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24 Claudia ReynosoPrueba. Ver demostración en [2] página 16.Ejemplo: En general es difícil encontrar las componentes irreducible de un conjuntoalgebraico. Ver por ejemplo la página de [3], en este ejemplo se calculan las componentesirreducibles de V (xz − y 2 , x 3 − yz) usando las llamadas Bases de Groebner.La descomposición de este conjunto en componentes irreducibles es V (x, y) ∪ V (xz −y 2 , x 3 − yz, x 2 y − z 2 )7. Subconjuntos algebraicos del planoEl principal objetivo de estas notas es estudiar algunas propiedades locales de curvasplanas, es decir, hipersuperficies que viven en A 2 . Como veremos en esta sección,estos son los conjuntos algebraicos que tiene sentido estudiar en el plano afín pues elresto son puntos aislados, el vacío y el total.Proposición 3. Sean F y G polinomios en K[x, y] sin factores comunes. EntoncesV (F, G) = V (F ) ∩ V (G) es un conjunto finito de puntos.Prueba. Si F y G no tienen factores en común en K[x][y], entonces no tienen factoresen común en K(x)[y]. Esto se sigue del siguiente hecho general: Si R es un dominiode factorización única (DFU) con campo de cocientes K, entonces todo elementoirreducible F ∈ R[x] es irreducible visto como elemento en K[x].Como K(X) es un campo entonces K(x)[y] es un dominio de ideales principales(DIP), así que < F, G >=< 1 > en K(x)[y], entonces existen R, S ∈ K(x)[y] talesque RF + SG = 1.Existe un polinomio no cero D ∈ K[x] tal que DR := A, DS := B ∈ K[x][y]. Porlo tanto tenemos que A(x, y)F (x, y) + B(x, y)G(x, y) = D(x).Si (a, b) ∈ V (F, G) entonces D(a) = 0, pero D tiene sólo un número finito de ceros.Esto muestra que sólo un número finito de x − coordenadas pertenecen a los puntosde la variedad. De manera análoga se prueba que sólo existen un número finito dey − coordenadas.Corolario 3. Si K es un campo infinito, entonces los subconjuntos algebraicos irreduciblesde A 2 son: A 2 , ∅, {p}, tal que p ∈ A 2 y curvas planas irreducibles V (F ),donde F es un polinomio irreducibles y V (F ) es infinito.8. Teorema de los ceros de Hilbert (Nullstellensatz)En esta sección estudiamos el Teorema de los Ceros de Hilbert, el cual es másconocido por su nombre en alemán: Nullstellensatz.Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33
Geometría de curvas algebraicas 25En la sección 4 vimos que si un ideal I de K[x 1 , ..., x n ] no es radical, entonces nopuede ser el ideal de un conjunto de puntos de A n . Pero será cierto que todo idealradical es el ideal de un conjunto de puntos? Para campos algebraicamente cerradosla respuesta es afirmativa y nos la da el Teorema de los ceros de Hilbert, este Teoremanos dice que si I es radical, entonces I es el ideal de puntos de V (I).También mencionaremos en esta sección el Teorema Débil de los Ceros, que, comoveremos, es una generalización del Teorema Fundamental del Álgebra y que puedeobtenerse como corolario del Teorema de los Ceros de Hilbert.A lo largo de esta sección vamos a suponer que K es un campo algebraicamentecerrado, es decir, todo polinomio F (x) ∈ K[x] tiene sus raices en K.Teorema 5. (Teorema débil de los ceros de Hilbert) Si I es un ideal propiode K[x 1 , ..., x n ] entonces V (I) ≠ ∅.Otra manera de enunciar este Teorema es la siguiente: Si (F 1 , ..., F r ) = { ∑ ri=1 G iF i :G i ∈ K[x 1 , ..., x n ]} K[x 1 , ..., x n ] entonces el sistemaF 1 (x 1 , ..., x n ) = 0F 2 (x 1 , ..., x n ) = 0.F r (x 1 , ..., x n ) = 0tiene solución en A n .Observación: Si consideramos el campo R (el cual no es algebraicamente cerrado)entonces < x 2 + 1 > R[x] y x 2 + 1 = 0 no tiene soluciones en R.Teorema 6. (Teorema de los ceros de Hilbert) Sea I un ideal en K[x 1 , ..., x n ].Entonces I(V (I)) = Rad(I).Prueba. Ver demostración en [2] página 20.A partir del Teorema de los Ceros podemos concluir el Teorema Débil: Sea I ⊂K[x 1 , ..., x n ] un ideal propio. Supongamos que V (I) = ∅ entonces I(V (I)) = I(∅) =K[x 1 , ..., x n ] = Rad(I), la última igualdad implica que 1 ∈ I así que I = K[x 1 , ..., x n ]y esto es una contradicción.El siguiente corolario es sumamente importante porque establece relaciones biyectivasentre objetos algebraicos y objetos geométricos.Corolario 4. Existe una correspondencia uno a uno entre las siguientes colecciones:Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 16–33
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