TKK Matematiikan laitos Somersalo/Dahl/Pursiainen Mat-1.1220 ...
TKK Matematiikan laitos Somersalo/Dahl/Pursiainen Mat-1.1220 ...
TKK Matematiikan laitos Somersalo/Dahl/Pursiainen Mat-1.1220 ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>TKK</strong> <strong><strong>Mat</strong>ematiikan</strong> <strong>laitos</strong> <strong>Somersalo</strong>/<strong>Dahl</strong>/<strong>Pursiainen</strong><br />
<strong>Mat</strong>-<strong>1.1220</strong> <strong><strong>Mat</strong>ematiikan</strong> peruskurssi S2, kevät 2007<br />
Laskuharjoitus 1 (vko 4) 22.1.- 28.1.2007. Näiden harjoitustehtävien teoria on<br />
Adamsin (5. ed) luvuissa 10.2-10.4, 9.1, sivuilla 599-627 ja 519-527 sekä 9.2-9.4,<br />
sivuilla 527-553.<br />
(A = alkuviikko, L = loppuviikko, D = demotehtävä)<br />
<br />
(n!) 2<br />
A1. Tutki onko lukujono<br />
(2n)!<br />
(a) rajoitettu (ylhäältä tai alhaalta),<br />
(b) positiivinen tai negatiivinen (lopulta),<br />
(c) kasvava, vähenevä tai vuorotteleva,<br />
A2. Määritä lukujonojen<br />
n n−3<br />
(a) an = , (b) an = n − n<br />
√ n2 − 4n, (c) an = n22n , n!<br />
raja-arvot, mikäli se on mahdollista.<br />
A3. Määritä lukujonojen<br />
(a) an = (n!)2<br />
(2n)! , (b) an = n<br />
ln(n+1) ,<br />
raja-arvot, mikäli se on mahdollista.<br />
A4. Olkoon a1 =3jaan+1 = √ 15+2an (n =1, 2, 3,...). Näytä, että {an} on<br />
kasvava ja ylhäältä rajoitettu. Näin ollen päättele, että jono suppenee ja<br />
määritä sen raja-arvo.<br />
A5. Määritä teleskooppisarjan<br />
∞<br />
n=1<br />
1<br />
(2n − 1)(2n +1)<br />
1 1 1<br />
= + + + ···<br />
1 × 3 3 × 5 5 × 7<br />
summa tai näytä, että se hajaantuu (mahdollisesti ∞:ään tai −∞:ään.)<br />
Tehdään käyttäen osamurtokehitelmää kuten kirjan esimerkissä 9.2.3.<br />
A6. Määritä sarjojen<br />
(a) ∞ (−5)<br />
n=2<br />
n<br />
82n , (b) ∞ 3+2<br />
n=0<br />
n<br />
2n+2 ,<br />
summat tai näytä, että ne hajaantuvat (mahdollisesti ∞:ään tai −∞:ään.)<br />
L1. Kun eräs kimmoinen pallo tiputetaan, se pomppaa takaisin ylös<br />
korkeudelle, joka on kolme neljäsosaa alkuperäisestä korkeudesta. Jos tämä<br />
pallo tiputetaan kahden metrin korkeudesta ja sen annetaan pomppia<br />
kunnes se pysähtyy, niin kuinka pitkän matkan pallo on yhteensä kulkenut?<br />
L2. Tutki suppenevatko vai hajaantuvatko sarjat<br />
(a) ∞<br />
n=1<br />
1<br />
2n (n+1) , (b) ∞ n=2<br />
√ n<br />
3 n ln n<br />
käyttäen sopivia suppenemistestejä.<br />
L3. Tutki suppenevatko vai hajaantuvatko sarjat<br />
(a) ∞<br />
n=1<br />
1+n!<br />
(1+n)! (vihje: vertaile harmoniseen sarjaan), (b) ∞ n=1<br />
suhdetesti), käyttäen sopivia suppenemistestejä.<br />
L4. Määritä sarjan<br />
∞<br />
n=1<br />
1<br />
n(n + 1)(n +2) =<br />
1<br />
1 × 2 × 3 +<br />
1<br />
2 × 3 × 4 +<br />
n n<br />
π n n! (vihje:<br />
1<br />
+ ···<br />
3 × 4 × 5<br />
summa tai näytä, että se hajaantuu (mahdollisesti ∞:ään tai −∞:ään.)<br />
Tehdään käyttäen osamurtokehitelmää kuten kirjan esimerkissä 9.2.3.<br />
L5. Määritä sarjan 1 1 1<br />
+ + 1 1+2 1+2+3 +<br />
1 + ··· summa.<br />
1+2+3+4<br />
L6. (a) Tutki suppeneeko vai hajaantuuko sarja ∞<br />
n=2<br />
sopivaa suppenemistestiä.<br />
(b) Näytä juuritestiä käyttäen, että<br />
∞<br />
n=1<br />
2 n+1<br />
n n suppenee.<br />
1<br />
n ln n(ln ln n) 2 käyttäen
<strong>Mat</strong>-<strong>1.1220</strong> (S2), LASKUHARJOITUS 1 MALLIRATKAISUT (VIIKKO 4)<br />
-----------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
(a)<br />
(b)<br />
(c)
(a)<br />
(a)<br />
(b)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
(b)<br />
L1
L2<br />
(a)<br />
(b)<br />
L3<br />
(a)<br />
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
(b)
L4<br />
L5
L6<br />
(a)<br />
(b)
Change language