Master's Thesis - Matematiikan ja systeemianalyysin laitos - Aalto ...

Panu Lahti
Aalto-yliopisto
Perustieteiden korkeakoulu
Rajoitetusti heilahtelevien
funktioiden Lebesguen lause
Diplomityö, joka on jätetty opinnäytteenä tarkastettavaksi diplomi-insinöörin
tutkintoa varten teknillisen fysiikan ja matematiikan tutkinto-ohjelmassa.
Espoo 24.05.2011
Valvoja: Juha Kinnunen
Ohjaaja: Juha Kinnunen

Aalto-yliopisto
Perustieteiden korkeakoulu
Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Tekijä: Panu Lahti
Tutkinto-ohjelma:
Pääaine:
Sivuaine:
Työn nimi:
Title in English:
Opetusyksikön
koodi:
Työn valvoja:
Työn ohjaaja:
Teknillisen fysiikan ja matematiikan tutkinto-ohjelma
Matematiikka
Teknillinen fysiikka
Tiivistelmä
Rajoitetusti heilahtelevien funktioiden Lebesguen lause
Lebesgue theorem for functions of bounded variation
Mat-1
Juha Kinnunen
Juha Kinnunen
Rajoitetusti heilahtelevat funktiot eli BV-funktiot (engl. bounded variation) ovat
lokaalisti integroituvia funktioita, joiden ensimmäisen kertaluvun heikot osittaisderivaatat
ovat Radon-mittoja. Ne muodostavat siis yleisemmän funktioluokan kuin
Sobolevin funktiot, joiden ensimmäisen kertaluvun heikot osittaisderivaatat ovat lokaalisti
integroituvia funktioita. Keskeisimpiä BV-funktioille päteviä tuloksia ovat
kompaktisuustulos, coarea-kaava sekä Sobolevin ja Poincarén epäyhtälöiden versiot.
Mielenkiintoisen BV-funktioiden erikoistapauksen muodostavat niin sanottujen äärellisperimetristen
joukkojen karakteristiset funktiot. Tällaisille joukoille voidaan
määritellä redusoitu reuna, joka on topologisen reunan osajoukko. Osoittautuu, että
lähellä redusoitua reunaa joukko muistuttaa mittateoreettisessa mielessä puoliavaruutta.
Edelleen voidaan määritellä joukon mittateoreettinen reuna, joka on myös topologisen
reunan osajoukko ja muistuttaa mittateoreettisessa mielessä hyvin paljon redusoitua
reunaa. Muun muassa tätä tietoa hyödyntäen voidaan todistaa vahva tulos
redusoidun reunan rakenteesta: se koostuu sileiden hyperpintojen kompakteista osajoukoista.
Lisäksi äärellisperimetrisen joukon derivaattana toimiva Radon-mitta on
itse asiassa vain Hausdorffin mitta rajoitettuna redusoidulle reunalle.
Coarea-kaavan mukaan BV-funktion tasojoukot ovat äärellisperimetrisiä joukkoja,
mikä mahdollistaa mainittujen tulosten soveltamisen yleisiin BV-funktioihin. Osoittautuu,
että BV-funktiot ovat (sopiva edustaja valiten) mittateoreettisesti jatkuvia
lukuunottamatta ”hyppyjä” yli sileiden hyperpintojen. Täsmällisesti tämä tulee ilmaistuksi
BV-funktioiden Lebesguen lauseessa. Tulos on olennaisesti vahvempi kuin
pelkästään integroituville funktioille saatava Lebesguen lause, joskin heikompi kuin
Sobolevin funktioille saatava.
Avainsanat: rajoitettu heilahtelu, variaatiomitta, perimetrimitta, redusoitu
reuna, mittateoreettinen reuna, struktuurilause,
Lebesguen lause
Päivämäärä: 24.05.2011 Kieli: suomi Sivumäärä: 61

Aalto University
School of Science
Department of Mathematics and Systems Analysis
Author: Panu Lahti
Degree
Programme:
Major Subject:
Minor Subject:
Title:
Title in Finnish:
Chair:
Supervisor:
Instructor:
Abstract
Degree Programme in Engineering Physics and Mathematics
Mathematics
Engineering Physics
Lebesgue theorem for functions of bounded variation
Rajoitetusti heilahtelevien funktioiden Lebesguen lause
Mat-1
Juha Kinnunen
Juha Kinnunen
Functions of bounded variation, abbreviated BV functions, are locally integrable
functions whose weak first partial derivatives are Radon measures. Thus they form
a more general class of functions than Sobolev functions, whose weak first partial
derivatives are locally integrable functions. Some of the most central results derived
for BV functions include a compactness result, the coarea formula, and versions of
the Sobolev and Poincaré inequalities.
The characteristic functions of so-called sets of finite perimeter form an interesting
special case of BV functions. For these sets we can define the reduced boundary,
which is a subset of the topological boundary. It turns out that in the neighborhood
of the reduced boundary the set resembles a half space in a measure theoretic sense.
Further, we can define the measure theoretic boundary of a set. This is also a
subset of the topological boundary and closely resembles the reduced boundary
in a measure theoretic sense. Utilizing this and other minor results we can prove a
strong result about the structure of the reduced boundary: it is made up of compact
subsets of smooth hypersurfaces. In addition, the Radon measure that acts as the
derivative of the set of finite perimeter is simply the Hausdorff measure restricted
to the reduced boundary.
According to the coarea formula, the level sets of BV functions are sets of finite perimeter.
This enables us to apply the aforementioned results to general BV functions.
It turns out that BV functions are (with the choice of a suitable representative) measure
theoretically continuous apart from ”jumps” over smooth hypersurfaces. This is
expressed in an exact manner in the Lebesgue theorem for BV functions. The result
is substantially stronger than the Lebesgue theorem for functions that are merely
integrable, but weaker than the corresponding result for Sobolev functions.
Keywords: bounded variation, variation measure, perimeter measure,
reduced boundary, measure theoretic boundary, structure
theorem, Lebesgue theorem
Date: 24.05.2011 Language: Finnish Number of pages: 61

Sisältö
1 Johdanto 1
2 Redusoitu reuna 5
2.1 Määritelmä ja perusominaisuuksia . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Epäyhtälöitä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Joukko redusoidun reunansa lähellä . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Redusoidun reunan struktuurilause 23
3.1 Mittateoreettinen reuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Redusoidun reunan rakenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 BV-funktioiden pisteittäiset ominaisuudet 40
4.1 Mittateoreettinen raja-arvo ja jatkuvuus . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Lebesguen lause BV-funktioille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Pohdintaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Luku 1
Johdanto
Tämän diplomityön aiheena ovat R n :n reaaliarvoiset rajoitetusti heilahtelevat
funktiot. Näiden niin kutsuttujen BV-funktioiden (engl. bounded variation)
muodostama Banach-avaruus on Sobolevin avaruuden laajennus — siinä missä
Sobolevin funktioiden ensimmäisen kertaluvun heikot osittaisderivaatat ovat
p-integroituvia funktioita, BV-funktioiden ensimmäisen kertaluvun heikot osittaisderivaatat
ovat yleisesti pelkkiä Radon-mittoja. Tämä on olennaisesti heikoin
tapa, jolla funktio voi olla derivoituva mittateoreettisessa mielessä. [1, s.
166–][2, s. 220–][3, s. 3–]
Vaikka tässä työssä käsitellään vain yleistä n-ulotteista tapausta, BV-funktioita
tutkittiin aluksi yhdessä ulottuvuudessa, joka muodostaa edelleen mielenkiintoisen
erikoistapauksen [1, s. 216–][4, s. 530–][5, s. 204–]. BV-funktioiden teoriaa
voidaan hyödyntää muun muassa minimihyperpintoja tutkittaessa [3][6]. Muita
sovellusalueita ovat monen muuttujan Fourier-sarjat, epälineaariset osittaisdifferentiaaliyhtälöt
ja matemaattinen fysiikka (ks. esimerkiksi [7]).
Tässä työssä keskitytään kuitenkin puhtaasti BV-funktioiden teoriaan. Työn
päätavoitteena on todistaa BV-funktioille pätevä Lebesguen lauseen versio. Lebesguen
lause on varsin helppo todistaa lokaalisti integroituville funktioille [1,
s. 43][4, s. 456], joille se on muotoa
lim
r→0
|f(y) − f(x)| dy = 0 L
¯B(x,r)
n -m.k. x ∈ R n
(johdannon lopussa esitellään käytetyt merkinnät). Sobolevin funktioille puolestaan
pätee Lebesguen lauseesta vahvempi versio, jossa yllä olevan tapaisen
integraalikeskiarvon raja-arvo on nolla lukuunottamatta joukkoa, jonka pkapasiteetti
on nolla [1, s. 146, 160]. Syyksi voidaan nähdä se, että heikkojen
osittaisderivaattojen olemassaolo antaa Sobolevin funktioille enemmän rakennetta
kuin mitä yleisillä lokaalisti integroituvilla funktioilla on. BV-funktioille
sen sijaan saadaan Lebesguen lauseesta hieman Sobolevin funktioiden tapausta
1

heikompi versio, koska BV-funktioiden avaruus on Sobolevin funktioiden avaruutta
yleisempi.
Tämä työ perustuu lähinnä BV-funktioita käsitteleviin lähteisiin [1], [2] ja [3].
Lähteistä [4] ja [8] puolestaan löytyy joitakin tarvittavia reaalianalyysin ja mittateorian
tuloksia. Erityisesti lähteessä [4] on hyödyllisiä tuloksia liittyen reaaliakselin
funktioihin, muun muassa absoluuttisesti jatkuviin funktioihin ja
myös BV-funktioihin. Näitä tarvitaan myös todistettaessa tiettyjä R n :n BVfunktioille
päteviä lauseita. Reaalianalyysin ja mittateorian peruskäsitteistö oletetaan
työssä tunnetuksi. Myöskään BV-funktioiden teorian perustuloksia ei esitetä,
vaan viitataan pelkästään mainittuihin lähteisiin. Käytetyt määritelmät ja
merkinnät, jotka on listattu johdannon lopussa, noudattavat enimmäkseen lähdettä
[1]. Näihin viitaten luetellaan tässä lyhyesti kaikkein keskeisimmät tarvittavat
tulokset.
Kuten jo aiemmin mainittiin, Sobolevin funktio on aina BV-funktio. BV-funktioiden
variaatiomitta on alaspäin puolijatkuva L1 loc :ssa suppenemisen suhteen.
Kuten Sobolevin funktioita, myös BV-funktioita on mahdollista approksimoida
sileillä funktioilla, joskin hieman heikommassa mielessä. BV-funktioiden avaruudelle
saadaan myös todistettua kompaktisuustulos, ja lisäksi voidaan määritellä
BV-funktion jälki funktion määrittelyalueen reunalla. [1, s. 166–183][2, s. 220-
227][3, s. 3-17, 30–41]
BV-funktioiden coarea-kaavan mukaan BV-funktion variaatiomitta voidaan esittää
funktion tasojoukkojen perimetrimittojen integraalina. BV-funktioille voidaan
myös johtaa Sobolevin ja Poincarén epäyhtälöt. Nämä ovat itsessään käyttökelpoisia,
ja lisäksi niiden avulla voidaan edelleen todistaa äärellisperimetrisille
joukoille niin sanotut isoperimetriset epäyhtälöt. [1, s. 185–192][2, s. 230-
233][3, s. 20–26]
Yllä mainittujen perustulosten pohjalta lähdetään luvussa 2 rakentamaan lokaalisti
äärellisperimetristen joukkojen teoriaa. Tällaisille joukoille määritellään
redusoitu reuna, joka on topologisen reunan osajoukko. Redusoidun reunan pisteille
todistetaan ensin joukko käyttökelpoisia epäyhtälöitä, minkä jälkeen näytetään
vahva tulos, jonka mukaan joukko muistuttaa redusoidun reunan pisteen
lähellä mittateoreettisessa mielessä puoliavaruutta.
Luvussa 3 jatketaan lokaalisti äärellisperimetrisistä joukoista. Ensin näytetään,
että redusoitu reuna on mittateoreettisesti melkein sama kuin niin sanottu mittateoreettinen
reuna. Sitten siirrytään joidenkin teknisten välitulosten tukemana
tutkimaan redusoidun reunan rakennetta. Osoittautuu, että redusoitu reuna
koostuu pientä joukkoa lukuunottamatta sileiden hyperpintojen kompakteista
osajoukoista. Edelleen perimetrimitta osoittautuu identtiseksi redusoidulle reunalle
rajoitetun Hausdorffin mitan kanssa.
Luvussa 4 siirrytään tutkimaan yleisiä BV-funktioita, rajoittumatta lokaalisti
äärellisperimetristen joukkojen karakteristisiin funktioihin. Ensin tarkastellaan
approksimatiivisen raja-arvon ja jatkuvuuden käsitteitä. Osoittautuu, että
joukko, jossa BV-funktiolla ei ole approksimatiivista raja-arvoa, sisältyy funktion
(äärellisperimetristen) tasojoukkojen mittateoreettisiin (tai redusoituihin)
2

eunoihin. Nyt voidaan edellisen luvun tuloksen perusteella näyttää, että kyseinen
joukko rakentuu itse asiassa sileistä hyperpinnoista. Tämän jälkeen päästään
vihdoin BV-funktioille pätevään Lebesguen lauseeseen, jossa on olennaisesti
kaksi osaa: ensimmäisen mukaan lähes kaikki pisteet, joissa approksimatiivinen
raja-arvo on olemassa, ovat Lebesguen pisteitä ja siten myös approksimatiivisen
jatkuvuuden pisteitä. Sileillä hyperpinnoilla, joissa approksimatiivista
raja-arvoa ei ole, puolestaan tapahtuu ”hyppäys” arvosta toiseen. Näissä
pisteissä funktio on siis vain ”toispuoleisesti” approksimatiivisesti jatkuva.
Määritelmät ja merkinnät
Jos x ∈ R n ja r ∈ R+, avointa palloa merkitään B(x, r) ja suljettua palloa
¯B(x, r). n-ulotteisia Lebesguen ja Hausdorffin mittoja merkitään symboleilla
L n ja H n . n-ulotteisen yksikköpallon ja vastaavan pallonkuoren mittoja merkitään
Ωn ja ωn−1 (pallonkuori on tietenkin ”n − 1-ulotteinen” joukko) . Jos µ
on ulkomitta ja A ⊂ R n joukko, ilmaus µ-m.k. x ∈ A tarkoittaa ”melkein kaikilla”
x ∈ A, eli lukuunottamatta joukkoa, jonka µ-mitta A:ssa on nolla. Käytetään
myös ilmausta µ-m.k. A:ssa eli ”melkein kaikkialla” A:ssa. Reaaliakselin
osajoukkoja käsiteltäessä (tyypillisesti kyse on esimerkiksi pallojen säteistä) lyhenne
m.k. r ∈ A tarkoittaa L 1 -m.k. r ∈ A. Standardisilottajafunktiota [1, s.
122][3, s. 11] merkitään ηε, ε > 0. Integraalikeskiarvoa merkitään symbolilla ffl .
Tässä tekstissä käytetään lähtökohtaisesti tulkintaa, jonka mukaan (lokaalisti)
integroituva funktio (erityisesti BV-funktio) f ∈ L1 loc (U, µ), missä U ⊂ Rn
on avoin joukko ja µ on ulkomitta (tyypillisesti Ln ), on määritelty vain µnollamittaista
joukkoa lukuun ottamatta. Funktiot tulkitaan siis ekvivalenssiluokiksi,
ja ne voivat saada myös arvoja ±∞. Tietyissä erikoistapauksissa tullaan
määrittelemään tällaisten funktioiden pisteittäin määriteltyjä edustajia.
Luetellaan sitten BV-funktioista käytetyt määritelmät ja notaatio, seuraten lähdettä
[1, s. 166-171].
Olkoon U ⊂ Rn avoin joukko — tässä työssä yleensä U = Rn . Funktio f ∈ L1 (U)
on rajoitetusti heilahteleva U:ssa, toisin sanoen f ∈ BV (U), jos
ˆ
sup f∇ · ϕdx | ϕ ∈ C 1 0(U; R n
), |ϕ| ≤ 1 < ∞.
U
Funktio f ∈ L1 loc (U) on lokaalisti rajoitetusti heilahteleva U:ssa, toisin sanoen
f ∈ BVloc(U), jos jokaisella V ⊂⊂ U pätee
ˆ
sup f∇ · ϕdx | ϕ ∈ C 1 0(V ; R n
), |ϕ| ≤ 1 < ∞.
V
L n -mitallisella joukolla E ⊂ R n on äärellinen perimetri U:ssa, jos sen karakteristiselle
funktiolle pätee χE ∈ BV (U). L n -mitallisella joukolla E ⊂ R n on
3

lokaalisti äärellinen perimetri U:ssa, jos χE ∈ BVloc(U). Voidaan näyttää, että
jos f ∈ BVloc(U), on olemassa Radon-mitta Df U:ssa ja Df-mitallinen
funktio σ : U → Rn s.e. |σ(x)| = 1 Df-m.k. x ∈ U ja
ˆ
ˆ
f∇ · ϕdx = − ϕ · σdDf
U
kaikilla ϕ ∈ C1 0(U; Rn ). Tätä kutsutaan BV-funktioiden struktuurilauseeksi.
Radon-mittaa Df kutsutaan f:n variaatiomitaksi. Silloin, kun f = χE, missä
E:llä on lokaalisti äärellinen perimetri U:ssa, vaihdetaan merkintöjä seuraavasti:
Df ↩→ ∂E, −σ ↩→ νE. Radon-mittaa ∂E kutsutaan E:n perimetrimitaksi.
Jos f ∈ BVloc(U), pätee
ˆ
Df(V ) = sup f∇ · ϕdx | ϕ ∈ C 1 0(V ; R n
), |ϕ| ≤ 1 .
V
kaikilla avoimilla V ⊂ U. Lopulta BV-normi määritellään funktiolle f ∈ BV (U)
seuraavasti:
f BV (U) := f L 1 (U) + Df(U).
4
U

