Un Eterno y Grácil Bucle

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¿Puede un sistema comprenderse a sí mismo? Si esta pregunta se refiere ala mente humana, entonces nos encontramos ante una cuestión clave delpensamiento científico. Y de la filosofía. Y del arte.Investigar este misterio es una aventura que recorre la matemática, lafísica, la biología, la psicología y muy especialmente, el lenguaje. Douglas R.Hofstadter, joven y ya célebre científico, nos abre la puerta del enigma conla belleza y la alegría creadora de su estilo. Sorprendentes paralelismosocultos entre los grabados de Escher y la música de Bach nos remiten a lasparadojas clásicas de los antiguos griegos y a un teorema de la lógicamatemática moderna que ha estremecido el pensamiento del siglo XX: elde Kurt Gödel.Todo lenguaje, todo sistema formal, todo programa de ordenador, todoproceso de pensamiento, llegan, tarde o temprano, a la situación límite dela autorreferencia: de querer expresarse sobre sí mismos. Surge entoncesla emoción del infinito, como dos espejos enfrentados y obligados areflejarse mutua e indefinidamente.Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle, es una obra de arte escritapor un sabio. Versa sobre los misterios del pensamiento e incluye, ellamisma, sus propios misterios. Por ello su traducción ha supuesto tambiénuna larga, azarosa y laboriosa aventura que el propio autor ha vivido y querelata en un prólogo especialmente escrito para esta versión española.
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Dicho sea de paso, esta aseveració
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matemáticos estar recobrándose de
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podría llamarse “teoría de la a
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trabazón de matemática y lógica.
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organilleros, por sacar de quicio a
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semejanzas que puedan vincularlas;s
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estar refiriéndome a tal o cual id
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Invención a tres vocesAquiles (un
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Aquiles: Oh, sí, y a recuerdo: el
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Aquiles: Hm… hm… hm… hm… hm
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Pese a que todas las precedentes so
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ordinaria: un Teorema es una afirma
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están bastante cerca de la inobser
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todo lo que se nos pueda ocurrir al
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0.1.2.3.MI12MIUMII212MUIU MIIU MIII
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FIGURA 12. Castillo celestial, de M
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convenientemente, llamémoslos A, B
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—Cualquier cosa que la LÓGICA te
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En consecuencia, vamos a definir lo
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Si se continúa en este retorno mil
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ventaja.En el presente caso, dispon
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parece ser ‘más’, pese a que s
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la cual sería así un teorema. Tal
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144, pero, ¿cuántos, de entre qui
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precisión entre aquellos casos don
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FIGURA 13. Liberación, de M. C. Es
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estos pasos parece obvio, el result
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marco de la teoría de los números
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FIGURA 14. Mosaico II, de M. C. Esc
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dígame, ¿cuál ES la solución?Aq
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con la pregunta anterior. Tendríam
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teoremas”. Ahora bien, si queremo
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pero si uno retrocede por etapas y
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Existen allí formas reconocibles,
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equivalentes; pero en la may oría
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Fig ura y fond o en músicaTambién
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¿Cómo se llega a esto? Muy fácil
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zED x- es un teorema.Estas dos regl
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parque…Aquiles: Naturalmente. Est
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de reproducir los sonidos que lo de
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defectos de ninguna especie en su f
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que Ud. desee saber a quién le per
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226230235(1685 - 1750)FIGURA 19. Ú
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veamos…La Tortuga toma el Grial G
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El sig nificad o explícito d el Co
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¿Y qué pasa con los significados
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Unas pocas palabras acerca de El ar
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nuevo sistema? Difícilmente. He pr
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ocupó de disipar aquel género de
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injusto hacia Euclides, quien estab
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carácter de auténtica nueva cuali
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componente central sigue siendo la
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Zenón siempre da mate a Egbert en
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trazada entre la coherencia física
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conclusión final no es reconciliab
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Si suponemos que la lógica es part
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por lo que la completitud del mismo
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Pequeño laberinto armónicoLa Tort
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frases, ¿o sí? Quiero decir en es
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Tortuga: Correcto. Se tiene que sac
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Tortuga: El no habla español. Si q
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Aquiles: ¿Qué? ¿Quiere decir que
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Genio? ¿Cuál es tu deseo?Genio: T
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Aquiles: Gracias, oh Ğinn, y a DIO
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a otras. Pero ocasionalmente —de
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abatido. Eso es algo digno de aplau
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cae…)¡Oh, no! ¿Qué podemos hac
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Tortuga: Dicen —aunque personalme
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Aquiles: ¿Qu… qué es eso?Tortug
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sólo Ud., sino también esta miser
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REALMENTE quiero encontrar esa bote
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probablemente escuchando la espanto
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FIGURA 26. Diagrama de la estructur
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lo desorienta hasta enajenarle todo
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llamada NO MBRE que le seleccione u
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Como se ve, no se ha caído en una
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Diagrama D. En la figura 29a, el Di
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FIGURA 31. Una RTR de los números
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un 5 y un 6, señalados por las fle
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necesarias dos líneas: una para de
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G, así, ingresa a la familia INT.
