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Dinámica de los Polinomios Cuadráticos 13Douady y Hubbard mostraron que si un valor de c ∈ Int(M) es hiperbólico, es decir,P c tiene una órbita periódica atractora de periodo k, entonces toda la componenteW ⊂ Int(M) es hiperbólica, para todo c 1 ∈ W , P c1 tiene una órbita periódicaatractora {z 1 , ..., z k } y la función ρ W : W → D que a c 1 lo envia en DPc k 1(z k ) resultaser un bi-holomorfismo que puede extenderse continuamente a la frontera [4]. Laextensión de este isomorfismo ρ W a la frontera nos proporciona una parametrizaciónde la frontera de W ; en el caso de W 0 podemos parametrizar la cardioide por lafunciónγ W0 (t) = e2πit2( ) e2πit 2− , t ∈ [0, 1].2En este caso decimos que el parámetro c = ρ −1W (e2πit ) tiene argumento interno t.En 1992, Yoccoz demostró MLC para todos los parámetros que se encuentran en lafrontera de una componente hiperbólica de M [9].6. Rayos externosEl polinomio P c tiene un punto fijo super-atractor en el infinito y por el teorema deBöttcher existe una vecindad U del infinito donde el polinomio P c es analíticamenteconjugado a la función z 2 . Denotemos por φ c al bi-holomorfismo que realiza la conjugación,deja fijo al infinito y es tangente a la identidad en el infinito. Si U es elconjunto maximal donde φ c conjuga a z 2 entonces tenemos dos casos:1. Cuando c ∈ M, U = Ĉ \ Kc y2. cuando c /∈ M entonces U es una vecindad del infinito que contiene al valor crítico c.A partir del bi-holomorfismo φ c se puede definir la funciónΦ M : Ĉ \ M → Ĉ \ Dc ↦→ φ c (c)Douady y Hubbard demostraron que esta función es un bi-holomorfismo y por elteorema de Carathéodory (veáse [15]), el bi-holomorfismo Φ M , (o φ c ) se extiendecontinuamente a la frontera de M (a J c ) si sólo si, la frontera de M, (J c ) es localmenteconexo. De aquí obtenemos que la conjetura MLC sería cierta si se demuestra queΦ M se extiende continuamente a la frontera de M.Para entender el comportamiento de Φ M en la frontera vamos a definir los rayosexternos a M y a J c .Si θ ∈ T = R/Z, entonces el rayo externo a M de ángulo θ es el conjuntoR M (θ) = Φ −1M ({z ∈ C : z = re2πiθ , 1 < r < ∞ }).Si el lím r→1 R M (θ) = c, se dice que el rayo de ángulo θ aterriza en c y que c tiene aθ como argumento externo . Esta definición, también es válida para los conjuntos deJulia conexos, si sustituimos a Φ M por φ cTeorema 6.1. (Douady-Hubbard-1982) Sea c un parámetro en la frontera de unacomponente hiperbólica W y con ángulo interno t ∈ T.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 3–15