Master's Thesis - Matematiikan ja systeemianalyysin laitos - Aalto ...

More documents

Recommendations

Info

Huomautus. Vektoria ν∗ E (x), joka toteuttaa kohdat (i) ja (ii), kutsutaan joskus E:n mittateoreettiseksi normaaliksi (muistetaan, että ν∗ E (x) on puoliavaruuksien H − (x) ja H + (x) normaali) [2, s. 240]. Kohta (iii) puolestaan on vahvempi versio lemman 2.2.3 kohdista (iii) ja (iv). 22
Luku 3 Redusoidun reunan struktuurilause Edellisessä luvussa selviteltiin lokaalisti äärellisperimetrisen joukon ja sen perimetrimitan käyttäytymistä redusoidun reunan pisteiden lähellä. Tässä luvussa näytetään aluksi, että redusoitu reuna on hyvin lähellä toista joukkoa, niin kutsuttua mittateoreettista reunaa. Sitten todistetaan vahva tulos redusoidun reunan rakenteesta. 3.1 Mittateoreettinen reuna Aloitetaan suoraan määritelmästä. Määritelmä 3.1.1. Olkoon x ∈ R n . Sanotaan, että x kuuluu joukon E ⊂ R n mittateoreettiseen reunaan ∂∗E, jos ja lim sup r→0 lim sup r→0 L n (E ∩ ¯ B(x, r)) r n > 0 L n ((R n \E) ∩ ¯ B(x, r)) r n > 0. Huomataan, että määritelmä on varsin intuitiivinen: karkeasti ottaen mittateoreettiseen reunaan kuuluvan pisteen (mielivaltaisen pieneen) ympäristöön tulee kuulua jonkin verran sekä joukkoa E että sen komplementtia. Selvästi jos piste on joukon E tai sen komplementin sisäpiste, toinen yllä olevista raja-arvoista on nolla, eikä piste voi kuulua mittateoreettiseen reunaan. Joukon mittateoreettinen reuna siis on (kuten redusoitu reunakin) topologisen reunan osajoukko. Edelleen voidaan todeta, että mittateoreettisen reunan määritelmä toimii 23
Page 1 and 2: Panu Lahti Aalto-yliopisto Perustie
Page 3 and 4: Aalto University School of Science
Page 5 and 6: Luku 1 Johdanto Tämän diplomityö
Page 7 and 8: eunoihin. Nyt voidaan edellisen luv
Page 9 and 10: Luku 2 Redusoitu reuna Tarkastellaa
Page 11 and 12: että funktio ν ∗ E on funktion
Page 13 and 14: Todistus. Oletetaan, että µ(∂
Page 15 and 16: Alla olevan kaavan (2.6) perusteell
Page 17 and 18: Kohta (iii) on näin todistettu. Lo
Page 19 and 20: Yhtälöt (2.10) ja (2.11) kertovat
Page 21 and 22: saadaan = lim k→∞ lim νEs d∂
Page 23 and 24: jollain ˜ϕ ∈ C1 0(Rn ), ˜ϕ
Page 25: Todistetusta lauseesta saadaan help
Page 29 and 30: Jos nimittäin näin ei olisi, joll
Page 31 and 32: 3.2 Redusoidun reunan rakenne Ennen
Page 33 and 34: Itseisarvomerkkien sisällä oleva
Page 35 and 36: (i) Redusoitu reuna voidaan esittä
Page 37 and 38: Siis m 2 r → 0 Ai1:ssä tasaisest
Page 39 and 40: Kuva 3.1: Funktiolle q(x, y) tehdyn
Page 41 and 42: Yhteensä siis kaikki hajotelman (3
Page 43 and 44: Huomautus. Tulosta ∂E = H n−1
Page 45 and 46: Määritelmä 4.1.2. Jos on annettu
Page 47 and 48: Todistus. Otetaan mikä tahansa x
Page 49 and 50: voidaan nyt poimia numeroituva koko
Page 51 and 52: Integroimisalue voitiin tässä laa
Page 53 and 54: 226], joten voidaan laskea 1 Ωnrn
Page 55 and 56: Saadaan siis edelleen D((f − M) +
Page 57 and 58: sillä ˆ ∞ ∂Ft(R −∞ n )dt
Page 59 and 60: Tässä ensimmäinen termi menee yh
Page 61 and 62: kaikilla M > max{|λ(x)|, µ(x)}. V
Page 63 and 64: kaikilla ε > 0, ja joukon A ⊂ R
Page 65: Kirjallisuutta [1] Evans, Lawrence

Master's Thesis - Matematiikan ja systeemianalyysin laitos - Aalto ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?