Master's Thesis - Matematiikan ja systeemianalyysin laitos - Aalto ...
Master's Thesis - Matematiikan ja systeemianalyysin laitos - Aalto ...
Master's Thesis - Matematiikan ja systeemianalyysin laitos - Aalto ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
missä ∂E(N) = 0. Lisäksi jokaisessa Kk, k ∈ N, funktio ν∗ E on <strong>ja</strong>tkuva <strong>ja</strong><br />
funktioiden m 1 r, . . . , m 4 r suppeneminen kohti ra<strong>ja</strong>-arvo<strong>ja</strong>an on tasaista.<br />
Määritellään sitten kaikilla k ∈ N <strong>ja</strong> x, y ∈ Kk<br />
q(x, y) := ν∗ E<br />
(x) · (y − x)<br />
.<br />
|y − x|<br />
Valitaan mikä tahansa k ∈ N <strong>ja</strong> osoitetaan, että q(x, y) → 0 tasaisesti joukossa<br />
Kk, kun |y − x| → 0. Tehdään ensin vastaoletus, että on olemassa ε > 0 <strong>ja</strong><br />
jonot (x i ) ⊂ Kk, (y i ) ⊂ Kk s.e. |x i − y i | → 0 <strong>ja</strong> q(x i , y i ) ≥ ε kaikilla i ∈ N<br />
(katsotaan myöhemmin tapaus q(x i , y i ) ≤ −ε). Intuitiivisesti vastaoletus sanoo,<br />
että vektori y i − x i on vähintään tietyssä määrin samansuuntainen vektorin<br />
ν ∗ E (xi ) kanssa kaikilla i ∈ N.<br />
Tutkitaan nyt pisteiden x i <strong>ja</strong> y i ympärille piirrettyjä pieniä pallo<strong>ja</strong>, joita on<br />
havainnollistettu kuvassa 3.1. Ensinnäkin pätee<br />
¯B(y i , ε|y i − x i |) ⊂ ¯ B(x i , (1 + ε)|y i − x i |),<br />
sillä jos z ∈ ¯ B(y i , ε|y i − x i |), niin |z − y i | ≤ ε|y i − x i |, <strong>ja</strong> tällöin<br />
|z − x i | ≤ |z − y i | + |y i − x i | ≤ ε|y i − x i | + |y i − x i | ≤ (1 + ε)|y i − x i |.<br />
Lisäksi pätee ¯ B(y i , ε|y i − x i |) ⊂ H + (x i ), sillä jos taas z ∈ ¯ B(y i , ε|y i − x i |), niin<br />
z = y i + w, missä |w| ≤ ε|y i − x i |. Tehdyn vastaoletuksen perusteella<br />
ν ∗ E(x i ) · (z − x i ) = ν ∗ E(x i ) · (y i − x i ) + ν ∗ E(x i ) · w<br />
sillä |ν ∗ E (xi )| = 1. Yhteensä siis<br />
≥ ε|y i − x i | − |ν ∗ E(x i )||w| ≥ 0,<br />
¯B(y i , ε|y i − x i |) ⊂ ¯ B(x i , (1 + ε)|y i − x i |) ∩ H + (x i )<br />
kaikilla i ∈ N. Toisin sanoen saadaan jono y i -keskisiä pallo<strong>ja</strong>, joista kukin sisältyy<br />
hieman suurempaan x i -keskiseen palloon <strong>ja</strong> myös puoliavaruuteen H + (x i ).<br />
Ottamalla leikkaus molemmilta puolilta joukon E kanssa saadaan edelleen<br />
¯B(y i , ε|y i − x i |) ∩ E ⊂ ¯ B(x i , (1 + ε)|y i − x i |) ∩ H + (x i ) ∩ E. (3.7)<br />
Muistamalla nyt, että funktio m 1 r suppenee tasaisesti kohti arvoa 1/2 joukossa<br />
Kk, saadaan, että<br />
L n ( ¯ B(y i , ε|y i − x i |) ∩ E) ≥ L n ( ¯ B(y i , ε|y i − x i |) ∩ E ∩ H − (y i ))<br />
≥ 1<br />
3 Ωn(ε|y i − x i |) n , (3.8)<br />
34
Change language