Master's Thesis - Matematiikan ja systeemianalyysin laitos - Aalto ...

H n−1 -m.k. z ∈ ∂ ¯ B(x, r), kaikilla r > 0. Toisaalta Lebesguen lause lokaalisti
integroituville funktioille antaa
χE(z) = lim
ρ→0
χEdy
¯B(z,ρ)∩B(x,r)
Ln-m.k. z ∈ Rn s.e. z ∈ ∂ ¯ B(x, r) — eli Hn−1-m.k. z ∈ ∂ ¯ B(x, r), m.k. r > 0.
Siis pätee T χE(z) = χE(z) Hn−1-m.k. z ∈ ∂ ¯ B(x, r), m.k. r > 0. Täten yhtälö
(2.4) saadaan m.k. r > 0 muotoon
ˆ
ˆ
ˆ
χE∇ · ϕ dy = ϕ · νE d∂E + χEϕ · ν dH n−1 ,
B(x,r)
B(x,r)
∂ ¯ B(x,r)
mikä on sama kuin väite, paitsi että pallot ovat avoimia. Lemman 2.2.1 perusteella
väite kuitenkin seuraa.
Todistetaan sitten joukko redusoidun reunan pisteisiin liittyviä epäyhtälöitä
(muistetaan, että E ⊂ R n on joukko, jolla on lokaalisti äärellinen perimetri
R n :ssä).
Lemma 2.2.3. On olemassa vain dimensiosta n riippuvat, aidosti nollaa suuremmat
vakiot C1(n), . . . , C3(n) s.e. kaikilla x ∈ ∂ ∗ E pätee
(i) lim inf
r→0
(ii) lim inf
r→0
(iii) lim inf
r→0
(iv) lim sup
r→0
Ln (E ∩ ¯ B(x, r))
≥ C1(n),
r n
Ln ((Rn \E) ∩ ¯ B(x, r))
≥ C1(n),
r n
∂E( ¯ B(x, r))
≥ C2(n),
r n−1
∂E( ¯ B(x, r))
r n−1
≤ C3(n).
Todistus. Otetaan mikä tahansa x ∈ ∂∗E. Väitteen (i) todistamiseksi määritellään
ensin funktio
m(r) := L n (E ∩ ¯ B(x, r)) =
ˆ r
0
H n−1 (E ∩ ∂ ¯ B(x, s)) ds.
Jälkimmäinen yhtäsuuruus seuraa coarea-kaavasta. Tässä tietenkin m(r) < ∞
kaikilla r > 0, ja H n−1 (E ∩ ∂ ¯ B(x, s)) on s:n funktiona lokaalisti integroituva.
Tämän perusteella m(r) on absoluuttisesti jatkuva funktio (ks. esimerkiksi [4,
s. 544–]), ja Lebesguen lauseen mukaan
m ′ m(r + h) − m(r) 1
(r) = lim
= lim
h→0 h
h→0 h
ˆ r+h
= H n−1 (E ∩ ∂ ¯ B(x, r)) m.k. r > 0.
10
r
H n−1 (E ∩ ∂ ¯ B(x, s)) ds