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vacías de diferentes dimensiones q
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“diagramas de Fey nman”— son
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renormalizados. Así, para comprend
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FIGURA 36. Pez y escamas, de M. C.
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pregunta:¿Cuándo son similares do
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efectuarse. Ésta es la esencia de
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años aparecería una computadora (
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Canon por aumentación interválica
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Tortuga: ¿Más té, Aquiles?Aquile
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una pieza de tres movimientos consi
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C A P Í T U L O V ILa localizació
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Isomorfismos misteriosos e isomorfi
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Plantear si los fragmentos de un di
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mecanismo adecuado para interpretar
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método de desciframiento; igual oc
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En estos ejemplos de desciframiento
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tray ecto en espiral. Si desenroll
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invertida respecto a la anterior. L
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una teoría “gramola” de la sig
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era una propiedad intrínseca de es
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. . . . .. . . . . . . .. . . . . .
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sistematización, y tan poca intele
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CTCTTATGACGCTGACAACCGTCCTTTACTTGTCA
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Fantasía cromática y furiaDespué
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contradicción ocurre cuando alguie
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Aquiles: ¡Ud. estaba tratando de e
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pequeñoenciclotitánica Verdad Ete
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C A P Í T U L O V I IEl cálculo p
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~P~~PQ ′~Q ′<P∧~Q ′>~<P∧~
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Así y todo, aún podemos preguntar
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]<Q ⊃<P∧Q >>]<P⊃<Q ⊃<P∧Q
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Probablemente, el lector hay a adve
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lago”, lo cual podría ser dicho,
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6) <~Q⊃~~P>7) [8) ~Q9) <~Q⊃~P>1
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Este ejemplo manifiesta el poder de
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obtiene el teorema xU. ¿Puede uste
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Atajos y reg las d erivad asCuando
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Reflexiones sobre la fortaleza y la
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7) P traslado de llínea 38) ~~P do
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<P⊃<Q ⊃P>><P⊃<Q ∨~P>><<P∧
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hacia atrás. Pero temo que siempre
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Figura 43. He aquí una corta secci
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Tortuga: Muchas gracias.Aquiles: A
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rama de la matemática que es la te
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Variables y términosNaturalmente,
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2 más 2no esigual a3:Si 1 esigual
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(b·b)=SSO~∃b:(b·b)=SSO(abierta)
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O, como sabemos que la igualdad es
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al número 7, sino con respecto a t
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∀c:~∃b:(SSO ·b)=c∀c:∃b:~(S
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COMBINACIONESSi x e y son fórmulas
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AXIOMA 1: ∀a:~Sa=OAXIOMA 2: ∀a:
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variable que esté cuantificada en
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Apliquemos la regla —como es usua
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2) ∀b:(SO·Sb)=((SO·b)+SO)3) (SO
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(a+O)=a2) ∀a:a= simetría(a+O)3)
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1) ∀a:a=a teoremaanterior2) Sa=Sa
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expresivas son mucho más amplias,
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acerca de las nociones que aquéllo
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Con esta nueva notación, podemos f
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10) S(d+Sc)=S(Sd+c) adición11) (d+
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* * * * *28) ∀c:∀d:(d+Sc)=(Sd+c
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(Sd+c)47) ] sacar48) <∀c:(c+d)=(d
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[En consecuencia, todos los d conmu
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teorema. En ese caso, el lector pue
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mostró que no se puede usar una cu
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Tortuga: Yo los encuentro muy atrac
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llamado Jōshū que vivió hasta la
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FIGURA 45. La Mezquita, de M. C. Es
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Tortuga: ¡Qué delicioso! Como si
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kōan ⇒ mensajerotranscripcióntr
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sobre sus manos.Tortuga: Se ve igua
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de Buda es algo sumamente elusivo,
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escuchar lo que ha escrito?Tortuga:
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sobre un precipicio. Sus manos no e
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interesante advertir que las existe
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Quienes se aproximen al Mumonkan co
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maestro enseñó nunca?”.Nansen r
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propensión lógica”. También el
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Mostrando su corto cay ado,Imparti
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FIGURA 50. Corteza, de M. C. Escher
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el mundo exterior?El zen y Tumbolia
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viejo cubo de madera ceñido con ta
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FIGURA 53. Tres esferas II, de M. C
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interrupciones, tal logro será com
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Conviene reparar en que, aun tomado
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REGLA ARITMÉTICA Ia: Un número cu
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n =1)3) 31111 regla2 (m= 2,n =11)4)
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generalizada a través de la siguie
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observación, en el Capítulo VIII,
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pertenecientes a la teoría de los
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) ....... 323 terminaen 3paresforma
