Master's Thesis - Matematiikan ja systeemianalyysin laitos - Aalto ...

kun |y i −x i | < δ sopivalla δ > 0, sillä funktio m 4 r suppenee tasaisesti kohti arvoa
1/2. Nämä yhdistämällä saadaan
L n ( ¯ B(x i , (1 + ε)|y i − x i |) ∩ H − (x i ) ∩ (R n \E))
≥ L n ( ¯ B(y i , ε|y i − x i |) ∩ (R n \E))
≥ 1
3 Ωn(ε|y i − x i |) n
kaikilla kyllin suurilla i ∈ N. Tämä on kuitenkin ristiriita sen kanssa, että funktio
m 3 r suppenee tasaisesti nollaan joukossa Kk. Kaiken kaikkiaan siis saadaan
millä tahansa k ∈ N, että q(x, y) → 0 tasaisesti joukossa Kk, kun |y − x| → 0.
Muistetaan, että ν ∗ E on jatkuva valitussa joukossa Kk, ja määritellään lisäksi
(jatkuva) funktio fk ≡ 0 Kk:ssa. Nyt ν ∗ E :n voidaan ajatella olevan fk:n gradientti
joukossa Kk, ja Whitneyn ekstensiolauseen [1, s. 245] mukaan on olemassa
funktio ˆ fk ∈ C 1 (R n ) s.e. Kk:ssa ˆ fk ≡ 0 ja ∇ ˆ fk=ν ∗ E . Koska siis |∇ ˆ fk| = 1
Kk:ssa ja gradientti on jatkuva, on olemassa avoin ja rajoitettu joukko Uk ⊃ Kk
ja edelleen avoin ja rajoitettu Vk ⊃⊃ Uk s.e. |∇ ˆ fk| ≥ 1/2 Vk:ssa. Määritellään
sitten joukko
Sk = {x ∈ Vk | ˆ fk(x) = 0} ⊂ Vk.
Ensin todetaan, että koska ˆ fk on jatkuva, Sk on suljettu Vk:ssa. Jokaisella x ∈ Sk
pätee |∇ ˆ fk(x)| > 0, joten |(∇ ˆ fk(x))i| > 0 jollain i = 1, . . . , n. Nyt implisiittifunktiolauseen
mukaan Sk voidaan esittää jossain pisteen x ∈ Sk ympäristössä
muodossa
Sk = {x ∈ R n | xi = gk(x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn)},
missä gk on C 1 -funktio. Selvästi Kk ⊂ Sk. Tämä tarkoittaa, että jokainen Kk on
C 1 -hyperpinnan kompakti osajoukko, mikä todistaa väitteen (i). Koska edelleen
Sk on funktion ˆ fk tasa-arvopinta, ∇ ˆ fk on aina pintaa vastaan kohtisuorassa, eli
ν ∗ E on Sk:ta vastaan kohtisuorassa. Tämä on väite (ii).
Todistetaan sitten, että ∂E = H n−1 ∂ ∗ E. Ensin todetaan, että ∂E on
Radon-mitta ja H n−1 ∂ ∗ E = H n−1 ∂∗E, sillä lauseen 3.1.2 mukaan
H n−1 (∂∗E\∂ ∗ E) = 0.
Koska toisaalta lemman 3.2.3 mukaan mittateoreettinen reuna ∂∗E on Boreljoukko,
H n−1 ∂ ∗ E on Borel-säännöllinen ulkomitta [1, s. 5]. Selvästi pätee
R n = (R n \∂ ∗ E) ∪
∞
Kk ∪ N. (3.9)
Tässä joukot Kk ovat tietenkin kompakteina sekä ∂E- että H n−1 ∂ ∗ E-mitallisia.
Muistetaan, että ∂E(R n \∂ ∗ E) = 0 ja (triviaalisti) H n−1 ∂ ∗ E(R n \∂ ∗ E) = 0.
Edelleen lemman 3.2.1 nojalla
k=1
H n−1 ∂ ∗ E(N) ≤ C(n)∂E(N) = 0.
36