Luku 2
Redusoitu reuna
Tarkastellaan tässä ja seuraavassa luvussa joukkoja, joilla on lokaalisti äärellinen
perimetri R n :ssä. Tärkeäksi osoittautuu tällaisten joukkojen niin kutsuttu
redusoitu reuna, joka on topologisen reunan osajoukko. Luvussa nähdään, että
redusoidun reunan pisteille voidaan osoittaa muutamia varsin vahvoja tuloksia,
joita tarvitaan myöhemmin. Erityisesti nähdään, että redusoidun reunansa
lähellä joukko muistuttaa mittateoreettisessa mielessä puoliavaruutta.
2.1 Määritelmä ja perusominaisuuksia
Olkoon siis tässä luvussa E ⊂ R n joukko, jolla on lokaalisti äärellinen perimetri
R n :ssä.
Määritelmä 2.1.1. Piste x ∈ R n kuuluu joukon E redusoituun reunaan ∂ ∗ E,
jos
(i) ∂E( ¯ B(x, r)) > 0 kaikilla r > 0,
ffl
¯B(x,r) νE d∂E = ν∗ E (x) ∈ Rn (eli kyseessä olevan raja-
(ii) limr→0
arvon tulee olla olemassa), ja
(iii) |ν∗ E (x)| = 1.
Ehdon (i) mukaan piste x todella sijaitsee joukon E reunalla siinä mielessä,
että joukon E perimetri on nollaa suurempi mielivaltaisen pienissä x-keskisissä
palloissa. Voidaankin heti osoittaa, että redusoitu reuna on topologisen reunan
osajoukko riippumatta pisteittäin määritellyn edustajan χE valinnasta. Otetaan
siis mielivaltainen edustaja χE ja oletetaan, että x /∈ ∂E. Tällöin on olemassa
joko B(x, ˜r) ⊂ R n \E tai B(x, ˜r) ⊂ E, missä ˜r > 0. Edellisessä tapauksessa (pallo
5

valitaan tässä avoimeksi, koska perimetrimitan määritelmä on yksinkertaisin
avoimille joukoille)
ˆ ∂E(B(x, ˜r)) = sup χE(y)∇ · ϕ(y) dy | ϕ ∈ C
B(x,˜r)
1 0(B(x, ˜r); R n
), |ϕ| ≤ 1 ,
missä ˆ
ˆ
χE(y)∇ · ϕ(y) dy =
B(x,˜r)
B(x,˜r)
0∇ · ϕ(y) dy = 0.
Siis ∂E( ¯ B(x, r)) ≤ ∂E(B(x, ˜r)) = 0 kaikilla r < ˜r. Täten redusoidun reunan
määritelmän ehto (i) ei toteudu, ja x /∈ ∂∗E. Vastaavasti, jos B(x, ˜r) ⊂ E,
saadaan ˆ
ˆ
χE(y)∇ · ϕ(y) dy =
B(x,˜r)
Rn ∇ · ϕ(y) dy = 0
kaikilla ϕ ∈ C 1 0(B(x, ˜r); R n ), eli jälleen x /∈ ∂ ∗ E. Näin ollen ∂ ∗ E ⊂ ∂E. Toisaalta,
valitsemalla funktiolle χE sopiva edustaja voidaan näyttää, että redusoidun
reunan sulkeuma on topologinen reuna, eli ∂ ∗ E = ∂E [3, s. 54].
Redusoidun reunan ehdot (i)–(iii) pätevät itse asiassa ∂E-m.k. x ∈ R n , mikä
nähdään ehdon (i) osalta seuraavasti. Määritellään joukko, jossa ehto (i) ei päde:
Jos δ > 0, joukkoperhe
A := {x ∈ R n | ∂E( ¯ B(x, r)) = 0 jollain r > 0}.
B := { ¯ B(x, r) ⊂ R n | x ∈ A, 0 < r < δ, ∂E( ¯ B(x, 5r)) = 0}
muodostaa selvästi A:n peitteen. Vitalin peitelauseen [1, s. 27][4, s. 448] perusteella
B:stä voidaan poimia pistevieraista palloista koostuva numeroituva kokoelma
{ ¯ B(x i , ri)} ∞ i=1 , jolle pätee A ⊂ ∞
i=1 ¯ B(x i , 5ri). Siis
∂E(A) ≤
∞
∂E( ¯ B(x i , 5ri)) = 0.
i=1
Tarkastellaan sitten ehtoja (ii) ja (iii). Huomataan, että nämä voivat olla voimassa
vain, jos ehto (i) on voimassa. Koska |νE| = 1 ∂E-m.k. R n :ssä, νE on
lokaalisti integroituva funktio mitan ∂E suhteen, ja niinpä Lebesguen lauseen
[1, s. 43] mukaan
lim
r→0
νE d∂E = νE(x)
¯B(x,r)
∂E-m.k. x ∈ R n (riippumatta valitusta νE:n edustajasta). Siis myös ehdot
(ii) ja (iii) pätevät ∂E-m.k. x ∈ R n . Täten sen joukon ∂E-mitta, jossa jokin
ehdoista (i)-(iii) ei päde, on nolla, eli toisin sanoen ∂E(R n \ ∂ ∗ E) = 0.
Intuitiivisesti ∂E mittaa vain joukon E redusoitua reunaa. Lisäksi nähdään,
6

että funktio ν ∗ E on funktion νE edustaja, joka on määritelty jokaisessa redusoidun
reunan pisteessä. Vektoria ν ∗ E (x), x ∈ ∂∗ E, sanotaan joskus E:n yleistetyksi
ulkonormaaliksi [2, s. 233].
Todistetaan seuraavaksi kätevä tulos, joka kertoo joukon E ja sen komplementin
R n \E välisestä yhteydestä.
Lemma 2.1.2. Jos joukolla E ⊂ R n on lokaalisti äärellinen perimetri R n :ssä,
sama pätee joukolle R n \E. Edelleen perimetrimitat ∂E ja ∂(R n \E) ovat
samat, νE = −ν R n \E ∂E-m.k. x ∈ R n , ja redusoidut reunat koostuvat täsmälleen
samoista pisteistä.
Todistus. Kaikilla ϕ ∈ C 1 0(R n ; R n ) pätee
ˆ
E
joten ˆ
ˆ
∇ · ϕ dy +
Rn ˆ
∇ · ϕ dy =
\E
Rn ∇ · ϕ dy = 0,
R n
ˆ
χE∇ · ϕ dy = −
Rn χRn \E∇ · ϕ dy. (2.1)
Siis jos χE ∈ BVloc(Rn ) (oletus), myös χRn \E ∈ BVloc(Rn ), ja BV-funktioiden
struktuurilauseen perusteella yhtälö (2.1) saadaan myös muotoon
ˆ
ˆ
ϕ · νE d∂E = − ϕ · νRn \E d∂(R n \E) (2.2)
R n
R n
kaikilla ϕ ∈ C1 0(Rn ; Rn ). Katsotaan nyt mittoja. Mille tahansa avoimelle joukolle
U ⊂ Rn pätee perimetrimitan määritelmän ja yhtälön (2.1) perusteella
ˆ
∂E(U) = sup χE∇ · ϕ dy | ϕ ∈ C
U
1 0(U; R n
), |ϕ| ≤ 1
ˆ
= sup χRn \E∇ · ϕ dy | ϕ ∈ C 1 0(U; R n
), |ϕ| ≤ 1
U
= ∂(R n \E)(U).
Otetaan sitten mielivaltainen A ⊂ R n . Koska ∂E ja ∂(R n \E) ovat Radonmittoja,
pätee [1, s. 8]
∂E(A) = inf{∂E(U) | A ⊂ U, U avoin},
ja samoin ∂(R n \E):lle. Siis jokaisella avoimella U ⊃ A pätee
∂E(A) ≤ ∂E(U) = ∂(R n \E)(U),
7

ja ottamalla nyt infimum yli avointen joukkojen U ⊃ A saadaan
∂E(A) ≤ ∂(R n \E)(A).
Vastakkainen epäyhtälö voidaan näyttää täsmälleen samaan tapaan, joten yhteensä
∂E(A) = ∂(R n \E)(A),
eli mitat ovat samat.
Todistetaan sitten, että νE = −ν R n \E ∂E-m.k. R n :ssä. Tässä voitaisiin vedota
kaavaan (2.2) ja tulokseen, jonka mukaan merkkinen mitta on nolla, jos
jokaisen C 1 0-funktion integraali merkkisen mitan suhteen on nolla [8, s. 228]. Esitetään
tässä kuitenkin toinen, perimetrimitan määritelmään perustuva todistus.
Tehdään vastaoletus: ∂E({x ∈ R n | νE(x) = −ν R n \E(x)}) > 0. Tästä seuraa
∂E x ∈ B(0, r) | |νE(x) − (−ν R n \E(x))| > 1/k = α > 0 (2.3)
jollain r > 0 ja k ∈ N. Nyt kuitenkin perimetrimitan määritelmän nojalla
voidaan valita jono (ϕi), ϕi ∈ C1 0(B(0, r); Rn ) ja |ϕi| ≤ 1 kaikilla i ∈ N, s.e.
ˆ
ˆ
ϕi · νE d∂E → ∂E(B(0, r)) = νE · νE d∂E,
B(0,r)
B(0,r)
kun i → ∞, ja yhtälön (2.2) nojalla myös (muistetaan, että mitat ovat samat)
ˆ
ˆ
ϕi · (−νRn \E) d∂E → ∂E(B(0, r)) = νRn \E · νRn \E d∂E,
B(0,r)
B(0,r)
kun i → ∞. Koska toisaalta kahden yksikkövektorin sisätulo lähestyy yhtä vain,
kun vektorit lähestyvät toisiaan euklidisen normin mielessä, saadaan
∂E({x ∈ B(0, r) | |ϕi(x) − νE(x)| > 1/(3k)}) → 0,
∂E({x ∈ B(0, r) | |ϕi(x) − (−ν R n \E(x))| > 1/(3k)}) → 0,
kun i → ∞. Tämä on kuitenkin selvästi ristiriidassa yhtälön (2.3) kanssa. Siis
νE = −ν R n \E ∂E-m.k. x ∈ R n . Nyt saadaan redusoidun reunan määritelmän
perusteella, että E:n ja R n \E:n redusoidut reunat koostuvat täsmälleen samoista
pisteistä.
2.2 Epäyhtälöitä
Todistetaan aluksi yksinkertainen lemma, jota tarvitaan jatkossa.
Lemma 2.2.1. Jos µ on Radon-mitta R n :ssä ja x ∈ R n , niin µ(∂ ¯ B(x, L)) = 0
kaikilla paitsi korkeintaan numeroituvan monella L > 0.
8

Todistus. Oletetaan, että µ(∂ ¯ B(x, L)) > 0 ylinumeroituvan monella L > 0.
Tällöin jollain välillä [i, i + 1), i ∈ N ∪ {0}, on myös oltava ylinumeroituvan
monta tällaista L > 0. Määritellään sitten jokaista j ∈ Z kohti joukko
Aj = {L ∈ [i, i + 1) | µ( ¯ B(x, L)) ∈ [2 j , 2 j+1 )}
Edelleen jokin joukko Aj on ylinumeroituva. Poimitaan tällaisesta Aj:stä numeroituvasti
ääretön osajoukko Ãj ⊂ Aj. Koska µ on Radon-mitta, ovat pallonkuoret
aina µ-mitallisia joukkoja, ja voidaan laskea
⎛
µ(B(x, i + 1)\B(x, i)) ≥ µ ⎝
∂ ¯ ⎞
B(x, L) ⎠
=
L∈ Ãj
L∈ Ãj
µ(∂ ¯ B(x, L)) ≥
L∈ Ãj
2 j = ∞,
mikä on ristiriita, koska rajoitettujen joukkojen Radon-mitat ovat aina äärellisiä.
Todistetaan nyt lemma, jota tullaan tarvitsemaan, kun todistetaan epäyhtälöitä
redusoidun reunan pisteille. Tulos on käytännössä osittaisintegrointikaava
BV-funktioille tilanteessa, jossa sileän funktion ϕ kantaja ei sisälly integrointialueeseen.
Lemma 2.2.2. Olkoon joukolla E ⊂ Rn lokaalisti äärellinen perimetri Rn :ssä,
ja olkoon ϕ ∈ C1 (Rn ; Rn ). Silloin kaikilla x ∈ Rn ja m.k. r > 0 pätee
ˆ
ˆ
ˆ
χE∇ · ϕ dy =
¯B(x,r)
ϕ · νE d∂E +
¯B(x,r)
∂ ¯ χEϕ · ν dH
B(x,r)
n−1 ,
missä ν on pallon reunan ∂ ¯ B(x, r) yksikköulkonormaali.
Todistus. Kaikilla r > 0 pallo B(x, r) on avoin ja rajoitettu joukko, jonka reuna
on Lipschitz. Lisäksi χE ∈ BV (B(x, r)). Siis kaikilla ϕ ∈ C1 (Rn ; Rn ) pätee [1,
s. 177][3, s. 37]
ˆ
ˆ
ˆ
χE∇ · ϕ dy =
B(x,r)
ϕ · νE d∂E +
B(x,r)
∂ ¯ T χE(ϕ · ν) dH
B(x,r)
n−1 , (2.4)
missä T χE ∈ L 1 (∂ ¯ B(x, r), H n−1 ) on funktion χE jälki reunalla ∂ ¯ B(x, r), ja ν
on pallon reunan ∂ ¯ B(x, r) yksikköulkonormaali. Jäljelle pätee [1, s. 181][3, s. 37]
T χE(z) = lim
ρ→0
χEdy
¯B(z,ρ)∩B(x,r)
9

H n−1 -m.k. z ∈ ∂ ¯ B(x, r), kaikilla r > 0. Toisaalta Lebesguen lause lokaalisti
integroituville funktioille antaa
χE(z) = lim
ρ→0
χEdy
¯B(z,ρ)∩B(x,r)
Ln-m.k. z ∈ Rn s.e. z ∈ ∂ ¯ B(x, r) — eli Hn−1-m.k. z ∈ ∂ ¯ B(x, r), m.k. r > 0.
Siis pätee T χE(z) = χE(z) Hn−1-m.k. z ∈ ∂ ¯ B(x, r), m.k. r > 0. Täten yhtälö
(2.4) saadaan m.k. r > 0 muotoon
ˆ
ˆ
ˆ
χE∇ · ϕ dy = ϕ · νE d∂E + χEϕ · ν dH n−1 ,
B(x,r)
B(x,r)
∂ ¯ B(x,r)
mikä on sama kuin väite, paitsi että pallot ovat avoimia. Lemman 2.2.1 perusteella
väite kuitenkin seuraa.
Todistetaan sitten joukko redusoidun reunan pisteisiin liittyviä epäyhtälöitä
(muistetaan, että E ⊂ R n on joukko, jolla on lokaalisti äärellinen perimetri
R n :ssä).
Lemma 2.2.3. On olemassa vain dimensiosta n riippuvat, aidosti nollaa suuremmat
vakiot C1(n), . . . , C3(n) s.e. kaikilla x ∈ ∂ ∗ E pätee
(i) lim inf
r→0
(ii) lim inf
r→0
(iii) lim inf
r→0
(iv) lim sup
r→0
Ln (E ∩ ¯ B(x, r))
≥ C1(n),
r n
Ln ((Rn \E) ∩ ¯ B(x, r))
≥ C1(n),
r n
∂E( ¯ B(x, r))
≥ C2(n),
r n−1
∂E( ¯ B(x, r))
r n−1
≤ C3(n).
Todistus. Otetaan mikä tahansa x ∈ ∂∗E. Väitteen (i) todistamiseksi määritellään
ensin funktio
m(r) := L n (E ∩ ¯ B(x, r)) =
ˆ r
0
H n−1 (E ∩ ∂ ¯ B(x, s)) ds.
Jälkimmäinen yhtäsuuruus seuraa coarea-kaavasta. Tässä tietenkin m(r) < ∞
kaikilla r > 0, ja H n−1 (E ∩ ∂ ¯ B(x, s)) on s:n funktiona lokaalisti integroituva.
Tämän perusteella m(r) on absoluuttisesti jatkuva funktio (ks. esimerkiksi [4,
s. 544–]), ja Lebesguen lauseen mukaan
m ′ m(r + h) − m(r) 1
(r) = lim
= lim
h→0 h
h→0 h
ˆ r+h
= H n−1 (E ∩ ∂ ¯ B(x, r)) m.k. r > 0.
10
r
H n−1 (E ∩ ∂ ¯ B(x, s)) ds

Alla olevan kaavan (2.6) perusteella joukolla E ∩ ¯ B(x, r) on äärellinen perimetri
R n :ssä. Tähän joukkoon voidaan täten soveltaa isoperimetristä epäyhtälöä [1,
s. 190–191]:
m(r) 1−1/n = L n (E ∩ ¯ B(x, r)) 1−1/n ≤ A1(n)∂(E ∩ ¯ B(x, r))(R n ). (2.5)
(Tässä tekstissä merkitään isoperimetrisissä epäyhtälöissä esiintyviä vakioita
A1(n) ja A2(n), ks. [1, s. 191].) Nyt voidaan jatkaa lemman 2.2.2 avulla. Otetaan
tämän lemman väitteessä supremum yli funktioiden ϕ ∈ C1 0(Rn ; Rn ), |ϕ| ≤ 1.
Väitteen vasempaan puoleen voidaan soveltaa yksinkertaisesti perimetrimitan
määritelmää, kun taas oikealla puolella muistetaan, että |νE| = 1 ∂E-m.k.,
|ν| = 1 ja |ϕ| ≤ 1. Näin saadaan yhteensä
∂(E ∩ ¯ B(x, r))(R n ˆ
ˆ
) ≤ d∂E +
dH n−1
¯B(x,r)
E∩∂ ¯ B(x,r)
= ∂E( ¯ B(x, r)) + H n−1 (E ∩ ∂ ¯ B(x, r)) (2.6)
m.k. r > 0. Tämän epäyhtälön jälkimmäistä riviä voidaan edelleen muokata
lemman 2.2.2 avulla. Valitaan tällä kertaa funktio ϕ ∈ C1 0(Rn ; Rn ), joka saa
pallossa ¯ B(x, r) vakioarvon ν∗ E (x) (muistetaan ν∗ E (x) redusoidun reunan määritelmästä).
Tällainen funktio saadaan tietenkin helposti esimerkiksi silottamalla
funktio ν∗ E (x)χ ¯ B(x,2r). Nyt ∇ · ϕ = 0 pallossa ¯ B(x, r), joten lemma 2.2.2 antaa
ˆ
ν
¯B(x,r)
∗ ˆ
E(x) · νE d∂E = −
E∩∂ ¯ ν
B(x,r)
∗ E(x) · ν dH n−1
≤ H n−1 (E ∩ ∂ ¯ B(x, r)) (2.7)
m.k. r > 0. Nyt vasta käytetään tietoa x ∈ ∂ ∗ E, joka antaa
Täten
lim
r→0 ν∗ E(x) ·
νE d∂E = ν
¯B(x,r)
∗ E(x) · ν ∗ E(x) = 1.
ν ∗ E(x) ·
νEd∂E ≥
¯B(x,r)
1
2 ,
kun r ≤ R sopivalla R > 0. Luku R voi riippua pisteestä, mutta tässähän piste
x ∈ ∂ ∗ E on kiinnitetty. Siis
ˆ
ν
¯B(x,r)
∗ E(x) · νE d∂E ≥ 1
2 ∂E( ¯ B(x, r))
kaikilla r ∈ (0, R). Yhdistämällä tämä epäyhtälöön (2.7) saadaan
1
2 ∂E( ¯ B(x, r)) ≤ H n−1 (E ∩ ∂ ¯ B(x, r)) m.k. r ∈ (0, R). (2.8)
Tämä ja epäyhtälö (2.6) antavat yhteensä
∂(E ∩ ¯ B(x, r)(R n ) ≤ 3H n−1 (E ∩ ∂ ¯ B(x, r)) m.k. r ∈ (0, R).
11