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: ....... 636 dos puntos, dosseispu
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momento, por favor! Según la Propo
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Lógica Matemática, y representán
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no es un teorema de TNT”, luego,
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FIGURA 54. Cinta de Möbius II, de
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Aquiles: Muy bien, entonces. (Hace
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FIGURA 55. Pierre de Fermat.Aquiles
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problema y llegó a comprender que
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entonces, comienza la primera voz
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convertirse en hoy os —y vicevers
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[ATTACCA]
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Bloques y pericia en ajed rezUno de
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confusiones cuando un mismo sistema
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de treinta y seis. Desde el punto d
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observación de una molécula de AD
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El siguiente nivel de la jerarquía
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propio enunciado Lisp, como es lóg
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cierto núcleo mínimo de un compil
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los usuarios a la máquina misma (p
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cercenará lo que sigue.Si ha sido
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Los prog resos en materia d e intel
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sostenido y re bemol, provocan sent
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de que uno se ha dedicado a las com
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Se me ocurren otras dos preguntas.
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elaboradas con partículas virtuale
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síntesis, al usar modelos de bloqu
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las paredes no se vengan abajo, en
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… furmiga… y entonces, introduc
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FIGURA 60. [Adaptación del dibujo
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reduccionista de una colonia de hor
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árboles y no ver el bosque, Aquile
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ocurre en la excitación de las neu
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incluso ellas quienes afrontan la m
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Aquiles: ¿Y COMO encuentra Ud. las
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señal NO tiene finalidad. La típi
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FIGURA 61. Furmiga, de M. C. Escher
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equipos, cuy os miembros eran otros
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inferior o en un nivel superior. Un
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por el estilo.Aquiles: Eso suena co
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arriba. El cuadro MU es probablemen
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que lo hay a pasado por alto.Cangre
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colonias de hormigas más creativas
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FIGURA 63. Cuando se producen emigr
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mantenido así.Tortuga: ¿Qué tipo
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C A P Í T U L O X ICerebro y pensa
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correspondiente. Las descripciones
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FIGURA 65. Dibujo esquemático de u
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FIGURA 66. El cerebro humano, visto
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descubrió que todas las ratas que
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del nervio óptico, a la articulaci
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Figura 67. Respuestas de determinad
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sistema visual tenga completo, ante
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parece obvio que no percibimos simp
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estado cerebral no bastaría con de
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consiguiente, los símbolos represe
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película, mi interlocutor comenzar
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muy lejos de haber sido resuelto, a
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de alguien, habría que incluir tod
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analogía como para sugerir que tod
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FIGURA 69. La construcción de un a
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imagina mundos hipotéticos: varian
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simultáneamente de las neuronas qu
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programa ‘sabe’ escribir oracio
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algún punto crítico, se cierre un
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Il brilgue: les tôves lubricillSe
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«Garde-toi du Jaseroque, moLa gueu
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Son glaive vorpal en main, iT-à la
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Pendant qu’il pense, tout uffuLe
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Un deux, un deux, par le miliLe gla
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«As-tu tué le Jaseroque?Viens à
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Il brilgue: les tôves lubricillSe
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C A P Í T U L O X I IMente y pensa
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Así, por una parte, podemos abando
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traducir es más directa y a que, g
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imaginación para ayudarnos a repro
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Ahora que hemos llevado bien lejos
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nivel tecnológico, etc. Por ejempl
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que los establezcamos como rutina p
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de los modos coloquiales de expresi
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contaremos entonces con alguna arti
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enumerar las clases de pensamientos
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conceptos anteriores, y se podría
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mismo tiempo que lo hago y o. Por e
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divorciar los subsistemas del cereb
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una forma que no es accesible a una
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Aria con variaciones diversasAquile
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Variaciones Goldberg. De modo que a
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Aquiles: Por cierto, volvamos. Quer
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Aquiles: Bueno, está bien…Tortug
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Tortuga: Y el número de hechos imp
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justifica. Por supuesto, en muchos
