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58 Alexis G. Zamorano es exacta. Para convencernos de esta última afirmación introducimos las formasdiferenciales complejas.Identifiquemos el plano R 2 con C del modo usual, z = x+iy. Una forma diferencialcompleja ω es una expresión del tipo ω = f(z)dz, con f(z) = u(x, y) + iv(x, y) unafunción diferenciable con variable y valores complejos y dz = dx + idy.La expresión de ω puede reescribirse como:f(z)dz = (u(x, y) + iv(x, y))dx + (iu(x, y) − v(x, y))dy.Vista de este modo toda forma diferencial compleja es una forma real pero con valoresen los números complejos. Ahora bien, ω será cerrada si y sólo si:esto es, si y sólo si:(u + iv) y = (iu − v) x ,u y = −v x , u x = v y .Estas son las bien conocidas condiciones de Cauchy-Riemann. Podemos concluir entoncesque una forma diferencial compleja f(z)dz en U es cerrada si y sólo si f(z) esuna función holomorfa en U. Como un subproducto de nuestra discusión obtenemosel siguiente teorema de Cauchy, que es la base de la teoría de funciones holomorfas:Teorema 4. Sea Γ ⊂ C una curva simple tal que su interior U es un dominio simplementeconexo. Si f es una función holomorfa en una vecindad de Ū entonces∫f(z)dz = 0.ΓPara finalizar, regresemos a nuestro dominio U = ∆ 1 − {(0, 0)}. Consideremos laforma compleja 1 zdz, que es holomorfa en U. Sabemos por tanto que nuestra formaes cerrada, sin embargo esta no puede ser exacta, pues de serlo su ”primitiva”, ln(z)tendría una rama bien definida en U.Ejercicio 5. Deducir de lo anterior que la sucesión Ω·(U) no es exacta.4. Lección 3. Complejos de módulos y homologíaLa propiedad d 2 f = 0 para toda función diferenciable f sugiere de manera naturalla noción de complejo. Sin embargo, antes de plantear la definición introducimos unaclase de objetos que generalizan el concepto de espacio vectorial y para los cualespuede ser definidos igualmente los complejos.Para simplificar la discusión suponemos que R es un anillo conmutativo y con 1(por ejemplo, k[x 1 , ..., x n ] el anillo de polinomios en n variables).Definición 3. (Definición de módulos) Sea R un anillo (con las convenciones anteriores),un R−módulo M es un grupo abeliano (M, +) provisto de una aplicación:R × M → M, (r, m) → rm que satisface:Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67