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Introducción a los sistemas lineales sobre superficies de Riemann compactas 47Si f es una función meromorfa en un punto p con serie de Laurent ∑ n c n(z − z 0 ) n ,definimos el orden de f en p, ord p f, como ord p f = min{n|c n ≠ 0}. Esta definición nodepende de la elección de cartas (Ver [4],p.27).Ejemplos. Sea C = C y W = C − {0}. La función f : W → C dada por f(z) = 1 z esmeromorfa en z = 0.Sea f : CP 1 → C definida en una vecindad del punto al infinito, es decir, en unconjunto de la forma U ∞ := {z ∈ C||z| > 1} ∪ {∞}. f es meromorfa en ∞ si ysolo si f( 1 g(z)z) es meromorfa en z = 0. Si f(z) =h(z)con g, h polinomios, entoncesf es meromorfa en ∞. Factoriazando g y h en factores lineales, escribimos f(z) =c(z − z 1 ) n1 · · · (z − z r ) nr con c ≠ 0, los z i todos distintos y los n i enteros. Notemos quepara cada i = 1, ..., r, ord zi f = n i . Además ord ∞ f = grado g − grado h = − ∑ i n iy ord p f = 0 para p ∈ CP 1 ∑− {z 1 , ..., z r , ∞}. Esto prueba que ord p f = 0. Unap∈CP 1función racional f sobre CP 1 es un cociente de dos polinomios complejos y por lotanto es meromorfa y ∑ ord p (f) = 0.pAlgunos teoremas acerca de funciones holomorfas y meromorfas de variable complejase pueden enunciar también sobre superficies de Riemann. Uno de estos teoremas, espor ejemplo, el principio del módulo máximo:Principio del módulo máximo ([4, p.29]). Sea C una superficie de Riemann y f : W →C holomorfa sobre un abierto W de C. Supongamos que existe un punto p ∈ W talque |f(x)| ≤ |f(p)| para toda x ∈ W , entonces f es constante sobre W .El principio del módulo máximo tiene una consecuencia cuando C es compacta:Teorema.- Sea C una superficie de Riemann compacta y f : C → C holomorfa,entonces f es constante.Demostración. La prueba de este hecho se deja al lector.Si C es compacta se tiene que O C ≃ C y el principio del modulo máximo nos diceque sobre un superficie de Riemann compacta solo debemos estudiar funcionesmeromorfas.Ejercicio 10.- Sea C una superficie de Riemann. Enuncia y demuestra el teorema deidentidad sobre C . Utiliza este teorema de identidad para probar que el conjunto deceros y polos de una función meromorfa f sobre C es un conjunto discreto. Si C escompacta, entonces el conjunto de ceros y polos de f es un conjunto finito.Sea C una superficie de Riemann compacta y f : C → CP 1 meromorfa. Sea p ∈ C,y z : U p → V ⊂ C carta local tal que z(p) = 0. Tomamos la serie de Talylor de falrededor de p, entonces f(z) = z n ˜f(z) con ˜f(0) ≠ 0. Localmente ˜f tiene raiz enesimay escribimos f(z) = (zg(z)) n . Si tomamos a zg(z) como nueva coordenada local,resulta que localmente f es de la forma z → z n . Se define b p (f) := n como la multiplicidadde f en p. El entero n sólo depende del punto p y no de la carta que hemoselegido. Si n > 1, decimos que p es un punto de ramificación. Para y ∈ CP 1 definimosd y (f) =∑ b p (f). Se tiene que este número es constante e independiente de y, esp∈f −1 (y)Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 41–52