Epäyhtälön (2.5) avulla saadaan siis
m(r) 1−1/n ≤ 3A1(n)H n−1 (E ∩ ∂ ¯ B(x, r)) = C(n)m ′ (r) m.k. r ∈ (0, R),
missä merkittiin 3A1(n) = C(n) > 0. Siispä
1
C(n) ≤ m(r)(1/n)−1 m ′ (r) = q(m(r))m ′ (r) m.k. r ∈ (0, R),
missä q(s) := s (1/n)−1 , s ≥ 0. Selvästi q ∈ L1 (0, t) kaikilla t > 0. Koska m on
kasvava absoluuttisesti jatkuva funktio, pätee [4, s. 560]
Tässä oikea puoli on
ˆ r
0
q(m(s))m ′ (s) ds =
ˆ m(r)
m(0)
q(s)ds.
ˆ m(r)
s
0
(1/n)−1 ds = nm(r) 1/n ,
ja vasen puoli on edellisen epäyhtälön perusteella vähintään yhtä suuri kuin
r/C(n), kunhan r < R. Lopputuloksena saadaan m(r) 1/n ≥ r/C(n) kaikilla
r ∈ (0, R) (integroinnin jälkeen ei enää tarvita määrettä ”melkein kaikilla”).
Kun muistetaan m(r):n määritelmä, saadaan yhteensä
L n (E ∩ ¯ B(x, r))
r n
= m(r) 1
≥
rn (C(n)) n
kaikilla r ∈ (0, R).
Väite (i) siis pätee esimerkiksi vakiolla C1(n) = 1/(C(n)) n > 0. Väite (ii) puolestaan
saadaan väitteestä (i) lemman 2.1.2 avulla. Koska E:llä on lokaalisti äärellinen
perimetri R n :ssä, myös R n \E:llä on, ja koska x ∈ ∂ ∗ E, myös x ∈ ∂ ∗ (R n \E).
Siis kohdan (i) todistus toimii yhtä hyvin joukolle R n \E, ja tämä antaa väitteen
(ii).
Väitteen (iii) todistamiseksi todetaan, että relatiivisen isoperimetrisen epäyhtälön
[1, s. 190–191] mukaan
min{L n (E ∩ ¯ B(x, r)), L n ((R n \E) ∩ ¯ B(x, r))} 1−1/n ≤ 2A2(n)∂E( ¯ B(x, r)).
Tässä A2(n) > 0 (näin voidaan tietenkin joka tapauksessa valita). Tästä ja
kohdista (i) ja (ii) seuraa nyt
lim inf
r→0
∂E( ¯ B(x, r))
r n−1
1
≥ lim inf
2A2(n) r→0 min
n L (E ∩ B(x, ¯ r))
rn , Ln ((Rn \E) ∩ ¯ B(x, r))
rn 1−1/n
1
≥
2A2(n) C1(n) 1−1/n =: C2(n) > 0.
12

Kohta (iii) on näin todistettu. Lopuksi palautetaan mieleen, että epäyhtälön
(2.8) nojalla
∂E( ¯ B(x, r)) ≤ 2H n−1 (E ∩ ∂ ¯ B(x, r)) ≤ 2H n−1 (∂ ¯ B(x, r)) = 2ωn−1r n−1
m.k. r ∈ (0, R). Huomataan, että kun epäyhtälö esitetään tässä muodossa, rajoituksesta
”melkein kaikilla” päästään eroon seuraavalla tavalla: Otetaan mielivaltainen
r ∈ (0, R). Tällöin on olemassa jono hi → 0 s.e.
kaikilla i ∈ N. Nyt pätee
∂E( ¯ B(x, r + hi)) ≤ 2ωn−1(r + hi) n−1
∂E( ¯ B(x, r)) = lim
i→∞ ∂E( ¯ B(x, r + hi)) ≤ 2ωn−1r n−1 .
Tämä siis pätee jokaisella r ∈ (0, R), mistä saadaan suoraan
lim sup
r→0
Tämä onkin väite (iv).
∂E( ¯ B(x, r))
r n−1
≤ 2ωn−1 =: C3(n).
2.3 Joukko redusoidun reunansa lähellä
Olkoon E edelleen joukko, jolla on lokaalisti äärellinen perimetri R n :ssä. Kaikkia
redusoidun reunan pisteitä x ∈ ∂ ∗ E kohti määritellään hypertaso
ja puoliavaruudet
H(x) := {y ∈ R n | ν ∗ E(x) · (y − x) = 0}
H − (x) := {y ∈ R n | ν ∗ E(x) · (y − x) ≤ 0},
H + (x) := {y ∈ R n | ν ∗ E(x) · (y − x) ≥ 0}.
Edelleen jokaista x ∈ ∂ ∗ E ja r > 0 kohti määritellään
Er(x) := {y ∈ R n | x + r(y − x) ∈ E}.
Huomataan, että E1(x) = E, ja kun r → 0, joukko Er(x) ”räjähtää” pisteen
x suhteen. Koska siis Er(x) on käytännössä vain r:llä skaalattu versio E:stä,
näiden joukkojen perimetrimitoille saadaan yksinkertaiset riippuvuudet. Määri-
tellään ensin funktio
pr(y) := x +
13
y − x
.
r

Suoraan Er(x):n määritelmästä voidaan todeta, että pr(y) ∈ Er(x) täsmälleen
silloin, kun y ∈ E. Jos ϕ ∈ C1 0(Rn ; Rn ), käyttämällä muuttujanvaihtoa z = pr(y)
voidaan nyt laskea
ˆ
R n
ˆ
χEr(x)(z)∇ · ϕ(z) dz = 1
rn Rn χEr(x)(x + (y − x)/r)∇ · ϕ(x + (y − x)/r) dy
= 1
rn−1 ˆ
χE(y)∇ · (ϕ ◦ pr(y)) dy. (2.9)
R n
Olkoon sitten L > 0, ja ϕ ∈ C 1 0(B(x, L); R n ). Kuvaus ϕ → ϕ ◦ pr on selvästi
bijektio C 1 0(B(x, L); R n ):n ja C 1 0(B(x, rL); R n ):n välillä. Yllä olevasta yhtälöstä
saadaan täten perimetrimitan määritelmän nojalla
ˆ
R n
χEr(x)(z)∇ · ϕ(z) dz ≤ 1
∂E(B(x, rL))
rn−1 kaikilla ϕ ∈ C 1 0(B(x, L); R n ), |ϕ| ≤ 1. Tästä nähdään, että myös joukolla Er(x)
on lokaalisti äärellinen perimetri R n :ssä. Jos nyt otetaan supremum epäyhtälön
vasemmalta puolelta, saadaan
∂Er(x)(B(x, L)) ≤ 1
∂E(B(x, rL)).
rn−1 Tekemällä sama päättely toiseen suuntaan saadaan yhtäsuuruus:
∂Er(x)(B(x, L)) = 1
∂E(B(x, rL)).
rn−1 Tässä siis pallot ovat avoimia. Kuitenkin, antamalla ε → 0 yhtälössä
∂Er(x)(B(x, L + ε)) = 1
∂E(B(x, r(L + ε)))
rn−1 saadaan tulos suljetuille palloille:
∂Er(x)( ¯ B(x, L)) = 1
r n−1 ∂E( ¯ B(x, rL)). (2.10)
Toisaalta BV-funktioiden struktuurilauseen avulla saadaan yhtälöstä (2.9) muoto
ˆ
ϕ · νEr(x) d∂Er(x) = 1
rn−1 ˆ
(ϕ ◦ pr) · νE d∂E.
R n
Valitaan nyt jono funktioita ˜ϕi ∈ C1 0(B(x, L + 1/i)) s.e. | ˜ϕi| ≤ 1 ja ˜ϕi = 1
pallossa ¯ B(x, L) jokaisella i ∈ N. Asettamalla tämä jono nyt vuoron perään
funktion ϕ ∈ C1 0(Rn ; Rn ) yhdeksi komponentiksi ja pitämällä muut komponentit
nollina, saadaan lopulta
ˆ
νEr(x) d∂Er(x) =
¯B(x,L)
1
rn−1 14
R n
ˆ
νE d∂E. (2.11)
¯B(x,rL)

Yhtälöt (2.10) ja (2.11) kertovat täten E:n ja Er:n perimetrimittojen välisen
suhteen suljettujen pallojen tapauksessa.
Nyt päästään osoittamaan, että pisteen x ∈ ∂ ∗ E lähellä E on suunnilleen puoliavaruus,
jonka yksikköulkonormaali on juuri ν ∗ E (x).
Lause 2.3.1. Olkoon x ∈ ∂ ∗ E. Silloin χ Er(x) → χ H − (x) L 1 loc (Rn ):ssä ja
∂Er(x)( ¯ B(x, L)) → ∂H − (x)( ¯ B(x, L)) = Ωn−1L n−1
kaikilla L > 0, kun r → 0.
Todistus. Siirtämällä ja kiertämällä koordinaatistoa tarpeen mukaan voidaan
olettaa, että x = 0, ν ∗ E (0) = en = (0, . . . , 0, 1), ja siten
⎧
⎨
⎩
H(0) = {y ∈ R n | yn = 0},
H − (0) = {y ∈ R n | yn ≤ 0},
H + (0) = {y ∈ R n | yn ≥ 0}.
Edelleen Er(0) = {y ∈ R n | ry ∈ E}. Valitaan nyt mikä tahansa jono rj → 0.
Olisi siis osoitettava, että χ Erj (0) → χ H − (0) L 1 loc (Rn ):ssä. Osoitetaan ensin, että
χ Erj (0) on rajoitettu jono avaruudessa BV (B(0, i)) millä tahansa i ∈ N. Selvästi
χ Erj (0) L 1 (B(0,i)) ≤ L n (B(0, i)) < ∞
kaikilla j ∈ N. Yhtälön (2.10) nojalla saadaan
∂Er(0)(B(0, i)) ≤ 1
r n−1 ∂E( ¯ B(0, ri)).
Lemman 2.2.3 kohdan (iv) perusteella yllä olevan epäyhtälön oikea puoli on
arvoilla r ∈ (0, ε), missä ε > 0, pienempi kuin 2i n−1 C3(n). Myös arvoilla r ∈
[ε, max(rj)] oikea puoli on pienempi kuin jokin vakio C < ∞, sillä ∂E on
Radon-mitta. Yhteensä saadaan, että
∂Erj (0)(B(0, i)) ≤ C < ∞
kaikilla j ∈ N, missä vakio C voi riippua joukosta E, pisteestä (joka tässä oletetaan
origoksi), i:stä, n:stä ja jonon (rj) maksimiarvosta — mutta ei kuitenkaan
j:stä. Täten
χErj (0)BV (B(0,i)) = χErj (0)L1 (B(0,i)) + ∂Erj (0)(B(0, i)) ≤ C < ∞
kaikilla j ∈ N. Nyt kompaktisuustuloksen [1, s. 176] perusteella on olemassa
osajono (r1k) ∞ k=1 ⊂ (rj) ja funktio fi ∈ BV (B(0, i)) s.e. χ Er1k (0) → fi
L 1 (B(0, i)):ssä. Valitsemalla tarpeen mukaan osajonon osajono, jota edelleen
15

merkitään (r1k), voidaan olettaa, että χEr1k (0) → fi myös Ln-m.k. B(0, i):ssä.
Nyt edelleen (χEr1k (0)) ∞ k=1 on rajoitettu jono BV (B(0, i + 1)):ssä (perustellaan
samaan tapaan kuin yllä), joten kompaktisuuden perusteella tämän osajono
(χEr2k (0)) suppenee L1 (B(0, i+1)):ssä ja Ln-m.k. B(0, i+1):ssä kohti funktiota
fi+1 ∈ BV (B(0, i + 1)). Koska toisaalta myös χEr2k (0) → fi L1 (B(0, i)):ssä, on
oltava fi+1 = fi Ln-m.k. B(0, i):ssä.
Jatkamalla näin voidaan määritellä funktio f ∈ BVloc(R n ) s.e. f = fi L n -
m.k. B(0, i):ssä jokaisella i ∈ N. Lopulta saadaan, että ”diagonaalinen jono”
(χ Erkk (0)) ∞ k=1 suppenee L1 (B(0, i)):ssä ja L n -m.k. B(0, i):ssä kohti funktiota
f| B(0,i) ∈ BV (B(0, i)) kaikilla i ∈ N. Merkitään sk := rkk. Koska L n -m.k.
y ∈ R n pätee χ Esk (0)(y) ∈ {0, 1} kaikilla k ∈ N, nämä jonot voivat lähestyä
vain arvoja 0 ja 1. Täten f = χF avaruudessa L 1 loc (Rn ), ja siten avaruudessa
BVloc(R n ), jollain F ⊂ R n . Kaiken kaikkiaan siis χ Esk (0) → χF L 1 loc (Rn ):ssä,
missä χF ∈ BVloc(R n ), eli toisin sanoen F :llä on lokaalisti äärellinen perimetri
R n :ssä. Vielä pitäisi todistaa, että joukko F on juuri toivottu puoliavaruus.
Käyttämällä ensin BV-funktioiden struktuurilausetta, sitten tietoa χEsk (0) →
χF L1 loc (Rn ):ssä, ja lopuksi uudelleen BV-funktioiden struktuurilausetta, saadaan
millä tahansa ϕ ∈ C1 0(Rn ; Rn )
ˆ
Rn ˆ
ϕ · νEsk (0) d∂Esk (0) =
Rn ˆ
ˆ
χEsk (0)∇ · ϕ dy
→ χF ∇ · ϕ dy = ϕ · νF d∂F ,
R n
kun k → ∞. Tämä tarkoittaa [1, s. 54], että ∂Esk (0)νEs (0) ⇀ ∂F νF
k
(Radon-mittojen heikko suppeneminen), missä siis (kirjoitetaan Esk (0) tästä
lähtien lyhyemmin Esk )
∂Esk νEs
ˆ
(B) =
k
R n
νEs d∂Esk k
B
kaikilla Borel-joukoilla B ⊂ Rn . Todettu heikko suppeneminen antaa kaikilla
L > 0, joilla ∂F (∂ ¯ B(0, L)) = 0, että [1, s. 54]
ˆ
ˆ
νEs d∂Esk →
k
¯B(0,L)
νF d∂F ,
¯B(0,L)
(2.12)
kun k → ∞. Lemman 2.2.1 mukaan ∂F (∂ ¯ B(0, L)) = 0 kaikilla paitsi korkeintaan
numeroituvan monella L > 0. Kaiken kaikkiaan on siis saatu toinenkin
tapa, jolla joukko Esk ”lähestyy” joukkoa F .
Käyttämällä nyt ensin yhtälöitä (2.10) ja (2.11) ja sitten tietoa, että 0 ∈ ∂ ∗ E,
16

saadaan
= lim
k→∞
lim
νEs d∂Esk = lim
k
¯B(0,L)
k→∞
k→∞
1
s n−1
´
¯B(0,skL)
k
νE d∂E
1
s n−1 ∂E(
k
¯ B(0, skL))
= lim
k→∞
´ ¯B(0,L) νEs k d∂Esk
∂Esk ( ¯ B(0, L))
νEd∂E = ν
¯B(0,skL)
∗ E(0) = en
kaikilla L > 0. Intuitiivisesti tämä kertoo, että νEs k on lähellä en:ää, kun k
kasvaa suureksi. Ottamalla nyt sisätulo en:n kanssa saadaan
lim
k→∞ en ·
Toisaalta kaavan (2.12) nojalla
ˆ
νEs d∂Esk →
k
¯B(0,L)
νEs d∂Esk = 1. (2.13)
k
¯B(0,L)
ˆ
νF d∂F
¯B(0,L)
m.k. L > 0, kun k → ∞. Kun tämä yhdistetään yhtälöön (2.13), voidaan todeta,
että on myös oltava
lim
k→∞ ∂Esk ( ¯ ˆ
B(0, L)) = en · νF d∂F (2.14)
¯B(0,L)
m.k. L > 0. Toisaalta alaspäin puolijatkuvuuden [1, s. 172] nojalla
∂F (B(0, L)) ≤ lim inf ∂Esk (B(0, L))
k→∞
≤ lim inf
k→∞ ∂Esk ( ¯ B(0, L))
= lim
k→∞ ∂Esk ( ¯ B(0, L)) (2.15)
m.k. L > 0. Yhdistämällä tämä yhtälöön (2.14) ja muistamalla, että m.k. L > 0
pätee ∂F (∂ ¯ B(0, L)) = 0, saadaan
∂F ( ¯ ˆ
B(0, L)) = ∂F (B(0, L)) ≤ en · νF d∂F
¯B(0,L)
m.k. L > 0. On siis välttämättä oltava νF = en ∂F -m.k. y ∈ ¯ B(0, L) m.k.
L > 0. Täten νF = en ∂F -m.k. y ∈ R n . Kaava (2.14) antaa nyt myös
lim
k→∞ ∂Esk ( ¯ B(0, L)) → ∂F ( ¯ B(0, L)) (2.16)
m.k. L > 0 (tarkalleen niillä, joille pätee ∂F (∂ ¯ B(0, L)) = 0). Nyt päästään
vihdoin osoittamaan, että joukko F on halutunlainen puolitaso. Tämän todistamisessa
käytetään apuna χF :n silotettua muotoa (χF ) ε = ηε ∗ χF , ε > 0, missä
17