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16, apenas uno más que el 15, el n
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tienen poco que ver con el tema ori
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¿Quién puede estar tocando a esta
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otras por el estilo, han aflorado m
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ver por qué el del orden versus ca
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haremos a través del lenguaje BuD.
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más extensos. Una instrucción de
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Explicaremos ahora otros dos aspect
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Así, la función 2 3n es una funci
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preguntas, aplicadas a la maravillo
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de tal sistema. ¿Qué significa el
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Llamaremos Programa Azul a este gé
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Azul, tendría que tener un número
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r(4): ,4 1 4 2 1 3 5 6 2 . .. . . .
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FIGURA 73. Georg Cantor.Esto puede
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cogida en sus propias redes.La repe
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y además con la respuesta SI en to
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que existe un número que tiene la
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pero que, aparentemente, no puede s
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Frecuentemente, se habla de “recu
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torre.Tortuga: Oh, qué agradable.(
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Qué hermosa vista, Aquiles. Me ale
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Tortuga: Creo que llamaré “quine
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ESTA ESCRITO EN VIEJAS JARRAS DE MO
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Gracias, Sr. T, por su lúcido escl
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Ahora, describiremos una noción ma
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626.262.636.223.123.262.111.666.611
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A fin de ser más concretos, vamos
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propiedad, y representarla. La prop
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ahora todas lasvariables librespor
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que aparece en el Aire en la cuerda
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Se ve claramente cuán profundament
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menos) una verdad que no es un teor
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al sistema y una afirmación acerca
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todos los enunciados de la familia
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Si es que vamos a incorporar a ~G c
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como 24”. Se tiene que decir, “
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nuestro primer contacto con ella. S
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extensión de TNT! Los banqueros no
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debe ser rechazado sin análisis. H
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Cantatatata… de cumpleañosUn bon
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ignorante y ansiosa por tomar en cu
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deberíamos arbitrariamente denomin
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¿Hay algún motivo para confiar o
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toda clase de bifurcaciones en teor
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PAR D E PRUEBA (TNT+G ω ){a,a′}U
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sistema no consigue capturar, en un
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irrefutable en contra de la posibil
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sentido, precisamente porque la men
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siempre se pierde determinada “es
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programa que elabore nuevos program
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iniciación, por lo cual no puede s
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perjuicio que en beneficio de Simpl
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FIGURA 77. Las sombras, de René Ma
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Magdalena, y se llamaPensamientos e
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permanecerá;Cual cuando me llame l
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Así, mi pipacontemplando,Tantas co
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¡Encantador! Sólo hay una cosa qu
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FIGURA 79. Virus del mosaico del ta
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Aquiles: Me pregunto si era ése el
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al derecho? Nunca he oído nada que
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Cangrejo: Creo que puedo adivinar e
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(h) Ha nacido una “galaxia”.(k)
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FIGURA 82. El aire y la canción, d
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C A P Í T U L O X V IAutorref y au
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FIGURA 83.La figura 84, que exhibe
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.......es infinitamente extenso”e
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valor de MO LD E será el de cierta
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autorreproducción autodirigida, mi
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que el programa, en alguna medida,
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ello, ¿dónde habría algo válida
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cantidad de simplificaciones, y por
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El paso 1 suprime la A, así que no
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las dos cadenas complementarias (pr
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derecha de estaunidadinc ———
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donde la flecha señala la unidad a
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FIGURA 87. El Código Tipogenético
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Adviértase el giro a la izquierda
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“cadenas hijas”, las cuales atr
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genética verdadera.AD N y nucleót
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FIGURA 92. La estructura del ADN se
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FIGURA 93. Modelo molecular de la d
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asp ——— ácido aspárticocis
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UCAGU C Afen ser tirfen ser tirleu
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compleja que en la Tipogenética. E
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de partículas es tan desmesurado q
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El nombre verdadero del mencionado
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proteínas adquieren sentido sólo
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que pase consecutivamente por las c
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Una enzima actualiza determinados r
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1. desentrelazar ambas cadenas;2.
