Master's Thesis - Matematiikan ja systeemianalyysin laitos - Aalto ...

merkitään (r1k), voidaan olettaa, että χEr1k (0) → fi myös Ln-m.k. B(0, i):ssä.
Nyt edelleen (χEr1k (0)) ∞ k=1 on rajoitettu jono BV (B(0, i + 1)):ssä (perustellaan
samaan tapaan kuin yllä), joten kompaktisuuden perusteella tämän osajono
(χEr2k (0)) suppenee L1 (B(0, i+1)):ssä ja Ln-m.k. B(0, i+1):ssä kohti funktiota
fi+1 ∈ BV (B(0, i + 1)). Koska toisaalta myös χEr2k (0) → fi L1 (B(0, i)):ssä, on
oltava fi+1 = fi Ln-m.k. B(0, i):ssä.
Jatkamalla näin voidaan määritellä funktio f ∈ BVloc(R n ) s.e. f = fi L n -
m.k. B(0, i):ssä jokaisella i ∈ N. Lopulta saadaan, että ”diagonaalinen jono”
(χ Erkk (0)) ∞ k=1 suppenee L1 (B(0, i)):ssä ja L n -m.k. B(0, i):ssä kohti funktiota
f| B(0,i) ∈ BV (B(0, i)) kaikilla i ∈ N. Merkitään sk := rkk. Koska L n -m.k.
y ∈ R n pätee χ Esk (0)(y) ∈ {0, 1} kaikilla k ∈ N, nämä jonot voivat lähestyä
vain arvoja 0 ja 1. Täten f = χF avaruudessa L 1 loc (Rn ), ja siten avaruudessa
BVloc(R n ), jollain F ⊂ R n . Kaiken kaikkiaan siis χ Esk (0) → χF L 1 loc (Rn ):ssä,
missä χF ∈ BVloc(R n ), eli toisin sanoen F :llä on lokaalisti äärellinen perimetri
R n :ssä. Vielä pitäisi todistaa, että joukko F on juuri toivottu puoliavaruus.
Käyttämällä ensin BV-funktioiden struktuurilausetta, sitten tietoa χEsk (0) →
χF L1 loc (Rn ):ssä, ja lopuksi uudelleen BV-funktioiden struktuurilausetta, saadaan
millä tahansa ϕ ∈ C1 0(Rn ; Rn )
ˆ
Rn ˆ
ϕ · νEsk (0) d∂Esk (0) =
Rn ˆ
ˆ
χEsk (0)∇ · ϕ dy
→ χF ∇ · ϕ dy = ϕ · νF d∂F ,
R n
kun k → ∞. Tämä tarkoittaa [1, s. 54], että ∂Esk (0)νEs (0) ⇀ ∂F νF
k
(Radon-mittojen heikko suppeneminen), missä siis (kirjoitetaan Esk (0) tästä
lähtien lyhyemmin Esk )
∂Esk νEs
ˆ
(B) =
k
R n
νEs d∂Esk k
B
kaikilla Borel-joukoilla B ⊂ Rn . Todettu heikko suppeneminen antaa kaikilla
L > 0, joilla ∂F (∂ ¯ B(0, L)) = 0, että [1, s. 54]
ˆ
ˆ
νEs d∂Esk →
k
¯B(0,L)
νF d∂F ,
¯B(0,L)
(2.12)
kun k → ∞. Lemman 2.2.1 mukaan ∂F (∂ ¯ B(0, L)) = 0 kaikilla paitsi korkeintaan
numeroituvan monella L > 0. Kaiken kaikkiaan on siis saatu toinenkin
tapa, jolla joukko Esk ”lähestyy” joukkoa F .
Käyttämällä nyt ensin yhtälöitä (2.10) ja (2.11) ja sitten tietoa, että 0 ∈ ∂ ∗ E,
16