ηε on standardisilottajafunktio [1, s. 122]. Käyttämällä konvoluution määritelmää,
Fubinin lausetta, tietoa, että sileän funktion osittaisderivaatan silotus on
funktion silotuksen osittaisderivaatta, ja vielä BV-funktioiden struktuurilausetta,
saadaan kaikille ϕ ∈ C1 0(Rn ; Rn )
ˆ
Rn (χF ) ε ˆ
∇ · ϕ dy =
Rn ˆ
Rn χF (z)ηε(y − z)dz ∇ · ϕ(y) dy
ˆ
=
Rn ˆ
Rn ηε(y − z)∇ · ϕ(y)dy χF (z) dz
ˆ
=
Rn (∇ · ϕ) ε ˆ
(z)χF (z) dz =
Rn ∇ · ϕ ε (z)χF (z) dz
ˆ
=
Rn ϕ ε ˆ
· νF d∂F =
Rn ϕ ε · en d∂F
ˆ
= (ϕ · en) ε d∂F .
R n
Toisaalta osittaisintegroimalla saadaan myös kaikille ϕ ∈ C1 0(Rn ; Rn )
ˆ
Rn (χF ) ε ˆ
∇ · ϕ dy = −
Rn ∇(χF ) ε · ϕ dy.
Oletetaan nyt, että ∂(χF ) ε
∂yn (y) > 0 jollain y ∈ Rn . Tällöin osittaisderivaattojen
jatkuvuuden perusteella ∂(χF ) ε
∂yn
> δ > 0 avoimessa joukossa U ⊂ Rn ja edelleen
kompaktissa joukossa K ⊂ U s.e. Ln (K) > 0 (K voi olla esimerkiksi U:n
sisältämä suljettu pallo). Jos nyt valitaan sileä ˜ϕ ∈ C1 0(U), jolle pätee ˜ϕ ≥ 0 ja
˜ϕ ≡ 1 K:ssa, saadaan ˆ
−
Rn ∂(χF ) ε
˜ϕ dy < 0.
∂yn
Jos edelleen valitaan ϕ = (0, . . . 0, ˜ϕ) ∈ C1 0(Rn ; Rn ), niin
ˆ
− ∇(χF ) ε · ϕ dy < 0.
Samaan aikaan kuitenkin
ˆ
R n
R n
(ϕ · en) ε d∂F ≥ 0,
sillä ϕ:n n:s komponentti on ei-negatiivinen. On siis päädytty ristiriitaan, ja
voidaan päätellä, että ∂(χF ) ε
∂yn (y) ≤ 0 kaikilla y ∈ Rn . Oletetaan sitten, että
∂(χF ) ε
(y) > 0 jollain i ∈ {1, . . . , n − 1} ja y ∈ Rn . Nyt saadaan samaan tyyliin
∂yi
kuin äsken, että
ˆ
−
Rn ∂(χF ) ε
˜ϕ dy < 0
∂yi
18

jollain ˜ϕ ∈ C1 0(Rn ), ˜ϕ ≥ 0. Valitsemalla edelleen funktio ϕ ∈ C1 0(Rn ; Rn ), jonka
i:s komponentti on ˜ϕ ja muut nollia, saadaan
ˆ
− ∇(χF ) ε · ϕ dy < 0,
mutta toisaalta ˆ
Rn (ϕ · en) ε d∂F = 0,
R n
mikä on ristiriita. Samaan tyyliin tapaus ∂(χF ) ε
(y) < 0 jollain i ∈ {1, . . . , n − 1}
∂yi
ja y ∈ Rn tuottaa ristiriidan. On siis oltava ∂(χF ) ε
(y) = 0 kaikilla i ∈ {1, . . . , n−
∂yi
1}, y ∈ Rn ja ε > 0. Jos nyt εj → 0, niin (χF ) εj → χF L1 loc (Rn ):ssä ja (jos
tarvittaessa siirrytään osajonoon) pisteittäin joukossa Rn \A, Ln (A) = 0 [1, s.
123]. Jos y, z ∈ Rn \A ja yn = zn, niin (χF ) ε (y) = (χF ) ε (z) kaikilla ε > 0, ja
täten raja-arvotkin ovat samat, eli χF (y) = χF (z). Vastaavasti, jos yn < zn,
niin (χF ) ε (y) ≥ (χF ) ε (z) kaikilla ε > 0, ja täten χF (y) ≥ χF (z). Joukko F on
siis muotoa (Ln-nollamittaista joukkoa lukuunottamatta)
F = {y ∈ R n | yn ≤ β}
jollain β ∈ [−∞, ∞]. Näin on siis saatu, että F on puoliavaruus, mutta vielä
olisi todistettava, että β = 0, sillä nimenomaan origon oletettiin kuuluvan redusoituun
reunaan. Oletetaan siis ensin, että β < 0. Nyt suljettu pallo ¯ B(0, L),
0 < L < |β|, kuuluu kokonaan F :n ulkopuolelle. Käyttämällä taas muuttujanvaihtoa
z = pr(y) (muistetaan määritelmä sivulta 13) voidaan laskea
0 = Ln ( ¯ B(0, L) ∩ F )
L n
1
= lim
k→∞ Ln = lim
k→∞
ˆ
L
= lim
k→∞
n ( ¯ B(0, L) ∩ Esk )
L n
χEs (z) dz = lim
k
¯B(0,L)
k→∞
Ln ( ¯ B(0, skL) ∩ E)
(skL) n .
1
(skL) n
ˆ
χE(y) dy
¯B(0,skL)
Tämä on kuitenkin ristiriita lemman 2.2.3 kohdan (i) kanssa. Vastaavasti tapaus
β > 0 tuottaa ristiriidan lemman 2.2.3 kohdan (ii) kanssa. Siis β = 0 ja
F = {y ∈ R n | yn ≤ 0} = H − (0).
Näin on saatu todistettua, että χEs → χ
k H− (0) L1 loc (Rn ):ssä, kun k → ∞,
mutta sama tulos haluttaisiin vielä alkuperäiselle jonolle (rj) ⊃ (sk). Tehdään
siis vastaoletus, että jollain kompaktilla K ⊂ Rn ˆ
lim sup |χEr − χ
j H− (0)|dy > ε,
j→∞ K
19

missä ε > 0. Tällöin on olemassa osajono (tj) ⊂ (rj) s.e.
ˆ
|χEt − χ
j H− (0)|dy > ε
K
kaikilla j ∈ N. Nyt kuitenkin huomataan, ettei ole olemassa osajonoa (uj) ⊂
(tj), jolle pätisi χEu j → χ H − (0) L 1 loc (Rn ):ssä, vaikka juuri on todistettu, että
jokaisesta jonosta tj → 0 voidaan poimia tällainen osajono. On siis oltava
χEr j → χ H − (0) L 1 loc (Rn ):ssä myös alkuperäisellä jonolla (rj). Katsotaan vielä
kaavaa (2.16), joka saadaan nyt muotoon
lim
k→∞ ∂Esk ( ¯ B(0, L)) = ∂H − (0)( ¯ B(0, L)) (2.17)
kaikilla L > 0, joille pätee ∂H − (0)(∂ ¯ B(0, L)) = 0. Koska H − (0) on sileäreunainen
joukko, sen perimetri avoimessa joukossa on yksinkertaisesti joukon
reunan H n−1 -mitta [3, s. 4–5]. Käyttämällä tätä ja Radon-mittojen yleisiä ominaisuuksia
saadaan
∂H − (0)( ¯ B(0, L)) = lim ∂H
ε→0 − (0)(B(0, L + ε))
= lim H
ε→0 n−1 (∂H − (0) ∩ B(0, L + ε)) = lim Ωn−1(L + ε)
ε→0 n−1
= Ωn−1L n−1 = H n−1 (∂H − (0) ∩ B(0, L)) = ∂H − (0)(B(0, L)).
Itse asiassa siis ∂H − (0)(∂ ¯ B(0, L)) = 0 kaikilla L > 0. Lopulta, jos jollain
L > 0 olisi
lim sup |∂Erj
j→∞
( ¯ B(0, L)) − ∂H − (0)( ¯ B(0, L))| > ε > 0,
löytyisi taas osajono (tj) ⊂ (rj) s.e.
|∂Etj ( ¯ B(0, L)) − ∂H − (0)( ¯ B(0, L))| > ε
kaikilla j ∈ N. Tällöin osajonosta (tj) ei löytyisi osajonoa, jolla yhtälö (2.17)
pätisi, mikä on ristiriita. Siis
lim
j→∞ ∂Erj ( ¯ B(0, L)) = ∂H − (0)( ¯ B(0, L)) = Ωn−1L n−1
alkuperäisellä (mielivaltaisella) jonolla rj → 0, ja kaikilla L > 0. Näin lauseen
molemmat väitteet on saatu todistettua.
Huomautus. Todistuksessa pääteltiin joukon F olevan puoliavaruus käyttämällä
tietoa, että χF :n heikko gradientti on en:n suuntainen. Myös vähäisemmillä tiedoilla
äärellisperimetrisen joukon heikon gradientin suunnasta voidaan päätellä
esimerkiksi, että joukon reuna on Lipschitz [3, s. 57–62].
20

Todistetusta lauseesta saadaan helposti seuraava korollaari.
Korollaari 2.3.2. Oletetaan, että x ∈ ∂ ∗ E. Tällöin
L
(i) lim
r→0
n (E ∩ H− (x) ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn = 1
2 ,
L
lim
r→0
n (E ∩ H + (x) ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn = 0,
L
(ii) lim
r→0
n ((Rn \E) ∩ H− (x) ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn = 0,
L
lim
r→0
n ((Rn \E) ∩ H + (x) ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn = 1
2 ,
∂E(
(iii) lim
r→0
¯ B(x, r))
Ωn−1rn−1 = 1.
Todistus. Muistetaan taas, että jos pr(y) = x + (y − x)/r, niin y ∈ E täsmälleen
silloin, kun pr(y) ∈ Er(x). Käyttämällä muuttujanvaihtoa z = pr(y) sekä edellisestä
lauseesta saatavaa tietoa χEr(x) → χH− (x) L1 loc (Rn ):ssä voidaan laskea
L
lim
r→0
n (E ∩ H− (x) ∩ ¯ B(x, r))
ˆ
= lim
ˆ
=
r→0
R n
r n
H − (x)∩ ¯ B(x,1)
= lim
r→0
1
r n
χ Er(x)∩H − (x)∩ ¯ B(x,1)(z) dz = lim
r→0
ˆ
χ H − (x)(z) dz = 1
2 Ωn.
Rn χE∩H − (x)∩B(x,r)(y) ¯ dy
ˆ
H − (x)∩ ¯ B(x,1)
χ Er(x)(z) dz
Tämä todistaa kohdan (i) ensimmäisen osan, ja toinen saadaan samanlaisella
laskulla. Kohta (ii) seuraa kohdasta (i). Voidaan laskea
L
lim
r→0
n ((Rn \E) ∩ H− (x) ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn = lim
r→0
L n (H − (x) ∩ ¯ B(x, r))
Ωnr n
= 1 1
− = 0.
2 2
L
− lim
r→0
n (E ∩ H− (x) ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn Tämä todistaa väitteen (ii) ensimmäisen osan, ja toinen saadaan näytettyä samaan
tapaan. Kohta (iii) saadaan todistettua muistamalla ensin, että yhtälön
(2.10) mukaan
∂E( ¯ B(x, r))
rn−1 = ∂Er(x)( ¯ B(x, 1)).
Toisaalta lauseen 2.3.1 mukaan
kun r → 0. Näin onkin saatu väite.
∂Er(x)( ¯ B(x, 1)) → Ωn−11 n−1 = Ωn−1,
21

Huomautus. Vektoria ν∗ E (x), joka toteuttaa kohdat (i) ja (ii), kutsutaan joskus
E:n mittateoreettiseksi normaaliksi (muistetaan, että ν∗ E (x) on puoliavaruuksien
H − (x) ja H + (x) normaali) [2, s. 240]. Kohta (iii) puolestaan on vahvempi versio
lemman 2.2.3 kohdista (iii) ja (iv).
22

Luku 3
Redusoidun reunan
struktuurilause
Edellisessä luvussa selviteltiin lokaalisti äärellisperimetrisen joukon ja sen perimetrimitan
käyttäytymistä redusoidun reunan pisteiden lähellä. Tässä luvussa
näytetään aluksi, että redusoitu reuna on hyvin lähellä toista joukkoa, niin
kutsuttua mittateoreettista reunaa. Sitten todistetaan vahva tulos redusoidun
reunan rakenteesta.
3.1 Mittateoreettinen reuna
Aloitetaan suoraan määritelmästä.
Määritelmä 3.1.1. Olkoon x ∈ R n . Sanotaan, että x kuuluu joukon E ⊂ R n
mittateoreettiseen reunaan ∂∗E, jos
ja
lim sup
r→0
lim sup
r→0
L n (E ∩ ¯ B(x, r))
r n
> 0
L n ((R n \E) ∩ ¯ B(x, r))
r n
> 0.
Huomataan, että määritelmä on varsin intuitiivinen: karkeasti ottaen mittateoreettiseen
reunaan kuuluvan pisteen (mielivaltaisen pieneen) ympäristöön tulee
kuulua jonkin verran sekä joukkoa E että sen komplementtia. Selvästi jos piste
on joukon E tai sen komplementin sisäpiste, toinen yllä olevista raja-arvoista
on nolla, eikä piste voi kuulua mittateoreettiseen reunaan. Joukon mittateoreettinen
reuna siis on (kuten redusoitu reunakin) topologisen reunan osajoukko.
Edelleen voidaan todeta, että mittateoreettisen reunan määritelmä toimii
23

yleiselle joukolle E ⊂ R n . Seuraavaksi kuitenkin oletetaan taas, että E:llä on
lokaalisti äärellinen perimetri R n :ssä, ja selvitetään redusoidun reunan ja mittateoreettisen
reunan välinen yhteys.
Lause 3.1.2. Joukon E redusoitu reuna on mittateoreettisen reunan osajoukko,
ja niiden erotuksen n − 1-ulotteinen Hausdorffin mitta on nolla, toisin sanoen
(i) ∂ ∗ E ⊂ ∂∗E,
(ii) H n−1 (∂∗E\∂ ∗ E) = 0.
Todistus. Väite (i) saadaan suoraan lemman 2.2.3 kohdista (i) ja (ii). Katsotaan
sitten väitettä (ii). Jokaista x ∈ ∂∗E kohti on mittateoreettisen reunan
määritelmän perusteella olemassa luku β ∈ (0, 1/2), β = β(x) s.e.
ja
lim sup
r→0
lim sup
r→0
L n (E ∩ ¯ B(x, r))
Ωnr n
L n ((R n \E) ∩ ¯ B(x, r))
Ωnr n
> β
> β.
Tämän perusteella on olemassa jonot ri → 0 ja ˜ri → 0 s.e.
ja
L n (E ∩ ¯ B(x, ri))
Ωnr n i
L n ((R n \E) ∩ ¯ B(x, ˜ri))
Ωn˜r n i
> β (3.1)
> β (3.2)
kaikilla i ∈ N. Siirtymällä tarpeen mukaan osajonoon voidaan myös olettaa, että
˜ri ≥ ri kaikilla i ∈ N. Nyt epäyhtälö (3.2) voidaan edelleen kirjoittaa muodossa
L n (E ∩ ¯ B(x, ˜ri))
Ωn˜r n i
< 1 − β (3.3)
kaikilla i ∈ N, sillä E on L n -mitallinen joukko. Koska β ∈ (0, 1/2) ja kuvaus
r ↦−→ Ln (E ∩ ¯ B(x, r))
Ωnr n
on jatkuva, jokaista i ∈ N kohti on pakko olla ˜ri ∈ [ri, ˜ri] s.e.
β ≤ Ln (E ∩ ¯ B(x, ˜ri))
Ωn˜r n i
24
≤ 1 − β.

Jos nimittäin näin ei olisi, jollain i ∈ N olisi oltava
ja
L n (E ∩ ¯ B(x, ri))
Ωnr n i
L n (E ∩ ¯ B(x, ˜ri))
Ωn˜r n i
Nyt jatkuvuuden nojalla olisi kuitenkin oltava
L n (E ∩ ¯ B(x, ˜ri))
Ωn˜r n i
> 1 − β > 1
2
< β < 1
2 .
= 1
2
jollain ˜ri ∈ [ri, ˜ri]. On siis olemassa jono ˜ri → 0 s.e.
ja
Ln (E ∩ ¯ B(x, ˜ri))
≥ β
Ωn˜r n i
Ln ((Rn \E) ∩ ¯ B(x, ˜ri))
≥ β
Ωn˜r n i
kaikilla i ∈ N. Edelleen suhteellisen isoperimetrisen epäyhtälön nojalla saadaan
2A2(n)∂E( ¯ B(x, ˜ri))
≥ min{L n (E ∩ ¯ B(x, ˜ri)), L n ((R n \E) ∩ ¯ B(x, ˜ri))} (n−1)/n
≥ (βΩn) (n−1)/n ˜r n−1
i
kaikilla i ∈ N. Toisin sanoen
∂E( ¯ B(x, ˜ri))
˜r n−1
i
≥ ˜ β(x, n) > 0
kaikilla i ∈ N. Jos nyt määritellään
F := x ∈ R n \∂ ∗ ∂E(
E | lim sup
r→0
¯ B(x, r))
rn−1
> 0 ,
niin (∂∗E\∂ ∗ E) ⊂ F . Todetaan myös, että
∂E(F ) ≤ ∂E(R n \∂ ∗ E) = 0
(jälkimmäinen yhtäsuuruus todistettiin luvun 2 alussa). Nyt saadaan edelleen
F = ∞
j=1 Fj, jos määritellään
Fj :=
x ∈ R n \∂ ∗ ∂E(
E | lim sup
r→0
¯ B(x, r))
rn−1 > 1
j
25
.

Otetaan j ∈ N ja ε > 0. Koska ∂E on Radon-mitta, on olemassa [1, s. 8] avoin
joukko U ⊃ Fj s.e.
∂E(U) ≤ ∂E(Fj) + ε = ε.
Joukon Fj määritelmän nojalla jokaista x ∈ Fj kohti on olemassa mielivaltaisen
pieni säde r > 0 s.e.
∂E( ¯ B(x, r))
r n−1
> 1
j .
Erityisesti pallo ¯ B(x, r) saadaan kuulumaan avoimeen joukkoon U. Otetaan
sitten δ > 0 ja määritellään
A := ¯B(x, r) | x ∈ R n \∂ ∗ E, 0 < r < δ, ¯ B(x, r) ⊂ U, ∂E( ¯ B(x, r))
rn−1 > 1
.
j
Selvästi A muodostaa Fj:n peitteen. Vitalin peitelauseen mukaan voidaan valikoida
A:sta numeroituva kokoelma pistevieraita palloja { ¯ B(x k , rk)} ∞ k=1 s.e.
Fj ⊂
∞
k=1
¯B(x k , 5rk).
Nyt diam ¯ B(x k , 5rk) ≤ 10δ kaikilla k ∈ N, joten voidaan laskea
H n−1
10δ (Fj) ≤
∞
Ωn−1(5rk) n−1
k=1
≤ Ωn−15 n−1 j
∞
∂E( ¯ B(x k , rk))
k=1
≤ Ωn−15 n−1 j∂E(U)
< Ωn−15 n−1 jε.
Antamalla ε → 0 saadaan H n−1
10δ (Fj) = 0, ja antamalla sitten δ → 0 saadaan
Hn−1 (Fj) = 0. Koska tässä j ∈ N oli mielivaltainen, saadaan
H n−1 (F ) = H n−1
⎛ ⎞
∞
⎝
∞
⎠ ≤ H n−1 (Fj) = 0.
j=1
Lopulta saadaan H n−1 (∂∗E\∂ ∗ E) ≤ H n−1 (F ) = 0, mikä onkin väite (ii).
Fj
26
j=1

3.2 Redusoidun reunan rakenne
Ennen kuin päästään todistamaan redusoidun reunan struktuurilause, tarvitaan
ensin muutama lemma. Seuraava lemma olennaisesti kertoo, että jos redusoidun
reunan osajoukon perimetrimitta on nolla, myös sen n−1-ulotteinen Hausdorffin
mitta on nolla — kyse on siis absoluuttisesta jatkuvuudesta.
Lemma 3.2.1. Jos A ⊂ ∂ ∗ E, niin
H n−1 (A) ≤ C(n)∂E(A),
missä C(n) > 0 siis riippuu vain dimensiosta n.
Todistus. Jos ∂E(A) = ∞, väite on selvä, joten oletetaan, että ∂E(A) < ∞.
Otetaan ε > 0. Koska ∂E on Radon-mitta, on olemassa avoin joukko U ⊃ A
s.e.
∂E(U) ≤ ∂E(A) + ε.
Lemman 2.2.3 kohdan (iii) mukaan kaikilla x ∈ ∂ ∗ E pätee
lim inf
r→0
∂E( ¯ B(x, r))
r n−1
Jos nyt valitaan mielivaltainen δ > 0, niin
≥ C2(n) > 0.
B = ¯ B(x, r) | x ∈ A, 0 < r < δ, ¯ B(x, r) ⊂ U, C2(n)r n−1 < 2∂E( ¯ B(x, r))
muodostaa A:n peitteen. Vitalin peitelauseen mukaan B:stä voidaan valikoida
pistevieraista palloista koostuva numeroituva osaperhe { ¯ B(x i , ri)} ∞ i=1 s.e.
Nyt voidaan laskea
H n−1
10δ (A) ≤
∞
i=1
A ⊂
∞
i=1
¯B(x i , 5ri).
Ωn−1(5ri) n−1 ≤ Ωn−15 n−1
≤ C(n)∂E(U) ≤ C(n)(∂E(A) + ε),
∞ 2
∂E(
C2(n)
¯ B(x i , ri))
missä C(n) > 0. Jos nyt annetaan ε → 0, saadaan H n−1
10δ (A) ≤ C(n)∂E(A),
ja lopulta δ → 0 antaa Hn−1 (A) ≤ C(n)∂E(A).
27
i=1

