Master's Thesis - Matematiikan ja systeemianalyysin laitos - Aalto ...

Otetaan j ∈ N ja ε > 0. Koska ∂E on Radon-mitta, on olemassa [1, s. 8] avoin
joukko U ⊃ Fj s.e.
∂E(U) ≤ ∂E(Fj) + ε = ε.
Joukon Fj määritelmän nojalla jokaista x ∈ Fj kohti on olemassa mielivaltaisen
pieni säde r > 0 s.e.
∂E( ¯ B(x, r))
r n−1
> 1
j .
Erityisesti pallo ¯ B(x, r) saadaan kuulumaan avoimeen joukkoon U. Otetaan
sitten δ > 0 ja määritellään
A := ¯B(x, r) | x ∈ R n \∂ ∗ E, 0 < r < δ, ¯ B(x, r) ⊂ U, ∂E( ¯ B(x, r))
rn−1 > 1
.
j
Selvästi A muodostaa Fj:n peitteen. Vitalin peitelauseen mukaan voidaan valikoida
A:sta numeroituva kokoelma pistevieraita palloja { ¯ B(x k , rk)} ∞ k=1 s.e.
Fj ⊂
∞
k=1
¯B(x k , 5rk).
Nyt diam ¯ B(x k , 5rk) ≤ 10δ kaikilla k ∈ N, joten voidaan laskea
H n−1
10δ (Fj) ≤
∞
Ωn−1(5rk) n−1
k=1
≤ Ωn−15 n−1 j
∞
∂E( ¯ B(x k , rk))
k=1
≤ Ωn−15 n−1 j∂E(U)
< Ωn−15 n−1 jε.
Antamalla ε → 0 saadaan H n−1
10δ (Fj) = 0, ja antamalla sitten δ → 0 saadaan
Hn−1 (Fj) = 0. Koska tässä j ∈ N oli mielivaltainen, saadaan
H n−1 (F ) = H n−1
⎛ ⎞
∞
⎝
∞
⎠ ≤ H n−1 (Fj) = 0.
j=1
Lopulta saadaan H n−1 (∂∗E\∂ ∗ E) ≤ H n−1 (F ) = 0, mikä onkin väite (ii).
Fj
26
j=1