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isomórficamente el proceso físico
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licencia poética, el “Dogma Cent
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(ARN ⇒proteínas)⇔(N ⇒metaTNT
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FIGURA 99. El Correspondogma Centra
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FIGURA 100. El Código Gödel. Bajo
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sonidos⇔sonidos producidospor el
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“Siempre existe undisco inejecuta
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“en código” (es decir, el Cód
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estructuralesque forman los“cuerp
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moléculas (o estructuras de nivel
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∃a:∃a′:<PAR D E PRUEBA TNT{a,
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medio preciso de descripción del m
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naturaleza, aparentemente, ¡ama la
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que el “organismo” total —el
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empleado en el desarrollo de lengua
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pasteles. Tengo tanta hambre que se
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no había tenido nunca algún entre
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Cangrejo: Es triste decirlo, pero e
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componer es muy diferente a como y
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gran esfuerzo de concentración, es
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Tortuga: Es una música peculiar,
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C A P Í T U L O X V I IChurch, Tur
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—El otro día leí en el periódi
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Hay quienes pueden pensar que esta
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FIGURA 105. Srinivasa Ramanuyan y u
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u 3 + v 3 = x 3 + y 3a lo largo de
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Después, Hardy compara a Ramanuy a
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Church-Turing:TESIS CHURCH-TURING,
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quemada son todos elementos con una
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Personalmente, me inclinaría por c
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organización— que, pongamos por
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se trata de un acto, en principio,
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modo en que el funcionamiento sin e
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hecho de que las neuronas siempre e
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interior el cálculo preposicional.
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fórmula de TNT; en consecuencia, d
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cuando observamos una pintura y sen
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en parte desencadenadores y en part
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y sus excitaciones, y sobre la form
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FIGURA 110. “Toma un bloque rojo
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nominales pueden contener números
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SHRDLU: DE ACUERDO.Dr. Rony W. Tige
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SHRDLU: PORQUE UD. ME LO PIDIÓ.Dr.
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42. Eta Oin: ¿por qué lo dejaste
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disfrutó mucho con esta actividad.
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fácilmente si quien responde es un
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puede suceder.(3) La objeción mate
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atención el hecho de que el trabaj
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Hablando más seriamente, tengo la
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manipulación simbólica de expresi
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complicaciones aparecidas en la tra
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movida, los parámetros variables e
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FIGURA 114. PruebaPons Asinorum(des
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escala, es discordante; sin duda, u
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responsables de la compleja noción
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FIGURA 115. Árbol sin fin del obje
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bicicleta, tengo que efectuar una c
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aleja de MU mediante la construcci
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perfeccionar su propio sentido de l
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genética en la forma modular, y se
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a las de TNT, y conectivos y cuanti
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contradicción, inclusive— alberg
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considerar a cada categoría como c
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individual, se extrae la impresión
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CONFUNDIDO MAESTRO CAMINÓ DESDE UN
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¿Gramáticas d e la música?Tenemo
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manipulación de los bloques;4. div
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Oigamos otros comentarios de Winogr
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FIGURA 118. Representación procedi
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incorporada una orden para que se h
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ContrafactusEl Cangrejo ha invitado
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piel. Ha estado lloviznando toda la
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Cangrejo: Ninguno en especial. Simp
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pelota. Fortunatos arranca botando
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ejemplo, ¿cómo se habría visto l
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C A P Í T U L O X I XIntelig encia
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Creo que las situaciones “casi”
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tanto matemáticos como físicos y
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La estructura autoincluida de un ma
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El problema es: “¿En qué difier
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oun círculo con formas similares e
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repetir este proceso hasta descubri
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FIGURA 123. Una pequeña porción d
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otras cosas. ¡Pero en esto reside
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capaz de contraer los conceptos, cu
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Metad escripcionesLlegamos ahora a
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todo otro aspecto. Así, ambas noci
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FIGURA 129. Problema de Bongard 61.