Määritellään nyt kaikkia pisteitä x ∈ R n ja yksikkövektoreita ν kohti hypertaso
ja puoliavaruudet
Hν(x) := {y ∈ R n | ν · (y − x) = 0}
H − ν (x) := {y ∈ R n | ν · (y − x) ≤ 0},
H + ν (x) := {y ∈ R n | ν · (y − x) ≥ 0}.
Vertaamalla aiempiin merkintöihin todetaan, että jos x ∈ ∂ ∗ E, niin esimerkiksi
H− (x) (ilman alaindeksiä) on sama kuin H −
ν∗ E (x)(x), eli oletusarvoisesti yksikkövektori
otetaan redusoidun reunan määritelmästä. Todistetaan nyt yksinkertainen,
mutta hieman tekninen lemma.
Lemma 3.2.2. Jos joukolla E ⊂ R n on lokaalisti äärellinen perimetri R n :ssä
ja funktio ν ∗ E on jatkuva joukossa A ⊂ ∂∗ E, niin kiinnitetyllä r > 0 funktio
mr : x ↦−→ Ln (E ∩ H − (x) ∩ ¯ B(x, r))
r n
on A:ssa jatkuva (vrt. korollaarissa 2.3.2 esiintyviin lausekkeisiin). Sama pätee,
jos puoliavaruus H − (x) korvataan puoliavaruudella H + (x), tai joukko E
komplementillaan. Edelleen yleisellä E ⊂ R n funktio
on jatkuva kiinnitetyllä r > 0.
x ↦−→ Ln (E ∩ ¯ B(x, r))
rn ,
Todistus. Jos yleisesti B ⊂ R n ja C ⊂ R n ovat joukkoja s.e.
L n (B) < ∞, L n (C) < ∞,
pätee tietenkin L n (B) ≤ L n (C) + L n (B\C),
L n (C) ≤ L n (B) + L n (C \B).
Näistä saadaan
|L n (B) − L n (C)| ≤ L n (B\C) + L n (C \B). (3.4)
Nyt voidaan osoittaa mr:n jatkuvuus ottamalla piste x ∈ A ja jono (x i ) ⊂ A,
x i → x, ja tarkastelemalla lauseketta
|mr(x i ) − mr(x)|
=
L
n (E ∩ H− (xi ) ∩ ¯ B(xi , r))
rn − Ln (E ∩ H − (x) ∩ ¯ B(x, r))
r n
= 1
r n |Ln (E ∩ H − (x i ) ∩ ¯ B(x i , r)) − L n (E ∩ H − (x) ∩ ¯ B(x, r))|.
28

Itseisarvomerkkien sisällä oleva lauseke saadaan epäyhtälön (3.4) perusteella
pienemmäksi kuin
L n [(E ∩ H − (x i ) ∩ ¯ B(x i , r))\(E ∩ H − (x) ∩ ¯ B(x, r))]
+L n [(E ∩ H − (x) ∩ ¯ B(x, r))\(E ∩ H − (x i ) ∩ ¯ B(x i , r))]. (3.5)
Yllä olevat kaksi termiä ovat hyvin samanlaiset, joten keskitytään ensimmäiseen.
Se saadaan pienemmäksi kuin
L n (E ∩ [(H − (x i ) ∩ ¯ B(x i , r))\(H − (x) ∩ ¯ B(x, r))])
≤ L n [(H − (x i ) ∩ ¯ B(x i , r))\(H − (x) ∩ ¯ B(x, r))]
≤ L n [(H − (x i ) ∩ ¯ B(x i , r))\H − (x)] + L n [(H − (x i ) ∩ ¯ B(x i , r))\ ¯ B(x, r)]
≤ L n [(H − (x i ) ∩ ¯ B(x i , r))\H − (x)] + L n ( ¯ B(x i , r)\ ¯ B(x, r)) (3.6)
Koska xi → x ja ν∗ E (xi ) → ν∗ E (x) (muistetaan jatkuvuus), viimeisen rivin jälkimmäistä
termiä voidaan arvioida ylöspäin lausekkeella
L n ( ¯ B(x, r + |x i − x|)\ ¯ B(x, r))
→ L n ∞
( ¯B(x, r + |x i − x|)\ ¯ B(x, r))
i=1
= L n (∅) = 0.
Edelleen (3.6):n viimeisen rivin ensimmäistä termiä voidaan jostain indeksistä
lähtien arvioida ylöspäin lausekkeella
L n ( ¯ B(x, r + 1) ∩ (H − (x i )\H − (x)))
≤ L n ( ¯ B(x, r + 1) ∩ (H − (x i )\H −
ν ∗ E (x)(xi )))
+L n ( ¯ B(x, r + 1) ∩ (H −
ν ∗ E (x)(xi )\H − (x)))
→ 0 + 0 = 0,
kun i → ∞. Kaavan (3.5) ensimmäinen termi menee siis nollaan, ja toinen termi
menee nollaan samaan tapaan. Yhteensä saadaan
|mr(x i ) − mr(x)| → 0,
kun i → ∞. Tämä todistaa, että mr on jatkuva funktio joukossa A ⊂ ∂ ∗ E.
Muut väitteen osat saadaan todistettua samaan tapaan.
Yllä olevan lemman avulla voidaan todistaa vielä yksi tarpeellinen lemma, jota
tarvitaan redusoidun reunan struktuurilauseen todistuksessa.
Lemma 3.2.3. Joukon E ⊂ R n mittateoreettinen reuna ∂∗E on Borel-joukko.
29

Todistus. Edellisen lemman nojalla funktio
x ↦−→ Ln (E ∩ ¯ B(x, r))
r n
on jatkuva R n :ssä kiinnitetyllä r > 0. Siis se on myös Borel-mitallinen. Täten
myös funktio
q(x) := lim sup
r→0
L n (E ∩ ¯ B(x, r))
r n
= inf
sup
R>0 00 0

(i) Redusoitu reuna voidaan esittää muodossa
∂ ∗ E =
∞
Kk ∪ N,
k=1
missä Kk:t ovat C 1 -hyperpintojen Sk, k ∈ N, kompakteja osajoukkoja,
ja ∂E(N) = H n−1 (N) = 0.
(ii) Funktio ν ∗ E on jokaisella pinnalla Sk, k ∈ N, kohtisuorassa pintaa
vastaan.
(iii) Joukon E perimetrimitta on yksinkertaisesti n − 1-ulotteisen Hausdorffin
mitan rajoittuma redusoidulle reunalle, toisin sanoen
∂E = H n−1 ∂ ∗ E.
Todistus. Korollaarin 2.3.2 kohdissa (i) ja (ii) on yhteensä neljä lauseketta,
jotka lähestyvät redusoidulla reunalla arvoja 0 ja 1/2, kun r → 0. Nyt halutaan
näyttää, että suppeneminen on tasaista tietyissä redusoidun reunan osajoukoissa.
Funktio ν ∗ E on ∂E-mitallinen, ja se voidaan jatkaa koko Rn :ssä
määritellyksi määrittelemällä se vaikkapa nollaksi R n \∂ ∗ E:ssä (muistetaan, että
∂E(R n \∂ ∗ E) = 0). Koska ∂E on Radon-mitta, joukko ∂ ∗ E ∩ ¯ B(0, 1) on
∂E-mitallinen ja
∂E(∂ ∗ E ∩ ¯ B(0, 1)) < ∞.
Nyt Lusinin lauseen [1, s. 15] mukaan on olemassa kompakti A1 ⊂ ∂ ∗ E ∩ ¯ B(0, 1)
s.e. funktio ν ∗ E on jatkuva A1:ssä ja
∂E((∂ ∗ E ∩ ¯ B(0, 1))\A1) < 1.
Samalla periaatteella saadaan kompakti A2 ⊂ (∂ ∗ E ∩ ¯ B(0, 2))\A1 s.e. ν ∗ E on
jatkuva A2:ssa, ja
∂E(((∂ ∗ E ∩ ¯ B(0, 2))\A1)\A2) < 1/2.
Näin jatkaen saadaan indeksillä i ∈ N kompakti joukko
Ai ⊂ (∂ ∗ E ∩ ¯ ⎛ ⎞
i−1
B(0, i)) \ ⎝ ⎠
s.e. ν∗ E on jatkuva Ai:ssä ja
⎛
∂E ⎝(∂ ∗ E ∩ ¯ ⎛
i
B(0, i))\ ⎝
j=1
Aj
j=1
Aj
⎞⎞
⎛ ⎛
i
⎠⎠
= ∂E ⎝B(0, ¯ i)\ ⎝
31
j=1
Aj
⎞⎞
⎠⎠
< 1
i .

Määrittelyn perusteella Ai:t ovat pistevieraita, ν∗ E on jatkuva jokaisessa Ai:ssa,
ja
⎛
∂E ⎝R n ⎛ ⎞⎞
⎛
⎞
∞
\ ⎝ ⎠⎠
= lim
∞
⎝B(0, ¯ i)\ ⎠
j=1
Aj
i→∞ ∂E
≤ lim
i→∞ ∂E
⎛
1
≤ lim = 0.
i→∞ i
⎝ ¯ B(0, i)\
Näin on siis saatu ∂∗E ”hajotettua” erillisiksi kompakteiksi joukoiksi Ai, joissa
jokaisessa ν∗ E on jatkuva. Määritellään nyt korollaaria 2.3.2 seuraten funktiot
m 1 r(x) := Ln (E ∩ H− (x) ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn ,
m 2 r(x) := Ln (E ∩ H + (x) ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn ,
m 3 r(x) := Ln ((Rn \E) ∩ H− (x) ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn ,
m 4 r(x) := Ln ((Rn \E) ∩ H + (x) ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn .
Lemman 3.2.2 perusteella nämä kaikki ovat kiinteällä r > 0 jatkuvia jokaisessa
joukossa Ai, i ∈ N. Jos funktiot kuvittelee jatketuksi koko Rn :ssä jatkuviksi
funktioiksi, kuten voidaan tehdä [1, s. 13], ne ovat tietenkin Rn :ssä Borelmitallisia
ja siten ∂E-mitallisia. Määritellään nyt jono rl = 1/l, l ∈ N. Korollaarin
2.3.2 perusteella funktiot m1 rl ja m4rl lähestyvät pisteittäin arvoa puoli,
ja funktiot m2 rl ja m3rl lähestyvät pisteittäin arvoa nolla jokaisessa joukossa Ai,
kun l → ∞. Lisäksi todetaan, että ∂E(Ai) < ∞ jokaisella i ∈ N. Siis Egoroffin
lauseen [1, s. 16] perusteella mielivaltaisella i ∈ N on olemassa ∂E-mitalliset
joukot A1 i1 , . . . , A4i1 ⊂ Ai s.e.
∂E(Ai\A 1 i1), . . . , ∂E(Ai\A 4 i1) < 1/4,
ja kunkin funktion m1 rl , . . . , m4rl suppeneminen on tasaista vastaavalla yläindeksillä
merkityssä joukossa A1 i1 , . . . , A4i1 . Määrittelemällä
Ai1 := A 1 i1 ∩ . . . ∩ A 4 i1
saadaan tietenkin, että funktiot m1 rl , . . . , m4rl suppenevat kaikki tasaisesti kohti
raja-arvojaan joukossa Ai1, ja lisäksi ∂E(Ai \Ai1) < 1. Tässä (rl) on tosin
vain yksi nollaa lähestyvä jono. Kuitenkin, jos r ∈ [rl+1, rl], niin kaikilla x ∈ Ai
m 2 r(x) ≤ Ln (E ∩ H + (x) ∩ ¯ B(x, rl))
Ωnrn n l + 1
= m
l+1
l
2 rl (x).
32
j=1
i
j=1
Aj
Aj
⎞
⎠

Siis m 2 r → 0 Ai1:ssä tasaisesti (tarvitsematta rajoittua tiettyyn jonoon). Samalla
päättelyllä m 3 r → 0 Ai1:ssä tasaisesti. Toisaalta pätee m 1 r(x), m 4 r(x) ≤ 1/2
kaikilla x ∈ ∂ ∗ E ja r ∈ R. Jos jälleen r ∈ [rl+1, rl], voidaan laskea
m 1 r(x) ≥ Ln (E ∩ H − (x) ∩ ¯ B(x, rl+1))
Ωnr n l
=
n l
m
l + 1
1 rl+1 (x).
Tästä nähdään, että myös m 1 r → 1/2 ja vastaavasti m 4 r → 1/2 tasaisesti Ai1:ssä
(riippumatta r-jonosta). Edelleen voidaan nyt valita ∂E-mitallinen joukko
Ai2 ⊂ Ai \ Ai1 s.e. ∂E((Ai \ Ai1) \ Ai2) < 1/2, ja funktioiden m 1 r, . . . , m 4 r
suppeneminen on tasaista Ai2:ssä. Näin jatkaen saadaan yleisesti indeksillä j ∈
N ∂E-mitallinen joukko
Aij ⊂ Ai\
j−1
s.e. m 1 r, . . . , m 4 r suppenevat tasaisesti kohti raja-arvojaan Aij:ssä ja
∂E
j=1
Aij
Ai\
j
k=1
k=1
Aik
Aik
< 1
j .
Nyt Aij:t ovat selvästi pistevieraita, ja lisäksi
⎛ ⎞ ⎛
∞
∂E ⎝Ai\
k
⎠ ≤ ∂E ⎝Ai\
millä tahansa k ∈ N, joten on oltava
⎛
∞
∂E ⎝Ai\
j=1
Aij
⎞
j=1
⎠ = 0
Aij
⎞
⎠ ≤ 1
k
kaikilla i ∈ N. On siis kaiken kaikkiaan saatu ”hajotettua” redusoitu reuna ∂∗E pistevieraiksi ∂E-mitallisiksi joukoiksi Aij, i, j ∈ N, s.e. jokaisessa joukossa
Aij funktio ν∗ E on jatkuva ja funktiot m1r, . . . , m4 r suppenevat tasaisesti kohti
raja-arvojaan. Koska lopulta Radon-mitan tapauksessa mitallisia joukkoja voidaan
approksimoida sisältäpäin kompakteilla joukoilla, voidaan jokaista lukuparia
i, j ∈ N kohti poimia kompaktit ja pistevieraat joukot Aijl ⊂ Aij, l ∈ N,
s.e.
∞
∂E Aij \ = 0.
l=1
Jos nyt tehdään merkinnänvaihto (Aijl) ∞ i,j,l=1 → (Kk) ∞ k=1 , saadaan numeroituva
Aijl
kokoelma pistevieraita, kompakteja joukkoja s.e.
∂ ∗ ∞
E = Kk ∪ N,
k=1
33

missä ∂E(N) = 0. Lisäksi jokaisessa Kk, k ∈ N, funktio ν∗ E on jatkuva ja
funktioiden m 1 r, . . . , m 4 r suppeneminen kohti raja-arvojaan on tasaista.
Määritellään sitten kaikilla k ∈ N ja x, y ∈ Kk
q(x, y) := ν∗ E
(x) · (y − x)
.
|y − x|
Valitaan mikä tahansa k ∈ N ja osoitetaan, että q(x, y) → 0 tasaisesti joukossa
Kk, kun |y − x| → 0. Tehdään ensin vastaoletus, että on olemassa ε > 0 ja
jonot (x i ) ⊂ Kk, (y i ) ⊂ Kk s.e. |x i − y i | → 0 ja q(x i , y i ) ≥ ε kaikilla i ∈ N
(katsotaan myöhemmin tapaus q(x i , y i ) ≤ −ε). Intuitiivisesti vastaoletus sanoo,
että vektori y i − x i on vähintään tietyssä määrin samansuuntainen vektorin
ν ∗ E (xi ) kanssa kaikilla i ∈ N.
Tutkitaan nyt pisteiden x i ja y i ympärille piirrettyjä pieniä palloja, joita on
havainnollistettu kuvassa 3.1. Ensinnäkin pätee
¯B(y i , ε|y i − x i |) ⊂ ¯ B(x i , (1 + ε)|y i − x i |),
sillä jos z ∈ ¯ B(y i , ε|y i − x i |), niin |z − y i | ≤ ε|y i − x i |, ja tällöin
|z − x i | ≤ |z − y i | + |y i − x i | ≤ ε|y i − x i | + |y i − x i | ≤ (1 + ε)|y i − x i |.
Lisäksi pätee ¯ B(y i , ε|y i − x i |) ⊂ H + (x i ), sillä jos taas z ∈ ¯ B(y i , ε|y i − x i |), niin
z = y i + w, missä |w| ≤ ε|y i − x i |. Tehdyn vastaoletuksen perusteella
ν ∗ E(x i ) · (z − x i ) = ν ∗ E(x i ) · (y i − x i ) + ν ∗ E(x i ) · w
sillä |ν ∗ E (xi )| = 1. Yhteensä siis
≥ ε|y i − x i | − |ν ∗ E(x i )||w| ≥ 0,
¯B(y i , ε|y i − x i |) ⊂ ¯ B(x i , (1 + ε)|y i − x i |) ∩ H + (x i )
kaikilla i ∈ N. Toisin sanoen saadaan jono y i -keskisiä palloja, joista kukin sisältyy
hieman suurempaan x i -keskiseen palloon ja myös puoliavaruuteen H + (x i ).
Ottamalla leikkaus molemmilta puolilta joukon E kanssa saadaan edelleen
¯B(y i , ε|y i − x i |) ∩ E ⊂ ¯ B(x i , (1 + ε)|y i − x i |) ∩ H + (x i ) ∩ E. (3.7)
Muistamalla nyt, että funktio m 1 r suppenee tasaisesti kohti arvoa 1/2 joukossa
Kk, saadaan, että
L n ( ¯ B(y i , ε|y i − x i |) ∩ E) ≥ L n ( ¯ B(y i , ε|y i − x i |) ∩ E ∩ H − (y i ))
≥ 1
3 Ωn(ε|y i − x i |) n , (3.8)
34

