Master's Thesis - Matematiikan ja systeemianalyysin laitos - Aalto ...

Määritellään nyt kaikkia pisteitä x ∈ R n ja yksikkövektoreita ν kohti hypertaso
ja puoliavaruudet
Hν(x) := {y ∈ R n | ν · (y − x) = 0}
H − ν (x) := {y ∈ R n | ν · (y − x) ≤ 0},
H + ν (x) := {y ∈ R n | ν · (y − x) ≥ 0}.
Vertaamalla aiempiin merkintöihin todetaan, että jos x ∈ ∂ ∗ E, niin esimerkiksi
H− (x) (ilman alaindeksiä) on sama kuin H −
ν∗ E (x)(x), eli oletusarvoisesti yksikkövektori
otetaan redusoidun reunan määritelmästä. Todistetaan nyt yksinkertainen,
mutta hieman tekninen lemma.
Lemma 3.2.2. Jos joukolla E ⊂ R n on lokaalisti äärellinen perimetri R n :ssä
ja funktio ν ∗ E on jatkuva joukossa A ⊂ ∂∗ E, niin kiinnitetyllä r > 0 funktio
mr : x ↦−→ Ln (E ∩ H − (x) ∩ ¯ B(x, r))
r n
on A:ssa jatkuva (vrt. korollaarissa 2.3.2 esiintyviin lausekkeisiin). Sama pätee,
jos puoliavaruus H − (x) korvataan puoliavaruudella H + (x), tai joukko E
komplementillaan. Edelleen yleisellä E ⊂ R n funktio
on jatkuva kiinnitetyllä r > 0.
x ↦−→ Ln (E ∩ ¯ B(x, r))
rn ,
Todistus. Jos yleisesti B ⊂ R n ja C ⊂ R n ovat joukkoja s.e.
L n (B) < ∞, L n (C) < ∞,
pätee tietenkin L n (B) ≤ L n (C) + L n (B\C),
L n (C) ≤ L n (B) + L n (C \B).
Näistä saadaan
|L n (B) − L n (C)| ≤ L n (B\C) + L n (C \B). (3.4)
Nyt voidaan osoittaa mr:n jatkuvuus ottamalla piste x ∈ A ja jono (x i ) ⊂ A,
x i → x, ja tarkastelemalla lauseketta
|mr(x i ) − mr(x)|
=
L
n (E ∩ H− (xi ) ∩ ¯ B(xi , r))
rn − Ln (E ∩ H − (x) ∩ ¯ B(x, r))
r n
= 1
r n |Ln (E ∩ H − (x i ) ∩ ¯ B(x i , r)) − L n (E ∩ H − (x) ∩ ¯ B(x, r))|.
28