N n .Ejercicio 9. Demuestre que Hom Z (Z 2 , Z) = 0.El último ejemplo nos permite <strong>de</strong>ducir dos razones por la cuáles un módulo pue<strong>de</strong>no ser proyectivo.Afirmación 2. Sea D un dominio (todo elemento <strong>de</strong> D ≠ 0 es regular). Sea M unD−módulo finitamente generado y supongamos que existe m ∈ M tal que m es <strong>de</strong>torsión, es <strong>de</strong>cir, m ≠ 0 y para algún n ∈ Z, n ≠ 0 nm = 0. Entonces M no esproyectivo.Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67


66 Alexis G. ZamoraPrueba. La hipótesis M es finitamente generado significa que existe un morfismosobreyectivo:D k → M → 0,para algún k natural. El mismo argumento usado para <strong>de</strong>mostrar el Problema 9 nospermite concluir queHom D (M, D k ) = 0.La segunda razón está relacionada con la existencia <strong>de</strong> extensiones no triviales.Sean M y N R−módulos, una extensión no trivial <strong>de</strong> N por M es una sucesiónexacta:0 → M → ¯M → N → 0que no es isomorfa a la extensión0 → M → M ⊕ N → N → 0.Isomorfismo entre extensiones significa que existe un diagrama conmutativo:Tenemos entonces:0 M id¯M0 M ¯M′ N 0Afirmación 3. Sea N un R−módulo, supongamos que existe M que admite unaextensión no trivial <strong>de</strong> N por M. Entonces N no es proyectivo.Prueba. SeaϕNid0 → M → ¯M −→π N → 0la extensión no trivial y consi<strong>de</strong>remos el diagrama:0 .N.0 M ¯Mπ N 0Si N es proyectivo existe β : N → ¯M tal que π ◦ β = id. Del Ejercicio 10 se <strong>de</strong>duceque la extensión consi<strong>de</strong>rada no podría ser no trivial.idEjercicio 10. Sea0 → M → ¯M −→π N → 0,una sucesión exacta <strong>de</strong> R−módulos, supongamos que existe β : N → M tal queπ ◦ β = id. Demostrar que en tal caso ¯M ≃ M ⊕ N y la extensión <strong>de</strong>finida por lasucesión exacta es trivial.Hom R (N, −) es uno <strong>de</strong> los casos más importantes <strong>de</strong> lo que se conoce como unfuntor (en este caso <strong>de</strong> la categoría <strong>de</strong> R−módulos en sí misma). Construir a partir<strong>de</strong> una sucesión exactaRevista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67


Invitación al álgebra homólogica 67M · : 0 → M 1 −→f1M 2 −→f2 M 3 → 0,otra sucesión que termine en 0 y que tenga por inicio la sucesión:0 → Hom R (N, M 1 ) −→f 1,NHom R (N, M 2 ) −→f 2,NHom R (N, M 3 ) → . . .es un problema que involucra la construcción <strong>de</strong> complejos asociados a la sucesiónexacta y el cálculo <strong>de</strong> sus cohomologías. En esta construcción aparecen <strong>de</strong> modonatural módulos que parametrizan el conjunto <strong>de</strong> extensiones no triviales <strong>de</strong> M 3 porM 1 .Referencias[1] Kostrikin, A. y Manin, Y. Linear Algebra and Geometry. Gordon and Breach, 1997.◦Los resultados discutidos en la Lección 1 pue<strong>de</strong>n encontrarse en cualquier texto mo<strong>de</strong>rno<strong>de</strong> Algebra Lineal, pero personalmente recomiendo este texto.[2] Ahlfors, L. Complex Analysis. McGraw-Hill, 1953.◦Para una introducción a las formas diferenciables, y en particular su relación con lavariable compleja[3] Springer, G. Introduction to Riemann Surfaces, Addison-Wesley, 1957.◦Este último texto es también magnífico para tomar un primer contacto con la homologíasimplicial sobre una superficie <strong>de</strong> Riemann.[4] Rotman, J.J. An Introduction to Homological Algebra. Aca<strong>de</strong>mic Press 1979.◦Para los conceptos directamente relacionados con el álgebra homológica, como módulos,complejos y el funtor Hom.[5] Eisenbud, D. Commutative Algebra. With a view toward Algebraic Geometry. SpringerVerlag, 1995.◦La discusión en la Lección 4, sección 1 es reproducción <strong>de</strong> la sección 17.1 <strong>de</strong> este texto.Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67