Kuva 3.1: Funktiolle q(x, y) tehdyn vastaoletuksen havainnollistus.
kun |y i − x i | < δ sopivalla δ > 0 (luvun 1/3 sijaan voitaisiin valita muukin
luku väliltä (0, 1/2)). Toisin sanoen kyllin suurilla indekseillä i ∈ N palloissa
¯B(y i , ε|y i − x i |) on aina ”vähintään tietyn verran joukkoa E”. Yhdistämällä nyt
kaavat (3.7) ja (3.8) saadaan
L n ( ¯ B(x i , (1 + ε)|y i − x i |) ∩ H + (x i ) ∩ E) ≥ L n ( ¯ B(y i , ε|y i − x i |) ∩ E)
≥ 1
3 Ωn(ε|y i − x i |) n
kaikilla kyllin suurilla i ∈ N. Tämä on kuitenkin ristiriita sen kanssa, että funktio
m 2 r suppenee tasaisesti nollaan joukossa Kk (muistetaan, että ε > 0 on tässä
kiinnitetty luku). Katsotaan sitten tapaus, että on olemassa ε > 0 ja jonot
(x i ) ⊂ Kk, (y i ) ⊂ Kk s.e. |x i − y i | → 0 ja q(x i , y i ) ≤ −ε kaikilla i ∈ N. Nyt
saadaan yllä olevaa päättelyä mukaillen ensin, että
¯B(y i , ε|y i − x i |) ∩ (R n \E) ⊂ ¯ B(x i , (1 + ε)|y i − x i |) ∩ H − (x i ) ∩ (R n \E)
kaikilla i ∈ N, ja lisäksi
L n ( ¯ B(y i , ε|y i − x i |) ∩ (R n \E)) ≥ L n ( ¯ B(y i , ε|y i − x i |) ∩ (R n \E) ∩ H + (y i ))
≥ 1
3 Ωn(ε|y i − x i |) n ,
35

kun |y i −x i | < δ sopivalla δ > 0, sillä funktio m 4 r suppenee tasaisesti kohti arvoa
1/2. Nämä yhdistämällä saadaan
L n ( ¯ B(x i , (1 + ε)|y i − x i |) ∩ H − (x i ) ∩ (R n \E))
≥ L n ( ¯ B(y i , ε|y i − x i |) ∩ (R n \E))
≥ 1
3 Ωn(ε|y i − x i |) n
kaikilla kyllin suurilla i ∈ N. Tämä on kuitenkin ristiriita sen kanssa, että funktio
m 3 r suppenee tasaisesti nollaan joukossa Kk. Kaiken kaikkiaan siis saadaan
millä tahansa k ∈ N, että q(x, y) → 0 tasaisesti joukossa Kk, kun |y − x| → 0.
Muistetaan, että ν ∗ E on jatkuva valitussa joukossa Kk, ja määritellään lisäksi
(jatkuva) funktio fk ≡ 0 Kk:ssa. Nyt ν ∗ E :n voidaan ajatella olevan fk:n gradientti
joukossa Kk, ja Whitneyn ekstensiolauseen [1, s. 245] mukaan on olemassa
funktio ˆ fk ∈ C 1 (R n ) s.e. Kk:ssa ˆ fk ≡ 0 ja ∇ ˆ fk=ν ∗ E . Koska siis |∇ ˆ fk| = 1
Kk:ssa ja gradientti on jatkuva, on olemassa avoin ja rajoitettu joukko Uk ⊃ Kk
ja edelleen avoin ja rajoitettu Vk ⊃⊃ Uk s.e. |∇ ˆ fk| ≥ 1/2 Vk:ssa. Määritellään
sitten joukko
Sk = {x ∈ Vk | ˆ fk(x) = 0} ⊂ Vk.
Ensin todetaan, että koska ˆ fk on jatkuva, Sk on suljettu Vk:ssa. Jokaisella x ∈ Sk
pätee |∇ ˆ fk(x)| > 0, joten |(∇ ˆ fk(x))i| > 0 jollain i = 1, . . . , n. Nyt implisiittifunktiolauseen
mukaan Sk voidaan esittää jossain pisteen x ∈ Sk ympäristössä
muodossa
Sk = {x ∈ R n | xi = gk(x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn)},
missä gk on C 1 -funktio. Selvästi Kk ⊂ Sk. Tämä tarkoittaa, että jokainen Kk on
C 1 -hyperpinnan kompakti osajoukko, mikä todistaa väitteen (i). Koska edelleen
Sk on funktion ˆ fk tasa-arvopinta, ∇ ˆ fk on aina pintaa vastaan kohtisuorassa, eli
ν ∗ E on Sk:ta vastaan kohtisuorassa. Tämä on väite (ii).
Todistetaan sitten, että ∂E = H n−1 ∂ ∗ E. Ensin todetaan, että ∂E on
Radon-mitta ja H n−1 ∂ ∗ E = H n−1 ∂∗E, sillä lauseen 3.1.2 mukaan
H n−1 (∂∗E\∂ ∗ E) = 0.
Koska toisaalta lemman 3.2.3 mukaan mittateoreettinen reuna ∂∗E on Boreljoukko,
H n−1 ∂ ∗ E on Borel-säännöllinen ulkomitta [1, s. 5]. Selvästi pätee
R n = (R n \∂ ∗ E) ∪
∞
Kk ∪ N. (3.9)
Tässä joukot Kk ovat tietenkin kompakteina sekä ∂E- että H n−1 ∂ ∗ E-mitallisia.
Muistetaan, että ∂E(R n \∂ ∗ E) = 0 ja (triviaalisti) H n−1 ∂ ∗ E(R n \∂ ∗ E) = 0.
Edelleen lemman 3.2.1 nojalla
k=1
H n−1 ∂ ∗ E(N) ≤ C(n)∂E(N) = 0.
36

Yhteensä siis kaikki hajotelman (3.9) joukot ovat sekä ∂E- että H n−1 ∂ ∗ Emitallisia.
Valitaan nyt mielivaltainen Borel-joukko B ⊂ R n (myöhemmin tutkitaan
tapaus, jossa joukko ei välttämättä ole Borel). Voidaan laskea
∂E(B) = ∂E(B ∩ (R n \∂ ∗ E)) +
=
∞
∂E(B ∩ Kk),
k=1
∞
∂E(B ∩ Kk) + ∂E(B ∩ N)
k=1
ja samoin H n−1 ∂ ∗ E:lle. Riittää siis osoittaa, että
∂E(B ∩ Kk) = H n−1 ∂ ∗ E(B ∩ Kk)
kaikilla k ∈ N, eli itse asiassa voidaan olettaa, että B on Borel-joukko ja B ⊂ Kk.
Olkoon nyt ˜ Sk = Sk ∩ Ūk, jolloin ˜ Sk on kompakti (koska Sk oli suljettu Vk:ssa) ja
˜Sk ⊂ Vk. Otetaan sitten mikä tahansa x ∈ ˜ Sk. Muistetaan, että |∇ ˆ fk(x)| ≥ 1/2,
joten Sk voidaan esittää jossain pallossa ¯ B(x, r), r > 0, muodossa
Määritellään joukko
Sk = {y ∈ R n | yi = gk(y1, . . . , yi−1, yi+1, . . . , yn)}.
C = {y ∈ ¯ B(x, r) | yi ≤ gk(y1, . . . , yi−1, yi+1, . . . , yn)}.
Nyt joukko C on sileäreunainen joukko pallossa ¯ B(x, r), joten sille pätee [3, s.
39]
∂C( ¯ B(x, r)) = H n−1 (∂C ∩ ¯ B(x, r)).
Tässähän ∂C = Sk pallossa B(x, r). Selvästi x ∈ ∂∗C, joten korollaarista 2.3.2
saadaan
∂C(
lim
r→0
¯ B(x, r))
Ωn−1rn−1 = 1.
Näin saadaan yhteensä
H
lim
r→0
n−1 (Sk ∩ ¯ B(x, r))
Ωn−1rn−1 = 1. (3.10)
Tämän avulla voidaan osoittaa, että Hn−1 ˜ Sk on Radon-mitta. Koska ˜ Sk on
kompaktina joukkona Borel-joukko, Hn−1 ˜ Sk on Borel-säännöllinen ulkomitta.
Toisaalta, koska ˜ Sk on kompakti, saadaan sille äärellinen peite { ¯ B(xi , ri)} m i=1
s.e.
H n−1 ( ˜ m
Sk) ≤ H n−1 (Sk ∩ ¯ B(x i m
, ri)) < 2
i=1
37
i=1
Ωn−1r n−1
i
< ∞.

Siis H n−1 ˜ Sk on Radon-mitta. Otetaan nyt x ∈ B ⊂ Kk ⊂ ∂ ∗ E. Muistetaan
edelleen korollaarista 2.3.2, että
∂E(
lim
r→0
¯ B(x, r))
Ωn−1rn−1 = 1.
Yhdistämällä tämä yhtälöön (3.10), jossa voidaan pisteissä x ∈ B korvata Sk ↩→
˜Sk, saadaan
H
lim
r→0
n−1 ˜ Sk( ¯ B(x, r))
∂E( ¯ H
= lim
B(x, r)) r→0
n−1 ( ˜ Sk ∩ ¯ B(x, r))
∂E( ¯ = 1
B(x, r))
kaikilla x ∈ B. Jos yleensä µ ja ν ovat Radon-mittoja, ja merkitään niiden
derivaattaa
ν(
Dµν(x) := lim
r→0
¯ B(x, r))
µ( ¯ B(x, r))
silloin, kun tämä raja-arvo on olemassa, pätee seuraava tulos [1, s. 37]: Jos
0 < α < ∞ ja
A ⊂ {x ∈ R n | Dµν(x) ≤ α},
niin ν(A) ≤ αµ(A). Aivan vastaavasti, jos
niin ν(A) ≥ αµ(A). Koska nyt pätee
voidaan siis päätellä, että
A ⊂ {x ∈ R n | Dµν(x) ≥ α},
B ⊂ {x ∈ R n | D ∂EH n−1 ˜ Sk(x) = 1},
∂E(B) = H n−1 ˜ Sk(B) = H n−1 Sk(B) = H n−1 ∂ ∗ E(B).
Tässä oli B ⊂ Kk, mutta kuten ylempänä todettiin, tämä riittää todistamaan,
että
∂E(B) = H n−1 ∂ ∗ E(B)
mielivaltaisella Borel-joukolla B ⊂ R n . Valitaan nyt mielivaltainen joukko A ⊂
R n . Koska sekä ∂E että H n−1 ∂ ∗ E ovat Borel-säännöllisiä ulkomittoja, kuten
aiemmin todettiin, on olemassa Borel-joukot B1 ⊃ A ja B2 ⊃ A s.e.
∂E(B1) = ∂E(A), H n−1 ∂ ∗ E(B2) = H n−1 ∂ ∗ E(A).
Edelleen leikkaukselle B = B1 ∩ B2 (joka on Borel-joukko) pätee selvästi B ⊃ A
ja
∂E(B) = ∂E(A), H n−1 ∂ ∗ E(B) = H n−1 ∂ ∗ E(A).
Yhteensä
∂E(A) = H n−1 ∂ ∗ E(A).
Mitat ovat siis samat, ja myös väite (iii) on tosi.
38

Huomautus. Tulosta ∂E = H n−1 ∂ ∗ E todistettaessa oletettiin, että E:llä
on lokaalisti äärellinen perimetri R n :ssä. Kääntäen voidaan näyttää, että L n -
mitallisella joukolla E ⊂ R n on lokaalisti äärellinen perimetri R n :ssä, jos
H n−1 (K ∩ ∂∗E) < ∞
jokaisella kompaktilla K ⊂ R n [1, s. 222]. Tässä ehdossa siis esiintyy mittateoreettinen
reuna, joka voidaan määritellä yleiselle joukolle.
39

Luku 4
BV-funktioiden pisteittäiset
ominaisuudet
Siirrytään tarkastelemaan tässä luvussa yleisiä BV-funktioita, rajoittumatta
siis lokaalisti äärellisperimetrisiin joukkoihin. Luvussa päästään soveltamaan
kahdessa edellisessä luvussa saatuja tuloksia muistamalla, että BV-funktioiden
coarea-kaavan mukaan BV-funktion tasojoukoilla on (lokaalisti) äärellinen perimetri
R n :ssä. Tätä hyödyntäen voidaan todistaa, että jokainen BV-funktio
on mittateoreettisessa mielessä jatkuva lukuunottamatta ”hyppäyksiä” yli C 1 -
hyperpintojen. Tarkasti tämä ilmaistaan Lebesguen lauseen BV-funktioille pätevässä
versiossa.
4.1 Mittateoreettinen raja-arvo ja jatkuvuus
Tarkastellaan ensin (yleisen) funktion mittateoreettista jatkuvuutta.
Määritelmä 4.1.1. Funktion f : R n ↦−→ [−∞, ∞] approksimatiivinen rajaarvo
pisteessä x ∈ R n on κ(x) ∈ R, jos
L
lim
r→0
n ({y ∈ Rn | |f(y) − κ(x)| > ε} ∩ ¯ B(x, r))
rn = 0
kaikilla ε > 0. Tällöin merkitään
ap lim
y→x f(y) = κ(x).
Määritelmä siis sanoo, että joukon {y ∈ R n | |f(y)−κ(x)| > ε} = {|f−κ(x)| > ε}
(käytetään jatkossa tällaista tiivistettyä merkintää) tiheyden on oltava nolla pisteessä
x mielivaltaisen pienillä ε > 0. On varsin helppo nähdä, että approksimatiivinen
raja-arvo on yksikäsitteinen [1, s. 46]. Määritellään edelleen approksimatiivinen
lim inf ja approksimatiivinen lim sup.
40

Määritelmä 4.1.2. Jos on annettu funktio f : Rn ↦−→ [−∞, ∞], niin
L
λ(x) := ap lim inf f(y) := sup s ∈ R | lim
y→x r→0
n ({f < s} ∩ ¯ B(x, r))
rn
= 0 ,
L
µ(x) := ap lim sup f(y) := inf s ∈ R | lim
y→x
r→0
n ({f > s} ∩ ¯ B(x, r))
rn
= 0 .
Intuitiivisesti esimerkiksi µ(x) on ”suurin” luku s, jolla joukon {f > s} tiheys
pisteessä x on nollaa suurempi. Jos pätee
lim sup
r→0
L n ({f < s} ∩ ¯ B(x, r))
r n
kaikilla s ∈ R, määritellään λ(x) = −∞, ja jos
> 0
L
lim
r→0
n ({f < s} ∩ ¯ B(x, r))
rn = 0
kaikilla s ∈ R, asetetaan λ(x) = ∞. Samoin voi olla µ(x) = ±∞. Tämä huomioon
ottaen λ ja µ ovat joka pisteessä hyvin määriteltyjä ja yksikäsitteisiä.
Voidaan varsin helposti näyttää, että λ(x) ≤ µ(x) kaikilla x ∈ R n . Edelleen
voidaan todeta, että jos λ(x) = µ(x) = t ∈ R, niin kaikilla ε > 0 pätee
L
lim
r→0
n ({|f − t| > ε} ∩ ¯ B(x, r))
= lim
r→0
r n
L n ({f > t + ε} ∩ ¯ B(x, r))
r n
L
+ lim
r→0
n ({f < t − ε} ∩ ¯ B(x, r))
rn = 0,
eli saadaan t = κ(x). Samoin on selvää, että jos approksimatiivinen raja-arvo
κ(x) on olemassa, pätee λ(x) = µ(x) = κ(x). Approksimatiivinen jatkuvuus
määritellään luonnollisella tavalla:
Määritelmä 4.1.3. Funktio f : R n ↦−→ [−∞, ∞] on approksimatiivisesti jatkuva
pisteessä x ∈ R n , jos κ(x) = f(x), eli jos approksimatiivinen raja-arvo ja
funktion arvo yhtyvät.
Todetaan, että approksimatiivinen jatkuvuus eroaa tavallisesti jatkuvuudesta
siten, että funktion arvot esimerkiksi jollain pistettä x lähestyvällä pistejonolla
voivat olla mitä tahansa, sillä funktion arvot yksittäisissä pisteissä eivät vaikuta
approksimatiiviseen raja-arvoon. Todistetaan nyt tulos λ:n ja µ:n mitallisuudesta.
Lemma 4.1.4. Funktiot λ ja µ ovat Borel-mitallisia.
Todistus. Määritellään lukuun t ∈ R liittyvä funktion f : R n ↦−→ [−∞, ∞]
tasojoukko
Ft := {y ∈ R n | f(y) > t}.
41

Lemman 3.2.2 perusteella funktio
x ↦−→ Ln (Ft ∩ ¯ B(x, r))
r n
on jatkuva kiinnitetyillä t ∈ R ja r > 0. Siis funktio
qt(x) := lim sup
r→0
r∈Q
L n (Ft ∩ ¯ B(x, r))
r n
on Borel-mitallinen jokaisella t ∈ R. Koska toisaalta funktio
r ↦−→ Ln (Ft ∩ ¯ B(x, r))
r n
on jatkuva kiinnitetyllä x ∈ R n ja t ∈ R, niin qt(x) = 0 täsmälleen silloin, kun
L
lim
r→0
n (Ft ∩ ¯ B(x, r))
rn = 0.
Koska lisäksi qt on vähenevä funktio t:n suhteen, saadaan kaikilla s ∈ R
{x ∈ R n | µ(x) ≤ s} =
∞
{x ∈ R n | qs+1/k(x) = 0}.
k=1
Siis µ on Borel-mitallinen funktio. Funktion λ Borel-mitallisuus saadaan näytettyä
samaan tapaan.
Määritellään nyt joukko, jossa approksimatiivista raja-arvoa ei ole olemassa:
J := {x ∈ R n | λ(x) < µ(x)}.
Koska funktio f ∈ BV (R n ) kuuluu myös avaruuteen L 1 (R n ), f on approksimatiivisesti
jatkuva L n -m.k. x ∈ R n , ja pätee siis κ(x) = λ(x) = µ(x) = f(x) ∈ R
L n -m.k. x ∈ R n [1, s. 47]. Voidaan täten todeta, että
−∞ < λ(x) = µ(x) < ∞
L n -m.k. x ∈ R n . Tätä tulosta vahvennetaan seuraavissa lauseissa.
Lause 4.1.5. Jos f ∈ BV (R n ), niin joukolle J pätee
J ⊂
∞
∂∗Ft = Kk ∪ N,
t∈A
missä A ⊂ R on numeroituva, R:ssä tiheä joukko; jokaisella tasojoukolla Ft ⊂
R n , t ∈ A, on äärellinen perimetri R n :ssä; joukot Kk ovat C 1 -hyperpintojen
kompakteja osajoukkoja ja H n−1 (N) = 0.
42
k=1

