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Invitación al álgebra homólogica 61Ejercicio 7. Demuestre que (x : y) es un ideal de R.Sea x ∈ R, definimos el siguiente complejo:K(x) : 0 → R −→ ·x R,A pesar de su aspecto inofensivo la cohomología de este complejo nos brinda algunainformación sobre x. En efecto, H 0 (K(x)) = Ker(R −→ ·x R) = (0 : x), de modo quex es regular si y sólo si H 0 (K(x)) = 0.Un problema más interesante se presenta si elegimos dos elementos x, y ∈ R y definimosla noción de conjunto regular. El conjunto ordenado {x, y} se llamará regularsi:a) x es regular,b) la clase de y en R/ < x > (denotada por ȳ) es regular.Supongamos entonces que x es regular y sea y cualquier otro elemento en R.Definimos el complejo:K(x, y) : 0 → R −→(y x)d 0R ⊕ R −→(−x,y)d 1R → 0.Es fácil comprobar que esta sucesión es, en efecto, un complejo. Calculemos su cohomología:H 0 (K(x, y)) = Ker(d 0 ) = {a ∈ R | ay = 0 y ax = 0} = 0,ya que x es regular.Veamos ahora quién es H 1 (K(x, y)) = Ker(d 1 )/Im(d 0 ). En primer lugarKer(d 1 ) = {( a b) | −ax + by = 0}.La condición by = ax implica que b ∈ (x : y). Inversamente, si b ∈ (x : y), entoncesexiste a tal que by = ax, además este a será único pues la existencia de a ′ ≠ a conla misma propiedad implica que x es divisor de cero. Esta correspondencia biunívocaestablece un isomorfismo de ideales (esto es, dicha correspondencia es R−lineal):Por otro ladoKer(d 1 ) ≃ (x : y).Im(d 0 ) = {( cycx) | c ∈ R}.De este modo Im(d 0 ) puede ser identificado, a través del isomorfismo anterior, conel ideal generado por < x >⊂ (x : y). En conclusión:H 1 (K(x, y)) ≃ (x : y)/ < x > .Ahora estamos en condición de formular la conclusión de nuestro análisis:Proposicón 1. Sea x ∈ R un elemento regular, y ∈ R. El conjunto ordenado {x, y}es regular si y sólo si: H 1 (K(x, y)) = 0.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67