Master's Thesis - Matematiikan ja systeemianalyysin laitos - Aalto ...

Siis H n−1 ˜ Sk on Radon-mitta. Otetaan nyt x ∈ B ⊂ Kk ⊂ ∂ ∗ E. Muistetaan
edelleen korollaarista 2.3.2, että
∂E(
lim
r→0
¯ B(x, r))
Ωn−1rn−1 = 1.
Yhdistämällä tämä yhtälöön (3.10), jossa voidaan pisteissä x ∈ B korvata Sk ↩→
˜Sk, saadaan
H
lim
r→0
n−1 ˜ Sk( ¯ B(x, r))
∂E( ¯ H
= lim
B(x, r)) r→0
n−1 ( ˜ Sk ∩ ¯ B(x, r))
∂E( ¯ = 1
B(x, r))
kaikilla x ∈ B. Jos yleensä µ ja ν ovat Radon-mittoja, ja merkitään niiden
derivaattaa
ν(
Dµν(x) := lim
r→0
¯ B(x, r))
µ( ¯ B(x, r))
silloin, kun tämä raja-arvo on olemassa, pätee seuraava tulos [1, s. 37]: Jos
0 < α < ∞ ja
A ⊂ {x ∈ R n | Dµν(x) ≤ α},
niin ν(A) ≤ αµ(A). Aivan vastaavasti, jos
niin ν(A) ≥ αµ(A). Koska nyt pätee
voidaan siis päätellä, että
A ⊂ {x ∈ R n | Dµν(x) ≥ α},
B ⊂ {x ∈ R n | D ∂EH n−1 ˜ Sk(x) = 1},
∂E(B) = H n−1 ˜ Sk(B) = H n−1 Sk(B) = H n−1 ∂ ∗ E(B).
Tässä oli B ⊂ Kk, mutta kuten ylempänä todettiin, tämä riittää todistamaan,
että
∂E(B) = H n−1 ∂ ∗ E(B)
mielivaltaisella Borel-joukolla B ⊂ R n . Valitaan nyt mielivaltainen joukko A ⊂
R n . Koska sekä ∂E että H n−1 ∂ ∗ E ovat Borel-säännöllisiä ulkomittoja, kuten
aiemmin todettiin, on olemassa Borel-joukot B1 ⊃ A ja B2 ⊃ A s.e.
∂E(B1) = ∂E(A), H n−1 ∂ ∗ E(B2) = H n−1 ∂ ∗ E(A).
Edelleen leikkaukselle B = B1 ∩ B2 (joka on Borel-joukko) pätee selvästi B ⊃ A
ja
∂E(B) = ∂E(A), H n−1 ∂ ∗ E(B) = H n−1 ∂ ∗ E(A).
Yhteensä
∂E(A) = H n−1 ∂ ∗ E(A).
Mitat ovat siis samat, ja myös väite (iii) on tosi.
38