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Conexiones con otros tipos d e pens
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mensaje; luego, la significación d
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pueden servir como modelo de la man
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descubrimiento un tanto obvio, toda
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lámina sin título era una versió
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considerados en forma abstracta. ¿
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refacción es “redonda e inflada
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etapas; primero, advertí la existe
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anterioridad, pero estos actos son
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Infortunadamente, no se abrió.Afor
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(En lo que sigue, la expresión “
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serían muy rápidas, pero su desem
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sean a Bach lo que Bach es a las to
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Canon perezosoEsta vez, encontramos
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por supuesto. Ese piano-perezoso se
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C A P Í T U L O X XBucles Extraño
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las disparatadas objeciones de la T
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Un jueg o automodificanteUna primer
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diversos perfeccionamientos de TNT.
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Jerarquía Enredada; abajo, está e
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software, el de los símbolos, se s
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del sistema, en búsqueda de una au
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¡como si todo el mundo estuviese d
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una gran cantidad de incoherencias
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hasta la cual puede penetrar en su
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al análisis de las curiosas consec
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FIGURA 137. Sentido común, de Ren
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la pintura interior, recogemos el m
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FIGURA 140. Papirotada. [Dibujo del
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para piano que para juzgar una pied
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propias palabras, Magritte asienta
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debemos dar respuesta es: “¿Por
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con la traducción de enunciados te
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queremos decir cuando decidimos des
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respuesta sería “no”. A fin de
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FIGURA 142. Galería de grabados, d
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FIGURA 144. Una versión reducida d
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FIGURA 146. Otra forma de reducció
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FIGURA 147. El esquema de modulaci
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FIGURA 148. Dos ciclos completos de
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está nuestro anfitrión?Tortuga: C
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Aquiles: Oh, ¡qué vergüenza!Cang
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Tortuga: Nada de trucos, Aquiles, n
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voluntad. Es como si mi mente, cuan
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fervientemente poder llegar a conoc
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medio tercio de segundo, aparece un
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Cangrejo: Hmm… debo decir que es
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caso…Cangrejo: ¡Las piezas en el
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todo listo; puse tazas, cucharas, y
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(En la pantalla aparece una imagen
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Pantalla X: EL PUENTE DE FORTH A FI
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escribir una fuga sin ellos. ¿Empl
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Aquiles: Hay algo que no me satisfa
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FIGURA 152. Última página del Ric
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finalmente me estoy acostumbrando a
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14. Mosaico II, de M. C. Escher.15.