EditoresREVISTA DE CIENCIAS BASICAS UJATes editada por laDivisión Académica <strong>de</strong> Ciencias Básicas<strong>de</strong> la <strong>Universidad</strong> Juárez Autónoma <strong>de</strong> <strong>Tabasco</strong>Dr. Abdiel E. Cáceres González (abdiel.caceres@dacb.ujat.mx)Dr. José Leonardo Sáenz Cetina (leonardo.saenz@basicas.ujat.mx)Comité editorialFísicaM.C. Esteban Andrés ZárateMatemáticasM.C. Robert Jeffrey FlowersQuímicaDr. Isaías Magaña MenaM.C. Ma. Teresa Gamboa RodríguezComputaciónL.S.C.A. Diana G. Chuc DuránDescripciónLa Revista <strong>de</strong> Ciencias Básicas UJAT es una publicación semestral, <strong>de</strong>dicada a la difusión <strong>de</strong> lasciencias básicas. Se dirige a profesores y estudiantes universitarios, y en general a todos los interesadosen las ciencias. Su propósito es ofrecer un espacio que permita informar sobre las investigaciones en elárea correspondiente y difundir temas generales <strong>de</strong> las ciencias básicas.Información para autoresLos autores <strong>de</strong>ben enviar por correo electrónico (revistaCB@dacb.ujat.mx) una copia enformato PDF <strong>de</strong> su artículo propuesto. El artículo será distribuido a tres revisores, los cuales darán suaprobación para que sea publicado. Una vez que el artículo sea aceptado para su publicación, se lesolicitará al autor una versión <strong>de</strong>l documento en formato fuente <strong>de</strong> LaTeX2e, el mol<strong>de</strong> para conservar elestilo tipográfico se encuentra en la sección <strong>de</strong> “Información para autores”, en la página WEB <strong>de</strong> larevista (http://www.revistaCB.ujat.mx/), también es posible solicitarlo por correo electrónico.El contenido <strong>de</strong> los artículos <strong>de</strong>be ser <strong>de</strong> interés científico en las áreas <strong>de</strong> física, matemáticas,computación y química; pudiendo ser <strong>de</strong> divulgación <strong>de</strong> temas <strong>de</strong> investigación o <strong>de</strong> reportes <strong>de</strong>investigación. La extensión <strong>de</strong>seable <strong>de</strong> los artículos oscila entre las 5 y 15 páginas, pudiendo exten<strong>de</strong>rsetanto como sea necesario <strong>de</strong> acuerdo a los criterios <strong>de</strong> los editores.Todos los artículos <strong>de</strong>berán ser escritos en español o inglés, con un resumen <strong>de</strong> no mas <strong>de</strong> 150palabras tanto en español como en inglés.Para encontrar revisores a<strong>de</strong>cuados, agregue el siguiente cuestionario resuelto en el correo electrónicoque nos envíe:1) ¿Cuál es la contribución importante <strong>de</strong> este trabajo?2) ¿Cuáles son las áreas <strong>de</strong> conocimiento más relacionadas con este trabajo?Lista <strong>de</strong> suscriptoresLa suscripción es absolutamente gratuita. La Revista Ciencias Básicas UJAT se distribuyepersonalmente <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> las instalaciones <strong>de</strong> la DACB-UJAT, si usted está interesado en recibirla en undomicilio diferente, man<strong>de</strong> un correo electrónico a los editores, proporcionando su dirección yúnicamente se requerirá el costo <strong>de</strong>l envío.Página WEBhttp://www.revistaCB.ujat.mx/Correo electrónicorevistaCB@dacb.ujat.mx

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