pdf 3Mb - Publicaciones - Universidad Juárez Autónoma de Tabasco

12 Gamaliel Blé GonzálezEn primer lugar notemos que en los puntos del interior de M, se tiene conexidad localy por lo tanto los puntos importantes son los que se encuentran en la frontera de M.Denotemos por W 0 a la componente principal de M, definida como,W 0 = {c ∈ M : P c tiene un punto fijo atractor }Para identificar el conjunto W 0 , recordemos que P c tiene dos puntos fijos, los cualesdenotaremos por α c y β c ; ellos satisfacen,z 2 − z + c = (z − α c )(z − β c )= z 2 − (α c + β c )z + α c β c .Así α c + β c = 1 y α c β c = c. Como P ′ c(z) = 2z tenemos que,|P ′ c(α c )| + |P ′ (β c )| = 2α c + 2β c = 2(α c + β c ) = 2.Esta desigualdad nos muestra nuevamente que solamente uno de los puntos α c o β ces atractor. Digamos que α c es dicho punto, entoncescomo α c es punto fijo de P c tenemos que|P ′ (α c )| = 2|α c | < 1 ⇔ |α c | < 1/2,α 2 c + c = α c ⇒ c = α c − α 2 c . (1)Así el conjunto de parámetros c para los cuales P c tiene un punto fijo atractor es laimagen del disco {α c : |α c | < 1/2} bajo la función z ↦→ z−z 2 . Esta función la podemosver como la composición f ◦ g ◦ h, donde h(z) = z−1/2, g(z) = z 2 y f(z) = 1/4 − z, yel conjunto de parámetros c para los cuales se tiene un punto fijo atractor, resulta serel interior de la cardioide mostrada en la figura 3. De aquí podemos observar que laFigura 3. Imagen de S 1 bajo f ◦ g ◦ h, donde h(z) = z − 1/2, g(z) = z 2 y f(z) = 1/4 − z.función ρ W0 : W 0 → D que a c lo envia en DP c (α c ) es un bi-holomorfismo y de hechoRevista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 3–15