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39.40.41.42.43.44.45.46.47.48.49.50
Page 1061 and 1062:
119. Problema de Bongard 51.120. Pr
Page 1063 and 1064:
BibliografíaLa presencia de dos as
Page 1065 and 1066:
filosóficas, etc. Es una obra muy
Page 1067 and 1068:
New York: Harper & Row, 1972. Una a
Page 1069 and 1070:
utilizados y violados los límites
Page 1071 and 1072:
descripción fascinante de cómo se
Page 1073 and 1074:
Mass.: Sinauer Associates, 1976. Pa
Page 1075 and 1076:
Mass.: Harvard University Press, Be
Page 1077 and 1078:
de teoría de conjuntos y de teorí
Page 1079 and 1080:
escala del cerebro a fin de elabora
Page 1081 and 1082:
Melnechuk, y F. O. Schmitt, eds. Th
Page 1083 and 1084:
CréditosFiguras: Fig. 1, Johann Se
Page 1085 and 1086:
adaptado de Modelos de computación
Page 1087 and 1088:
Notas
Page 1089 and 1090:
[1] H. T. David y A. Mendel. The Ba
Page 1091 and 1092:
[3] Ibíd., p. 260. <<
Page 1093 and 1094:
[5] Lady A. A. Lovelace, comentario
Page 1095 and 1096:
[7] Ibíd., p. 40. <<
Page 1097 and 1098:
[1] Lewis Carroll, “What the Tort
Page 1099 and 1100:
[1] Herbert Meschkowski, Non-Euclid
Page 1101 and 1102:
[1] George Steiner, After Babel, pp
Page 1103 and 1104:
† Secuencia obtenida de la web de
Page 1105 and 1106:
[2] Ibíd., p. 178. <<
Page 1107 and 1108:
† Véase la nota del Editor Digit
Page 1109 and 1110:
[1] Paul Reps, Zen Flesh, Zen Bones
Page 1111 and 1112:
[3] Ibíd., pp. 111-12. <<
Page 1113 and 1114:
[5] Reps, p. 124. <<
Page 1115 and 1116:
[7] Reps, p. 121. <<
Page 1117 and 1118:
[9] Zen Buddhism, p. 31. <<
Page 1119 and 1120:
[11] Ibíd., p. 120. <<
Page 1121 and 1122:
[13] Reps, pp. 89-90. <<
Page 1123 and 1124:
[2] Steven Rose, The Conscious Brai
Page 1125 and 1126:
[4] Dean Wooldridge, Mechanical Man
Page 1127 and 1128:
[2] Frank L. Warrin, The New Yorker
Page 1129 and 1130:
[4] Versión española de Jaime de
Page 1131 and 1132:
[2] C. H. MacGillavry, Symmetry Asp
Page 1133 and 1134:
[1] J. M. Jauch, Are Quanta Real?,
Page 1135 and 1136:
[1] El título del artículo de Gö
Page 1137 and 1138:
[2] Ibíd., p. 48. <<
Page 1139 and 1140:
[4] M.C. Escher, The Graphic Work o
Page 1141 and 1142:
[6] E. Goffman, Frame Analysis, p.
Page 1143 and 1144:
[1] Stanislaw Ulam, Adventures of a
Page 1145 and 1146:
[3] Ibíd., p. 375. <<
Page 1147 and 1148:
[5] Newman, p. 375. <<
Page 1149 and 1150:
[7] Ibíd., p. 375-6. <<
Page 1151 and 1152:
[9] Lucas en Anderson, p. 44. <<
Page 1153 and 1154:
[11] Ibíd., p. 53. <<
Page 1155 and 1156:
[1] Alan M. Turing, “Computing Ma
Page 1157 and 1158:
[3] Ibíd., p. 6. <<
Page 1159 and 1160:
[5] Ibíd., p. 6. <<
Page 1161 and 1162:
[7] Ibíd., p. 14-24. <<
Page 1163 and 1164:
[9] Vinton Cerf, “Parry Encounter
Page 1165 and 1166:
[11] Ibíd., p. 9-10. <<
Page 1167 and 1168:
[13] Ibíd., p. 106. <<
Page 1169 and 1170:
[15] Art-Language, Vol. 3, No. 2, m
Page 1171 and 1172:
[17] Ibíd., p. 175. <<
Page 1173 and 1174:
[19] Terry Winograd, Understanding
Page 1175 and 1176:
[21] Ibíd., p. 171-2. <<
Page 1177 and 1178:
[2] Ibíd., p. 140. <<
Page 1179 and 1180:
[4] David E. Rumelhart, “Notes on
Page 1181 and 1182:
[6] Marvin Minsky, “Steps Toward
Page 1183 and 1184:
[1] A. L. Samuel, “Some Moral and
Page 1185 and 1186:
[3] Suzi Gahlik, Magritte, p. 97. <
Page 1187:
[5] H. T. David, J. S. Bach’s Mus
show all

Un Eterno y Grácil Bucle

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