pdf 3Mb - Publicaciones - Universidad Juárez Autónoma de Tabasco

10 Gamaliel Blé GonzálezFigura 2. Conjunto de MandelbrotProposición 4.1. Sea R = max{2, | c |}. Si | z |> R entonceslím P n (z) = ∞n→∞Demostración Sea z 0 ∈ C tal que |z 0 | > R. Para mostrar que la sucesión {z n }converge a infinito, basta con mostrar que la sucesión |z n | es estrictamente creciente.Veamos en primer lugar que |P (z 0 )| > |z 0 |, es decir, que∣ p(z 0 ) ∣∣∣∣ > 1z 0∣p(z 0 )z 0∣ ∣∣∣=∣z 2 0 + cz 0∣ ∣ ∣∣∣ ≥ |z 0 | −c ∣∣∣∣ > |z 0 | − 1 > 1z 0De aqui tenemos por inducción sobre n que |z n+1 | > |z n | y en consecuencia el resultado.Observación 4.1. Si | c |> 2 entonceslím P c n (0) = ∞n→∞Porque cero es enviado en c y |P c (c)| = |c 2 +c| > |c|, por el resultado anterior la órbitade c 2 + c converge a infinito, en consecuencia la órbita de cero también converge ainfinito.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 3–15