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Introducción a los sistemas lineales sobre superficies de Riemann compactas 51Sea p ∈ C cualquier punto y sea k := min j (ord p (f j )). Podemos suponer que en unavecindad de p ninguna f j tiene otro polo mas que posiblemente en p y que en talvecindad no hay ceros comunes de los f j excepto quizas p.Si tomamos una carta local z : U p → C alrededor de p, con z(p) = 0, tenemos quecada f j (z) es holomorfa para z ≠ 0 cerca del origen y no hay ninguna z que sea raízcomun de cada f j . Podemos escribir f j = z k g j , donde g j es holomorfa en una vecindadde p y al menos existe un subíndice j tal que g j (p) ≠ 0.Para z cerca de p con z ≠ 0 definimos ˜φ(p) = [g 0 (z) : · · · : g r (z)] = [z −k f 0 (z) :· · · : z −k f r (z)]. Como al menos alguna g j ≠ 0, se tiene que ˜φ(z) ∈ U j , donde U j esun abierto de la cubierta abierta de CP r . En el punto p, donde z(p) = 0, tomamos˜φ(p) := [g 0 (0) : · · · : g r (0)]. Esto nos hace ver que tenemos una aplicación holomorfaC → CP r bien definida. Así pues, dado un divisor D sobre C podemos estudiaraplicaciones holomorfas C → CP r . La imagén de C será una curva algebraica( posiblementesingular) y por medio de estos divisores podemos ver la relación entre lassuperficies de Riemann compactas y las curvas algebraicas.Definición. Decimos que una aplicación φ : C → CP r es birracional si existe unabierto denso U de C donde φ| U : U → CP r es un biholomorfismo, es decir, φ U esuna función holomorfa con inversa holomorfa.Si X es una curva plana con singularidades de tipo nodal, existe una técnica que”resuellve” dichas singularidades X, es decir, a X uno le puede asociar un únicasuperficie de Riemann compacta C X salvo isomorfismo, con una aplicación birracionalτ : C X − −− > X([4],p.69), es decir, si X sing es el conjunto de nodos de X, se tieneque C X −τ −1 (X sing ) es biholomorfo a X −X sing . A C X se le llama la desingularizaciónde X. Si d es el grado de X, y δ es el nuḿero de nodos de X, se tiene que el génerode C X viene dado por la siguiente fórmula de Plucker para curvas planas con nodos:g = (d−1)(d−2)2− δ ([2], p.262).El siguiente resultado nos dice toda superficie de Riemann compacta C admite unmodelo biracional a una curva plana X con nodos, es decir, C admite un sistemalineal gd 2 para una cierta d:Teorema.- Sea C una superficie de Riemann compacta. Entonces existe una aplicaciónholomorfa f : C → CP 2 cuya imagen X = f(C) es una curva plana con nodos ydonde f : C → X es biracional.Demostración. Ver [1], p.50. En este caso se tiene que C ≃ C X .Denotemos por P GL(3, C), el grupo de biholomorfismos proyectivos de CP 2 . Lafórmula de Plucker nos permite relacionar dos variedades de la siguiente manera:Decimos que dos superficies de Riemann compactas C 1 , C 2 son equivalentes si C 1 yC 2 son biholomorfas. Sea [C] la clase de equivalencia de una superficie de Riemanncompacta. Definimos la variedad moduli de superficies de Riemann compactas comoM g := {[C] : C es superficie de Riemann compacta de género g}. Se tiene que parag ≥ 2, M g es una variedad compleja de dimensión 3g − 3 ([3], p.43). Sea Ug,d δ := {X :X es curva plana reducida e irreducible de grado d, género g con δ nodos}. La variedadVg,d δ := U g,d δ /P GL(3, C) se llama variedad de Severi y tiene dimensión 3d + g − 9([3], p.30). La aplicación natural entre estas dos variedades esta dada por:Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 41–52