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38 Manuel Cruzb. Todo subgrupo cíclico parabólico de PSL(2, R) es Fuchsiano.c. Un subgrupo cíclico elíptico de PSL(2, R) es Fuchsiano si y sólo si es finito.Ejemplo 1. El grupo Modular El subgrupo de PSL(2, R) definido por{ }az + bPSL(2, Z) :=cz + d : a, b, c, d ∈ Z, ad − bc = 1se llama el grupo modular. PSL(2, Z) es un subgrupo discreto de PSL(2, R), y por lotanto, es Fuchsiano.Figura 2. Dinámica de PSL(2, Z).Ejemplo 2. El grupo Γ = 〈z → λz : λ > 0〉 ⊂ PSL(2, R) es Fuchsiano.Ejemplo 3. El grupo Γ = 〈z → z + 1〉 ⊂ PSL(2, R) es Fuchsiano.Teorema 2. Sea Γ ⊂ PSL(2, R). Entonces, Γ es un grupo Fuchsiano si y sólo si Γactúa propiamente discontinuamente en H.Prueba. Supongamos primero que Γ es un grupo Fuchsiano. Sean z ∈ H y K ⊂ Hcompacto. Entonces,{γ ∈ Γ : γ(z) ∈ K} = {γ ∈ PSL(2, R) : γ(z) ∈ K} ∩ Γes finito, ya que es la intersección de un conjunto cerrado y uno discreto. Como laacción de PSL(2, R) en H es continua, se sigue que Γ actúa propiamente discontinuamente.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 34–40
Dinámica de grupos kleineanos 39Recíprocamente, supongamos ahora que Γ actúa propiamente disconti–nuamenteen H y supongamos que Γ no es discreto. Sea z ∈ H un punto que no esté fijo porningún elemento distinto de la identidad en Γ. Como Γ no es discreto, existe unasucesión {γ n } ⊂ Γ de elementos distintos tal que γ n −→ id cuando n → ∞. Luego,γ n (z) converge a z, cuando n → ∞, y como z no es punto fijo de ningún elementodistinto de la identidad en Γ, se sigue que {γ n (z)} es una sucesión de puntos distintosde z, para toda n. Esto implica que todo disco hiperbólico cerrado centrado en zcontiene una infinidad de puntos de la Γ-órbita de z. Esto es, Γ no actúa propiamentediscontinuamente en H, lo cual es una contradicción.Corolario 1. Γ ⊂ PSL(2, R) actúa propiamente discontinuamente en H si y sólo sipara toda z ∈ H, la Γ-órbita de z es discreta en H.Esto es, si z ∈ H y {γ n } ⊂ Γ es una sucesión de elementos distintos, entonces{γ n (z)} tiene un punto límite en S 1 ∞.Definición 5. El conjunto de todos los posibles puntos límite de Γ-órbitas de puntosen H se llama el conjunto límite de Γ y se denota por Λ(Γ).De acuerdo con las observación anterior, para todo grupo Fuchsiano Γ ⊂ PSL(2, R)se cumple queΛ(Γ) ⊂ S 1 ∞.Ejemplo 4. 1. Si Γ = 〈z → λz : λ > 1〉, entonces Λ(Γ) = {0, ∞}.2. Si Γ = 〈z → z + 1〉, entonces Λ(Γ) = {∞}.3. Si Γ = PSL(2, Z), entonces Λ(Γ) = S 1 ∞.4. Grupos Kleineanos otra vezSupongamos que Γ es un grupo Kleineano no-elemental y finitamente generado.De acuerdo con la dinámica de Γ, la esfera se particiona en dos subconjuntos ajenos:el conjunto límite Λ(Γ) y el conjunto de discontinuidad, Ω(Λ) := Ĉ\Λ(Γ). En general,el conjunto límite es el lugar del comportamiento caótico; es un conjunto compacto,perfecto y puede caracterizarse de las siguientes maneras:• El conjunto cerrado mínimo y Γ-invariante si |Λ(Γ)| > 2;• El conjunto de puntos de acumulación de cualquier órbita Γz ⊂ C; b• La cerradura del conjunto de puntos fijos repulsores de γ ∈ Γ; ó,• El conjunto de puntos, cerca de los cuales Γ no forma una familia normal.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 34–40
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