Todistus. Otetaan mikä tahansa x ∈ J. Tällöin pätee λ(x) < µ(x), eli edelleen
λ(x) < t < µ(x) jollain t ∈ R. Funktion f tasojoukolle Ft saadaan
lim sup
r→0
sillä t < µ(x). Samaan tapaan
lim sup
r→0
L n ((R n \Ft) ∩ ¯ B(x, r))
r n
L n (Ft ∩ ¯ B(x, r))
r n
= lim sup
r→0
> 0,
L n ({f ≤ t} ∩ ¯ B(x, r))
r n
> 0,
sillä t > λ(x). Tämä tarkoittaa mittateoreettisen reunan määritelmän mukaan,
että x ∈ ∂∗Ft. Nyt BV-funktioiden coarea-kaavan [1, s. 185] mukaan tasojoukoilla
Ft on äärellinen perimetri R n :ssä m.k. t ∈ R. Tällaisilla t:n arvoilla pätee
lauseen 3.1.2 perusteella H n−1 (∂∗Ft\∂ ∗ Ft) = 0, ja lauseen 3.2.4 mukaan edelleen
∂ ∗ Ft =
∞
K t k ∪ N t ,
k=1
missä Kt k :t ovat C1-hyperpintojen kompakteja osajoukkoja ja Hn−1 (N t ) = 0.
Jos nyt valitaan R:n numeroituva, tiheä osajoukko A s.e. joukolla Ft on äärellinen
perimetri jokaisella t ∈ A, niin jokaisella x ∈ J pätee λ(x) < t < µ(x)
jollain t ∈ A. Siispä pätee
J ⊂
∂∗Ft,
eli sopivalla indeksoinnilla
J ⊂
t∈A
∞
Kk ∪ N,
k=1
missä Kk:t ovat C 1 -hyperpintojen kompakteja osajoukkoja ja H n−1 (N) = 0.
Tämä todistaa väitteen.
Huomautus. Todetaan, että tässä päästiin soveltamaan edellisessä luvussa todistettuja
tuloksia BV-funktion tasojoukkoihin.
Korollaari 4.1.6. Joukko J on σ-äärellinen mitan H n−1 :n suhteen.
Todistus. Lauseen 4.1.5 perusteella siis
eli
J =
J ⊂
∞
Kk ∪ N,
k=1
∞
(Kk ∩ J) ∪ (N ∩ J),
k=1
43

missä joukot Kk ∩ J, k ∈ N, ovat lemman 4.1.4 nojalla Borel-joukkoja, ja
H n−1 (N ∩ J) = 0. Kaikki nämä joukot ovat siis H n−1 -mitallisia. Täsmälleen
samaan tapaan kuin lauseen 3.2.4 todistuksessa sivulla 37 voidaan nyt osoittaa,
että H n−1 (Kk) < ∞ kaikilla k ∈ N. Tästä saadaan väite.
Lause 4.1.7. Jos f ∈ BV (R n ), niin
H n−1 -m.k. x ∈ R n .
−∞ < λ(x) ≤ µ(x) < ∞
Todistus. Määritellään ensin lukuun t ∈ R liittyvä joukko
Λt := {x ∈ R n | λ(x) > t}.
Olkoon t > 0. Jos x ∈ Λt, niin t < λ(x) ja edelleen t + ε < λ(x) jollain ε > 0.
Siispä λ:n määritelmän nojalla
L
lim
r→0
n ({f < t + ε} ∩ ¯ B(x, r))
rn = 0.
Koska edelleen {f ≤ t} ⊂ {f < t + ε}, niin
Täten saadaan
L
lim
r→0
n ({f ≤ t} ∩ ¯ B(x, r))
rn = 0.
L
lim
r→0
n ({f > t} ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn = 1.
Koska toisaalta f ∈ L 1 (R n ) ja t > 0, pätee myös
Lisäksi funktio
L
lim
r→∞
n ({f > t} ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn = 0.
r ↦−→ Ln ({f > t} ∩ ¯ B(x, r))
Ωnr n
on ilmeisen jatkuva, joten saadaan, että kaikilla x ∈ Λt on olemassa jokin r > 0
s.e.
L n ({f > t} ∩ ¯ B(x, r))
Ωnr n
= 1
. (4.1)
3
Käyttämällä näitä säteitä saadaan joukolle Λt peite { ¯ B(x, r) | x ∈ Λt}. Koska
f ∈ L 1 (R n ), säteillä on myös jokin yläraja R > 0. Vitalin peitelauseen mukaan
44

voidaan nyt poimia numeroituva kokoelma pistevieraita palloja { ¯ B(xi , ri)} ∞ i=1
s.e.
∞
Λt ⊂ ¯B(x i , 5ri).
i=1
Rajoitutaan sellaisiin t > 0, että tasojoukolla Ft = {f > t} on äärellinen perimetri
R n :ssä — BV-funktioiden coarea-kaavan mukaan tämä pätee m.k. t ∈ R.
Nyt millä tahansa i ∈ N saadaan käyttämällä yhtälöä (4.1) ja relatiivista isoperimetristä
epäyhtälöä, että
1
3 Ωnr n (n−1)/n
i = L n (Ft ∩ ¯ B(x i , ri)) (n−1)/n
= min{L n (Ft ∩ ¯ B(x i , ri)), L n ((R n \Ft) ∩ ¯ B(x i , ri))} (n−1)/n
≤ 2A2(n)∂Ft( ¯ B(x i , ri)).
Huomataan, että tässä toinen yhtäsuuruus päti sen ansiosta, että yhtälössä (4.1)
valittiin oikealle puolelle luku 1/3 (muukin puolta pienempi luku olisi sopinut).
Sulauttamalla vakiot yhteen saadaan
r n−1
i
kaikilla i ∈ N. Nyt voidaan laskea
H n−1
10R (Λt) ≤
≤ C(n)∂Ft( ¯ B(x i , ri))
∞
Ωn−1(5ri) n−1
i=1
≤ C(n)
∞
∂Ft( ¯ B(x i , ri))
i=1
≤ C(n)∂Ft(R n ) (4.2)
kaikilla t > 0, joille pätee ∂Ft(R n ) < ∞. Toisaalta coarea-kaavan mukaan
Tästä saadaan
eli
ˆ ∞
−∞
∂Ft(R n )dt = Df(R n ) < ∞.
lim inf
t→∞ ∂Ft(R n ) = 0,
lim
j→∞ ∂Ftj (R n ) = 0 (4.3)
45

sopivalla jonolla tj → ∞. Yhdistämällä nyt kaavat (4.2) ja (4.3) saadaan (muistetaan,
että säteiden yläraja R > 0 riippuu luvusta t > 0)
H n−1
∞ ({λ(x) = ∞}) = H n−1
⎛ ⎞
∞
⎝
∞ Λtj
⎠
j=1
≤ lim inf
j→∞ Hn−1
∞ (Λtj )
≤ lim inf
j→∞ C(n)∂Ftj (Rn ) = 0.
Tästä saadaan suoraan, että H n−1 ({λ(x) = ∞}) = 0 [1, s. 64]. Aivan vastaavaan
tapaan saadaan todistettua, että H n−1 ({µ(x) = −∞}) = 0. Lopuksi
täydennetään päättely todistamalla vielä, että
Tarkastellaan joukkoa
Lauseen 4.1.5 nojalla pätee
j=−∞
H n−1 ({µ(x) − λ(x) = ∞}) = 0.
D = {(x, t) | x ∈ J, λ(x) < t < µ(x)}.
∞
∞
∞
∞
D ⊂ J× (j−1, j] ⊂ (Kk∪N)× (j−1, j] =
k=1
j=−∞
∞
k=1 j=−∞
Tulomitan ominaisuuksien [1, s. 22] perusteella (vrt. korollaari 4.1.6)
(Kk∪N)×(j−1, j].
(H n−1 × L 1 )(Kk × (j − 1, j]) = H n−1 (Kk)L 1 ((j − 1, j]) < ∞
kaikilla k ∈ N, j ∈ Z. Lisäksi joukko D voidaan osoittaa H n−1 × L 1 -mitalliseksi
— vrt. [1, s. 66]. Siis
D =
∞
∞
k=1 j=−∞
((Kk ∪ N) × (j − 1, j]) ∩ D,
eli D on σ-äärellinen tulomitan H n−1 × L 1 suhteen. Fubinin lauseen [1, s. 22]
nojalla voidaan nyt laskea
ˆ ∞
−∞
H n−1 ({x ∈ J | λ(x) < t < µ(x)})dt
ˆ
= L
J
1 ({t ∈ R | λ(x) < t < µ(x)})dH n−1
ˆ
= (µ(x) − λ(x))dH
J
n−1
ˆ
= (µ(x) − λ(x))dH n−1 . (4.4)
R n
46

Integroimisalue voitiin tässä laajentaa koko R n :ään, koska µ(x) − λ(x) = 0
joukon J ulkopuolella. Toisaalta muistetaan lauseen 4.1.5 todistuksesta, että
jos λ(x) < t < µ(x), niin x ∈ ∂∗Ft. Muistamalla vielä lauseesta 3.2.4, että
∂Ft = H n−1 ∂ ∗ Ft, ja käyttämällä BV-funktioiden coarea-kaavaa saadaan
ˆ ∞
−∞
H n−1 ({x ∈ J | λ(x) < t < µ(x)})dt ≤
=
=
ˆ ∞
−∞
ˆ ∞
−∞
ˆ ∞
−∞
H n−1 (∂∗Ft)dt
H n−1 (∂ ∗ Ft)dt
∂Ft(R n )dt
= Df(R n ) < ∞,
sillä f ∈ BV (R n ). Yhdistämällä tämä yhtälöön (4.4) voidaan päätellä, että on
oltava
H n−1 ({x ∈ R n | µ(x) − λ(x) = ∞}) = 0.
Merkitään jatkossa joukkoa, jossa |λ(x)| = ∞ tai |µ(x)| = ∞, symbolilla I.
Juuri todistetun lauseen nojalla H n−1 (I) = 0.
4.2 Lebesguen lause BV-funktioille
Nyt päästään vihdoin todistamaan Lebesguen lause BV-funktioille.
Lause 4.2.1. Olkoon f ∈ BV (R n ). Silloin
(i) H n−1 -m.k. x ∈ R n \J pätee
ja lisäksi
lim
r→0
|f − κ(x)|
¯B(x,r)
n/(n−1) dy = 0,
(ii) H n−1 -m.k. x ∈ J pätee sopivasti valitulla yksikkövektorilla ν = ν(x)
ja
lim
r→0
lim
r→0
¯B(x,r)∩H − ν
¯B(x,r)∩H + ν
|f − µ(x)| n/(n−1) dy = 0
|f − λ(x)| n/(n−1) dy = 0.
47

Todistus. Oletetaan, että x ∈ R n \ (J ∪ I) (muistetaan joukon I määritelmä
edellisen alaluvun lopusta), jolloin λ(x) = µ(x) = κ(x) ∈ R. Lauseen 4.1.7
mukaan tämä oletus pätee H n−1 -m.k. x ∈ R n \ J. Jos valitaan M > |κ(x)|,
voidaan laskea
|f − κ(x)|
¯B(x,r)
n/(n−1) dy
≤ 1
Ωnr n
+ 1
Ωnr n
ˆ
ˆ
ε
¯B(x,r)
n/(n−1) dy
|f − κ(x)|
¯B(x,r)∩{|f−κ(x)|>ε}
n/(n−1) dy
ˆ
= ε n/(n−1) + 1
Ωnrn |f − κ(x)|
¯B(x,r)∩{2M≥|f−κ(x)|>ε}
n/(n−1) dy
+ 1
Ωnrn ˆ
|f − κ(x)|
¯B(x,r)∩{|f−κ(x)|>2M}
n/(n−1) dy,
≤ ε n/(n−1) + Ln ( ¯ B(x, r) ∩ {|f − κ(x)| > ε})
Ωnrn (2M) n/(n−1)
+ 1
Ωnrn ˆ
|f − κ(x)|
¯B(x,r)∩{|f−κ(x)|>2M}
n/(n−1) dy.
Jos muistetaan approksimatiivisen raja-arvon κ(x) määritelmä, saadaan nyt
lim sup
r→0
|f − κ(x)|
¯B(x,r)
n/(n−1) dy
≤ ε n/(n−1) + lim sup
r→0
1
Ωnrn ˆ
|f − κ(x)|
¯B(x,r)∩{|f−κ(x)|>2M}
n/(n−1) dy.
Koska tässä ε > 0 voidaan valita mielivaltaisen pieneksi, saadaan
lim sup
r→0
|f − κ(x)|
¯B(x,r)
n/(n−1) dy
≤ lim sup
r→0
≤ lim sup
r→0
≤ lim sup
r→0
+ lim sup
r→0
1
Ωnrn ˆ
1
Ωnr n
1
Ωnr n
ˆ
ˆ
1
Ωnr n
ˆ
|f − κ(x)|
¯B(x,r)∩{|f−κ(x)|>2M}
n/(n−1) dy.
|f − κ(x)|
¯B(x,r)∩{|f|>M}
n/(n−1) dy.
|f − κ(x)|
¯B(x,r)∩{f>M}
n/(n−1) dy.
|f − κ(x)|
¯B(x,r)∩{f

226], joten voidaan laskea
1
Ωnrn ˆ
|f − κ(x)|
¯B(x,r)∩{f>M}
n/(n−1) dy
= 1
Ωnrn ˆ
|(f − M)
¯B(x,r)∩{f>M}
+ + (M − κ(x))| n/(n−1) dy
1
≤ C(n)
Ωnrn ˆ
|(f − M)
¯B(x,r)∩{f>M}
+ | n/(n−1) dy
+ 1
Ωnrn ˆ
|M − κ(x)|
¯B(x,r)∩{f>M}
n/(n−1)
dy ,
missä jälkimmäiselle termille pätee
1
lim sup
r→0 Ωnrn ˆ
|M − κ(x)|
¯B(x,r)∩{f>M}
n/(n−1) dy
≤ lim sup
r→0
Ln ( ¯ B(x, r) ∩ {f > M})
Ωnrn |M − κ(x)| n/(n−1) = 0,
sillä M > κ(x). Saadaan siis edelleen
1
lim sup
r→0 Ωnrn ˆ
|f − κ(x)|
¯B(x,r)∩{f>M}
n/(n−1) dy
≤ C(n) lim sup
r→0
((f − M)
¯B(x,r)
+ ) n/(n−1) dy. (4.6)
Tässä (f − M) + ∈ BV (Rn ) (tämä osoitetaan myöhemmin sivulla 51). Koska
nyt
L
lim
r→0
n ( ¯ B(x, r) ∩ {f > M})
rn = 0,
pätee
kyllin pienillä r > 0, jolloin edelleen
Näillä r:n arvoilla pätee [1, s. 189]
ˆ
((f − M)
¯B(x,r)
+ ) n/(n−1) dy
L n ( ¯ B(x, r) ∩ {f > M})
r n
≤ 1
2
L n ( ¯ B(x, r) ∩ {(f − M) + = 0})
r n
(n−1)/n
49
≥ 1
2 .
≤ C(n)D((f − M) + )(B(x, r)),

joten
((f − M)
¯B(x,r)
+ ) n/(n−1) dy
(n−1)/n
≤ C(n)
r n−1 D((f − M)+ )(B(x, r)).
Kaavan (4.5) viimeisen rivin termille saadaan vastaavasti laskettua
1
lim sup
r→0 Ωnrn ˆ
|f − κ(x)|
¯B(x,r)∩{f t} =
ˆ ∞
−∞
∂ ˜ Ft(B(x, r))dt,
{f − M > t} = {f > M + t}, kun t ≥ 0,
R n , kun t < 0.
50

Saadaan siis edelleen
D((f − M) + )(B(x, r)) =
=
=
ˆ ∞
0
ˆ ∞
0
ˆ ∞
M
∂ ˜ Ft(B(x, r))dt
∂Ft+M (B(x, r))dt
∂Ft(B(x, r))dt.
Näin voidaan todeta, että D((f − M) + )(B(x, r)) on M:n suhteen vähenevä
funktio, kun M > 0. Korvaamalla tässä B(x, r) ↩→ R n nähdään myös, että
ˆ ∞
−∞
∂ ˜ Ft(R n )dt =
ˆ ∞
M
∂Ft(R n )dt < ∞,
sillä f ∈ BV (Rn ), joten tämän ja coarea-kaavan perusteella myös (f − M) + ∈
BV (Rn ) kaikilla M > 0. Samaan tapaan nähdään, että (f + M) − ∈ BV (Rn ) ja
että D((f + M) − )(B(x, r)) on M:n suhteen vähenevä funktio, kun M > 0,
sillä
missä merkitään
˜Ft = {(f+M) − > t} =
Siispä saadaan edelleen
D((f + M) − )(B(x, r)) =
ˆ ∞
−∞
∂ ˜ Ft(B(x, r))dt,
−
{f + M < −t} = {−f > M + t} =: Ft+M , kun t ≥ 0,
Rn , kun t < 0.
D((f + M) − )(B(x, r)) =
=
ˆ ∞
0
ˆ ∞
M
∂F −
t+M (B(x, r))dt
∂F − t (B(x, r))dt,
eli myös D((f +M) − )(B(x, r)) on M:n suhteen vähenevä funktio. Nyt voidaan
epäyhtälö (4.8) muistaen todeta, että
⎧
⎨
⎩ x ∈ Rn \(J ∪ I) | lim sup
r→0
missä
Ai =
|f − κ(x)|
¯B(x,r)
n/(n−1) dy
x ∈ R n D((f − M)
| lim sup
r→0
+ )(B(x, r))
rn−1 > 1
i
51
n−1
n
⎫
⎬
> 0
⎭ ⊂
∞
Ai ∪ Ãi,
i=1
kaikilla M > |κ(x)|

ja
Ãi =
x ∈ R n D((f + M)
| lim sup
r→0
− )(B(x, r))
rn−1 > 1
i
kaikilla M > |κ(x)| .
Funktioiden D((f −M) + )(B(x, r)) ja D((f +M) − )(B(x, r)) vähenevyyden
perusteella voidaan edelleen määritellä joukot
Ci = x ∈ R n D((f − M)
| lim sup
r→0
+ )( ¯ B(x, r))
rn−1 > 1
kaikilla M > 0
i
ja
˜Ci =
x ∈ R n D((f + M)
| lim sup
r→0
− )( ¯ B(x, r))
rn−1 > 1
i
kaikilla M > 0 ,
missä Ci ⊃ Ai ja ˜ Ci ⊃ Ãi kaikilla i ∈ N. Valitaan nyt i ∈ N ja tutkitaan joukkoa
Ci. Otetaan mielivaltainen M > 0, ja δ > 0. Joukolle Ci saadaan peite
B = { ¯ B(x, r) | x ∈ R n , 0 < r < δ, r n−1 < iD((f − M) + )( ¯ B(x, r))}.
Tuttuun tapaan Vitalin peitelause antaa numeroituvan kokoelman pistevieraita
palloja { ¯ B(xj , rj)} ∞ j=1 ⊂ B s.e.
Nyt voidaan laskea
H n−1
10δ (Ci) ≤
Ci ⊂
∞
j=1
¯B(x j , 5rj).
∞
Ωn−1(5rj) n−1
j=1
= C(n)
≤ C(n)i
∞
j=1
r n−1
j
∞
D((f − M) + )( ¯ B(x j , rj))
j=1
≤ C(n)iD((f − M) + )(R n )
= C(n)i
ˆ ∞
M
∂Ft(R n )dt.
Tämä siis pätee kaikilla M > 0. Toisaalta on oltava
lim
M→∞
ˆ ∞
M
∂Ft(R n )dt = 0,
52

