EASY GRADES RECTAS

ÍNDICE
Matemáticas
Tema: Rectas en el plano
Plano cartesiano pág. 03
Rectas en el plano pág. 04
Gráficas con dos variables pág. 05
Diversos tipos de rectas pág. 07
Distancia y Punto Medio pág. 11
Ángulo entre dos rectas pág. 12
Prohibida su reproducción total o parcial sin permiso de las autoras.
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Matemáticas
Tema: Rectas en el plano
EL PLANO CARTESIANO
Es el vínculo entre el álgebra y la geometría. En el plano se
pueden trazar gráficas de ecuaciones algebraicas. Los puntos
sobre un plano, se pueden identificar por medio de pares
ordenados de números para formar el Plano Cartesiano.
Cualquier punto en el plano se puede ubicar mediante un par
ordenado de números, (a,b). El primer número, (a), se llama
COORDENADA X , y al segundo (b) se le llama COORDENADA Y.
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Matemáticas
Tema: Rectas en el plano
REGIONES
La región dada que cumple con las especificaciones de la
ecuación o desigualdad, consiste en todos los puntos que se le
indique, ya sea sobre X, Y ó ambos.
Ejemplos:
{(x, y ) | x ≥ 0 }
{(x, y ) | y ≥ 0 }
RECTAS EN EL PLANO
Una recta, es un conjunto de puntos en un plano. Un conjunto
tal de puntos, es la gráfica del conjunto de soluciones en
una ecuación lineal en dos variables, cuya
R 2
de
FORMA CARTESIANA ORDINARIA
Ax + By + C = 0
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Matemáticas
Tema: Rectas en el plano
NOTA
¿Cómo se obtiene la Ecuación
vectorial de la Recta?
2 puntos, definen una recta. Si se
toman estos dos puntos y se restan
entre ellos, nos dará el vector.
GRÁFICAS CON DOS VARIABLES
De una ecuación con X y Y, es el conjunto de todos los puntos
(X,Y) del plano coordenado que satisfacen la ecuación.
Como una ecuación es la relación entre dos cantidades,
un punto (X,Y) satisface la ecuación si la ecuación es
verdadera cuando los valores para X y Y se sustituyen.
*Para graficar una ecuación, debemos de seguir el siguiente
procedimiento:
1. Encontrar la pendiente de una recta. (m)
Una recta pasa por dos puntos distintos:
A( X 1
, Y 1
) & B( X 2
, Y 2
)
Y
Y 2
Y − 1
= ( 2 −Y 1
X −X
) (X )
2 1
2
X − 1 × = m
m = X
Y
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Matemáticas
Tema: Rectas en el plano
2. Encontrar la intersección con los ejes
INTERSECCIÓN CON EL EJE X
Las coordenadas X de los puntos
donde la gráfica corta al eje X
Y=0, para determinar los valores de
X
INTERSECCIÓN CON EL EJE Y
Las coordenadas Y de los puntos
donde la gráfica corta al eje Y
X=0 para determinar los valores de
Y
Recta con pendiente m
y ordenada al origen b.
3. Encontrar la Simetría
a. Una gráfica es simétrica con respecto al origen, si
habiendo un punto (X,Y) en la gráfica, hay un punto
(-X,-Y).
b. Una gráfica es simétrica con respecto al eje Y, si
hay un punto (X,Y) y otro (-X,Y)
c. Se es simétrica al eje X si siempre que haya un
punto (X,Y) en la gráfica hay uno (X,-Y)
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Matemáticas
Tema: Rectas en el plano
DIVERSOS TIPOS DE RECTAS
Rectas Verticales
●
m = ∞
Rectas Horizontales
● m = 0
● X 2
= X 1 → La recta no
se intersecta con el eje
Y, excepto cuando X=0
● Con la Forma
Cartesiana,
, −
A = 1 B = 0, C =
a
● Si
● Y 2
= Y 1
B = 0 ,
vuelve
la ecuación se
A x + C = 0
−C
x = A
ó
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Matemáticas
Tema: Rectas en el plano
Recta Vectorial
Recta que pasa por ( X 1
, Y 1
) con vector dirección u = ( a, b )
Rectas que pasan por el origen
● Dan un vector dirección
● Se obtiene la recta paramétrica (cualquier variable
elegida es el parámetro)
○ t es un parámetro
( X Y ) = t ( ba ) + ( X1
Y 2)
○ (a,b) es el vector dirección
○ (X1,Y1) es el punto por el que pasa la recta
Forma Simétrica
De las ecuaciones paramétricas, despejamos el parámetro y
obtenemos que:
t =
X−X 0 Y −Y
a
, t =
0
b ⇔ a,b = / 0 , por lo que:
X−X 0 Y −Y
a
=
0
b
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Matemáticas
Tema: Rectas en el plano
Forma General Cartesiana Ax + By + C = 0
● Pasar de recta a Forma General Cartesiana
a. Y − 2 = 3 − (X 2 )
b. Vemos que P(2,2) y que m=3
c. Igualamos a Cero
3 − X − Y 4 = 0
● Pasar de Forma Simétrica a Forma General Cartesiana
a. X−1 Y −3
2
= 1
b. Igualamos ambas ecuaciones
X − 1 = − 2Y 6
c. Igualamos a cero la ecuación
X − 2 Y + 5 = 0
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Matemáticas
Tema: Rectas en el plano
Rectas Paralelas
Decimos que dos rectas son
paralelas, y se denotan como
L1//L2, si los vectores dirección
son múltiplos. (Tienen la misma
pendiente)
m L1
= m L2
Rectas Ortogonales
Decimos que dos rectas son
ortogonales, y se denota como L1
L2, si el Producto Punto de sus
⊥
vectores dirección es Cero, o si
y sólo si sus pendientes son
recíprocas y de signo contrario.
m L1 × m L2 = 1 −
m L2
= −1
m L1
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DISTANCIA Y PUNTO MEDIO
Matemáticas
Tema: Rectas en el plano
Mediante el teorema de Pitágoras se obtiene:
− −
La distancia entre los puntos Fórmula del Punto Medio
d(A, B ) =
√ (X 2
X ) 1
+ (Y
2
Y 1
)
X 1+X2
Y +Y
P M AB
=
2 2
A(X 1
, Y 1
) y B(
X 2,
Y 2
) en el (PM) desde A(X 1
, Y 1
) a B(
plano es:
X 2,
Y 2
)
1 2
( , )
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Distancia de un punto a una recta
Matemáticas
Tema: Rectas en el plano
Sea la recta L en forma vectorial ( X Y ) = t ( ba ) + ( X Y )
Sabemos que
a la recta L es:
u1
u ⊥ = ( u2 )
y que la menor distancia del punto (X,Y)
D = ( L, (X
1, Y 1
)) = // P − roy
U ⊥
(X
1
X 0
, Y 1
− Y 0
)
X −X , Y −Y
1 0 1 0
D = u ⊥ ( )
|| u|| 2
Si está dada en forma cartesiana, la fórmula es:
D = ( L, (X , ))
Ángulo entre 2 rectas
Ax+By+C | |
1 Y 1 =
√A +B
2 2
Sean las rectas L1 y L2, y sea α el menor ángulo formada
por ambas rectas...
Cos −1 =
u×v π
u v
si ≤
|| || || × || 2
π − Cos −1 =
u×v π
u v
si ≻
|| || || × || 2
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