Master's Thesis - Matematiikan ja systeemianalyysin laitos - Aalto ...

More documents

Recommendations

Info

Luku 4 BV-funktioiden pisteittäiset ominaisuudet Siirrytään tarkastelemaan tässä luvussa yleisiä BV-funktioita, rajoittumatta siis lokaalisti äärellisperimetrisiin joukkoihin. Luvussa päästään soveltamaan kahdessa edellisessä luvussa saatuja tuloksia muistamalla, että BV-funktioiden coarea-kaavan mukaan BV-funktion tasojoukoilla on (lokaalisti) äärellinen perimetri R n :ssä. Tätä hyödyntäen voidaan todistaa, että jokainen BV-funktio on mittateoreettisessa mielessä jatkuva lukuunottamatta ”hyppäyksiä” yli C 1 - hyperpintojen. Tarkasti tämä ilmaistaan Lebesguen lauseen BV-funktioille pätevässä versiossa. 4.1 Mittateoreettinen raja-arvo ja jatkuvuus Tarkastellaan ensin (yleisen) funktion mittateoreettista jatkuvuutta. Määritelmä 4.1.1. Funktion f : R n ↦−→ [−∞, ∞] approksimatiivinen rajaarvo pisteessä x ∈ R n on κ(x) ∈ R, jos L lim r→0 n ({y ∈ Rn | |f(y) − κ(x)| > ε} ∩ ¯ B(x, r)) rn = 0 kaikilla ε > 0. Tällöin merkitään ap lim y→x f(y) = κ(x). Määritelmä siis sanoo, että joukon {y ∈ R n | |f(y)−κ(x)| > ε} = {|f−κ(x)| > ε} (käytetään jatkossa tällaista tiivistettyä merkintää) tiheyden on oltava nolla pisteessä x mielivaltaisen pienillä ε > 0. On varsin helppo nähdä, että approksimatiivinen raja-arvo on yksikäsitteinen [1, s. 46]. Määritellään edelleen approksimatiivinen lim inf ja approksimatiivinen lim sup. 40
Määritelmä 4.1.2. Jos on annettu funktio f : Rn ↦−→ [−∞, ∞], niin L λ(x) := ap lim inf f(y) := sup s ∈ R | lim y→x r→0 n ({f < s} ∩ ¯ B(x, r)) rn = 0 , L µ(x) := ap lim sup f(y) := inf s ∈ R | lim y→x r→0 n ({f > s} ∩ ¯ B(x, r)) rn = 0 . Intuitiivisesti esimerkiksi µ(x) on ”suurin” luku s, jolla joukon {f > s} tiheys pisteessä x on nollaa suurempi. Jos pätee lim sup r→0 L n ({f < s} ∩ ¯ B(x, r)) r n kaikilla s ∈ R, määritellään λ(x) = −∞, ja jos > 0 L lim r→0 n ({f < s} ∩ ¯ B(x, r)) rn = 0 kaikilla s ∈ R, asetetaan λ(x) = ∞. Samoin voi olla µ(x) = ±∞. Tämä huomioon ottaen λ ja µ ovat joka pisteessä hyvin määriteltyjä ja yksikäsitteisiä. Voidaan varsin helposti näyttää, että λ(x) ≤ µ(x) kaikilla x ∈ R n . Edelleen voidaan todeta, että jos λ(x) = µ(x) = t ∈ R, niin kaikilla ε > 0 pätee L lim r→0 n ({|f − t| > ε} ∩ ¯ B(x, r)) = lim r→0 r n L n ({f > t + ε} ∩ ¯ B(x, r)) r n L + lim r→0 n ({f < t − ε} ∩ ¯ B(x, r)) rn = 0, eli saadaan t = κ(x). Samoin on selvää, että jos approksimatiivinen raja-arvo κ(x) on olemassa, pätee λ(x) = µ(x) = κ(x). Approksimatiivinen jatkuvuus määritellään luonnollisella tavalla: Määritelmä 4.1.3. Funktio f : R n ↦−→ [−∞, ∞] on approksimatiivisesti jatkuva pisteessä x ∈ R n , jos κ(x) = f(x), eli jos approksimatiivinen raja-arvo ja funktion arvo yhtyvät. Todetaan, että approksimatiivinen jatkuvuus eroaa tavallisesti jatkuvuudesta siten, että funktion arvot esimerkiksi jollain pistettä x lähestyvällä pistejonolla voivat olla mitä tahansa, sillä funktion arvot yksittäisissä pisteissä eivät vaikuta approksimatiiviseen raja-arvoon. Todistetaan nyt tulos λ:n ja µ:n mitallisuudesta. Lemma 4.1.4. Funktiot λ ja µ ovat Borel-mitallisia. Todistus. Määritellään lukuun t ∈ R liittyvä funktion f : R n ↦−→ [−∞, ∞] tasojoukko Ft := {y ∈ R n | f(y) > t}. 41
Page 1 and 2: Panu Lahti Aalto-yliopisto Perustie
Page 3 and 4: Aalto University School of Science
Page 5 and 6: Luku 1 Johdanto Tämän diplomityö
Page 7 and 8: eunoihin. Nyt voidaan edellisen luv
Page 9 and 10: Luku 2 Redusoitu reuna Tarkastellaa
Page 11 and 12: että funktio ν ∗ E on funktion
Page 13 and 14: Todistus. Oletetaan, että µ(∂
Page 15 and 16: Alla olevan kaavan (2.6) perusteell
Page 17 and 18: Kohta (iii) on näin todistettu. Lo
Page 19 and 20: Yhtälöt (2.10) ja (2.11) kertovat
Page 21 and 22: saadaan = lim k→∞ lim νEs d∂
Page 23 and 24: jollain ˜ϕ ∈ C1 0(Rn ), ˜ϕ
Page 25 and 26: Todistetusta lauseesta saadaan help
Page 27 and 28: Luku 3 Redusoidun reunan struktuuri
Page 29 and 30: Jos nimittäin näin ei olisi, joll
Page 31 and 32: 3.2 Redusoidun reunan rakenne Ennen
Page 33 and 34: Itseisarvomerkkien sisällä oleva
Page 35 and 36: (i) Redusoitu reuna voidaan esittä
Page 37 and 38: Siis m 2 r → 0 Ai1:ssä tasaisest
Page 39 and 40: Kuva 3.1: Funktiolle q(x, y) tehdyn
Page 41 and 42: Yhteensä siis kaikki hajotelman (3
Page 43: Huomautus. Tulosta ∂E = H n−1
Page 47 and 48: Todistus. Otetaan mikä tahansa x
Page 49 and 50: voidaan nyt poimia numeroituva koko
Page 51 and 52: Integroimisalue voitiin tässä laa
Page 53 and 54: 226], joten voidaan laskea 1 Ωnrn
Page 55 and 56: Saadaan siis edelleen D((f − M) +
Page 57 and 58: sillä ˆ ∞ ∂Ft(R −∞ n )dt
Page 59 and 60: Tässä ensimmäinen termi menee yh
Page 61 and 62: kaikilla M > max{|λ(x)|, µ(x)}. V
Page 63 and 64: kaikilla ε > 0, ja joukon A ⊂ R
Page 65: Kirjallisuutta [1] Evans, Lawrence

Master's Thesis - Matematiikan ja systeemianalyysin laitos - Aalto ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?