sillä ˆ ∞
∂Ft(R
−∞
n )dt = Df(R n ) < ∞.
Siis H n−1
10δ (Ci) = 0 ja siten H n−1 (Ci) = 0 kaikilla i ∈ N. Samaan tapaan nähdään,
että H n−1 ( ˜ Ci) = 0 kaikilla i ∈ N. Tämä todistaa väitteen (i).
Tarkastellaan sitten väitettä (ii). Muistetaan, että lauseen 4.1.5 mukaan
J ⊂
∂∗Ft,
t∈A
missä A ⊂ R on numeroituva joukko. Edelleen muistetaan, että pätee H n−1 (I) =
0 ja H n−1 (∂∗Ft\∂ ∗ Ft) = 0 kaikilla t ∈ A. Jos merkitään
P :=
(∂∗Ft\∂ ∗ Ft) ∪ I,
t∈A
saadaan H n−1 (P ) = 0. Voidaan siis H n−1 -m.k. x ∈ J olettaa, että x ∈ J \P .
Otetaan nyt piste x ∈ J \P . Koska λ(x) < µ(x), pätee x ∈ ∂∗Ft kaikilla t ∈
(λ(x), µ(x)), ja siten kaikilla t ∈ (λ(x), µ(x)) ∩ A. Yllä olevan oletuksen nojalla
pätee itse asiassa x ∈ ∂∗Ft kaikilla t ∈ (λ(x), µ(x)) ∩ A. Kaikilla tällaisilla t:n
arvoilla joukolle Ft löytyy pisteessä x korollaarin 2.3.2 nojalla yksikkövektori
ν∗ (x), jolle pätee tuttuun tapaan
Ft
ja
L
lim
r→0
n (Ft ∩ H −
ν∗ F (x)
t (x) ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn = 1
2
L
lim
r→0
n (Ft ∩ H +
ν∗ F (x)
t (x) ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn = 0.
Koska täten joukon Ft tiheys ”miinus-puolella” on nolla ja ”plus-puolella” yksi,
todetaan, että ν∗ (x):n korvaaminen millä tahansa muulla yksikkövektorilla te-
Ft
kee ensimmäisestä raja-arvosta 1/2:ta pienemmän ja toisesta 0:aa suuremman.
Jos nyt toisaalta valitaan s ∈ (λ(x), µ(x)) ∩ A s.e. s > t, pätee vastaavasti
mutta koska Fs ⊂ Ft, pätee myös
L
lim
r→0
n (Fs ∩ H −
ν∗ Fs (x)(x) ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn = 1
2 ,
L
lim
r→0
n (Fs ∩ H −
ν∗ Fs (x)(x) ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn L
≤ lim
r→0
n (Ft ∩ H −
ν∗ Fs (x)(x) ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn ≤ 1
2 ,
53

joten yllä olevan päättelyn perusteella on välttämättä oltava ν∗ Fs (x) = ν∗ Ft (x).
Koska tässä ei luvuista s, t ∈ (λ(x), µ(x)) ∩ A oletettu muuta kuin s > t, pätee
ν∗ Fs (x) = ν∗ (x) kaikilla s, t ∈ (λ(x), µ(x)) ∩ A. Merkitään tätä yksikkövektoria
Ft
symbolilla ν. Nyt siis pätee
L
lim
r→0
n ({f > λ(x) + ε} ∩ H + ν (x) ∩ ¯ B(x, r))
rn = 0 (4.9)
kaikilla ε > 0 — tässä ei tietenkään tarvitse enää rajoittua lukuihin λ(x) + ε ∈
(λ(x), µ(x)) ∩ A. Toisaalta suoraan approksimatiivisen lim inf:in määritelmän
nojalla
L
lim
r→0
n ({f < λ(x) − ε} ∩ ¯ B(x, r))
rn = 0 (4.10)
kaikilla ε > 0. Edelleen korollaarin 2.3.2 nojalla
L
lim
r→0
n ((Rn \Ft) ∩ H −
ν∗ F (x)
t (x) ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn = 0
kaikilla t ∈ (λ(x), µ(x)) ∩ A. Tässä yksikkövektori on taas vakio t:n suhteen:
ν∗ (x) = ν. Tämän perusteella
Ft
L
lim
r→0
n ({f < µ(x) − ε} ∩ H− ν (x) ∩ ¯ B(x, r))
rn = 0 (4.11)
kaikilla ε > 0, ja toisaalta suoraan approksimatiivisen lim sup:in määritelmän
nojalla
L
lim
r→0
n ({f > µ(x) + ε} ∩ ¯ B(x, r))
rn = 0. (4.12)
kaikilla ε > 0. Kiinnitetään ε > 0. Nyt voidaan lähteä laskemaan kohdan (i)
tapaan
2
Ωnrn ˆ
¯B(x,r)∩H + ν
≤ ε n/(n−1)
+ 2
Ωnrn ˆ
ˆ
+ 2
Ωnr n
|f − λ(x)| n/(n−1) dy
¯B(x,r)∩H + |f − λ(x)|
ν ∩{f>λ(x)+ε}
n/(n−1) dy
¯B(x,r)∩H + |f − λ(x)|
ν ∩{f 0 s.e. M > λ(x) + ε ja −M < λ(x) − ε (muistetaan, että
|λ(x)| < ∞). Nyt voidaan viimeistä edellisen rivin termiä arvioida
2
Ωnrn ˆ
¯B(x,r)∩H + |f − λ(x)|
ν ∩{f>λ(x)+ε}
n/(n−1) dy
≤ 2|M − λ(x)| n/(n−1) Ln ({f > λ(x) + ε} ∩ H + ν ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn + 2
Ωnrn ˆ
|f − λ(x)|
¯B(x,r)∩{f>M}
n/(n−1) dy.
54

Tässä ensimmäinen termi menee yhtälön (4.9) nojalla nollaan, kun r → 0.
Epäyhtälön (4.13) toista termiä voidaan arvioida vastaavasti
2
Ωnrn ˆ
¯B(x,r)∩H + |f − λ(x)|
ν ∩{fM}∩ ¯ |f − λ(x)|
B(x,r)
n/(n−1) dy
= 2
Ωnrn ˆ
{f>M}∩ ¯ |(f − M)
B(x,r)
+ + (M − λ(x))| n/(n−1) dy
≤ 2C(n)
Ωnrn ˆ {f>M}∩ ¯ ((f − M)
B(x,r)
+ ) n/(n−1) dy
ˆ
+
(M − λ(x)) n/(n−1)
dy
≤ 2C(n)
Ωnr n
{f>M}∩ ¯ B(x,r)
ˆ
((f − M)
¯B(x,r)
+ ) n/(n−1) dy
+2C(n)(M − λ(x)) n/(n−1) Ln ({f > M} ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn .
Jos nyt oletetaan vielä, että M > µ(x) (muistetaan, että |µ(x)| < ∞), niin
jälkimmäinen termi menee nollaan, kun r → 0, sillä
Tämä myös kertoo, että
L
lim
r→0
n ({f > M} ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn = 0.
L n ({f > M} ∩ ¯ B(x, r))
Ωnr n
55
≤ 1
2

kyllin pienillä r > 0. Tämä on sama kuin
L n ({(f − M) + = 0} ∩ ¯ B(x, r))
Ωnr n
≥ 1
2
kyllin pienillä r > 0. Kuten kohdan (i) todistuksessa, pätee taas [1, s. 189]
2C(n)
Ωnrn ˆ
((f − M)
¯B(x,r)
+ ) n/(n−1) (n−1)/n
dy ≤ C(n)
rn−1 D((f − M)+ )(B(x, r)).
Samaan tyyliin voidaan laskea
2
Ωnrn ˆ
≤ 2C(n)
Ωnrn ˆ {f

kaikilla M > max{|λ(x)|, µ(x)}. Väitteen (i) todistuksessa jo näytettiin, että
yllä olevat kaksi termiä ovat nollia H n−1 -m.k. x ∈ R n , kun vaatimus oli
M > |κ(x)|. Päättely ei muutu lainkaan tästä ehdosta riippuen, joten näin saadaan
todistettua väitteen (ii) ensimmäinen osa. Toinen osa voidaan todistaa
samanlaisilla laskuilla, ja myös vektori ν = ν(x) tulee kaavojen (4.11) ja (4.12)
nojalla olemaan sama.
4.3 Pohdintaa
Selvitetään nyt hieman lauseen 4.2.1 väitteiden ja niiden seurauksien merkitystä.
Vahvimman tuloksen lause antaa selvästi pisteille x ∈ Rn \ J (Hn−1- nollamittaista joukkoa lukuunottamatta), joten tarkastellaan ensin hieman joukon
J suuruutta. Heti tiedetään, että Ln (J) = 0, sillä Ln-mitallinen funktio
on approksimatiivisesti jatkuva Ln-melkein kaikkialla [1, s. 47]. (”Ln-mitallinen funktio” oletetaan tässä reaaliarvoiseksi — mutta toisaalta integroituva funktio
saa tietenkin arvoja ±∞ vain Ln-nollamittaisessa joukossa.) Toisaalta korollaarin
4.1.6 mukaan joukko J on σ-äärellinen mitan Hn−1 suhteen Rn :ssä, eli J
voidaan esittää muodossa
∞
J = Ji,
i=1
missä Hn−1 (Ji) < ∞ kaikilla i ∈ N. Tämä tarkoittaa [1, s. 65], että Hn−1+δ (Ji) =
0 kaikilla i ∈ N ja δ > 0. Siis
H n−1+δ (J) = H n−1+δ
∞
∞
≤ H n−1+δ (Ji) = 0
i=1
kaikilla δ > 0. Joukko J on siis olennaisesti ”pienempi” kuin yleinen L n -nollamittainen
joukko. Toisaalta on huomattava, että koska BV-funktiot määritellään
vain L n -nollamittaisia joukkoja lukuunottamatta, ei BV-funktioiden approksimatiiviselle
jatkuvuudelle voida saada parempaa tulosta kuin mitä saadaan
yleiselle L n -mitalliselle funktiolle. Sen sijaan λ ja µ ovat pisteittäin määriteltyjä
funktioita, joten myös J on pisteittäin hyvin määritelty joukko. Edelleen
approksimatiivinen raja-arvo κ(x) on pisteittäin määritelty lukuunottamatta
määrättyä L n -nollamittaista joukkoa (jossa κ(x) voidaan tarvittaessa määritellä
vaikkapa nollaksi). Koska BV-funktio on L n -mitallisena approksimatiivisesti
jatkuva L n -melkein kaikkialla, pätee
Ji
i=1
f(x) = κ(x) = λ(x) = µ(x)
L n -m.k. x ∈ R n . Kolme jälkimmäistä ovat siis kaikki käypiä funktion f ∈
BV (R n ) (pisteittäin määriteltyjä) edustajia. Erityisesti edustaja κ(x) on approksimatiivisesti
jatkuva joukossa R n \(J ∪ I), missä H n−1+δ (J ∪ I) = 0 kaikilla
δ > 0. Tämä on paljon vahvempi tulos kuin mitä saadaan yleiselle L n -
mitalliselle funktiolle. Edelleen H n−1 -m.k. x ∈ R n \(J ∪ I) pätee lauseen 4.2.1
57

ja Hölderin epäyhtälön nojalla
lim
r→0
|f − κ(x)|dy ≤ lim
¯B(x,r)
r→0
|f − κ(x)|
¯B(x,r)
n/(n−1) dy
(n−1)/n
= 0.
Tämä tarkoittaa, että nämä kaikki ovat Lebesguen pisteitä esimerkiksi lähteessä
[4, s. 458] käytettävän määritelmän mukaan. Huomautettakoon, että Lebesguen
pisteet määritellään joskus (ks. esim. [1, s. 44]) vaatimalla, että itseisarvojen sisällä
oleva erotus on f − f(x), eikä yleinen f − a sopivasti valitulla a ∈ R. Nähdään,
että nyt tällainen vaatimus heikentäisi saatuja tuloksia huomattavasti,
sillä f ∈ BV (R n ) voi olla mitä tahansa L n -nollamittaisessa joukossa. Nyt siis
saatu tulos on kuitenkin huomattavasti vahvempi kuin yleisille L 1 -funktioille
saatava tulos, jonka mukaan kaikki R n :n pisteet L n -nollamittaista joukkoa lukuunottamatta
ovat Lebesguen pisteitä. Toisaalta tulos on (luonnollisesti) heikompi
kuin Sobolevin funktioille, joille saadaan: jos f ∈ W 1,p (R n ), 1 ≤ p < n,
kaikki R n :n pisteet H s -nollamittaista joukkoa lukuunottamatta ovat Lebesguen
pisteitä, missä s:n tulee toteuttaa s > n − p [1, s. 156, 160–162].
Jos toisaalta x ∈ J, x ei tietenkään voi olla approksimatiivisen jatkuvuuden
piste, sillä λ(x) = µ(x). Samoin x ei voi olla Lebesguen piste, mikä nähdään
seuraavasti. Jos jollain a ∈ R olisi
pätisi myös
lim sup
r→0
lim
r→0
L n ({|f − a| > ε} ∩ ¯ B(x, r))
Ωnr n
|f − a|dy = 0,
¯B(x,r)
≤ 1
ε lim
r→0
|f − a|dy = 0
¯B(x,r)
kaikilla ε > 0. Siis approksimatiivinen raja-arvo olisi olemassa pisteessä x.
Lauseesta 4.2.1 kuitenkin nähdään, että myös H n−1 -m.k. x ∈ J ovat ”toispuoleisia”
Lebesguen pisteitä. Määritellään siis:
jos
ap lim f(y) = t,
y→x
y∈A
L
lim
r→0
n ({y ∈ A | |f(y) − t| > ε} ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn = 0
58

kaikilla ε > 0, ja joukon A ⊂ R n tiheys pisteessä x ei ole nolla. Nyt
L
lim
r→0
n ({y ∈ H + ν (x) | |f − λ(x)| > ε} ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn 1
≤ lim
r→0 Ωnrn ˆ
H n−1 -m.k. x ∈ J, eli
ˆ
1 1
= lim
r→0 2ε 1
2Ωnr n
= 1
2ε lim
r→0
H + ν (x)∩ ¯ B(x,r)
H + ν (x)∩ ¯ B(x,r)
|f − λ(x)|
dy
ε
|f − λ(x)|dy
H + ν (x)∩ ¯ |f − λ(x)|
B(x,r)
n/(n−1) dy
ap lim
y→x
y∈H +
ν (x)
f(y) = λ(x)
H n−1 -m.k. x ∈ J. Samaan tyyliin voidaan osoittaa, että
ap lim
y→x
y∈H −
ν (x)
f(y) = µ(x)
(n−1)/n
H n−1 -m.k. x ∈ J. Näin siis nähdään, että BV-funktiossa esiintyy ”hyppäyksiä”
(joiden suuruus on µ(x) − λ(x)) yli C 1 -hyperpintojen, joista joukko J lauseen
4.1.5 mukaan koostuu. Tätä intuitiota vahvistaa vielä seuraava tulos: jos funktiolla
on approksimatiivinen raja-arvo a pisteessä x, on olemassa L n -mitallinen
joukko A ⊂ R n , jonka tiheys pisteessä x on yksi, ja funktion rajoittumalla joukkoon
A on (klassinen) raja-arvo a pisteessä x [2, s. 250].
Määritellään lopuksi vielä yksi f:n edustaja
ξ(x) :=
λ(x) + µ(x)
.
2
Tämä saa äärellisiä arvoja aina, kun x /∈ I, eli H n−1 -m.k. x ∈ R n . Pisteille
x ∈ R n \(J ∪ I) pätee nyt κ(x) = ξ(x). Jos käytetään integraalikeskiarvosta
merkintää fG, missä G ⊂ R n , H n−1 -melkein kaikille näistä pisteistä saadaan
lim
r→0 |f ¯ B(x,r) − κ(x)| = lim |
r→0
fdy − κ(x)| ≤ lim
¯B(x,r)
r→0
59
= 0
|f − κ(x)|dy = 0.
¯B(x,r)

Lauseen 4.2.1 avulla puolestaan saadaan H n−1 -m.k. x ∈ J
lim
r→0 |f ¯ B(x,r) − ξ(x)| = lim |
r→0
= lim |
r→0 1
2
1
≤ lim
r→0 2
1
≤ lim
r→0 2
= 0.
1
+ lim
r→0 2
¯B(x,r)∩H − fdy +
ν (x)
1
2
fdy − ξ(x)|
¯B(x,r)
¯B(x,r)∩H + fdy −
ν (x)
¯B(x,r)∩H + |f − λ(x)|
ν (x)
n/(n−1) dy
λ(x) + µ(x)
|
2
¯B(x,r)∩H + 1
|f − λ(x)|dy + lim
ν (x)
r→0 2 ¯B(x,r)∩H − |f − µ(x)|dy
ν (x)
(n−1)/n
¯B(x,r)∩H − |f − µ(x)|
ν (x)
n/(n−1) dy
(n−1)/n
Yhteensä siis limr→0 f ¯ B(x,r) = ξ(x) H n−1 -m.k. x ∈ R n . Tämä tarkoittaa, että
f:n tarkka edustaja f ∗ (x) := limr→0 f ¯ B(x,r) (joka luonnollisesti kelpaa myös
f:n edustajaksi) saa äärellisen arvon H n−1 -m.k. x ∈ R n . Tämä antaa luontevan
tavan määritellä BV-funktio myös L n -nollamittaisissa joukoissa. Erityisesti saadaan
mahdollinen tapa määritellä BV-funktion jälki funktion määrittelyalueen
(jos se on rajoitettu joukko) reunalla [2, s. 255–].
60

Kirjallisuutta
[1] Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. Measure theory and fine properties
of functions. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton,
FL, 1992. viii+268 pp. ISBN: 0-8493-7157-0 (Reviewer: R. G. Bartle).
[2] Ziemer, William P. Weakly differentiable functions. Sobolev spaces and functions
of bounded variation. Graduate Texts in Mathematics, 120. Springer-
Verlag, New York, 1989. xvi+308 pp. ISBN: 0-387-97017-7.
[3] Giusti, Enrico. Minimal surfaces and functions of bounded variation. Monographs
in Mathematics, 80. Birkhäuser Verlag, Basel, 1984. xii+240 pp.
ISBN: 0-8176-3153-4 (Reviewer: Helmut Kaul).
[4] Jones, Frank(1-RICE). Lebesgue integration on Euclidean space. Jones and
Bartlett Publishers, Boston, MA, 1993. xvi+588 pp. ISBN: 0-86720-203-3.
[5] Ambrosio, Luigi(I-SNS); Fusco, Nicola(I-FRNZ); Pallara, Diego(I-LECCE).
Functions of bounded variation and free discontinuity problems. Oxford Mathematical
Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New
York, 2000. xviii+434 pp. ISBN: 0-19-850245-1.
[6] De Giorgi, E.; Colombini, F.; Piccinini, L. C. Frontiere orientate di misura
minima e questioni collegate. (Italian) Scuola Normale Superiore, Pisa, 1972.
177 pp.
[7] Oleĭnik, O. A. Discontinuous solutions of non-linear differential equations.
Amer. Math. Soc. Transl. (2) 26 1963 95–172.
[8] Bogachev, V. I. Measure theory. Vol. I, II. Springer-Verlag, Berlin, 2007. Vol.
I: xviii+500 pp., Vol. II: xiv+575 pp. ISBN: 978-3-540-34513-8; 3-540-34513-
2 (Reviewer: René L. Schilling).
61