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50 Abel Castorenacomo Teorema de Riemann-Roch:Teorema de Riemann-Roch. Sea C una superficie de Riemann compacta de génerog. Sea D un divisor sobre C de grado d. Entonces h 0 (C, D) − h 1 (C, D) = d − g + 1.Este es uno de los teoremas más importantes en la teoría de divisores sobre superficiesde Riemann compactas y existen diversas pruebas de este teorema, algunas son algebraicas,otras utilizan lo que se llama cohomología de gavillas. Una prueba basada enuna serie de ejercicios y que el lector podría intentar resolverlos se encuentra en ([1], p.50-51). Esta prueba da evidencia clara de la relación entre las superficies de Riemanncompactas y las curvas planas con singularidades. Incluso, de tal prueba se puedededucir la fórmula de Plucker más general para curvas planas con singularidades quenosotros enunciaremos más adelante.Como una aplicación sencilla del teorema de Riemann-Roch tenemos el siguientehecho:1.- Sea C una superficie de Riemann compacta de género g y sea p ∈ C un punto.Entonces, existe una función meromorfa no constante f sobre C la cual tiene un únicopolo en q de orden a lo más g + 1.Para probar esta afirmación procedemos como sigue: Sea D : C → Z el divisor dadopor D(p) = g + 1 si p = q, y D(p) = 0 si q ≠ p. El grado de D es g + 1. Por lafórmula de Riemann-Roch h 0 (C, D) = 2 + h 1 (C, D) ≥ 2, entonces existe una funciónmeromorfa no constante f tal que (f)(q) ≥ −D(q), es decir −ord q (f) ≥ −(g + 1), obiene, ord q (f) ≤ g + 1. De hecho notemos que f es holomorfa en todo C − {q}.Ejercicio 13-. Si D 1 , D 2 son dos divisores equivalentes sobre una superficie de Riemanncompacta, prueba que L 1 (D 1 ) ≃ L 1 (D 2 ).Sea f : C → CP 1 meromorfa de grado k y consideremos η = dz la 1-forma meromorfasobre CP 1 . η. Sea ω := f ∗ (η) = df. Si f se escribe localmente alrededor de un puntode ramificación q i ∈ C con f(q i ) ≠ ∞ como f(z) = z ki , entonces q i es un cero deorden k i − 1 para ω. En los puntos p j donde f(p j ) = ∞ se tiene que ω tiene unpolo de orden dos. Si R es el conjunto de puntos de ramificación de f, entonces(ω) = ∑∑(k i − 1)q i − 2( k p j ), entonces grado(ω) = ∑ (k i − 1) − 2k. Por la fórmulaq i∈Rj=1de Riemann-Hurwitz se tiene que grado(ω) = 2g − 2.Proposición.- Sea C una superficie de Riemann compacta y ω 0 una 1-forma meromorfano cero. Entonces grado (ω 0 ) = 2g − 2.Demostración. Sea f : C → CP 1 meromorfa y sea ω = f ∗ (dz). Se tiene que g := ω0ωes una función meromorfa y grado div (g) = 0.Si C es una superficie de Riemann de compacta, D un divisor de sobre C y f 0 , ..., f res una base para L(D), tenemos que la función φ : C → CP r = P(L(D)) dada porφ(p) := [f 0 (p) : · · · : f r (p)] NO esta definida en los puntos p tales que f j (p) = 0 paratoda j y en los puntos p donde existe algun k con f k (p) = ∞. La función φ se extiendede forma holomorfa a todo C de la siguiente manera:Revista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 41–52