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Invitación al álgebra homólogica 551. f 1 es inyectiva,2. f 2 es sobreyectiva,3. Imf 1 = Kerf 2.En tal caso se le llama sucesión exacta corta.Ejercicio 1. Demostrar la afirmación anterior.Ahora estamos en condición de enunciar nuestro teorema del rango generalizado.Teorema 2 (del rango) Se consideran los siguientes casos:a) Para toda 0 → V 1 −→f 1dim V 1 + dim V 3.V 2 −→f 2V 3 → 0, sucesión exacta corta, se satisface: dim V 2 =b) Para toda sucesión exacta V · : · · · → V i−1 −→f i−1(−1) dim Vi = 0.Pi∈ZV i −→f iV i+1 −→f i+1. . . , se satisface:Como corolario obtenemos la formulación original:Corolario 1. Si f : E → F es una aplicación lineal, entonces:dim E = dim(Kerf) + dim(Imf).Prueba. Como 0 → V 1identificaciones:−→f1 V 2 −→f2 V 3 → 0 es exacta, tenemos las siguientesV 1 se puede identificar, mediante f 1, con un subespacio vectorial de V 2 : V 1 ⊂ V 2,V 3 ≃ V 2/V 1, el espacio cociente de V 2 por el subespacio V 1.Sea {e 1 , ..., e k } una base de V 1 y {ɛ 1 , ..., ɛ l } una base de V 3 . Sea {ɛ ′ 1, . . . , ɛ ′ l } un“levantamiento” a V 2 de la base elegida en V 3 .Sea v ∈ V un elemento arbitrario de V 2 , existen β j ∈ k tales que:f 2 (v) =Levantando esta relación a V 2 tenemos:v =l∑β j ɛ j .j=1l∑β j ɛ ′ j + v 0 , v 0 ∈ Kerf 2 ≃ V 1 .j=1Por tanto,l∑k∑v = β j ɛ ′ j + α i e i ,j=1 i=1Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 53–67