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60 Alexis G. ZamoraDefinición 6 (morfismos de complejos) Un morfismo α : M · → N ·, es una colección deaplicaciones R−lineales α i : M i → N i tal que los cuadradosconmuntan para todo i ∈ Z.M i−1d i−1M i ,α i−1 α i δ i−1N i−1 N iEjercicio 6. Dado α : M · → N · un morfismo de complejos demuestre que α induceuna aplicación R−lineal: α ∗ : H i (M ·) → H i (N ·)La siguiente definición es la clave para comparar la cohomomología de complejos.Definición 7 (morfismo cero-cohomólogico) Un morfismo de complejos α : M · → N ·, se dicecero-cohomólogico si existe aplicaciones R−linealestales que α k = h k+1 d k + δ k−1 h k .h i : M i → N i−1 ,Lema 1. Si α es cero-cohomológica entonces α ∗ es la aplicación cero.Prueba. La primera observación es que α k envía el ker(d k ) en el kernel de δ k (esto esprecisamente lo que permite definir α ∗ ). Sea m ∈ ker(d k ). Entonces:α k (m) = h k+1 d k (m) + δ k−1 h k (m),pero d k (m) = 0, y δ k−1 h k (m) ∈ Im(δ k−1 ), y por tanto su clase es cero en H k (N ·).El modo más usual de obtener información de este lema es notar que si dos morfismos:α, β : M · → N · satisfacen que α − β es cero-cohomólogica, entonces α ∗ = β ∗ .5. Lección 4. Dos ejemplos de complejos5.1 Complejo de Koszul de longitud 2Comenzamos con la siguiente definición básica:Definición 8 (divisor de cero) Sea R un anillo (conmutativo y con 1), x ∈ R se llama undivisor de cero si ∃y ∈ R, y ≠ 0 tal que xy = 0. Si x no es divisor de cero se le llamaelemento regular.Dados cualesquiera dos elementos x, y ∈ R definimos (x : y) := {a ∈ R | ay ∈}.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67