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48 Abel Castorenadecir para y 1 , y 2 ∈ CP 1 , d y1 (f) = d y2 (f). A tal número se le llama el grado de f ([4],p 47).Sea f : C → CP 1 meromorfa de grado k. Consideremos una triangulación de CP 1de tal manera que los vértices de la triangulación sean los puntos de ramificación def y sean c 0 = # caras de la triangulación , a 0 = # aristas de la triangulación yv 0 = # vertices sobre la triangulación. Tomando la imagen inversa bajo f de estala triangulación tenemos sobre C una triangulación donde c = kc 0 , a = ka 0 , v =kv 0 − ∑ p (b p(f) − 1). Utilizando la caractéristica de Euler obtenemos la siguienteidentidad conocida como fórmula de Riemann-Hurwitz:2 − 2g = c − a + v = k(e(CP 1 )) − ∑ p(b p (f) − 1) = 2k − ∑ p(b p (f) − 1).3. Divisores y Sistemas LinealesSea C una superficie de Riemann. Consideremos el conjunto Z CZ|f función}.:= {f : C →Definición. Un divisor D sobre C, es una función D ∈ Z C tal que el soporte de D,Supp (D) = {p ∈ C|D(p) ≠ 0}, es un conjunto discreto.Si C es compacta, Supp (D) es un conjunto finito {p 1 , . . . , p d }. Sea D(p j ) = n j .Así formalmente escribimos D como una suma finita de puntos con sus respectivasimagenes, es decir, D = ∑ j n jp j , donde D(p j ) = n j . El grado del divisor D se definecomo la suma ∑ n j . Escribimos D ≥ 0 si n i ≥ 0 para toda i, y dados dos divisoresjD 1 , D 2 , escribimos D 1 ≥ D 2 si D 1 − D 2 ≥ 0. Denotamos por Div(C) el conjunto dedivisores de C el cual es un grupo abeliano libre bajo la suma.Si C es una superficie de Riemann compacta, podemos asociar a una función meromorfaf : C → CP 1 un divisor div (f) dado por div (f) := ∑ p (ord p(f)) · p. Atal∑divisor se le llama principal. El divisor de ceros de f, se define como div 0 (f) =ord p (f) · p.p,ord p(f)>0El divisor de polos de f se define como div ∞ (f) =∑p,ord p(f)
Introducción a los sistemas lineales sobre superficies de Riemann compactas 49M(C)|div (f) ≥ −D} ∪ {0}. L(D) tiene estructura de espacio vectorial sobre C. SiD = np con n > 0 y f ∈ L(D), entonces div (f) ≥ −np, es decir, ord p (f) ≥ −n, loque implica que f tiene un polo de orden n en p pero no de orden mayor. Notemosque si D 1 ≤ D 2 entonces L(D 1 ) ⊆ L(D 2 ). Si D = 0, tenemos que L(D) = O C .Lema. Sea C superficie de Riemann compacta. Sea D un divisor sobre C con grado(D) 0.Para un divisor arbitrario D sobre C existe una fórmula que da una relación entre losespacios h i (C, D) con el grado del divisor D y el género de C. Tal fórmula se conoceRevista de Ciencias Básicas UJAT, 4(1)Noviembre 2005 p 41–52
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